Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠMĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Chuyên ngành: Toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LIE REDUCTIVE

THỰC THẤP CHIỀU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP

2016

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp,luận án tiến sĩ chuyên ngành toán giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tựđẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhómLie reductive thực thấp chiều" là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan

và chưa từng để bảo vệ ở bất cứ học vị nào

Tôi xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận án này đều đượcchỉ rõ nguồn gốc và tuân thủ đúng quy tắc

Tác giả

Đỗ Thị Phương Quỳnh

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tíchphổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấpchiều” Tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thểlãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, KhoaToán, giảng viên, cán bộ các phòng, ban chức năng Trường Đại học Sưphạm Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡđó

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp ngườithầy đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi hoàn thành luận

án này

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp của tôi và gia đình đãđộng viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thựchiện và hoàn thành luận án này

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017

Nghiên cứu sinh

Đỗ Thị Phương Quỳnh

Mục lục

Trang bìa phụ i

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt v

Mở đầu 1

Chương 1 Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 8

1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển 8

1.2 Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace 11

1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 12

1.3.1 Công thức vết 12

1.3.2 Công thức vết ổn định 14

Chương 2 Nhóm hạng 1 15

2.1 Nhóm nội soi của SL(2, R) 16

2.2 Biểu diễn tự đẳng cấu 18

2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 20

2.2.2 Lượng tử hóa hình học 21

2.3 Công thức vết Arthur-Selberg 24

2.3.1 Công thức vết 24

2.3.2 Công thức vết ổn định 28

2.4 Nội soi 28

2.5 Công thức tổng Poisson 32

2.5.1 Vế hình học của công thức vết 32

2.5.2 Vế phổ của công thức vết 33

2.5.3 Công thức tổng Poisson 33

Chương 3 Nhóm hạng 2 35

3.1 Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R) 35

3.1.1 Biểu diễn unita bất khả quy 35

3.1.2 Cảm sinh chỉnh hình 40

3.1.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 41

3.1.4 Nội soi 42

3.1.5 Tích phân quỹ đạo ổn định 47

3.1.6 Công thức tổng Poisson 49

3.2 Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1) 49

3.2.1 Biểu diễn unita 49

3.2.2 Cảm sinh chỉnh hình 52

3.2.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 54

3.2.4 Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình 54

3.2.5 Công thức vết 55

3.2.6 Nội soi và tổng Poisson 56

3.3 Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R) 63

3.3.1 Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình 67

3.3.2 Cảm sinh đối đồng điều 69

3.3.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 72

3.3.4 Nội soi 73

3.3.5 Công thức tổng Poisson 76

Kết luận và kiến nghị 80

Danh mục các công trình công bố của tác giả 81

Tài liệu tham khảo 82

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

∼

diag(λ1, λ2, , λn) Ma trận đường chéo

H(SL(2, R)) Đại số Hecke trên SL(2, R) gồm các hàm lớp C0∞

và K- bất biến 2 phía

ˆ

của các biểu diễn unita bất khả quy của G

C0∞(R) Lớp hàm trơn có giá compact

R Tích phân trực tiếp của các biểu diễn

IndGBχ Biểu diễn cảm sinh từ B lên G

{Γ} Tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp

O(f ) Tích phân quỹ đạo của hàm f

Gal(C/R) Nhóm Galois của mở rộng C/R

e

Sk(Γ) Không gian các dạng modular trọng k

của nhóm con rời rạc Γ

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích điều hòa là một ngành toán nghiên cứu biểu diễn của các hàmhay phân tích, tổng hợp các sóng cơ bản và nghiên cứu tổng quát các kháiniệm của lý thuyết chuỗi Fourier và biến đổi Fourier Trong thế kỷ qua,giải tích điều hòa đã trở thành một lĩnh vực lớn với các ứng dụng trongnhiều lĩnh vực đa dạng như xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, phân tích thủytriều và thần kinh học

Biến đổi Fourier cổ điển trên Rn vẫn là lĩnh vực đang được nhiều nhànghiên cứu "khai thác" đặc biệt là những vấn đề có liên quan đến biến đổiFourier trên đối tượng tổng quát hơn như hàm suy rộng điều hòa

Giải tích điều hòa trừu tượng (xem [18]) bao gồm cả lý thuyết biểu diễn(xem [14], [25]), được sử dụng như một cơ sở thay thế vai trò của các hàm

mũ trong phân tích Fourier cổ điển Nói cách khác giải tích điều hòa trừutượng là sự mở rộng của phân tích Fourier cổ điển lên một nhóm G tùy ý.Trong vấn đề này, có sự khác biệt lớn giữa trường hợp nhóm Aben và nhómkhông Aben Phân tích Fourier trên nhóm Aben G được xác định trongcác số hạng của các đặc trưng nhóm tương ứng Tuy nhiên đặc trưng bội

là không phù hợp để mở rộng phân tích Fourier trên nhóm không Aben

Do đó trong trường hợp này biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phùhợp (chú ý rằng đối với nhóm Aben các biểu diễn bất khả quy đều là mộtchiều)

