Về số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với hệ Navier - Stokes hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NGOAN VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI

CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI

CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS CUNG THẾ ANH

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán,Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản

và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Về số phần tử thểtích hữu hạn xác định đối với hệ Navier - Stokes hai chiều" đượchoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev và không gian hàm phụ thuộc thời gian 4

1.2 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes 7

1.3 Các không gian hàm và toán tử 8

1.3.1 Các không gian hàm 8

1.3.2 Các toán tử 9

1.4 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến 11

1.5 Các kết quả về sự tồn tại nghiệm và đánh giá tiên nghiệm 13 2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với hệ Navier – Stokes hai chiều 19 2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định của nghiệm 19 2.2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với nghiệm dừng 20 2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với nghiệm phụ thuộc thời gian 22

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình cơ bản trong cơhọc chất lỏng Việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa hệ này khi thời gian ra vô cùng đã thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà toán học, xin xem các cuốn chuyên khảo [1, 3, 4].Chúng ta biết rằng dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes tronghình hộp với điều kiện biên tuần hoàn có thể được xác định bằng một sốhữu hạn các phần tử thể tích hữu hạn xác định (determining finite volumeelements), nghĩa là nếu các phần tử thể tích hữu hạn xác định của hainghiệm của hệ Navier-Stokes có dáng điệu tiệm cận giống nhau thì hainghiệm đó sẽ có dáng điệu giống nhau khi thời gian ra vô cùng(xem [2, 5]).Việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định của hệ Navier-Stokeshai chiều là một trong những vấn đề quan trọng trong việc xác định dángđiệu tiệm cận hữu hạn chiều (finite-dimensional asymptotic behavior) của

hệ Navier-Stokes Bên cạnh việc đánh giá số các mode xác định (determingmodes), số các nút xác định (determing nodes), đây là một cách tiếp cậnhiệu quả cho bài toán xác định bậc tự do (degrees of freedom) của hệNavier-Stokes

Mục đích của luận văn này là trình bày các ước lượng trong [5, 6] về sốcác phần tử thể tích xác định hữu hạn đối với hệ Navier-Stokes hai chiềutrong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Với mong muốn hiểu biết sâuhơn về hệ Navier-Stokes, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh,tôi chọn đề tài "Về số phần tử thể tích hữu hạn xác định của hệ

Navier-Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ củamình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối vớinghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biêntuần hoàn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữu hạn xác định củanghiệm dừng của hệ Navier-Stokes hai chiều

• Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữu hạn xác định củanghiệm phụ thuộc thời gian của hệ Navier-Stokes hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều;

• Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữuhạn xác định của nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiệnbiên tuần hoàn

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều và lí thuyết hệ Navier-Stokes

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã trình bày được các kết quả về đánh giá chặn trên của sốphần tử thể tích xác định hữu hạn của nghiệm dừng và nghiệm phụ thuộcthời gian của hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biêntuần hoàn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả

bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau Các kết quả chủ yếu thamkhảo trong [1, 3, 4]

thuộc thời gian

Định nghĩa 1.1 Giả sử Ωlà một miền bị chặn trong Rn Cho 1 ≤ p ≤ ∞,

ta định nghĩa không gian Lp(Ω) như sau:

với chuẩn

kf k∞ = infk > 0 : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi

Định nghĩa 1.2 Cho k ≥ 0 là số nguyên không âm, ta định nghĩa khônggian Sobolev

Ở đây Dαu là đạo hàm yếu cấp α của u

Định nghĩa 1.3 Ta định nghĩa không gian H01(Ω) là bổ sung đủ của

C0∞(Ω), không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω, ở trong

H1(Ω) Trong H01(Ω), ta thường sử dụng chuẩn tương đương sau đây

Ta viết hf, ui để kí hiệu giá trị của f ∈ H−1(Ω) trên u ∈ H01(Ω)

Định nghĩa 1.5 [[1]] Cho X là không gian Banach thực với chuẩn k·k.Không gian C ([0, T ] ; X) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ] Khi đó

1.2 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes

Xét hệ Navier - Stokes hai chiều trong miền bị chặn Ω = (0, L) × (0, L)

với điều kiện biên tuần hoàn

u(x1, x2, t) = u(x1 + L, x2, t)

(1.1)

Giả thiết rằng, tại các thời điểm bất kì tích phân của các hàm u và f

triệt tiêu trên Ω, tức là các hàm u và f có trung bình bằng 0 trên Ω

1.3 Các không gian hàm và toán tử

H = bao đóng của V trong L2(Ω)
2.

