Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)

Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)

TRẦN VĂN HUẤN

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN 05/2017

Mục lục

Chương 1 Các tính chất cơ bản liên quan đến đa thức lượng giác 3

1.1 Các đẳng thức lượng giác cơ bản 3

1.1.1 Tính chất của hàm số lượng giác 3

1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin 4

1.1.3 Đẳng thức liên quan đến hàm sin 5

1.2 Phương trình lượng giác cơ bản 6

1.2.1 Dạng và phương pháp giải 6

1.2.2 Các ví dụ minh họa 7

1.3 Phương pháp lượng giác giải phương trình bậc ba, bậc bốn 10

1.4 Các đa thức thuần cos và thuần sin 17

1.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác 17

1.4.2 Một số tính chất của đa thức thuần cos và thuần sin 17

Chương 2 Phương pháp giải phương trình đa thức lượng giác 22 2.1 Phương trình lượng giác thuần nhất 22

2.1.1 Phương trình lượng giác thuần nhất bậc 2 22

2.1.2 Phương trình lượng giác thuần nhất bậc cao 23

2.2 Đa thức Chebyshev 25

2.2.1 Định nghĩa 25

2.2.2 Tính chất của các đa thức Tn(x) 25

2.2.3 Tính chất của các đa thức Un(x) 28

2.3 Một số lớp phương trình đa thức lượng giác 31

2.3.1 Phương trình bậc hai và bậc cao với một hàm số lượng giác 31

2.3.2 Phương trình đẳng cấp bậc nhất và bậc hai đối với sin x và cos x 33

2.3.3 Phương trình đối xứng và gần đối xứng 37

2.3.4 Phương trình lượng giác liên quan đến bất đẳng thức

trong tam giác 382.3.5 Phương trình đưa về dạng đa thức 40

3.1 Sử dụng lượng giác để khảo sát phương trình và hệ phương trình 463.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số 563.3 Sử dụng lượng giác trong bài toán cực trị 58

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Đa thức lượng giác có vị trí rất quan trọng trong Toán học vì nó không những

là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của lượng giác mà còn là một công cụđắc lực của Giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết nộisuy, và trong khảo sát phương trình và các bài toán cực trị Ngoài ra, đa thứclượng giác còn được sử dụng nhiều trong tính toán và ứng dụng Trong các kỳthi học sinh giỏi toán quốc gia và Olympic toán quốc tế thì các bài toán về đathức lượng giác cũng thường được đề cập đến và được ẩn dưới dạng áp dụngcông cụ lượng giác nên thường là bài toán khó của bậc phổ thông

3 Mục đích nghiên cứu, luận điểm cơ bản của luận văn:

Luận văn “Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan”trình bày một số vấn đề liên quan đến bài toán xác định số nghiệm thực của đathức lượng giác với hệ số thực

Mục đích của luận văn nhằm thể hiện rõ vai trò quan trọng của Giải tích vàđại số trong khảo sát nghiệm thực của đa thức lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc và dịch tài liệu có liên quan đến đề tài.

- Trao đổi thảo luận với Thầy hướng dẫn, với bạn bè, với các chuyên gia

- Thường xuyên phản biện để đi đến kết quả tốt nhất

5 Bố cục của luận văn:

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Các tính chất cơ bản liên quan đến đa thức lượng giác

Chương 2 Các tính chất nghiệm của đa thức lượng giác

Chương 3 Một số dạng toán liên quan

Trong chương 3 tác giả cũng trình bày các bài toán trong các đề thi HSGquốc gia và Olympic quốc tế được sử dụng kiến thức liên quan

Các kết quả về lý thuyết cũng như bài tập liên quan đến nội dung của luậnvăn được trích dẫn từ các tài liệu [1]-[8]

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành nội dung luận văn tôi xin gửi lờicảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu là người Thầy trực tiếp hướngdẫn cùng các thầy cô trong Khoa Toán-Tin của trường ĐHKH-ĐHTN đã hếtlòng giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn của mình Chắc chắn luận văn cònnhững thiếu sót nhất định tôi rất mong được quý Thầy Cô và độc giả góp ý đểluận văn được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2017.