Trong giải tích điều hòa cổ điển trên R, công thức Poisson cho các hàmsuy rộng là:

trong đó δ là hàm Dirac Công thức trên đóng vai trò rất quan trọng vớimột hàm f ∈ C0∞(R) được viết ở dạng

vế phải được xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier Chính công thức này

có thể cho một phân tích trên không gian các hàm bình phương khả tíchnhư sau:

nó Công thức này là một công cụ quan trọng cho giải tích phổ của khônggian các hàm bình phương khả tích trên đường tròn đơn vị L2

C(S1;2π1 dθ).Chính xác hơn, không gian L2(S1; C) được phân tích thành tổng trực tiếptrực giao rời rạc của vô hạn lần của C :

Còn trong trường hợp G là nhóm cộng R cũng có kết quả tương tự như

lý thuyết biến đổi Fourier

Nhóm nhân R∗+ là vi phôi với R và tích phân Fourier tương ứng được gọi

là biến đổi Mellin Công thức nghịch đảo Mellin và công thức Plancherel

có dạng phân tích không gian L2(R∗+;dxx ) thành một tích phân trực tiếp

C1λ

Bài toán được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra công thức tổng Poissontương tự như công thức Poisson nói trên trong khuôn khổ giải tích điềuhòa trừu tượng trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive Công thức Poissontrừu tượng tổng quát chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài toánnày trên lớp các nhóm Lie có hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụngSU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ Các nhómhạng 2 là SL(3, R), SU(2, 1) và Sp(4, R), trong các trường hợp này chúngtôi tính toán các tích phân quỹ đạo cụ thể

Khi nhóm G là nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động trên nửamặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) bởi các biến đổi phân tuyếntính, chúng ta có thể chọn nhóm con Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) saocho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tựnhiên trên SL(2, R) Khi đó nhóm tuyến tính đặc biệt này tồn tại duynhất, chính xác đến liên hợp, một nhóm con Cartan H [27] là xuyến

T (C) = GL1(C) = C∗ Mặt khác L2(Γ\ SL(2, R)) được phân tích phổthành tổng trực giao hai phần đó là phần liên tục L2cont(Γ\ SL(2, R)) vàphần rời rạcoL2(Γ\ SL(2, R)) Phần rời rạc được phân tích thành tổng trựctiếp trực giao của các biểu diễn tự đẳng cấu, tức là các biểu diễn thu được

từ biểu diễn chuỗi rời rạc của G, sau đó tính vết cho một biểu diễn chuỗirời rạc này thì ta nhận được vế giải tích (hay vế phổ) của công thức tổng

Poisson Còn lại phần liên tục L2cont(Γ\ SL(2, R)) chỉ cần biết rằng đượcphân tích thành tích phân trực tiếp của chuỗi cơ bản và chuỗi bù (xem[27]) Ta cũng đã biết rằng các biểu diễn tự đẳng cấu được xác định bởiđặc trưng (và đặc trưng vô cùng bé) của nó [12], và thu được ở dạng biểudiễn cảm sinh trên quỹ đạo liên hợp trong SL(2, R), sử dụng công thứctích phân quỹ đạo (xem [29],[22]) để tính vết cho một biểu diễn trên nhómcon nội soi ta sẽ thu được vế hình học của công thức tổng Poisson trênSL(2, R) Vì vậy công thức tổng Poisson là phương trình với một vế giảitích là tổng các phép chuyển của công thức chuyển quỹ đạo vết và vế hìnhhọc là tổng các phép chuyển của các biến đổi Fourier của công thức vết(theo các biến đổi hình học của Harish Chandra) [15] Hoàn toàn tương tựchúng ta cũng có câu trả lời thỏa đáng cho các nhóm reductive có hạng 0

và hạng 1

Các nhóm Lie reductive hạng 2 sẽ phức tạp hơn rất nhiều, ví dụ như:SL(3, R), GL(3, R), SU(2, 1) Trong các trường hợp này và các trườnghợp tổng quát, nhóm con Cartan được phân tích thành tích của xuyếncực đại và một xuyến xòe hạng r Vẫn có công thức tổng Poisson cho cácnhóm con Cartan này, nhưng chúng ta có thể chuyển công thức quỹ đạovết lên một nhóm lớn hơn nhóm Cartan, và được gọi là nhóm con nội soi(là thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của phần tửnửa đơn chính quy của nhóm con Cartan) Bổ đề cơ bản khẳng định rằng

vế hình học của công thức tổng Poisson cũng đúng khi chuyển lên từ nhómcon nội soi Đây là một cách dễ để hiểu được bổ đề cơ bản, như một sựxuất hiện tự nhiên trong sự thu nhỏ của công thức vết của phần oL2(Γ\G)của biểu diễn chính quy R trong L2(Γ\G)

Trong luận án, chúng tôi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu nhưsau:

Chương 1: Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công thức Poisson

cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg

Chương 2: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R)

