Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu

Lý do chọn đề tài Trong nửa thế kỷ qua, bài toán tối ưu đa trị được quan tâm rộng rãi và các khái niệm khác nhau về đạo hàm đã được đề xuất và áp dụng đểthiết lập các điều kiện tối ưu..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG THU HOÀI

ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG THU HOÀI

ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI, 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy, người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn

bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình họctập để tôi hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Dương Thu Hoài

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc

sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Đạo hàm tiếp liên bậc hai vàứng dụng trong các bài toán tối ưu” được hoàn thành bởi chính sự nhậnthức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Dương Thu Hoài

R tập số thực

Rn không gian Euclide n− chiều

Y∗ không gian tô pô đối ngẫu của Y

C+ nón đối ngẫu không âm của nón C

∅ tập rỗng

gph F đồ thị của F

dom F miền hữu hiệu của F

epi F trên đồ thị của F

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

∀x với mọi x

A := B A được định nghĩa bằng B

int S phần trong của S

cl S bao đóng của S

cone S bao nón của S

hx, yi tích vô hướng của x và y

0X điểm gốc của X

Mở đầu 1

1 Đạo hàm tiếp liên bậc hai 61.1 Tập tiếp liên bậc hai 61.2 Đạo hàm tiếp liên bậc hai 81.3 Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai 11

2 Điều kiện tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai 152.1 Điều kiện cần tối ưu 162.2 Điều kiện đủ tối ưu 30

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nửa thế kỷ qua, bài toán tối ưu đa trị được quan tâm rộng rãi

và các khái niệm khác nhau về đạo hàm đã được đề xuất và áp dụng đểthiết lập các điều kiện tối ưu Việc đưa ra điều kiện cần và đủ tối ưu Fritz-John cho bài toán tối ưu đa trị là một bước tiến lớn trong nghiên cứu đốivới lớp bài toán này Gần đây, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối

ưu véc tơ và vô hướng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Trong các nghiên cứu về điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véc

tơ và vô hướng, dễ nhận thấy rằng tập tiếp liên bậc hai được giới thiệu bởiAubin [2] và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai được giới thiệu bởi Penot [17]

có vai trò quan trọng Theo [7], Gutiérrez và đồng tác giả đã đề xuất kháiniệm mới về đạo hàm bậc hai theo hướng, nó tách biệt được khái niệm đạohàm tiệm cận Hadamard và đạo hàm tiệm cận Dini của hàm mục tiêu, từ

đó thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu thông qua tập tiếp liên bậchai và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai đối với tập chấp nhận được Jiménez

và Novo [13] đã nghiên cứu về điều kiện cần và đủ tối ưu bậc hai cho bàitoán tối ưu véc tơ theo quan điểm của tập tiếp liên bậc hai và nón tiếpliên tiệm cận bậc hai Họ cũng thảo luận về điều kiện cần tối ưu bậc haiFirtz- John với ưu điểm của điều kiện chính quy mê tric có hướng và điềukiện hạn chế ràng buộc bậc hai

Như vậy, đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị lần đầu tiên được giớithiệu bởi Aubin trong [1] và thường được sử dụng để biểu thị điều kiện tối

ưu bậc nhất cho bài toán tối ưu đa trị Tuy nhiên, điều kiện cần và điềukiện đủ cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được (xem [5, 16]) làkhông thống nhất dưới điều kiện chuẩn Để giải quyết bài toán này, Jahn

và Rauh [12] đã đề xuất khái niệm trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị

và ứng dụng nó để thiết lập sự thống nhất giữa điều kiện cần và đủ nhưng

sự tồn tại của trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị vẫn là một câu hỏi

mở Theo quan điểm của Chen và Jahn [4] khái niệm trên đạo hàm tiếpliên suy rộng cho ánh xạ đa trị đã thiết lập được sự thống nhất giữa điềukiện cần và đủ tối ưu Đối với các bài toán tối ưu đa trị mà tập chấp nhậnđược được định nghĩa bởi bất đẳng thức, điều kiện tối ưu bậc nhất luônđược thiết lập bằng việc sử dụng quy tắc toán tử Lagrange tổng quát dướiđiều kiện chính quy thích hợp Trong [5], Corley thiết lập điều kiện cầntối ưu bậc nhất Fritz- John bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm đượcđịnh nghĩa trong điều kiện của nón tiếp tuyến G¨otz và Jahn [6] mở rộngkhái niệm quy tắc toán tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa trị ràng buộcbằng cách sử dụng khái niệm trên đạo hàm tiếp liên Đồng thời, họ nhậnđược điều kiện cần tối ưu Karush- Kuhn- Tucker, đó cũng là điều kiện đủdưới giả thiết tính lồi suy rộng Trong [10], Jahn và Khan mở rộng quytắc toán tử Lagrange và gọi là điều kiện chính quy Kurcyusz- Robinson-Zowe bằng cách sử dụng khái niệm của trên đạo hàm tiếp liên suy rộng

và trên đạo hàm tiếp liên yếu của ánh xạ đa mục tiêu Họ cũng thiết lậpđiều kiện cần và đủ tối ưu cho các khái niệm tối ưu khác nhau trong bàitoán tối ưu đa trị

