Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g - Navier-Stokes hai chiều

13 2.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều... trong những năm gần đây xem, chẳng hạn, [2] - [6], [8] - [22].Khi nghiên cứu các lớp phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TUẤN THÁI HUỆ ANH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TUẤN THÁI HUỆ ANH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Đào Trọng Quyết, người đã chỉ bảo tận tình

và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoàn thành bản luậnvăn này một cách tốt nhất

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Toán, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, những người đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn mộtcách thuận lợi

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn học viên, những người

đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học củamình

Do khả năng và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên bản luận văn có thểchưa đầy đủ và có những thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả rất mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Tuấn Thái Huệ Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn,luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Tuấn Thái Huệ Anh

Mục lục

1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 5

1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục 10

1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục 11

1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục 11

2 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 13 2.1 Đặt bài toán 13

2.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều 19

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi

mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ,dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứunhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, côngnghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một trong những lớp hệ phương trình cơ bảnquan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes được xâydựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:

phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trởnên thời sự và cấp thiết.

Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình và hệphương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng,cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứuchúng Một trong số đó là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lầnđầu tiên bởi J Roh năm 2001 Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:

1 Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiênkhi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng

Ω g = Ω × (0, g), ở đó Ωlà miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ phươngtrình g-Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phươngtrình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều

2 Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ phươngtrình Navier-Stokes, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệ phương trìnhNavier-Stokes cổ điển Vì vậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trìnhnày, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệphương trình Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biếtđối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokesđặt ra những vấn đề toán học lí thú

Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes này đã thuhút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

trong những năm gần đây (xem, chẳng hạn, [2] - [6], [8] - [22]).

Khi nghiên cứu các lớp phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung và hệphương trình g-Navier-Stokes nói riêng, chúng ta thường bắt đầu với câu hỏichứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệmyếu hoặc nghiệm mạnh) Sau đó chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận củanghiệm khi thời gian dần ra vô cùng bằng cách chứng minh sự tồn tại tập hút.Nếu biết được dáng điệu tiệm cận của nghiệm thì chúng ta sẽ biết được xuhướng phát triển của hệ và từ đó có các điều chỉnh hợp lí theo mong muốn.Với ý nghĩa như vậy nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes haichiều.” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luậnvăn được chia thành hai chương:

Chương 1: Lý thuyết về tập hút toàn cục

Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút toàn cục,đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bàitoán được xét trong chương 2

Chương 2: Tập hút toàn cục của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều.Trong chương này chúng tôi chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với

hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trong miền đa liên bị chặn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục Áp dụng kếtquả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhómsinh bởi hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

a) Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục

b) Áp dụng chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệphương trình g-Navier-Stokes hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều

b) Phạm vi nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ phương trìnhg-Navier-Stokeshai chiều

5 Giả thuyết khoa học

Thiết lập được kết quả tổng quát về tập hút toàn cục Áp dụng được kết quảtổng quát này để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phươngtrình g-Navier-Stokes hai chiều

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút: Các phương pháp của lí thuyết hệ động lực

Chương 1

LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT

TOÀN CỤC

Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày lý thuyết

cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng để nghiên cứu dángđiệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes xét trong chương 2

1.1 Các khái niệm cơ bản

d) với mọi u ∈ X, t 7→ S(t)u ∈ C0((0; +∞), X).

Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X Khi đó X gọi

là không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều có thểđịnh nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính)thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động lực

1.1.2 Quỹ đạo và tập bất biến

Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X, thì u gọi là quỹ đạo âm xuyênqua z và kí hiệu là γ−(z) Nếu I =R và u(0) = z, thì u gọi là quỹ đạo đầy

đủ xuyên qua z và kí hiệu là γ(z).

c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số τ > 0sao cho:

u(t + τ ) = u(t), ∀t ∈R.Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực Tập con Y của khônggian pha X được gọi là

a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;

b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;

c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là S(t)Y = Y vớimọi t ≥ 0.

ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của Y trong X

b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi

α(A) = \

s≥0

[

Bổ đề 1.1.5 Giả sử A là một tập con khác ∅ của X Khi đó

ω(A) =y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho tn −−−−→ +∞n→+∞ và S(tn)yn −−−−→ yn→+∞ , α(A) =y ∈ X|∃t n ≥ 0, x n ∈ A sao cho t n → +∞, x n → y

với xn = uzn(−tn) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z

b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;

c) A hút mọi tập con bị chặn B củaX, tức là

c) A là duy nhất

1.1.5 Tính tiêu hao

Định nghĩa 1.1.8 Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêuhao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hútcác tập bị chặn) của X

Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B 0 ⊂ X saocho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tạiT = T (B) ≥ 0sao choS(t)B ⊂ B0, ∀t ≥ T.Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)) Một hệđộng lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao

Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm Điều ngược lạinói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các hệ động lực hữu hạn chiều

1.1.6 Tính compact tiệm cận

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử X là một không gian Banach Hệ động lực (X, S(t))gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng

γ(2)(t0)B =

[

t≥t 0

S(2)(t)B



(1.2)

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của γ

Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy

S(1)(t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1) Rõ ràng bất kì một hệ động lực tiêu hao hữuhạn chiều cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tậpcompact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t 0 (B) sao cho

S(2)(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0(B).

Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact

Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận

Bổ đề 1.1.10 Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tậpcompact K sao cho

lim

t→+∞ dist(S(t)B, K) = 0,với mọi tập B bị chặn trong X

1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một không gianBanach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một lớp rộng hơn các khônggian pha Định lý sau đây là kết quả chính của mục này

Định lý 1.2.1 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và compact tiệm cận.Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ (X, S(t)) thì A = ω(B) là một tậpcompact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) Hơn nữa,tập hút toàn cục A là liên thông trong X

Bổ đề 1.2.2 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận Khi đó với mọitập bị chặn B củaX, tập ω-giới hạnω(B) là một tập compact bất biến khác rỗng

Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), ở đóB là một tập hấp thụ bị chặnbất kì của hệ đông lực, ta có thể thấy rằng tập hợp S(t)B không chỉ dần đếntập hút A, mà còn phân bố đều trênA khi t → ∞ Cụ thể ta có định lý sau đây.Định lý 1.2.3 Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có một tập hút toàn cục

1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục

Định lý 1.3.1 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Khi đó mọiquỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn,nếu có) đều nằm trên A Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp củatất cả các quỹ đạo đẩy đủ bị chặn

Để khảo sát kĩ hơn cấu trúc của tập hút toàn cục, ta cần các khái niệm đatạp ổn định và đa tạp không ổn định

Định nghĩa 1.3.2 a) Giả sử z là một điểm dừng của hệ động lực (X, S(t))

Ta định nghĩa:

• Đa tạp không ổn định của z là tập hợp

Wu(z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, S(−t)u0→ z khi t → +∞}.

• Đa tạp ổn định của z là tập hợp

Ws(z) = {u0∈ X : S(t)u0 → z khi t → +∞}.

b) Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)) Ta định nghĩa

• Đa tạp không ổn định của Y là tập

Wu(Y ) ={u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t,

dist(S(−t)u 0 , Y ) → 0 khi t → +∞}.

Định lý 1.3.3 Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực (X, S(t)) thì

Wu(Y ) ⊂ A.

1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục

Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết địnhcác dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thờiđiểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống nhưmột quỹ đạo nào đó trên tập hút toàn cục trong một khoảng thời gian đủ dài.Định lý 1.4.1 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Cho trước

một quỹ đạo u(t) = S(t)u0, một sai số  > 0 và một khoảng thời gian T > 0 Khi

đó tồn tại một thời điểm τ = τ (, T ) và một phần tử ν0∈ A sao cho

k u(τ + t) − S(t)ν 0 k≤  với mọi 0 ≤ t ≤ T.

Hệ quả 1.4.2 Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số {n}∞n=1với

n → 0,một dãy tăng các thời điểm {t n }∞n=1 với

tn+1− tn → ∞ khi n → ∞,

và một dãy các phần tử {νn}∞n=1 với νn ∈ A sao cho

ku(t) − S(t − tn)νnk ≤ n với mọi tn ≤ t ≤ tn+1.Hơn nữa, bước nhảy kνn+1− S(tn+1− tn)νnk dần tới 0 khi n → ∞.