Chương 3: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(3, R), SU(2, 1)

và Sp(4, R)

2 Tổng quan

Nghiên cứu các biểu diễn tự đẳng cấu là một bài toán thú vị liên quanđến giải tích điều hòa trừu tượng và lý thuyết biểu diễn (xem [25]), hìnhhọc, đại số, số học

Trong số học việc dùng lý thuyết biểu diễn dẫn đến các kết quả quantrọng trong lý thuyết trường-lớp, lý thuyết số đại số Một ví dụ quan trọng

và tiêu biểu là luật thuận-nghịch trong lý thuyết số đại số (xem [16], [27]).Các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm Lie thấp chiều xuất hiện trongcác công trình của I.M.Gelfand, Y.Piateski-Shapiro, R Langlands Việcnghiên cứu các dạng tự đẳng cấu và các hệ quả có nhiều ứng dụng trong

số học, hình học, đại số và vật lý (xem [20], [27])

Một số nhà toán học trong nước cũng đã tiếp cận đến bài toán này.Trong công trình [5] của Đỗ Ngọc Diệp đã đưa ra việc thể hiện các biểudiễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa hình học Việc phân tích phổ củatoán tử Laplace và của phổ rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhómLie có thể thực hiện thông qua việc xét các công thức tính tổng Poisson

Từ đó có thể cho ta một cách tiếp cận hoàn toàn mới đến bài toán Đócũng chính là cách tiếp cận mà đề tài nghiên cứu được đặt ra

3 Mục tiêu

Mục tiêu của luận án là thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấuthông qua lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phân tích phổ toán tửLaplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm reductivethực thấp chiều Từ đó dùng nội soi để viết công thức Poisson cho cácnhóm thấp chiều

4 Đối tượng

Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm

ra các thể hiện cụ thể trong không gian các hàm có tính chất thích hợp Sau

đó chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu diễn chính quy trên khônggian L2(Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc oL2(Γ/G) Chúng tôi chỉ tậptrung nghiên cứu trong trường hợp các nhóm Lie reductive thực thấp chiều

5 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận án nghiên cứu các nội dung chính như sau:

• Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhómhạng 1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R)

• Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên

• Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, công thức vết của biểudiễn và tổng Poisson

6 Ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Trong luận án thực hiện các tính toán cụ thể cho các nhóm Lie thựcthấp chiều hạng 1 và hạng 2 Vì vậy, kết quả thu được của đề tài cho mộtnhập môn dễ hiểu về chương trình Langlands trên các lớp nhóm đó

7 Phương pháp nghiên cứu

Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lýthuyết trừu tượng để tính toán ra kết quả cụ thể nên các phương phápnghiên cứu chính trong luận án bao gồm:

• Biểu diễn cảm sinh (xem [17])

• Lượng tử hóa hình học (xem [16])

• Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng trên diện Riemann

8 Các kết quả chính của luận án

• Các Định lý 2.1, ??, 2.3, 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1 mô tả các biểu diễn tựđẳng cấu của các nhóm reductive thực thấp chiều

• Các Định lý 2.5, 2.6, 3.2, 3.8, 3.2.6 (a) mô tả các nhóm con nội soi,tích phân quỹ đạo, công thức vết Trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 cho cáctính toán tích phân quỹ đạo chi tiết lần đầu thu được

• Các Định lý 2.8, 2.9, 3.3, 3.5, 3.9, và 3.3.4 xác định công thức Poissontrên các nhóm hạng 1 và hạng 2 mà luận án xét đến

Các tính toán biểu diễn hình học, tích phân quỹ đạo được thực hiện chitiết trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 là hoàn toàn mới

9 Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

• Seminar thường kỳ của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đạihọc Sư phạm, Đại học Thái Nguyên các năm 2013, 2014, 2015 và2016

• Seminar "Giải tích toán học" của phòng Giải tích toán học, ViệnToán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam, 2014

• Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013

• The Tohoku Forum for Creativity Thematic Program 2016 "ModernInteractions between Algebra, Geometry and Physics", Japan, 10-15/04/2016

1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển

Cho một hàm số f khả tích tuyệt đối trên [−π; π]; khi đó hệ số của biếnđổi Fourier được xác định như sau:

cn(f ) = ˆf (n) = 1

2π

Z 2π 0

e−inxf (x)dx =

Z 1 0

Rπ

−πf (t)e−iktdteikx, xét hàm khả tích tuyệt đối f

trên khoảng [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x, khi đó chúng

Định lý 1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãnđiều kiện Dini Khi đó chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của haigiá trị giới hạn

hội tụ và tổng là hàm liên tục Chúng ta có công thức hệ số Fourier của

Z 2π 0

Định lý 1.2 (Tổng Poisson [1]) Với mọi hàm ϕ ∈ C0∞(R) trơn có giácompact ta có

Công thức này tương đương với dạng phân bố như sau:

Trong đó δ là hàm Dirac và ˆϕ(m) là một biến đổi Fourier

Công thức được hiểu rằng tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy làbiểu diễn chính quy của nhóm phủ R = eS1 → S1

Định lý 1.3 (xem [31]) Ta có phân tích sau:

Định lý 1.4 (xem [31])

L2(R) =

Z ⊕ R

C1ξdξ,trong đó Cξ là không gian một chiều C1 với tác động của x ∈ R lên e2πiξx

1.2 Nhóm nhân của các số phức và biến đổi

|z|−iλe−2πni arg(z)f (z)d|z|

e−2πni arg(z)f (z)d arg(z)

1.3 Công thức vết Arthur-Selberg

Trong phần này chúng tôi trình bày về công thức vết Arthur-Selbergtrên một nhóm G tổng quát Đây là mục quan trọng vì từ công thức vếtnày đã giúp chúng tôi nghĩ đến cách tính được công thức vết của biểu diễnchính quy trên các nhóm Lie reductive ở 2 chương sau

1.3.1 Công thức vết

Lấy nhóm con hữu hạn sinh kiểu Langlands Γ của G (xem [6], [21]) với

số hữu hạn các nhọn Lấy f ∈ C0∞(G) và ϕ thuộc không gian biểu diễncảm sinh [16], trong đó tác động của biểu diễn cảm sinh IndGBχ chuỗi rờirạc được xem như một biểu diễn con của biểu diễn chính quy phải R bởicác phép tịnh tiến phải trên biến Toán tử R(f ) được xác định một cách

tự nhiên như tích phân:

G

f (x−1y)ϕ(y)dy (bất biến phải của độ đo Haar dy)

=Z

Γ\G



X

tr R(f ) =

Z

Γ\G

Kf(x, x)dx

Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh Ký hiệu {Γ} là tậpcác phần tử đại diện của các lớp liên hợp Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhómcon tâm của γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ, trong trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G Theođịnh lý Fubini cho tích phân kép, chúng ta có thể đổi thứ tự của tích phân

Vì vậy để tính được công thức vết chúng ta sẽ tính theo thứ tự sau:

• Xác định lớp liên hợp của các γ trong Γ: chúng ta nói γ là kiểu elliptic(các giá trị riêng khác nhau cùng dấu), kiểu hyperbolic (không suybiến, với các giá trị riêng khác dấu), kiểu parabolic (suy biến)

• Tính thể tích Vol(Γγ\Gγ) của không gian thương của nhóm con dừng

Gγ theo nhóm con dừng rời rạc trong nó Γγ

• Tính toán công thức tích phân quỹ đạo (xem [22]), theo định nghĩalà

1.3.2 Công thức vết ổn định

Nhóm Galois (xem [22]) Gal(C/R) = Z2 của trường phức C là tác độngtrên biểu diễn chuỗi rời rạc bởi đặc trưng κ(σ) = ±1 Vì vậy tổng của cácđặc trưng có thể được viết lại như tổng trên lớp ổn định của các đặc trưng[22]

đề từ công thức Poisson cổ điển đến công thức Poisson tổng quát, côngthức vết Arthur-Selberg và trình bày được ý tưởng chính trong luận án là

sẽ tính toán công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội khi đó tích phânquỹ đạo sẽ trở thành các tích phân thông thường

Chương 2

Nhóm hạng 1

Lý thuyết Lie cho phân loại các nhóm Lie và nhóm đại số liên thôngtheo đại số Lie Theo phân loại đó chỉ có một đại số Lie nửa đơn hạng1(chính xác đến đẳng cấu) là sl(2, R) và tương ứng với nó là nhóm Lie liênthông SL(2, R), phủ phổ dụng tương ứng là ^SL(2, R) là mở rộng tâm củaSL(2, R) bởi Z/2Z Toàn bộ lý thuyết biểu diễn (xem [25]) và công thứctổng Poisson cho phủ phổ dụng của SL(2, R) hoàn toàn tương tự như choSL(2, R) Vì vậy đối với nhóm hạng 1 chúng ta chỉ cần nghiên cứu trườnghợp SL(2, R) là đủ

Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ giữacác biểu diễn tự đẳng cấu và lượng tử hóa cũng như công thức Poisson củaSL(2, R) Chúng ta biết rằng biểu diễn chuỗi rời rạc có liên quan đến tổngcủa các không gian riêng của toán tử Laplace và Hecke, tức là các biểudiễn tự đẳng cấu dưới dạng biểu diễn cảm sinh với phân thớ cảm sinh trêndiện Riemann

Nhóm hạng 1 mà chúng ta nghiên cứu ở đây là nhóm SL(2, R), trong lýthuyết biểu diễn của nhóm này [20] chúng ta đã biết: mọi biểu diễn unita(hoặc không unita) bất khả quy tương đương unita (hoặc không unita) vớimột trong các chuỗi sau (xem [7], [27]):

(1) Biểu diễn chuỗi liên tục cơ bản (πs, Ps);

(2) Biểu diễn chuỗi rời rạc (πk±, Dn), n ∈ N, n 6= 0;