Tác giả Trần Văn Huấn

Chương 1 Các tính chất cơ bản liên quan đến đa thức

lượng giác

1.1 Các đẳng thức lượng giác cơ bản

1.1.1 Tính chất của hàm số lượng giác

Xét hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R và tập giá trị R( f ) ⊂ R

Định nghĩa 1.1 (Tính chẵn lẻ, xem [1], [6]) Hàm số f (x) với tập xác định

D( f ) ⊂ R được gọi là hàm số chẵn trên K (K ⊂ D( f )) nếu:

Nhận xét 1.1 Dễ dàng kiểm tra được các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x

là các hàm số lẻ và hàm số y = cos x là hàm số chẵn trên tập xác định của nó

Định nghĩa 1.2 (Tính tuần hoàn, xem [1], [6]).

- Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) trên

K nếu K ⊂ D( f ) và

∀x ∈ K ⇒ x ± T ∈ K

f(x + T ) = f (x), ∀x ∈ K

- Cho f (x) là một hàm số tuần hoàn trên K Khi đó T (T > 0) được gọi làchu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoànvới bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Nhận xét 1.2 Dễ dàng ta thấy:

Hàm số y = sin x và y = cos x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

Hàm số y = tan x và y = cot x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = π

kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn f (x) trên K

Định nghĩa 1.4 (Xem [1], [6]) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (nhân

tính) chu kỳ a (a /∈ {−1, 0, 1}) trên K nếu K ⊂ D( f ) và

∀x ∈ K ⇒ a±1x∈ K

f(ax) = f (x), ∀x ∈ K

Định nghĩa 1.5 ( Xem [1], [6]) Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn

(nhân tính) chu kỳ a (a /∈ {−1, 0, 1}) trên K nếu K ⊂ D( f ) và

∀x ∈ K ⇒ a±1x∈ K

f(ax) = − f (x), ∀x ∈ K

1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin

Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số với công thức

cos 2t = 2 cos2t− 1chính là công thức

12



a+1a

2

− 1

Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số với công thức

cos 3t = 4 cos3t− 3 costchính là công thức

12



a+1a

3

− 3 12



a+1a



.hay

2



a+1a

, a 6= 0)

Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số với công thức

cos 5t = 16 cos5t− 20 cos3t+ 5 costchính là công thức

3

+ 5 12



a+1a

2



a+1a

, a 6= 0)

1.1.3 Đẳng thức liên quan đến hàm sin

Từ công thức Euler, ta thu được hệ thức

Từ đó ta có công thức:

isin i(3t) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3Đẳng thức đại số ứng với công thức trên là đẳng thức

12



a−1a



+ 4 12



a−1a

2



a−1a

, a 6= 0)



a−1a



= 2 12

1.2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1.6 Giải phương trình

sin

3x −π3



− sin



x+2π3

(k ∈ Z)

⇔" x = kπ

x= kπ5

Vậy nghiệm của phương trình là: x = π

- Với m = 3 phương trình trở thành: 0 cos x − 2 = 0 (vô nghiệm).

- Với m 6= 3 thì (1.7) ⇔ cos x = m− 1

m− 3.Nếu

> 1 ⇔ m ∈ (2; 3) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm

≤ 1 ⇔ m ≤ 2 thì phương trình luôn có nghiệm

Với m > 2 thì phương trình vô nghiệm

Với m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z)

1.3 Phương pháp lượng giác giải phương trình

bậc ba, bậc bốn

Trong quá trình giải phương trình bậc cao bậc ba, bậc bốn ta giải theo phươngpháp thông thường thì rất khó Nếu ta chuyển về phương trình lượng giác thìlời giải ngắn gọn và dễ hiểu hơn nhiều Khi đó ta gọi là “lượng giác hóa cácphương trình đại số”

Để lượng giác hóa các bài tập đại số sơ cấp ta chú ý một số vấn đề sau:a) Nếu x ∈ [−1, 1] thì ∃α, β sao cho sin α = x, cos β = x với α ∈

h

−π

2;

π2

i, β ∈[0, π]

b) Nếu x ∈ [0, 1] thì ∃α, β sao cho sin α = x, cos β = x với α ∈h0;π

2

i, β ∈h

sao cho x = tan α

d) Nếu x, y là hai số thỏa mãn x2+ y2 = 1 thì ∃ số α ∈ [0; 2π] sao cho x =cos α, x = sin α

e) Nếu x ∈ [−a, a] (a > 0) thì đặt: x = a sin α với α ∈

h

−π

2;

