Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II

Khuất Văn Ninh, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phươngpháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholmloại II" được hoàn thành bởi chính sự nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập vàluận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phươngpháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholmloại II" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số kiến thức về Giải tích hàm 5

1.1.1 Không gian Metric 5

1.1.2 Không gian định chuẩn 7

1.1.3 Không gian C[a,b] và các tính chất 8

1.2 Một số kiến thức về Giải tích 9

1.2.1 Chuỗi lũy thừa 9

1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất 10

1.3 Một số kiến thức về giải tích số 11

1.3.1 Phương pháp cầu phương 11

1.3.2 Sai phân và các tính chất 12

Chương 2 Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 14

2.1 Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình 15

2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 16

2.3 Phương pháp lặp biến phân 23

2.4 Phương pháp chuỗi 31

Chương 3 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 37

3.1 Sự kết hợp của phương pháp cầu phương và phương pháp sai phân giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 37 3.2 Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán 40

Kết luận 51Tài liệu tham khảo 52

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sự pháttriển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học chiathành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liênquan đến việc giải phương trình vi-tích phân Phương trình vi-tích phânphi tuyến Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và cácngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâmnghiên cứu Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên gặprất nhiều khó khăn Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phươngtrình đó

Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II có thể giải bằng cácphương pháp khác nhau Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệmdưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu đượcdưới dạng bảng số Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phầnmềm Maple trong tính toán

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đềtài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phânphi tuyến Fredholm loại II” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trìnhvi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng Maple trong tínhtoán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phânphi tuyến Fredholm loại II

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II;

• Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyếnFredholm loại II

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có và hệ thống lại cácvấn đề liên quan tới đề tài

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày một cách hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉphương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng cácphương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể Áp dụng phần mềmMaple trong tính toán

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta nêu lại một số kết quả về Giải tích, Giải tích

số và Giải tích hàm sẽ được sử dụng trong các chương sau Các kết quảnày được trích dẫn chủ yếu trong các tài liệu [1]-[6]

Định nghĩa 1.1.2 Một dãy các điểm (xn), n = 1, 2, trong khônggian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu

Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1sao cho với mọi x, x0 ∈ X ta đều có

d (f (x) , f (x0)) ≤ αd (x, x0)

và α được gọi là hệ số co của ánh xạ f Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh

xạ liên tục đều

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ

và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại duy

nhất một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗ Hơn nữa x∗ là giới hạn củadãy (xn) được xây dựng như sau:

x0 tùy ý thuộc X, xn+1 = f (xn), n ≥ 0 và tốc độ hội tụ được đánh giátheo công thức

d(xn, x∗) ≤ α

n

1 − αd(x1, x0),trong đó α là hệ số co của f

1.1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc P = C).Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu k · k trong X là một ánh xạ từ

X vào P thỏa mãn các điều kiện

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

(ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);(iii) kλxk = |λ|kxk với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X;

(iv) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Số kxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X

Định nghĩa 1.1.7 Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xácđịnh trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặcphức, tùy theo P là thực hoặc phức)

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x ∈ Xđặt

d(x, y) = kx − yk Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.8 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi làhội tụ đến x0 ∈ X nếu lim

n→∞kxn− x0k = 0 Khi đó ta kí hiệu lim

n→∞xn = x0hay xn → x0(n → ∞)

Định nghĩa 1.1.9 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim

n,m→∞kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian nach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ba-1.1.3 Không gian C[a,b] và các tính chất

Định nghĩa 1.1.11 C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định

và liên tục trên đoạn [a, b], −∞ < a < b < +∞ Các tính chất:

(i) Không gian C[a,b] là không gian metric

∀x, y ∈ C[a,b], d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)| ;(ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn

kxk = max

a≤t≤b|x(t)| ;(iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach

(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] Chonên C[a,b] là không gian tách được

Định nghĩa 1.1.12 Không gian C[a,b]n gồm tất cả các hàm x(t) xác địnhtrên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xácđịnh bởi

kxk = max

a≤t≤b{|x(t)| , |x0(t)| , , |xn(t)|}

1.2 Một số kiến thức về Giải tích

1.2.1 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.1 Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

+∞

P

n=0

an(x − x0)ntrong đó x0, a0, a1, a2, là những số thực

Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Để ý rằng chuỗi lũy thừaluôn luôn hội tụ tại điểm x = x0

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

+∞

P

n=0

anyn,chuỗi có tâm tại y = 0

Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Định lý 1.2.1 Giả sử chuỗi lũy thừa

+∞

P

n=0

anxn có bán kính hội tụ R > 0,khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R).Định lý 1.2.2 Giả sử chuỗi lũy thừa

+∞

P

n=0

anxn có bán kính hội tụ R > 0.Khi đó tổng S của nó là một hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trongkhoảng hội tụ (−R, R) và

+ Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ (−R, R) và

1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với X thuộcđoạn [a, b] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho mỗi y cốđịnh thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b] Đặt

1.3.1 Phương pháp cầu phương

Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b], f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

do đó f khả tích trên [a, b]

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

Công thức sau được gọi là công thức cầu phương

trong đó, Ak và xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

Rn(∆ϕ) là phần dư của công thức cầu phương

Đối với công thức hình thang, thì chúng ta có

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h

là hằng số lớn hơn 0 Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai

phân cấp 1 của f (x) tại điểm x Biểu thức

∆2f = ∆ [∆f (x)]

= [f (x + 2h) − f (x + h)]− [f (x + h) − f (x)]

= ∆f (x + h) − ∆f (x)được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x

Tương tự, ta có ∆kf = ∆∆k−1f được gọi là sai phân cấp k của ftại x

Các tính chất của sai phân:

Chương 2 Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến

Fredholm loại II

Trong chương này chúng ta trình bày một số phương pháp giải tích giảixấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II Nội dungchương này được dựa vào các tài liệu tham khảo [7, 8, 9]

Xét phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II được chobởi công thức:

đoạn [a, b] thỏa mãn phương trình (2.1) gọi là nghiệm của phương trìnhđó.

2.1 Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lý 2.1.1 ([7]) Nếu hàm G(x, u) liên tục trên Ω và thỏa mãn điềukiện Lipschitz theo biến u trên Ω thì phương trình có nghiệm duy nhất

u = u(x) xác định trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện ban đầu

Để chứng minh định lí trên người ta đưa phương trình vi phân cấp n

về hệ n phương trình vi phân cấp một Sau đó xây dựng dãy xấp xỉ liêntiếp Picard đối với hệ phương trình đó

Định lý 2.1.2 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) Hàm f liên tục trên [a, b], hàm K(x, t) liên tục trên tập D và

số liên tục trên đoạn [a, b] Ta lại có

|G(x, v) − G(x, ¯v)| =

=

2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp

Xét phương trình vi-tích phân Fredholm được cho bởi công thức (2.1).Thay thế K(x, t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1) ta được

Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau.

Ví dụ 2.2.1 Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau:

Tích phân hai vế từ 0 đến x, và sử dụng điều kiện ban đầu ta có

dt

 ...

phương pháp sai phân giải phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II< /h3>

Xét phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II cho bởicơng thức

ta hệ phương trình phi tuyến. .. data-page="41">

Chương Phương pháp giải số phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm< /h3>

loại II< /h3>

3.1 Sự kết hợp phương pháp cầu phương và

phương. .. cos x

2.3 Phương pháp lặp biến phân< /h3>

Trong chương ta giả thiết phương trình vi- tích phân Fredholmphi tuyến loại hai có nghiệm

Phương pháp lặp biến phân (Variational