(3) Giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc (π±0 , D±);

(4) Biểu diễn chuỗi bổ sung (πs, Cs), 0 < s < 1;

(5) Biểu diễn một chiều tầm thường 1;

(6) Biểu diễn hữu hạn chiều không unita Vk

Có nhiều nghiên cứu về dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn tự đẳng cấu,hầu hết mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ cảm sinh Trong chươngnày chúng tôi sử dụng ý tưởng của lượng tử hóa hình học(xem [5]) để nói

rõ hơn về biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie

2.1 Nhóm nội soi của SL(2, R)

Trước tiên chúng tôi có những tóm tắt cơ bản giới thiệu về cấu trúcnhóm mà chúng ta xét đến trong chương này đó là nhóm G = SL(2, R)xác định như sau (xem [27]):

a, b, c, d ∈ R, det g = 1

)

Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, và có duynhất nhóm con compact cực đại K (với độ chính xác đến liên hợp) là

K =

(k(θ) = ± cos θ sin θ

− sin θ cos θ

!

θ ∈ [0, 2π)

),nhóm con Borel

a, b, d ∈ R, ad = 1

)

Nhóm con Borel này được phân tích duy nhất thành tích nửa trực tiếpcủa căn lũy đơn N và một xuyến chẻ ra cực đại T ∼= R∗+ và một nhómcon compact M = {±1} Phân tích này chính là phân tích Cartan G =

BK, B = M A n N Dựa vào phân tích Cartan đó thì một phần tử bất kỳcủa G sẽ được phân tích như sau:

0 −1

!, X2 = 0 1

0 0

!.Đại số Lie của G = SL(2, R) là g = sl(2, R) = hH, X, Y iR trong đó

0 −1

!, X = 0 1

0 0

!, Y = 0 0

1 0

!,

thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan:

[H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H

Đại số Lie của A là a = hHiR, đại số Lie của N là n = hXiR Đại số Liecủa B là

b= a ⊕ n = hH, XiR.Đại số con Cartan phức hóa của g là một đại số con phức

h = hHiC ⊂ gC = g ⊗RC,trùng với đại số Lie của nhóm con chuẩn hóa trong gC Nhóm con Cartan

là nhóm con của G sao cho đại số Lie của nó chính là đại số con Cartannói trên Hệ nghiệm của (g, h) là

Σ = {±α}, α = (1, −1) ∈ Z(1, −1) ⊂ R(1, −1)

Có thể chọn nghiệm dương α = (1, −1) Có một nhóm compact Cartan

T = K = O(2), vectơ đối nghiệm là Hα = (1, −1) và nhóm con Cartancủa B là H = Z/2Z × R∗+ ∼= R∗

Định nghĩa 2.1 ([22]) Một nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là thànhphần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của một phần tử chínhquy nửa đơn trong G.

Mệnh đề 2.1 Nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là chính nó hoặcSO(2)

Chứng minh: Các phần tử nửa đơn chính quy của SL(2, R) có dạng sau

g = diag(λ1, λ2), λ1λ2 = 1 Nếu λ1 6= λ2, tâm hóa của g là tâm

C(G) = {±1} của nhóm SL(2, R)

Nếu λ1 = λ2 và chúng thuộc tập số thực, tâm hóa của g chính là nhómSL(2, R) Nếu λ1 = λ2 là các số phức và có phần argument đối nhau, chúng

ta có g = ± diag(eiθ, e−iθ) Trong trường hợp này thành phần liên thông

Nhận xét: Nhóm nội soi SL(2, R) hay tâm {±1} là nhóm tầm thường

và chỉ có nhóm nội soi không tầm thường là SO(2)

2.2 Biểu diễn tự đẳng cấu

Trong mục này chúng tôi tính toán phép dựng biểu diễn tự đẳng cấudựa vào bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 (xem [7]) Tồn tại tương ứng một - một giữa các biểu diễn 2n−1chiều bất khả quy của SO(3) và các biểu diễn n chiều của SO(2)

Chứng minh: Tồn tại một dãy khớp ngắn

1 −−−→ {±I} −−−→ SU(2) −−−→ SO(3) −−−→ 1

Cho nên các biểu diễn của SO(3) thu được từ các biểu diễn của SU(2), cácbiểu diễn unita bất khả quy [14] của SU(2) là các biểu diễn có trọng trội.Các đặc trưng của biểu diễn trọng 2n − 1, n = 1, 2, là chiều của biểudiễn tiêu chuẩn của SO(3) [27]

χ2n−1(k(θ)) = sin(2n − 1)θ

sin θ

trong đó

k(θ) = cos θ sin θ

− sin θ cos θ

!.Mặt khác SO(2) = k(θ) và các biểu diễn unita bất khả quy [14] là 1 chiều

Phân tích Iwasawa (xem [27]) AN K được biết đến như sau: mọi phần

)

là xuyến xòe trong nhóm con Cartan, và

K =

( cos θ sin θ

− sin θ cos θ

!, θ ∈ [0; 2π)