Tuy nhiên, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị vẫn cầnphải được giải quyết Trong [11], Jahn và đồng tác giả đề xuất khái niệmtrên đạo hàm tiếp liên bậc hai và trên đạo hàm tiếp liên bậc hai suy rộngcho ánh xạ đa trị đồng thời ứng dụng các khái niệm này để thiết lập điềukiện tối ưu bậc hai Li và đồng tác giả [15] tìm hiểu một vài tính chất củatập tiếp tuyến bậc cao và đạo hàm bậc cao được giới thiệu trong [2], từ đóthu được điều kiện cần và đủ tối ưu bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với

tập chấp nhận được tổng quát Họ cũng thiết lập điều kiện cần và đủ tối

ưu Fritz- John bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận đượcđược xác định bởi ánh xạ đa trị Sau đó, Li và Chen [14] giới thiệu trênđạo hàm tiếp liên suy rộng bậc cao và trên đạo hàm liền kề suy rộng bậccao của ánh xạ đa trị, thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu Fritz- John bậccao cho nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán tối ưu đa trị ràng buộc Tuynhiên, trong trường hợp tổng quát đạo hàm bậc hai được định nghĩa theotập tiếp liên bậc hai chỉ là tập đóng và không là nón Thậm chí tập tiếpliên bậc hai là không lồi mặc dù tập mà chúng ta xem xét là tập lồi Do

đó so sánh với đạo hàm bậc nhất đã biết, cấu trúc của đạo hàm bậc hai

là chưa đầy đủ

Trên cơ sở các nghiên cứu của mình thì Zhu và đồng tác giả [18] giớithiệu về đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị, mối liên hệ của nóvới đạo hàm tiếp liên bậc hai đã được biết đến bởi Aubin [2] và thu đượcmột số tính chất đặc biệt Ưu điểm của đạo hàm tiếp liên bậc hai theonghĩa của Zhu và đồng tác giả là mở rộng được quy tắc toán tử Lagrange

đã biết và điều kiện chính quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai cho bàitoán tối ưu đa trị có ràng buộc, đồng thời cũng thu được điều kiện cần và

đủ tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị với tậpchấp nhận được được xác định bởi ánh xạ đa trị dưới điều kiện chính quyKurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai suy rộng Hơn nữa, điều kiện tối ưuKarush- Kuhn- Tucker bậc hai được khái quát và cải tiến kết quả tươngứng cho trên đạo hàm tiếp liên trong [6]

Đề tài luận văn “Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong cácbài toán tối ưu” với mục đích nghiên cứu về các khái niệm và các kết quả

đã đạt được của bài báo trên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm và tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai chohàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực

Nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: đạo hàm tiếp liên bậc hai

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian tuyến tính địnhchuẩn thực: khái niệm, tính chất, ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giảitích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu

6 Đóng góp của luận văn

Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về đạo hàm tiếp liên bậc hai chohàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực và khả năng ứngdụng của chúng đối với sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối

Minh họa các khái niệm, tính chất trong trường hợp có thể thôngqua các ví dụ cụ thể

Chương 1

Đạo hàm tiếp liên bậc hai

Trong chương này ta sẽ trình bày về tập tiếp liên bậc hai, đạo hàmtiếp liên bậc hai và các tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai

Gọi X, Y và Z là các không gian định chuẩn thực, S và E là các tậpcon khác rỗng của X 0X, 0Y và 0Z tương ứng là các điểm gốc của X, Y

và Z Kí hiệu int S, cl S và cone S lần lượt là phần trong của S, baođóng của S và bao nón của S Lấy C ⊂ Y là một nón lồi, đóng và nhọnvới int C khác rỗng và Y là tập được sắp thứ tự bộ phận trong C Cho

F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Các khái niệm miền, đồ thị và trên đồ thị của

F lần lượt được định nghĩa là dom F := {x ∈ X | F (x) 6=∅} , gph F :={(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} , epi F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C}.Ánh xạ đa trị F + C : X ⇒ Y được xác định bởi (F + C) (x) :=

F (x) + C, ∀x ∈ dom F Khi đó trên đồ thị của F là đồ thị của F + C,tức là, epi F = gph(F + C) Kí hiệu F (S) = S

