Kỹ thuật đánh cả cụm khi dùng casio giải phương trình vô tỉ vũ hồng phong

KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp và thử sức giải phương trình

Trang 1

KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp

và thử sức giải phương trình bậc 3)

Bài viết này xin được giới thiệu các phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên

Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này

(phương pháp tìm biểu thức nêu ở 2 chuyên đề ở phần sau các thí dụ)

Thí dụ 1 Giải phương trình

534122127

55

Trang 2

2

33693232

611

510

)(

1(510

8510

Trang 3

4

2621412

x x x x

12359

2

24

x x x x

4

4104

x x x x

x

Hướng dẫn

11

4

2621412

x x x x

x

Trang 4

3 2

2 2

2

98824343

)

2

(

42

y x x

x x x

8824343

34

311833

13

3

022

21

2 2 2

2

2 4

2 2

y x x

x x

y

y y

y x

Trang 5

Với x y222thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*)113341162

133

13

3

02

2 2

2

2 2

2

x x x

x x

y

y x

133





x

Đến đây các bạn tự giải tiếp

Sử dụng lí thuyết của 2 chuyên đề dưới đây có thể tìm ra các biểu

thức cần xuất hiện

Trang 6

6

Chuyên đề 1

PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN

TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ Một kĩ năng rất hữu ích có thể giúp ta giải được một phương trình vô tỉ là kĩ năng tìm nhân tử chung hoặc tìm biểu thức trong nhân liên hợp Đôi khi việc tìm ra các biểu thức đó

là rất khó khăn nếu ta không có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết này xin được giới thiệu

kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung hoặc biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp

có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ

2632

1

4

1063

3

2 2

3 4

x

x x

12683

6 x  x  x  x  x  x 

x

Ta tìm nghiệm của PT(1) bằng máy tính CASIO fx-570VN PLUS như sau:

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2

Ấn nút sang trái để quay lại PT(1)

Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 =, máy cho ta nghiệmX 2,546818277

Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A)

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax2 bxc x2 3x6

chứa 2 nghiệm vừa tìm

Nghiệm X=2 suy ra 4a 2bc 2  0 c  4a 2b 2

Trang 7

Nhân tử của PT(1) trở thành: ax2 bx4a2b2 x23x6

632

)2()2)(

Vì A là nghiệm của PT(2) nên

ta tìm a,b là số nguyên bằng cách bấm máy tính nhƣ sau:

A

A A

)2(2

263

Máy hiện Start? Ta bấm  9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên

63(

(4)2)(

235(

(4)2)(

632

)(

632

( 2   2  2   2  2  2  2   

Trang 8

8

)632

2(

)3(26

3

2 2

4

2 2

x x x

x

x x

3

02)

3

x x x

)(

2(

02

2 3

2

x x x x x

Giải tiếp ta được nghiệmx 2 và

299

612

29961

612

29961

2 3 2

2 3

x x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(0398)2(362

2x4 x3  x2  x  x2  x3  x2  

Nhập biểu thức vế trái của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105

Bấm SHIFT STO A

Nhập biểu thứcVT(1):(X A)4rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 0 = , chờ gần 6 phút máy hiện Can’t Solve

Khi này ta sẽ chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT bằng cách đổi dấu trước căn PT đã cho.Dẫn tới tìm nghiệm của PT sau:

)2(0398)2(362

2x4 x3  x2  x  x2  x3  x2  

Trang 9

Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(2) nhƣ sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm =

Máy hiện Start? Ta bấm -9 =

Khi này xem bảng ta thấyX 1`thì F(X)=0

Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax2bxc 8x39x23

Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: ax2 bxc 8x39x23 0

suy ra abc 2  0 c ab 2

Nhân tử của PT(*) trở thành: ax2 bxab2 8x39x23

3982)1()1)(

8 3 2

Ta tìm a,b bằng cách bấm máy tính nhƣ sau:

Quan sát bảng ta thấy khi X=1 thì F(X)=3 là số nguyên

Nhƣ vậy a=1,b=3,c=0.Ta đƣợc nhân tử là x2 3x 8x3 9x2 3

Trang 10

10

Mà (x23x)2 (8x39x2 3)x42x33

PT(1) trở thành: x42x33(x2 2)(x2 3x 8x39x26)0

0)398232)(

6983

7)

9

8

2 2

3

x x x

03)

3

x x

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x13 2

1417

44

36

1

235

2

2 3

x

x x

x

Lời giải

)1(014

1744

3623

5

2 x2  x  x4  x3  x2 x x 

Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(1) như sau:

B ấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm =

Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0

Nhập biểu thức VT(1):( X-1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi X=? ta bấm0 =, máy cho ta nghiệmX 0,629960524

Trang 11

Làm tương tự các thí dụ trên ta được: ( 1)

1

223

)1(1

2417

4436

134

417

4436

13412

235

12

23

5

2

2 3

4 2

2 3

4 2

2 2

2

2 2

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

417

4436

134

51

2235

2[

14

4

2 3

4 2

2 2

x x

x

014

1

x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x1; 3

68

5

3274142

2 3

4 2

2 3 3

x x x

x

x x x x

x

Lời giải

)1(0652

111216

63

27

4x3 x2 x  x4  x3 x2 x x4 x3x2 x 

Bấm máy tính như các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có

Tìm và lưu các nghiệm ta được ít nhất 3 nghiệm là

Trang 12

2bAc A  A  A

aA

327

2bBc B  B  B

aB

327

1216

61

2

32741)

1

(

2 3 4 2

3 4 2

2 3 2

x x

x

x x x x

x

PT

)2(0)()4442

( 4 3 2  

01111216

61

2

33

2741

1)

(

2 3

4 2

2 3

x x x

x x x x

x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm x1 3 ;x 2

Chú ý: Do AC 2 ;AC   2 nên PT có nhân tử làx2 2x2

Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c hoặc nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đưa về tìm các biểu thức dạng

)(

P

k     .Hãy làm bài tập dưới đây các bạn sẽ rõ

Trang 13

Bài tập Giải phương trình

1216

4

2

213

x x x

33

3

693

37

x x x

x

11434)

1

(

8532

)

3

2 2

2 3

x

x x x

x

12

3

423442

x x x

x

11

13147

3

2

223244

2 3 4

x

x x

x x x

13

2512

1

14128

x x x

x

12734

2

1532

3

)

7

2 3 4

x x x x

132262

120

36274

62

)

8

2 3

2

2 3

x

x x x

x

161252)2

(

3

34106

x x

x x x

x x

x

2583742

2 3 2

x

x x

16

583

734475)

x x x x x x

x

12114

112

614

2

52715

213

4

2 3

4 3

x

x x

x

Trang 14

14

16635)

112536

(

1

4

45443)

112928

(

)

13

2 2

x x

x x x

x

5451219

1920

4

34591319

21

)

14

2 3 4

5 6

7

8

2 3 4 5

x x

x

x x x x x x

Chuyên đề 2

PHƯƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm được ít nhất 2 nghiệm A,B phân biệt

Nếu PT có chứa P (x) thì giả sử biểu thức cần xuất hiện có dạng: ax2 bxc P(x) ,trong đó a,b,c là các số nguyên Do A,B là nghiệm của biểu thức nên

(*)0)(

2bAc P A 

aA

0)(

(A B A B b A B P A P B

B A

B P A P

B P A P b

B P A P



)( bấm = máy hiện giá trị của b cần tìm

Trang 15

Từ (*) suy ra c P(A)aA2 bA

Ta tìm a,c bằng máy tính như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)XA2 bAbấm =

Quan sát bảng ta chỉ lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên

Suy ra a=X,c=F(X)

Trường hợp 2: AB 0

B A

B P A

P

b ( ) ( ) (  )



Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức A B X

B A

B P A P

)()()



bấm = Máy hiện Start? Ta bấm  9 =

Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên

123

8226

6

2 4

2 3 4 6

x x x x

x

Lời giải

Trang 16

16

)1(01012

3)