)

là nhóm con compact cực đại

Mỗi dạng modular f ∈ Sk(Γ) của trọng k trên mặt phẳng Poincaré

H = SL(2, R)/ SO(2), chúng ta cho liên kết với dạng tự đẳng cấu ϕf ∈

Ak(SL(2, R)) (trong đó Ak(SL(2, R)) là không gian các dạng tự đẳng cấu)cho bởi

Các biểu diễn chuỗi rời rạc trên các hàm trong L2(H, µk), µk = ykdxdy

được ký hiệu là Dk Các nhọn của biểu diễn tự đẳng cấu được thể hiệntrong không gian oL2(Γ\ SL(2, R)) của các dạng tự đẳng cấu.

Định lý 2.1 (xem [4]) Tập của các toán tử bện của SL(2, R) từ các biểudiễn chuỗi rời rạc đến tập các biểu diễn tự đẳng cấu trong oL2(Γ\ SL(2, R))của SL(2, R) đẳng cấu với tập Sk(Γ) của các dạng modular, tức là

HomSL(2,R)(Dk,oL2(Γ\ SL(2, R)) ∼= Sk(Γ)

Chứng minh:

Thật vậy với mỗi toán tử bện A ∈ HomSL(2,R)(Dk,oL2(Γ\ SL(2, R)) chúng

ta có thể xây dựng L - chuỗi [4] liên kết với một phần tử trong Sk(Γ); vàđảo lại, bắt đầu từ một dạng modular f ∈ Sk(Γ) chúng ta xây dựng L-chuỗi tương ứng Lf Tồn tại duy nhất toán tử bện A sao cho L - chuỗi của

2.2.1 Tương ứng Langlands hình học

V Drinfel’d đã đưa ra tương ứng Langlands hình học tổng quát sau

đó E Frenkel, D Gaitsgory và Vilonen đã chứng minh [11] tương ứngtổng quát đó và nó trở thành tương ứng Langlands hình học (GLC) chonhóm đại số reductive tổng quát Sau đây chúng tôi sẽ xác định GLC trongtrường hợp cụ thể là nhóm SL(2, R)

Định lý 2.2 Tồn tại một song ánh:

f : [π1(Σ), SO(3)] −→ A(SL(2, R))với [π1(Σ), SO(3)] là tập của các lớp tương đương của biểu diễn của nhóm

cơ bản π1(Σ) trên diện Riemann Σ = Γ\ SL(2, R)/ SO(2), A(SL(2, R)) làtập các lớp tương đương của biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2, R)

Chứng minh: Định lý đã được chứng minh trong trường hợp tổng quátcho nhóm reductive [11] Tương ứng Langlands hình học là tương ứngmột-một giữa các lớp đồng luân từ nhóm cơ bản π1(Σ) của diện Riemann

Σ đến nhóm đối ngẫu Langlands LG và tập của các lớp tương đương củabiểu diễn tự đẳng cấu của nhóm reductive G Trong trường hợp cụ thể là

SL(2, R) nhiều tính toán đã được đơn giản đi rất nhiều, và cũng chính lànhững gì chúng tôi muốn chỉ ra ở phần này.

Ý tưởng chính để chứng minh định lý được thể hiện qua hai ý chínhnhư sau:

Thứ nhất : Chúng ta biết rằng mỗi phần tử của SO(3) liên hợp với mộtphần tử nào đó của nhóm con cực đại SO(2) của SL(2, R) Vì thế tập củacác đồng cấu từ π1(Σ) đến SO(3) chính là tập của các đặc trưng của nhómcon Borel của SL(2, R) (tức là nhóm con parabolic cực tiểu) tương ứng vớibiểu diễn chuỗi rời rạc cảm sinh

Bổ đề 2.2 (xem [2]) Tồn tại tương ứng một-một giữa các lớp liên hợpcủa SO(3) và đặc trưng cảm sinh của biểu diễn chuỗi rời rạc của nhómSL(2, R)

Thứ hai: Hơn thế nữa, điều kiện Γ-bất biến cũng giống như điều kiện

mở rộng được của đặc trưng địa phương của thành phần liên thông tựđẳng cấu lên biểu diễn của nhóm con dừng lớn hơn

Bổ đề 2.3 (xem [2]) Mọi biểu diễn của nhóm cơ bản π1(Σ) trong SO(3)được xác định bởi một hệ các lớp liên hợp trong SO(3)

Và sử dụng thêm bổ đề sau chúng ta sẽ suy ra được điều phải chứng minh

Bổ đề 2.4 (xem [2]) Mỗi hệ các lớp liên hợp trong Bổ đề 2.3 xác định duynhất dạng modular trên H và do đó cũng xác định duy nhất một biểu diễn

tự đẳng cấu của SL(2, R)

22.2.2 Lượng tử hóa hình học

Ý tưởng của việc thể hiện các biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Liereductive thông qua phương pháp lượng tử hóa hình học đã được làmtrong [5] Trong phần này chúng tôi chỉ ra các tính toán cụ thể cho nhómSL(2, R)