{F (x) | x ∈ S}

Bây giờ ta định nghĩa nón tiếp liên và nón tiếp liên bậc hai

Định nghĩa 1.1 [2] Cho S là một tập con khác rỗng của X, x ∈b cl S và

ω ∈ X

(i) Nón tiếp liên của S tại bx là T (S,x) := {v ∈ X | ∃tb n ↓ 0, ∃vn →

v sao cho x + tb nvn ∈ S, ∀n ∈ N}, hay tương đương, T (S,x) := {v ∈b

X | ∃λn → +∞, ∃xn ∈ S sao cho xn →xb và λn(xn −x) → v}.b

(ii) Tập tiếp liên bậc hai của S tại xbtheo hướng ω ∈ X làT2(S,x, ω) :=b{v ∈ X | ∃tn ↓ 0, ∃vn → v sao cho x + tb nω + 12t2nvn ∈ S, ∀n ∈N}.Mệnh đề 1.1 [13] Cho S ⊂ X là một tập lồi, bx ∈ S và ω ∈ T (S,x)b Khi đó

(i) T2(S,x, 0b X) = T (S,x)b và T (T (S,x) , 0b X) = T (S,x)b

(ii) T2(S,x, ω)b và T (T (S,x) , ω)b có thể khác rỗng chỉ nếu ω ∈ T (S,x)b (iii) T (S,x)b và T (T (S,x) , ω)b luôn là nón đóng, và đặc biệt là lồi khi

S là tập lồi Hơn nữa, từ [3] ta suy ra rằng T2(S,bx, ω) chỉ là tậpđóng và không nhất thiết là nón, T2(S,x, ω)b là tập con thực sự của

T (T (S,x) , ω)b và không lồi mặc dù S là lồi

và chỉ khi epi F là tập lồi

1.2 Đạo hàm tiếp liên bậc hai

Sau đây ta nhắc lại một vài khái niệm về đạo hàm tiếp liên bậc nhất

và bậc hai cho ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3 [2] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x,b by) ∈ gph F.Đạo hàm tiếp liên của F tại (x,b y)b là ánh xạ đa trị DF (x,b y) : Xb ⇒ Y

được xác định bởi gph DF (x,b y) = T (b gph F, (bx,y)) b

Định nghĩa 1.4 [12] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x,b y) ∈b gph F.Trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x,b y)b là ánh xạ giá trị véc tơ D↑F (x,b y) :b

X → Y được xác định bởi epi D↑F (x,b by) = T (epiF, (x,b by))

Nhận xét 1.2 Từ Định nghĩa 1.4 ta suy ra rằng với mọix ∈ dom D↑F (bx,y)b

thì(x, D↑F (x,b y) (x)) ∈b gph D↑F (x,b y) ⊂b epi D↑F (x,b y) = T (b epi F, (x,b y)) b

Mặt khác, theo Định nghĩa 1.3 cóT (epi F, (bx,y)) =b gph D (F + C) (bx,y)b

Do đó, ta kết luận được rằng (x, D↑F (x,b y) (x)) ∈b gph D (F + C) (bx,y)b ,hay D↑F (bx,y) (x) ∈ D (F + C) (b x,b y) (x)b với mọi x ∈ dom D↑F (bx,y)b

Định nghĩa 1.5 [2] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (bx,y) ∈b gph F và

(u,b v) ∈ X × Yb Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (bx,y)b theo hướng

(u,b v)b là ánh xạ đa trị D2F (bx,y,b u,b bv) : X ⇒ Y được xác định bởi gph

đề xuất khái niệm đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị như sau

Định nghĩa 1.6 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x,b y) ∈b gph F và

(u,b v) ∈ X × Yb Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (bx,y)b theo hướng

(u,b v)b là ánh xạ đa trị D00F (x,b by,u,b v) : Xb ⇒ Y được xác định bởi gph

Đặc biệt, nếu (u,b bv) = (0X, 0Y) thì T (T (gph F, (bx,y)) , (0b X, 0Y)) =

T (gph F, (bx,y))b Từ Định nghĩa 1.3 và 1.6 ta kết luận được

Ví dụ 1.1 Xét ánh xạ đa trị F : R+ → 2R2 với F (x) := {y = (y1, y2) ∈

R2 | y1 ≥ x2, y1 + y2 ≥ x} , ∀x ∈ R+, và C = R2+ Dễ dàng kiểm tra được

F là C - lồi Lấy (x,b y) = (0, (0, 0)) ∈b gph F Khi đó, từ Định nghĩa 1.1 tacó

T (gph (F + C) , (x,b y)) =b (x, y) ∈ R×R2 | x ≥ 0, y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x

Sau đây ta xét hai trường hợp chọn (bu,bv)

Trường hợp 1: Nếu lấy(bu,bv) = (1, (0, 1)) ∈ T (gph (F + C) , (x,b y))b ,bằng Định nghĩa 1.1 và tính trực tiếp, ta được

1.3 Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của đạo hàmtiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả

Định lý 1.1 Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (bx,y) ∈b gph F và

(u,b v) ∈ X × Yb Nếu đạo hàm tiếp liên bậc hai D00F (x,b y,b u,b bv) tồn tại thì

nó có tính chất thuần nhất dương nghiêm ngặt, tức là, với mọi α > 0 vàvới mọi x ∈ X, ta có

T (gph F, (bx,y)) , ∀n ∈b N Hơn nữa, ∀n ∈ N, tồn tại dãy xkn, ykn
→(u,b v) + tb n(xn, yn) và tkn ↓ 0 sao cho (x,b y) + tb kn xkn, ynk
∈ gph F, ∀k ∈ N.