Khi đó H là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn tương ứng là

∂vi

∂xj

2

dx,

với u = (u1, u2)T, v = (v1, v2)T

1.3.2 Các toán tử

Gọi P là phép chiếu trực giao trong L2(Ω) × L2(Ω) lên H Khi đó ta

kí hiệu toán tử Stokes A xác định bởi

Au = −P ∆u

Chú ý rằng trong trường hợp toán tử A tuần hoàn thì Au = −∆u

Đặt B là toán tử song tuyến tính xác định bởi

B (u, v) = P ((u · ∇) v)

với u, v ∈ D (A) và D (A) = V ∩ H2(Ω) × H2(Ω)

Ta thấy rằng toán tử A là toán tử tự liên hợp, xác định dương và có toán

tử ngược A−1 : H → D(A) compact Vì vậy tồn tại cơ sở trực giao ωj gồmcác hàm riêng của A sao cho

Aωj = λjωj và 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ , với λ1 = 2π

L

2

Do đó phổ của A gồm toàn các giá trị riêng {λj}∞j=1 với λn → ∞ khi

n → ∞ và các hàm riêng tương ứng {ωj}∞j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sởtrực chuẩn trong H

∂vj

∂xidx

b(u, v, w) = −b(u, w, v), ∀u, v, w ∈ V

Hệ phương trình Navier-Stokes (1.1) là tương đương với phương trình viphân trên H

Chú ý rằng nếu f không phụ thuộc thời gian thì Gr là số Grashof G =

L2|f |

4π2ν2

1.4 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến

Để thiết lập các đánh giá đối với b(u, v, w) ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.2 [Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2] Với bất kì tập mở

Ω ⊂ R2 ta có

kvkL4 (Ω) ≤ 214 kvk

1 2

L 2 (Ω)k∇vk

1 2

kuik2L4 ≤ 2kuikL2 · k∇uikL2 ≤ 212 kuk · |u|, nên suy ra

|b(u, v, w)| ≤ 212|u|12kuk12 kvk |w|12kwk12

Vì b(u, v, w) = −b(u, w, v) nên:

|b(u, v, w)| ≤ 212|u|12kuk12 kwk |v|12kvk12, ∀u, v, w ∈ V

Bổ đề được chứng minh

Đặc biệt ta có

|b(u, u, v)| ≤ 212|u| · kuk · kvk , ∀u, v ∈ V

Xét toán tử B : V × V → V0 xác định bởi:

hB(u, v), wi = b(u, v, w), ∀u, v, w ∈ V

Đặt Bu = B(u, u) Khi đó bài toán đã cho có thể phát biểu dưới mộttrong hai dạng sau đây

Bài toán 1 Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Tìm hàm u ∈

với mọi v ∈ V và hầu khắp t ∈ (0, T )

Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đềsau

Bổ đề 1.4 Giả sử u ∈ L2(0, T ; V ) Khi đó hàm Bu xác định bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V

sẽ thuộc L1(0, T ; V0)

Chứng minh Với hầu khắp t ∈ [0, T ] , ta có Bu(t) ∈ V0 Hơn nữa,

|hBu(t), vi| = |b(u(t), u(t), v)| ≤ Cku(t)k2 · kvk , ∀v ∈ V

Suy ra kBwkV0 ≤ Ckwk2, với mọi w ∈ V Do đó

Z T 0

kBwkV0dt ≤ C

Z t 0

kw(t)k2Vdt < +∞

Vậy Bu ∈ L1(0, T ; V0)

Từ đó ta có bài toán sau đây

Bài toán 2 Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Tìm hàm u ∈

Chứng minh Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉGalerkin.

Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ Giả sử {wj}∞j=1 là một cơ sở của

V gồm toàn các vectơ riêng của toán tử A Với mỗi m ≥ 1, tìm nghiệmxấp xỉ dưới dạng

span {w1, , wm}, không gian con sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên Từ líthuyết phương trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ um(t) tồn tại

và xác định trên [0, T ]

Bước 2 Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với {um} Nhân hai

vế của (1.4) với gjm(t), sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được

kum(s)k2ds ≤ |u0m|2 + 1

ν

Z t 0

kf (s)k2∗ds

≤ |u0|2 + 1

ν

Z T 0

kf (t)k2∗dt

Từ đây suy ra:

dãy {um} bị chặn trong L∞(0, T ; H)

dãy {um} bị chặn trong L2(0, T ; V )

Dễ thấy

{Aum} bị chặn trong L∞(0, T ; V0),{Bum} bị chặn trong L2(0, T ; V0)



bị chặn trong L2(0, T ; V0).Bước 3 Chuyển qua giới hạn

Từ các ước lượng tiên nghiệm ở Bước 2, ta có thể giả sử

Bây giờ ta cần chứng minhBum+ Bu trong L2(0, T ; V0) Sau đó, áp dụng

Bổ đề Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của {um}mà ta vẫn kí hiệu

là {um} thỏa mãn

um→ u trong L2(0, T ; H)

Để qua giới hạn số hạng phi tuyến B, ta chứng minh kết quả sau

Bổ đề 1.5 Giả sử um+ u trong L2(0, T ; V ) vàum→ u trong L2(0, T ; H).Khi đó với mọi w ∈ C1(QT) ta có

Z T

0

b(um(t), um(t), w(t))dt →

Z T 0

b(u(t), u(t), w(t), )dt

nên Em → 0 Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.

Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L2(0, T ; H)

Để chứng minhu(0) = u0, ta chọn hàm thửϕ ∈ C1([0, T ]; V )với ϕ(t) = 0,

và lấy tích vô hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từngphần ta được

(u(t), ϕ(t)) dt+

Z T 0

b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt

= (u (0) , ϕ (0)) +

Z T 0

hf (t) , ϕ (t)idt

Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có:

(um(t), ϕ(t)) dt+

Z T 0

b (um(t), um(t), ϕ(t)) dt

= (u (0) , ϕ (0)) +

Z T 0

(u(t), ϕ(t)) dt+

Z T 0

b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt

= (u (0) , ϕ (0)) +

Z T 0

hf (t) , ϕ (t)idt

Từ đó suy ra (u (0) , ϕ (0)) = (u0, ϕ (0)) với mọi ϕ và do đó u(0) = u0.Bước 4 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điềukiện ban đầu

Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầulần lượt là u01, u02 Đặt u = u1 − u2, ta có

Suy ra

|u (t)|2 ≤ |u (0)|2exp

Z t 0

Ta có định nghĩa về nghiệm dừng của hệ (1.1) như sau.

Định nghĩa 2.2 Giả sử f ∈ H Hàm u ∈ D(A) thỏa mãn νAu + Bu = f

trong H được gọi là nghiệm dừng của hệ phương trình Navier -Stokes haichiều (1.1)

Nếu G đủ nhỏ thì hệ Navier -Stokes hai chiều (1.1) tồn tại duy nhấtnghiệm dừng và nghiệm dừng này ổn định mũ toàn cục (xem [1, trang 82

Lấy tổng theo j các bất đẳng thức ở trên ta thu được

Bây giờ chúng ta xét hệ Navier-Stokes hai chiều (1.1) với điều kiện biêntuần hoàn, tức là số hạng phi tuyến thỏa mãn đồng nhất thức

(B (ω, ω) , Aω) = 0, ∀ω ∈ D (A) (2.4)Lấy đạo hàm theo hướng u của đẳng thức trên theo biến ω ta thu đượcđồng nhất thức

(B (u, ω) , Aω) + (B (ω, u) , Aω) + (B (ω, ω) , Au) = 0, ∀u, ω ∈ D (A)

Chứng minh Đặt ω = u − v thì ω là nghiệm của phương trình sau

Hơn nữa, vì (B (u, u) , Au) = 0 nên |Au| ≤ |f |

2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với

nghiệm phụ thuộc thời gian

Trong phần này chúng ta sẽ mô tả dáng điệu của nghiệm của hệ Stokes (1.1) khi t → ∞ Trước tiên, ta chứng minh một phiên bản tổngquát của bất đẳng thức Gronwall

Navier-Bổ đề 2.2 Cho α là hàm giá trị thực khả tích địa phương trên (0, ∞), vàvới 0 < T < ∞ các điều kiện sau được thỏa mãn

Từ (2.7), vì t0 là đủ bé nến đại lượng cuối ở trên có thể làm bé tùy ý, do

c1L

√2N

Tiếp theo từ ước lượng nghiệm trên trung bình thời gian của |Au|, ta có

lim sup

t→∞

1T

KẾT LUẬN

Nội dung của luận văn nghiên cứu việc đánh giá chặn trên của số phần

tử thể tích hữu hạn xác định của nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiềuvới điều kiện biên tuần hoàn Các kết quả chính của luận văn bao gồm:

1 Thiết lập được kết quả về đánh giá chặn trên của số phần tử thể tíchhữu hạn xác định của nghiệm dừng

2 Thiết lập được kết quả về đánh giá chặn trên của số phần tử thể tíchhữu hạn xác định của nghiệm phụ thuộc thời gian

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu Tiếng Việt

[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đạihọc Sư phạm, 2012

[A] Tài liệu Tiếng Anh

[2] C Foias and E.S Titi, Determining nodes, finite difference schemesand inertial manifolds, Nonlinearity 4 (1991), no.1, 135-153

[3] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional ysis, Second edition, SIAM, 1995

Anal-[4] R Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanicsand Physics, Second edition, Springer-Verlag, New York, 1997.[5] D.A Jones and E.S Titi, Determining finite volume elements for the2D Navier-Stokes equations, Phys D 60 (1992), no.1-4, 165-174.[6] D.A Jones and E.S Titi, Upper bounds on the number of determiningmodes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations,Indiana Univ Math J 42 (1993), no.3, 875-887

1 Thiết lập kết đánh giá chặn số phần tử thể tíchhữu hạn xác định nghiệm dừng

2 Thiết lập kết đánh giá chặn số phần tử thể tíchhữu hạn xác định nghiệm phụ thuộc thời gian

Hà... class="page_container" data-page="31">

KẾT LUẬN

Nội dung luận văn nghiên cứu việc đánh giá chặn số phần

tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm hệ Navier- Stokes hai chiềuvới điều kiện... data-page="27">

Hơn nữa, (B (u, u) , Au) = nên |Au| ≤ |f |

2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với< /h3>

nghiệm phụ thuộc thời gian

Trong phần