Chú ý: Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 TABLE.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ NHỮNG LƯU Ý CẦN BIẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
Trang 1ĐÁP ÁN
1
yx trên 3; 2
A
3;2
miny 8
B
3;2
miny 1
C
3;2
miny 3
D
3;2
miny 3
Giải
3;2
( 3) 8 (0) 1 (2) 3
miny 1
y y y
Đáp án B
1 1,
yx x Dấu “=” xảy ra khi x 0 3; 2
3;2
miny 1
Đáp án B
3
yx x trên đoạn 1;1 là
A.4 B 2 C 0. D 1
Giải
Ta có: 2
x
x
( 1) 4 (0) 0 max 0 (1) 2 x
y
y
Đáp án C
Chú ý:
Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 (TABLE)
(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ NHỮNG LƯU Ý CẦN BIẾT
VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Trang 2Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x x x trên đoạn 1; 2 là
A 6 B.21 C 5 D.14
Giải
2
2 1; 2
x
x
( 1) 14 (1) 6 max 14 (2) 5 x
y
y
Đáp án D
Chú ý:
Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 (TABLE)
(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
yx x trên đoạn 1;3 là
A 15 B 6 C 23 D 10
Giải
y x x x x
0 1;3 ' 0 2 1;3
2 1;3
x
x
, khi đó
1;3
(1) 6 (0) 1
(2) 15 (3) 10
x
y y
y y
y
Đáp án A
Chú ý : Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7
(TABLE).(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
2
x y x
Ta có các mệnh đề sau:
Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A 1 B 2 C 3 D 4
Giải
Ta có ' 7 2 0, 2
( 2)
x
hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (2;) và không
có cực trị Suy ra kết luận I và II sai (vì kí hiệu x 2 không phải là một tập hợp và II muốn
đúng chỉ cần chỉnh lại thành “Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó”)
Do hàm số không liên tục (gián đoạn) tại x 2 0;3 nên ở bài toán này hàm số không tồn tại
min, max ( vì
2
lim
x
y
và
2
lim
x
y
) IV sai
Chỉ có 1 mệnh đề III đúng hay có 3 mệnh đề saiđáp án C
Trang 3Câu 6 (THPTQG – 102 – 2017 ) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số yx42x23 trên 0; 3
A M 9 B M 8 3 C M 1 D M6.
Giải
y x x x x
0 0; 3
1 0; 3
x
x
, khi đó
(0) 3
y
y
Đáp án D
TABLE (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
Câu 7 (THPTQG – 103 – 2017 ).Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số yx4x213 trên đoạn 2;3
A 51
4
m B 49
4
m C m13 D 51
2
m .
Giải
y x x x x
0 2;3
2;3 2
x y
x
, khi đó
3
2;
( 2) 25
0 13
51 min
4 4
2 (3) 85
x
y y
y y
Đáp án A
(TABLE) (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
( ) 3 5 1
f x x x trên đoạn 2;1 đạt tại x bằng
A.2 B.1 C 0 D.1
Giải
f x x x x x ; '( ) 0 0
1
x
f x
x
Khi đó f( 2) 55; f( 1) 3; f(0)1; f(1) 1
2;1
max ( ) 3
x
f x
khi x 1đáp án B
Cách 2: Dùng Casio với phím CALC để thay ngược đáp số
Khi đó ta có: f( 2) 55; f( 1) 3; f(0)1; f(1) 1
2;1
max ( )f x 3
khi x 1đáp án B
Cách 3 : Dùng Casio với công cụ TABLE 7 (tham khảo Ví dụ 2 trong bài giảng)
Trang 4Câu 9 Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 4 2
4
f x x x trên đoạn 0; 2 lần lượt là a b, Khi đó giá trị của tích ab bằng bao nhiêu?
A 5 B 1
9 C 5
3
D 1
3
Giải
Ta có: 3
'( ) 3 4
f x x x;
0
3
x
f x
x
;
0;2
0;2
1
3 (2) 5
x
x
f
Đáp án C
yx x trên đoạn 1; 2 lần lượt là M và m
Khi đó giá trị của tích M m là
A 2 B 46 C 23 D một số lớn hơn 46
Giải
y x x x x ; y' 0 x 0
Khi đó y( 1) 2; y(0) 1; y(2)23 1;2
1;2
max 23
23 min 1
x x
M m
đáp án C
của nó?
A 3 2
yx x x B 4 2
yx x C 2 3
1
x y x
D.