Khi đó ta có

b

y + tknynk ∈ F x + tb knynk
, ∀n, k ∈ N (1.1)

Đồng thời (xn, yn + c) → (x, y + c) vì (xn, yn) → (x, y) khi n → +∞, do

đó (x, y + c) ∈ T (T (gph (F + C) , (x,b y)) , (b u,b bv)) Từ Định nghĩa 1.6, ta

có y + c ∈ D00(F + C) (x,b y,b u,b bv) (x) và định lí được chứng minh

Hệ quả 1.1 Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (bx,y) ∈b gph F và (u,b v) ∈b

X × Y.Khi đó, với mọi x ∈ dom D00(F + C) (x,b y,b bu,bv) ta có

Do đó hệ quả được chứng minh

Tiếp theo, từ Định lý 4.1 trong [15] ta có tính chất quan trọng chođạo hàm tiếp liên bậc hai và đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu

và đồng tác giả trong trường hợp C - lồi

Định lý 1.3 Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x,b y) ∈b gph F trong đó S

là lồi và F là C- lồi Khi đó, với mọi x ∈ S, ta có

(i) F (x) − {y} ⊂ D2(F + C) (x,y,u −x,v −y) (x −x),

b

x ∈ S, ∀n ∈ N, (1.3)và

b

y

∈ F



14n2x +



1 − 14n2

b

x + 14n2 (x −bx)

b

b

x + 1

n(bu −x)b



+ C, ∀n ∈ N (1.5)Hơn nữa, do S lồi nên từ (1.2) và (1.3) ta có

b

x + 12n(u −b bx) + 1

 + 1

⊂ F



b

x + 12n(b u −bx) + 1

Xét bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc sau:

(P ) min F (x) , sao cho x ∈ S, G (x) ∩ (−D) 6= ∅,

trong đó F : S ⇒ Y và G : S ⇒ Z là các ánh xạ đa trị, và D ⊂ Z lànón lồi, nhọn và đóng với int D khác rỗng Để cho đơn giản, ta kí hiệu

E := {x ∈ S | G (x) ∩ (−D) 6= ∅} là tập chấp nhận được của (P ) Tanhắc lại một số khái niệm nghiệm của bài toán (P )

Một cặp (bx,y) ∈ X × Yb với x ∈ Eb và y ∈ F (b x)b được gọi là cực tiểuyếu của (P ) nếu và chỉ nếu yblà điểm hữu hiệu yếu của tập F (E), tức là,

F (E) ∩ ({y} −b int C) = ∅

Một cặp (bx,y) ∈ X × Yb với x ∈ Eb và y ∈ F (b x)b được gọi là cực tiểuyếu địa phương của (P ) nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận U của xb saocho yblà điểm hữu hiệu yếu của tập F (E ∩ U ), tức là,

F (E ∩ U ) ∩ ({y} −int C) = ∅

Một cặp (bx,y) ∈ X × Yb với x ∈ Eb và y ∈ F (b x)b được gọi là cực tiểuhay cực tiểu Pareto của (P ) nếu và chỉ nếu yb là điểm hữu hiệu của tập

là nón đối ngẫu không âm của C λ ∈ C+ được gọi là xác định dương nếu

λ (c) > 0 với mọi c ∈ int C, và dương nghiêm ngặt nếu λ (c) > 0 với mọi

c ∈ C \ {0Y} Kí hiệu 0Y∗ là điểm gốc của Y∗ Kí hiệu (F, G) (x) đượcdùng để chỉ F (x) × G (x) Các kí hiệu FE và GE tương ứng được dùng đểchỉ sự hạn chế của F trên E và G trên E

Định lý 2.1 Cho F và G tương ứng là C- lồi và D- lồi trên tập lồi S.Lấy (u, (b bv,w)) ∈ X × (−C) × (−D)b Giả sử rằng (bx,y) ∈ X × Yb vớib

x ∈ E và y ∈ F (b x)b là cực tiểu (yếu) địa phương của (P ) Khi đó vớimọi z ∈ G (b x) ∩ (−D)b , có các phiếm hàm tuyến tính liên tục λ ∈ C+ và

µ ∈ D+ với (λ, µ) 6= (0Y∗, 0Z∗) sao cho