Chương 2

TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều trong miền liênthông bị chặn Đầu tiên, sử dụng các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập húttoàn cục, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhómsinh bởi hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều

Nội dung của chương này dựa trên bài báo [11] trong Tài liệu tham khảo

trong đó u = u(x, t) = (u1, u2) là hàm véctơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất,

ν =const > 0, và

f = f (x) ∈ (L2(Ω))2

là ngoại lực không phụ thuộc thời gian

0 < m0 ≤ g = g(x1, x2) ≤ M0.Khi g = 1, hệ (2.1) trở thành hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều thôngthường

Với Ω ⊂R2 là miền đa liên, bị chặn, trơn Lipschitz,

φi =Z

Ω

k∇φk2gdx, ∀φ ∈ H10(Ω). (2.2)

Để nghiên cứu bài toán (2.1), chúng ta xét các không gian hàm sau:

Đặt L2(g) = (L2(Ω))2 với tích vô hướng và chuẩn xác định bởi

k.k = ((., ))12 u = (u1, u2), v = (v1, v2) ∈ H10(g).

Từ (2.2), chuẩn k.ktương đương với chuẩn thông thường trongH10(Ω) ĐặtD(Ω)

là không gian các hàm thuộc C∞ có giá compact trên Ω và ta kí hiệu

ℵ = {v ∈ (D(Ω))2 : ∇.gv = 0 trong Ω},

Hg là bao đóng của ℵ trong L2(g),

V g là bao đóng của ℵ trong H10(g),

Trong đó, H g và V g được trang bị tích vô hướng và chuẩn của L2(g)và H10(g) Từ(2.2) ta có:

| u |2 ≤ 1

λ 1

kuk2, ∀u ∈ Vg.Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử g-Laplacian như sau:

Mệnh đề 2.1.1 [15] Xét toán tử tuyến tính Ag, ta có các kết quả sau:

a) Ag là một toán tử dương, tự liên hợp có nghịch đảo compact, trong đó miềnxác định của Ag là D(Ag) = Vg∩ H 2 (Ω)

b) Tồn tại đếm được các giá trị riêng của Ag thỏa mãn 0 < λg ≤ λ1 ≤ λ2 ≤

λ3 ≤ ,, ở đó λg = 4π

2 m0

M0 và λ1 là giá trị riêng nhỏ nhất của Ag Hơn nữatồn tại tập các hàm riêng {e1, e2, e3, } ứng với các giá trị riêng của Ag, tạothành cơ sở trực chuẩn cho Hg

Khi đó chúng ta áp dụng phép chiếu Pg vào (2.3), ta thu được phương trìnhsau: nếu f ∈ Vg0 và u(0) = u0 ∈ Hg, thì

u ∈ L∞(0, T ; H g ) ∩ L2(0, T ; V g ), T > 0 (2.4)sao cho

Ru = P g

1

g ∇g.∇
u

, ∀u ∈ V g

Do đó, phương trình trên tương đương với

du

dt + νAgu + Bu + νRu = f, (2.8)

trong đó A g : V g → V g

0

là toán tử g-Stokes được định nghĩa bởi

hAgu, vi = (u, v), ∀u, v ∈ Vg, (2.10)

và B(u) = B(u, u) = Pg(u.∇)u là toán tử ba tuyến tính B : Vg× Vg → Vg0

hB(u, v), wi = bg(u, v, w), ∀u, v, w ∈ Vg.Bây giờ chúng ta nhắc lại một vài bất đẳng thức thường sử dụng đã đượcchứng minh trong [15], [22]

Với ∀u, v ∈ D(Ag),

B(u, v)| ≤ c|u|12 |A g u|12 kvk, (2.11)

trong đó c là hằng số dương nào đó

Toán tử g-Stokes A g là một phép đẳng cấu từ V g vào V g

0

, B và R thỏa mãnbất đẳng thức sau:

kφkH2 (Ω) ≤ cku∗k

W3,2 (∂Ω)