2
4 1
x x y
x
Giải
Cách 1 : (Dùng phương pháp “loại trừ”)
Hàm số 3 2
yx x x có TXĐ: D và 3 2
Hàm số 2 3
1
x y
x
có TXĐ: D \ 1 và
1
lim
1
x
x x
Hàm số
2
4 1
x x y
x
có TXĐ: D \ 1 và
2
1
4 lim
1
x
x x x
Suy ra các hàm ở phương án A, C, D không tồn tại giá trị nhỏ nhấtĐáp án B
Cách 2: Do
2
yx x x
, suy ra giá trị nhỏ của hàm số nhất bằng
7 4
Đáp án B
Chú ý :
Trang 5+) Hàm trùng phương 4 2
yax bx c luôn tồn tại min với a0 và luôn tồn tại max với a0
+) Hàm bậc ba 3 2
yax bx cx d và hàm phân thức y f x( )
ax b
b f a
) không tồn tại giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó
f x x x x trên đoạn [1;3] lần lượt là a b, Khi đó giá trị của 27a b bằng
A 6 B 13
27 C.13 D.19
Giải
Ta có 2
f x x x ;
2
4 1;3
1;3 3
x
x
Khi đó
(1) 0
(3) 6
f
f
f
1;3 1;3
13 max
27
27 13 ( 6) 19 min ( ) 6
x x
a b
Đáp án D
y x x x trên
nửa khoảng 0; 2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 5
12
M
m B 5
12
M
m C 1
12
M
m D 1
12
M
m
Giải
Ta có 2
y x x ;
1 ' 0
4 0; 2
x y
x
(0 ) lim 1
x
; f(1) 12; f(2)5
Suy ra
0;2
M y và
0;2
12
M m
Đáp án A
Chú ý : Ở bài toán này các bạn có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng 0; 2 Và từ bảng biến thiên cho ta thấy được M m, và suy ra được đáp số
1
x
f x
x
trên đoạn 0;1 lần lượt là ,
a b Khi đó giá trị của a b bằng
A.1 B.2 C.3 D.2
Giải
Ta có: '( ) 4 2 0
( 1)
f x
x
, x 0;1 , suy ra f x( ) đồng biến trên 0;1
0;1
0;1
min ( ) (0) 3 max ( ) (1) 1
2
a b
đáp án B
Trang 6Câu 15 Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1 1
y x
trên khoảng1; là
A 3 B.2 C.1 D 3
Giải
Ta có
2 2
2 '
( 1)
y
x
;
2 (0; )
x
x
Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất là: 3
đáp án D
Chú ý:
Ở bài toán này ta có thể không cần lập bảng biến thiên mà đi tính:
1
(1 ) lim
x
; f(2)3 và ( ) lim
x
1;
min ( )f x 3
2
3 1
x y x
trên đoạn 2; 4 A
2;4
miny6 B
2;4
miny 2 C
2;4
miny 3 D
2;4
19 min
3
y
Giải
2
2 2
1 2; 4
x
x x
Khi đó y(2)7; y(3)6; (4) 19
3
y
2;4
min 6
x
y
đáp án A
2
3 0 1
x y x
với x 2; 4 loại B, C
So sánh6 19
3
, nên ta thử phương án Avới y6, ta được:
2
2
3
1
x
x
x
trên khoảng (0;)
(0;min)y 3 9
B
(0;min)y 7
C
33 min
5
y
D 3
(0;min)y 2 9
Giải
Cách 1: Ta có:
3
y
3
2
3
y x x
Do y(0 ) ; y( ) và 3 3
2
3
(có thể lập BBT)đáp án A
x
y
1 '
2
0
3
Trang 7Chú ý:
Ở đây thầy đã dùng kí hiệu (0 ) y thay cho kí hiệu
0
lim
x y và y( ) cho kí hiệu lim
3
a b c abc, ta có:
x
đáp án A
của hàm số
2
3 2
x y x
trên đoạn
3 1;
2
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A 8
3
M m B 4
3
M m C 7
2
M m D 13
6
M m
Giải
Ta có
2 2
'
2
x x
y
x
2
3
2
3
2
x
x
và 2
1 3
f ; f 1 2; 3 3
f
1;
2
1;
2
2
3
3
M m
Đáp án A
y x x x trên đoạn 1;3 Khi đó tổng Mm có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
A ( 1; 4) B 7;10 C 38; 41 D 59;61
Giải
Ta có 2
x
x
1;3
max 46 ( 1) 14
min 6 (3) 46
y
y
Đáp án C
Chú ý : Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7
(TABLE) (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng)
x
trên đoạn [1;3] và m là giá trị nhỏ
nhất của hàm số
2
( )
1
x x
g x
x
trên đoạn [0;2] Khi đó Mm là
A 8 B 7 C 6 D 5
Trang 8Giải
Ta có
2
f x
2 '( ) 0
2 1;3
x
f x
x
(1) 5 13
3 (2) 4
x
f
f
Ta có
2 2
2( 2 3) '( )
( 1)
g x
x
1 '( ) 0
3 0; 2
x
g x
x
(0) 3 (1) 1 min ( ) 1 5
(2) 3
x
f
f
Suy ra M m 5 1 6đáp án C.