(x x6 x4  x2x 

P

Với P(x)  x6 6x4 6x3 2x2 2x8

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105

Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lưu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lưu nghiệm vào A

Bấm nút mũi tên đi lên để về VT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105

Bấm SHIFT STO B

Bấm máy A+B máy hiện 0 suy ra

B A

B P A P b

B P A P



)( bấm = máy hiện -1 Vậy b=-1

Do b= -1 nên c P(A)aA2 (1)A P(A)aA2 A

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)A2X Abấm =

Quan sát bảng ta thấy khi X=3 thì F(X)=1 nguyên

Suy ra a=3,c=1

Biểu thức cần tìm là: x6 6x4 6x3 2x2 2x8(3x2 x1)

PT(1) trở thành P(x)(3x2x1)x63x49x290

Trang 17

3

)

(

)13

P

x x

x

P

09931

3

)

(

99

2

2 4

P

x x

x

0)993](

113

P

099

3 4 2

6   

0)33()

2)1(3

3

x

)21( 3

1210

2

1257424

4

2 3

4 6 2

2 3 4 6 2

x x x

x

x x x x x x

x

Lời giải

)1(43

)(

B P A

Trang 18

18

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập A B X

B A

B P A P

)()()



Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 khi X=1

Suy ra a=1,b= -2 Khi này c P(A)A2 2A

Nhập biểu thức P(A)A22Abấm = máy hiện số 3

)(

)12

()

(32)

(

)32(

)

(

2

2 2

2

2 2

x x x Q x

x

P

x x

x

P

012

)(

23

2)

(

23

2

3 6 2

3 6

x x x

x

P

x x

0]12

)(

13

2)

(

1)[

12

x x P x

x

0)12

21

2

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x3 2 ; 3

Trang 19

dạng 2 ( )

x P c bx

ax    hay không.Ví dụ sau sẽ làm sáng tỏ điều này

165112

6424

12

32

2

2 3

2

3

2 3 4

x x

x

x x x x

Lời giải

)1(0)()(32

B P A

P

b ( ) ( ) (  )



Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức A B X

B A

B P A P

)()()



Quan sát bảng ta thấy tất cả các giá trị F(X) đều nguyên Vì thế ta chọn 1 cặp là X=2;F(X)= 1 Suy ra a=2,b=1c P(A)2A2 A

Nhập biểu thức P(A)2A2 Abấm = máy hiện số 1.Ta được c=1

Suy ra 2x2 x1 P(x) là biểu thức cần tìm

Tương tự ta chọn được 3 2 1 ( )

x Q x

x    là biểu thức cần tìm

Trang 20

20

Phương trình(1) tương đương với PT:

05242)

(13

)(1

2x2x  P x  x2x  Q x x4 x3 x2 x 

0)1)(

52()(13

)(1

01)

(13

1

9)

(12

14)

52

2

2 2

x

x x

P x

x

x x

x

05

x    ;3 2 1 ( )

x Q x

x    ta cũng giải được PT theo cách nhân liên hợp

98

19424

x

x x x

x

3 2

3 4

6

2

2 3 6

347129

5599

)

x x x

x

x x x

3

2124

184

4

)

3

2 3 2

4

2 3 3

x

x x

x

1212649

1620

5

69166

37

4

)

4

2 3

2

2 3

x x

x

x x x

x

115211441

5126

45

4

)

5

2 3 6 2

x x

x x x

x

Trang 21

254

17883

2 4 6 2

x x x x x

x

1823274

1

144

82

x x x x

15

2541`

8884

2 4 6 2

x x x x x

x

3 2

3 4 6

2 4 5

6

388433

5

282243

)

x x x x x

x x x x

25441

1612

46

2 4

5 8 2

x x

x x x x

x

3 2

3 4

5

7

3 4

5 7

21523187

4

164186

2

)

x x x x

x

x x x

x x

196

111

91815

x x

x

x x x

x x

x

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	536,47 KB