Phương trình đường thẳng hình học giải tích 12

Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng  .. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng  .

BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng  có vectơ chỉ phương 1 a1

;  có vectơ chỉ phương 2 a2

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  và 1  Ta có: 2 1 2

1 2

.cos

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :

 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương 0 a

,

a a MN d

IV Các dạng toán thường gặp:

1 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm phân biệt A B ,

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là AB

2 Đường thẳng  đi qua điểm M và song song với d

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Ox thì  có vectơ chỉ phương là a   i 1;0;0

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Oy thì  có vectơ chỉ phương là a   j0;1;0

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Oz thì  có vectơ chỉ phương là a k 0;1;0Các trường hợp khác thì  có vectơ chỉ phương là a  a d

, với ad

là vectơ chỉ phương của d

3 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng  

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a  n 

, với n

là vectơ pháp tuyến của  

4 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d d (hai 1, 2

đường thẳng không cùng phương)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a a a1, 2

 

  

, với a a 1, 2

lần lượt là vectơ chỉ phương của d d 1, 2

5 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng  

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a a n d, 

, với ad

là vectơ chỉ phương của

d, n

là vectơ pháp tuyến của  

6 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng     ,  ;

7 Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và  

Cách giải:

 Lấy một điểm bất kì trên , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý và tính 2 ẩn còn lại

 Xác định vectơ chỉ phương của  là a n n , 

, với n n , 

lần lượt là vectơ pháp tuyến của     , 

8 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d d1, 2Ad A1, d2

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a n n1, 2

 

  

, với n n 1, 2

lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp A d , 1,mp A d , 2

9 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   và cắt hai đường thẳng d d 1, 2

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a  AB

, với Ad1  ,Bd2 

10 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc và cắt d

Cách giải:

 Xác định B  d

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A B ,

11 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với d và cắt 1 d , với 2 A d 2

Cách giải:

 Xác định B  d2

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A B ,

12 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng  

Cách giải:

 Xác định B  d

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A B ,

13 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   cắt và vuông góc đường thẳng d

là vectơ pháp tuyến của  

14 Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của đường thẳng dvà mặt phẳng   ,

nằm trong   và vuông góc đường thẳng d(ở đây dkhông vuông góc với   )

là vectơ pháp tuyến của  

15 Viết phương trình đường thẳng  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A B ,

16 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương a d a

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương a d n 

18 Viết phương trình  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng  

Cách giải : Xác định H   sao cho AH ad

,với ad

là vectơ chỉ phương của d

 Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và vuông góc với mặt phẳng  

 Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và  

19 Viết phương trình  là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng   theo phương d'

(I) d đi qua A2 ;3 ;1 và có véctơ chỉ phương a  2; 2;3

(II) d đi qua A0; 3; 11   và có véctơ chỉ phương a  2; 2;9

A Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai

B Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai

C Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai

D Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương trình tham số

23

d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad

Tọa độ của điểm M và vectơ chỉ phương ad

Đường thẳng d đi qua

điểm M và có vectơ chỉ phương ad

Tọa độ của điểm M và vectơ chỉ phương ad

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của

đường thẳng đi qua hai điểm A1; 2;5 và B3;1;1?

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có A1;3; 2 , B2;0;5 , C0; 2;1 

Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là

x t y y

x y

x y

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng  P : 2xy   Phương trình z 3 0

chính tắc của của đường thẳng  đi qua điểm M  2;1;1 và vuông góc với  P là

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :x2y2z  Phương trình 3 0

tham số của đường thẳng d đi qua A2;1; 5  và vuông góc với   là

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng  đi qua điểm A2; 1;3  và

vuông góc với mặt phẳng Oxz là 

A

2

1 3

x

y t z

x

y t z

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A2;1; 2 ,  B4; 1;1 ,  C0; 3;1 

Phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

ABC là 

A

2

1 2 2

Câu 17 (ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;4;2 và B  1;2;4

Phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB là 

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng  đi qua điểm M 2;1; 5 , 

đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ a  1; 0;1

Câu 20 (ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 1;1 ,   B1; 2;3 và

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   :x2y2z  và 3 0

  : 3x5y2z  Phương trình đường thẳng 1 0 d đi qua điểm M1;3; 1 , song song với hai mặt phẳng     ,  là