f x x x lần lượt là a b, Khi
đó giá trị của thương a
b là
A.1 B. 2 C 2 D.1
Giải
Tập xác định : D 2; 2
Ta có
2
'( ) 1
4
x
f x
x
;
2
0
4
x
Khi đó
(2) 2
2 2 max ( ) 2 2
2
f
a
f
b
f
Đáp án B
2
f x x
x
trên tập D 2;1 Mệnh đề nào sau đây sai?
A Giá trị lớn nhất của f x( ) trên D bằng 5
B Hàm số f x( ) có một điểm cực trị trên D
C Giá trị nhỏ nhất của f x( ) trên D bằng 1
D Không tồn tại giá trị lớn nhất của f x( ) trên D
Giải
Ta có '( ) 3 3 2
( 2)
f x
x
;
3
x
x
Suy ra bảng biến thiên của f x( ) trên D 2;1:
Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết không tồn tại
giá trị lớn nhất của f x( ) trên D hay phương án A saiĐáp án A
x
y
2
'
1 1
0
1
Trang 9Câu 23.Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x y x
trên đoạn 2;1 Khi đó giá trị của
M bằng bao nhiêu?
A 5
5
M B M 3 5 C 7 2
2
M D M 29
Giải
Ta có
2
2
(2 5)
2 5 1
'( )
x x x
x x
f x
2
5
f x x x
Khi đó ( 2) 5
5
f ; (1) 7 2
2
5
f
max 29
x
2
1 ( )
1
x
f x
x
trên đoạn 1; 2 Khi đó nghiệm của phương trình a x2x10 là
A.1 B 0 C.2 D 3
Giải
Ta có
2
2
( 1) 1
1 1
'( )
x x x
x x
f x
; f x'( ) 0 1 x 0 x 1
Khi đó f( 1) 0; f(1) 2; (2) 3
5
f
1;2
x
Phương trình có dạng:
1 2 1
2
x
f x x x
Khi đó M m bằng bao nhiêu?
A 1 B 2 C 2 D 2
4
Giải
Tập xác định: D 1;1
Cách 1: Ta có
2
1 2 '( ) 1
1 '( ) 0
2
f x x
Khi đó f( 1) 0; 1 1
2 2
f
2 2
f
, suy ra:
M m M m Đáp án A
Cách 2: Do x 1;1, nên ta đặt xsint
, suy ra:
M m M m
Đáp án A
Trang 10Câu 26.(Tạp Trí THTT lần 3) Giá trị lớn nhất của hàm số
3
20
3
x
trên đoạn 1; 4
là A 9 B 32 C 33 D 42
Giải
x
, do đó hàm số liên tục và đồng biến trên đoạn 1; 4 Suy ra
1;4
max ( )f x f(4)32Đáp án B
y x x xx đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x x1, 2 Tích x x1 2 là
A 1 B 0 C 1 D 2
Giải
x
Khi đó
2
1
1 0
x x
x x
x
Khi đó ta có bảng biến thiên:
Suy ra maxy7 tại x1 1 2 hoặc x2 1 2, suy ra: x x1 2 1Đáp án D
t x x x , suy ra: 2 2
2xx 3 t
y t t t t f t
Xét hàm số 2
f t t t với t 2
Ta có f t'( ) 2t 4; f t'( ) 0 t 2
Từ bảng biến thiên suy ra maxy7 khi t2
1 2
Đáp án D
2 2
1 1
y
Khi
đó tích M m bằng bao nhiêu?