Định lý 2.3 Các biểu diễn tự đẳng cấu có thể thu được từ quy tắc lượng

tử hóa trường theo tương ứng Langlands hình học

Chứng minh: Biểu diễn chuỗi rời rạc có thể được thể hiện thông qualượng tử hóa hình học như sau:

Thứ nhất: Không gian biểu diễn của biểu diễn chuỗi rời rạc bao gồmcác hàm chỉnh hình, bình phương khả tích

Bổ đề 2.5 Không gian Hardy các hàm bình phương khả tích chỉnh hình

có thể được thể hiện như không gian mũ Fock các hàm của các biểu diễnchính quy của SO(2) trong C

Vì vậy mỗi chuỗi hội tụ kiểu (2.2) có thể được biểu diễn như sau:

sl(2, R) = hH, X, Y iR, trong biểu diễn cảm sinh của chuỗi rời rạc tác độngthông qua tác động của các nhóm con một tham số

g1(t) = exp(t(X − Y )) = cos t sin t

− sin t cos t

!,

g2(t) = exp(t(X + Y )) = cosh t sinh t

( ˆX − ˆY )2 − ( ˆX + ˆY )2 − ( ˆH)2

Tác động này có thể xem như tác động của đại số loop trên diện Riemann

Σ với các giá trị trong SO(2), các phần tử của đại số loop được đưa ratrong dạng chuỗi Laurent với các giá trị trong đại số Lie tương ứng trongbiểu diễn

Bổ đề 2.6 Phân tích (2.3) của EXP C chỉ ra sự phân tích trọng của

sl(2, R) theo trọng H, X tác động như toán tử sinh và Y tác động nhưtoán tử triệt tiêu

Chứng minh: Biểu diễn trọng thấp nhất của đại số loop được thực hiệnthông qua biểu diễn trọng thấp nhất của đại số Virassoro như sau Xétphần tử sinh

Ln =

Z

Σ

zn+1T (z)dzcho bất kỳ phần tử

2.3 Công thức vết Arthur-Selberg

2.3.1 Công thức vết

Chúng ta tính công thức vết cho nhóm cụ thể là SL(2, R) theo phươngpháp của Arthur-Selberg Với H = SL(2, R)\ SO(2) là kí hiệu cho nửa mặtphẳng Poincaré phía trên:

b ∈ Z)

và

Γi = {σ ∈ Γ|σκi = κi},

σi ∈ SL(2, R), i = 1, h Biết σiΓiσi−1 = Γ0, H = L2(Γ\G) là không gian củacác hàm bình phương khả tích trên G, và biểu diễn chính quy R của Gđược xác định như sau:

[R( a b

c d

!)f ](z) = f (az + b

x ∈ R

)thì tác động củabiểu diễn chính quy lên các phần tử ma trận của nhóm này chính là tác

động tịnh tiến theo biến z đến biến z + x Thật vậy [R( 1 x

0 1

!)f ](z) =

f ( 1 x

0 1

!

z1

!) = f (z + x)

Cho hàm bất kỳ ψ : N \H → C, theo biến y giảm đủ nhanh khi y tiếnđến 0 hoặc ∞, một chuỗi θ xác định như sau:

là không gian của các chuỗi θ không đầy đủ (xem [19])

Chúng ta biết rằng phần bù trực giao Θ⊥ của Θ trong L2(Γ\H) đẳngcấu với không gian H0 của các dạng nhọn parabolic [19], hay nói cách khácdạng tự đẳng cấu với số hạng hằng Fourier là 0 của biểu diễn tự đẳng cấu,

tử Hecke có nhân có công thức sau:

H

k(z, z0)f (z0)dz0

=Z

với γi là một biến đổi tuyến tính trong G sao cho γi−1Γiγi = Γ0 Toán

tử Hecke với nhân K(z, z0) có cùng phổ như toán tử có nhân K∗(z, z0) =K(z, z0) − H(z, z0) Nhân K∗(z, z0) bị chặn và miền cơ bản Γ\H có thể tíchhữu hạn [19], vì vậy nhân K∗(z, z0) là lớp L2 trên D × D, D = Γ\H, và cáctoán tử Hecke là toán tử compact Các toán tử Hecke làm cho mỗi thànhphần bất khả quy của Θ⊥ bất biến và vì thế là vô hướng trên mỗi biểudiễn tự đẳng cấu Trên mỗi thành phần bất khả quy, toán tử Laplace cũng

Vì thế đã có thể suy ra định lý phân tích phổ cho phần rời rạc của biểudiễn chính quy

Định lý 2.4 (Phân tích phổ) (xem [7])

Cho không gian biểu diễn cảm sinh của IndGBχλ,ε, với χ : B −→ C∗ là một

biểu diễn 1 chiều bất khả quy của B ∈ G được xác định bởi:

π0± trong D1+ hay D1− như hai thành phần của biểu diễn π0,1 = IndGBχ0,1,cảm sinh từ đặc trưng χ0,1

Nhận xét Trong không gian L

−m<n<mHn số chiều là 2m − 1 các biểudiễn hữu hạn chiều Vm được xác định Từ đó ta có:

Hệ quả 2.1 (xem [20]) Cho ϕ là hàm bất kỳ thuộc lớp C0∞(G), πn±(ϕ) làmột biểu diễn, Θ±n là lớp vết của biểu diễn và cũng là một hàm suy rộng(theo Harish-Chandra) Θ±n được xác định duy nhất bởi hạn chế của chúngtrên nhóm con compact cực đại K = SO(2) Khi đó ta có

2.3.2 Công thức vết ổn định

Nhóm Galois Gal(C/R) = Z2 của trường phức C tác động trên cáctrọng của biểu diễn có trọng bởi đặc trưng κ(σ) = ±1 Vì vậy tổng các đặctrưng có thể được viết như tổng trên các lớp ổn định của các đặc trưng

Trường hợp 1 : γ = diag(a, a−1) Trong trường hợp này dựa vào phântích ở dạng Iwasawa cho mỗi phần tử của nhóm G = SL(2, R), tích phânquỹ đạo được tính là:

U

f (u−1γu)du

=Z

=Z

=Z

trong đó ˜f là kết quả của tích phân theo biến x

Tích phân là hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều và vì vậy nó là một hàm trơn

của a ∈ R∗+ Vì thế phép chuyển nội soi trong trường hợp này là:

fH(γ) = ∆(γ)Oγ(f ), ∆(γ) = |a − a−1|

là một hàm trơn trên nhóm nội soi H

Trường hợp 2 : γ = kθ = cos θ sin θ

− sin θ cos θ

! Vẫn dựa vào phân tíchIwasawa của mỗi phần tử trong G để tính tích phân quỹ đạo, ta được côngthức sau:

|y|dθ

=

Z ∞ 1

˜

f ( cos θ t sin θ

−t−1sin θ cos θ

!)dt,

˜

f là kết quả của tích phân theo biến x

Vì f là một phần tử của đại số Hecke, tức là f thuộc lớp C0∞(G) nên kếtquả là một hàm F (sin θ) Vì hàm f có giá compact, do đó tích phân trênhội tụ tại +∞ Mặt khác tại điểm khác 0, chúng ta có thể khai triển hàm

F thành công thức Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng với λ = sin θ → 0

F (λ) = A(λ) + λB(λ),trong đó A(λ = F (0)) và B(λ) là số hạng chỉnh lỗi theo giá trị trunggian θ do đó cần phải tìm công thức cụ thể hơn tại các giá trị trung gian

Tóm lại, chúng ta thấy rằng trong trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tạimột phép chuyển nội soi là hàm số liên tục fH thỏa mãn:

fH(γ) = ∆(γ)(Oγ(f ) − Owγ(f )) = ∆(k(θ))SOγ(f ),trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ, SOγ(f ) = (Oγ(f ) − Owγ(f )) [22]

Định lý 2.5 (xem [22]) Tồn tại một hàm số ε : Π → {±1} sao cho trongnhóm Grothendieck của vành biểu diễn chuỗi rời rạc có

σG =X

π∈Π

ε(π)π,

ánh xạ σ 7→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, nếu cho bất kì ftrong G = SL(2, R) thì tồn tại duy nhất fH trên nhóm con nội soi H củaSL(2, R) nên ta có hệ thức sau:

tr σG(f ) = tr σ(fH),trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của G = SL(2, R)

Chứng minh: Có một song ánh Πµ ∼= D(R, H, G), chúng ta có phép lậpcặp

Dễ thấy rằng hạn chế của toán tử ∆ trên nhóm con Cartan H là elliptic

và vì thế bài toán Cauchy cho các biến có nghiệm duy nhất Nghiệm là

công thức vết cho phần nhọn parabolic của biểu diễn chính quy,

ε(γ)vol(Γ ∩ ˜H)Oγ(f )

γ∈Γ∩H

vol(Γ ∩ H)SOγ(fH)

Cho nên biểu diễn SO(3) thu từ biểu diễn SU(2), cácbiểu diễn unita bất khả quy [14] SU(2) biểu diễn có trọng trội.Các đặc trưng biểu diễn trọng 2n − 1, n = 1, 2, chiều biểudiễn tiêu chuẩn... hệ lớp liên hợp Bổ đề 2.3 xác định duynhất dạng modular H xác định biểu diễn

tự đẳng cấu SL(2, R)

22.2.2 Lượng tử hóa hình học

Ý tưởng việc thể biểu diễn tự đẳng cấu nhóm Liereductive... chúng tơi tính tốn phép dựng biểu diễn tự đẳng cấudựa vào bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 (xem [7]) Tồn tương ứng - biểu diễn 2n− 1chiều bất khả quy SO(3) biểu diễn n chiều SO(2)

Chứng minh: Tồn