A

1 14

3 8 1

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y2z  Phương trình 3 0

đường thẳng d đi qua điểm A2; 3; 1  , song song với hai mặt phẳng    , Oyz là

A

2

3 1

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  :x3y  và z 0   :x y  z 4 0 Phương trình tham số của đường thẳng 0 d là

A

2

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

  :x2y   và z 1 0   : 2x2y3z  Phương trình đường thẳng 4 0 d đi qua điểm (1; 1; 0)

M  và song song với đường thẳng  là

A

2

1 2 3

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x3y5z  Phương trình 4 0

đường thẳng  đi qua điểm A  2;1; 3 ,  song song với  P và vuông góc với trục tung là

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 9

Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu  S , song song với

  : 2x2y   và vuông góc với đường thẳng z 4 0 : 1 6 2

x y

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 12 9 1

d      và mặt thẳng  P : 3x5y z  2 0 Gọi d' là hình chiếu của d lên  P Phương trình tham số của '

Hình chiếu song song

của d lên mặt phẳng Oxz theo phương : 1 6 2

Câu 37 (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

và mặt phẳng  P : 2x y 2z 9 0 Gọi A là giao điểm của d và  P Phương trình tham

số của đường thẳng  nằm trong  P , đi qua điểm A và vuông góc với d là

A

1

1 4

Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2

và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng  là

Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 1

  S : x12y32z1229 và A1; 2;1  Đường thẳng  cắt d và  S lần lượt tại

M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng  là

Câu 48 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z  và 5 0

hai điểm A3;0;1 ,  B1; 1;3   Trong các đường thẳng đi qua A và song song với  P ,

đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là

 P :xy z 20 Gọi M là giao điểm của d và  P Gọi  là đường thẳng nằm trong

 P vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 Phương trình đường thẳng  là

Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 1

A :

3 42

Câu 55 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A3; 1;1 , nằm trong mặt phẳng

 P :x y  z 5 0, đồng thời tạo với 2

Câu 56 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1; 1;2 , song song với

 P : 2xy  z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng 1 1

II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Chọn A

Câu 2 Chọn B

Cách 1:

d đi qua điểm A2; 0; 1  và có vectơ chỉ phương a d 1; 3;5 

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1

3

3

1 5

15

 đi qua điểm A3; 1;0  và có vectơ chỉ phương a 2; 3;1 

Vậy phương trình tham số của  là

đi qua hai điểmAvà B nên có vectơ chỉ phương AB 2; 3; 4 

Vậy phương trình chính tắc của  là 1 2 5

AM đi qua điểm A  1;3;2 và có vectơ chỉ phương AM 2; 4;1 

Vậy phương trình chính tắc của AM là 1 3 2

dqua A1;4; 1  và có vectơ chỉ phương ad

Vậy phương trình tham số của d là

14

d đi qua M1;3;4 và có vectơ chỉ phương ad

Vậy phương trình tham số của d là

134

x t y y

Vì  song song với d nên  có vectơ chỉ phương a ad   2;1; 2

 đi qua điểm A3;1; 1  và có vectơ chỉ phương a   2;1; 2

Vậy phương trình chính tắc của  là 3 1 1

Vì  song song với d nên  có vectơ chỉ phương a ad 2; 1; 3 

 đi qua điểm M1;3; 4  và có vectơ chỉ phương a

Vậy phương trình tham số của  là

1 23

 đi qua điểm M  2;1;1 và có vectơ chỉ phương a

Vậy phương trình chính tắc của  là 2 1 1

Vì d vuông góc với   nên d có vectơ chỉ phương ad n 1; 2; 2 

d đi qua A2;1; 5  và có vectơ chỉ phương a d 1; 2; 2 

Vậy phương trình tham số của d là

Oxz có vectơ pháp tuyến j 0;1; 0

Vì  vuông góc với Oxz nên  có vectơ chỉ phương a  j0;1; 0

 đi qua điểm A2; 1;3  và có vectơ chỉ phương a

Vậy phương trình tham số của  là

213

d đi qua G2; 1;0  và có vectơ chỉ phương là a d 1; 2; 2  

Vậy phương trình tham số của d là

2

1 22

 đi qua điểm M2;1; 5 ,  và có vectơ chỉ phương a a b,   1;5;1

; Oyz có vectơ pháp tuyến  i 1; 0; 0

d đi qua điểm A2; 3; 1   và có vectơ chỉ phương là a d n i , 0;2;1

d đi qua điểm M  2;0;2 và có vectơ chỉ phương là ad

Vậy phương trình tham số của d là

  có vec tơ pháp tuyến n 1; 2; 1  

; ( ) có vec tơ pháp tuyến n 2; 2; 3 

 đi qua điểm A2; 1; 3 ,   và có vectơ chỉ phương là ak a , d  1;2;0

Vậy phương của  là

2

1 23

Vậy phương của d là

d đi qua điểm B12;9;1

Gọi H là hình chiếu của B lên  P

d đi qua A0;0; 2  và có vectơ chỉ phương a d' 62; 25; 61 

Vậy phương trình tham số của d' là

6225

 Gọi  Q qua d và vuông góc với  P

d đi qua điểm B12;9;1 và có vectơ chỉ phương a d 4; 3;1

 P có vectơ pháp tuyến n P 3;5; 1 

 Q qua B12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQa n d, P  8;7;11

 Q : 8x7y11z22 0

 d' là giao tuyến của  Q và  P

Tìm một điểm thuộc d', bằng cách cho y  0

chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: M(1; 2;3) Gọi A là

hình chiếu song song của M lên mặt phẳng Oxztheo phương : 1 6 2

1 2

x t y

 d đi qua điểm A3; 2; 1   và có vectơ chỉ phương AB   5;1; 1 

Vậy phương trình chính tắc của d là 3 2 1

d đi qua điểm M  3;1;1 và có vectơ chỉ phương là ad

Vậy phương trình tham số của d là

3

1 2 1

 đi qua điểm A1;2;3 và có vectơ chỉ phương AB 1; 3; 5  

Vậy phương trình của  là 1 2 3

 đi qua điểm A   4; 2;4 và có vectơ chỉ phương AB 3; 2; 1 

Vậy phương trình của  là 4 2 4

Vậy phương trình tham số của  là 1

     

 đi qua điểm A1;2; 1  và có vectơ chỉ phương AB 1; 2; 1  

Vậy phương trình của  là 1 2 1

 đi qua điểm A2;3;3 và có vectơ chỉ phương AB 0; 1; 1  

Vậy phương trình của  là

233

d đi qua điểm A2;0; 1  và có vectơ chỉ phương a d n P 7;1 4 

Vậy phương trình của d là 2 1

 đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB

Vậy phương trình của  là 6

 đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC

Vậy phương trình của  là 1 1 2

d đi qua điểm A2;1;2 và có vectơ chỉ phương a d  AB1;2; 1 

Vậy phương trình của d là

2

1 2 2

 đi qua điểm M3;2; 4 và có vectơ chỉ phương a  AM 2;3; 2

Vậy phương trình của  là 1 1 2

 đi qua điểm A1; 2;1  và có vectơ chỉ phương a  MN

Vậy phương trình của  là 1 2 1

Vậy phương trình của  là 3 1

a AB

và vec tơ chỉ phương u  d  1;0;1

Vậy phương trình của là

65292

 3; 3; 3

AB    



d đi qua điểm A1; 2; 2 và có vectơ chỉ phương a d 1;1;1

Vậy phương trình của d là x 1 y2 z 2

 đi qua điểm M1; 1; 0  và có vectơ chỉ phương a d MN

Vậy phương trình của  là 1 1

t b

 , ta có:    

2 2

5 41

cos ,

3 5 4 2

t d

t t



 

  Xét hàm số    

2 2

3 6 14 9

t d

t t

 

 Xét hàm số  

2 2

 đi qua điểm B0;2;0, và có vectơ chỉ phương là CB  1;1;1

Vậy phương trình đường thẳng  là 2

x y z