A 1
3 B 3 C 10
3 D 1
y
'
y
0 7
1 2 0
7
t
( )
f t
2 '( )
2
7 0
Trang 11Giải
Ta có
2 2 2
'
1
x y
x x
; y' 0 x 1 và xlim y 1
Khi đó ta có bảng biến thiên:
Suy ra
3
1 3
M
M m m
Chú ý : Có thể dùng TABLE (MOD 7) với Star: 5 ; End : 5 và Step: 1 để suy ra M m,
y x x Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
A 6 B 3 13 C 21 5
5 D 4 5
Giải
Tập xác định: D 3;3
Ta có
2
3 ' 2
9
x y
x
;
2
2
0
6
13 13
x
x
Khi đó y( 3) 6; 6 3 13
13
y
; y 3 6maxy3 13 Đáp án B
f x x x là
A 0 B 1
81 C 27
2048 D 29
2017
Giải
Tập xác định: D 1;1
Đặt t 61x2 0, khi đó: 3 4
f x t t g t Xét 3 4
( ) 2
g t t t với t0
Ta có 2 3 2
g t t t t t ;
0
8
t
g t
t
Suy ra:
0;
27 max ( ) max ( )
2048
f x g t
2
là
A 2 B
2
C 1
4
D 1
3
x
y
'
1
0 3
1 0
1 3
1
1
t
( )
g t
0 '( )
3 8
27 2048 0
Trang 12Giải
Ta có f x'( ) 1 2 sinx ; '( ) 0 sin 1 0;2
4 2
x
Khi đó f 0 2; 1
f
Đáp án C
3; 2, có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng
định nào sau đây là khẳng định đúng?
A
3;2
miny 2
B
3;2
maxy 3
C Cực tiểu của hàm số là 5
D x 1 là điểm cực tiểu của hàm số
Giải
Khẳng định A sai vì:
3;2
và
3;2
miny 5
Khẳng định B sai vì: f 2 mà chỉ có
3;2 2
x
Khẳng định C đúng vì: cực tiểu của hàm số là y CT 5
Khẳng định D sai vì: x1 là điểm cực tiểu của hàm số
Đáp án C
Câu 33 Xét hàm số y f x( ) và yg x( ) xác định và liên tục trên đoạn a b; Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x( ) và P p, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số yg x( ) trên đoạn a b; Trong các phát biểu sau:
I Hàm số y f x( )g x( ) có giá trị lớn nhất trên đoạn a b; là MP
II Nếu x0 a b; và f x( )0 m g x, ( )0 p thì giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( )g x( ) trên đoạn a b; là m p
đoạn a b; là M P
Có bao nhiêu phát biểu đúng?
A 0 B 1 C 2 D 3
Giải
Phát biểu I, III sai, vì:
Để đúng thì cần khớp được dấu “=”, mà điều này có thể không xảy ra:
( )
y f x x có giá trị lớn nhất M f(2)4
+) yg x( ) x 3 có giá trị lớn nhất P g( 1) 2
x
y
3
'
2 1
0 0
1 0
3 2
Trang 13Theo phát biểu I thì y f x( )g x( ) có giá trị lớn nhất là M P 4 ( 2) 2
Dấu “=” xảy ra khi (2) 4 2
(vô nghiệm), nghĩa là không tồn tại dấu “=”I sai
Với phát biểu III ngoài việc có thể không khớp được dấu “=” như ở phát biểu I nó còn có thể sai
vì M P, không cùng dấu Vậy có 1 phương án đúng là phương án IIđáp án B
định nào sau đây đúng?
A Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( ; )a b
B Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn a b;
C Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn a b;
D Phương trình f x( )0 có nghiệm duy nhất thuộc đoạn a b;
Giải
Vì hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến trên đoạn a b; ;
;
max ( ) ( ) min ( ) ( )
x a b
x a b
f x f b
f x f a
C đúng
đáp án C
Chú ý : Câu hỏi này
+) A sai, vì: Hàm số liên tục và đồng biến trên một khoảng sẽ không tồn tại giá trị min, max (Có thể vẽ
bảng biến thiên để thấy rằng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lại xảy ra tại x b và x a , trong khi hàm số không xét trên hai điểm này (chỉ xét trên khoảng ( ; )a b )
+) B sai, vì hàm số y f x( ) đồng biến trên a b, f x'( ) 0, x a b; không có cực trị trên a b; +) D sai, vì f x( )0 có thể vô nghiệm (đồ thị y f x( ) không cắt trục Ox hay ở bài toán này có thể
;
min ( ) ( ) 0
x a b
f x f a
)
2sin sin
3
y x x trên đoạn [0; ] là
A 0 B.2
3 C.2 2
3 D.4
3
Giải
t x t , khi đó 4 3
( ) 2
3
y f t t t với t 0;1
'( ) 2 4
f t t ; '( ) 0 1 0;1 1
t
f t t t
Khi đó f(0)0 ; 1 2 2
3 2
f
2 (1) 3
3
y
Đáp án C