π2

Ta đi xét các ví dụ minh họa sau

Bài toán 1.1 Giải các phương trình với các nghiệm thực;

3; x2 = cos

a+ 2π

3 ; x2 =cosa− 2π

m2− 1.Khi đó ta có



= 12

3q

m+pm2− 1 + 3

q

m−pm2− 1



Ta chứng minh x0 là nghiệm thực duy nhất của phương trình Thật vậy, vì x0 lànghiệm của phương trình 4x3− 3x = m nên ta có 4x30− 3x0 = m

Suy ra

4x3− 3x = 4x30− 3x0⇔ 4(x3− x30) = 3(x − x0)

⇔ (x − x0)(4x2+ 4xx0+ 4x20− 3) = 0

Vì (4x2+ 4xx0+ 4x20− 3) = 0 có 40 = 12 − 12x20< 0 (Vì |x0| > 1) nên phươngtrình không có nghiệm thực.

Vậy phương trình có một nghiệm thực là:

x0= 12

3q

m+pm2− 1 + 3

q

m−pm2− 1



Bài toán 1.2 Giải và biện luận phương trình

Ta suy ra phương trình có nghiệm là

x0= 1

2



a−1a



= 12

3q

m+pm2+ 1 + 3

q

m−pm2+ 1



Ta xét y = 4x3+ 3x Ta có y0 = 12x2+ 3 > 0, ∀x ∈ R Vậy y là hàm đồng biếnnên x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài toán 1.3 Giải phương trình



y−a3

p≥ 1

4 +

√28

8 (tan A tan B + tan B tanC + tan A tanC + 3)

⇔ 8 − 4√2 ≥ cot A + cot B + cotC + 3 cot A cot B cotC (1.15)

= 1

2 tanA2

√

2 − 1;√1

3

)

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

√

2 − 1;√1

3

nên f (t) ≤ f (√

2 − 1) =

8 − 4√

2

Vậy (1.15) đúng, suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(cos(B −C) = 1tanA

B= 3π8

C= 3π8

Bài toán 1.5 Cho phương trình x3− 3x + 1 = 0 Chứng minh phương trình có

ba nghiệm x1< x2 < x3thỏa mãn hệ thức x23= 2 + x2

Lời giải. Ta đặt f (x) = x3− 3x + 1 Ta có f (−2) f (−1) < 0; f (−1) f (1) <0; f (1) f (2) < 0.

Mà f (x) liên tục trên các đoạn [−2; −1]; [−1; 1]; [1; 2] nên phương trình f (x) =

0 có 3 nghiệm thỏa mãn:

−2 < x1< −1 < x2< 1 < x3 < 2

Suy ra các nghiệm của phương trình đều nhỏ hơn 2

Ta đặt x = 2 cos α (0◦≤ α ≤ 180◦) Khi đó phương trình trở thành:

8 cos3α − 6 cos α + 1 = 0

⇔ 2(4 cos3α − 3 cos α ) + 1 = 0

⇔ 2(cos 3α) = −1 ⇔ cos 3α = −1

2.

Vì 0◦≤ α ≤ 180◦nên phương trình có ba nghiệm là: α1= 160◦, α2= 80◦, α3=

40◦ Suy ra x1 = 2 cos 160◦, x2 = 2 cos 80◦, x3 = 2 cos 40◦ Ta có x23 = 2 + x2(Thỏa mãn)

Bài toán 1.6 Cho phương trình

ax3+ bx2+ cx + a = 0 (a 6= 0)

có ba nghiệm thực là m, n, p Chứng minh rằng

√2

m +

√3

n +

p

2 +√3

p ≤ m2+ n2+ p2 (1.16)

Lời giải. Theo định lí Viete ta có mnp = 1

Khi đó (1.16) trở thành

√2np +√

3mp +

q

2 +√3mn ≤ m2+ n2+ p2.Chọn α = 45◦, β = −30◦, γ = 165◦thì ta có

=m2+ n2+ p2− 2np cos α − 2mp cos β + 2mn cos γ

=(p − m cos β − n cos α)2+ (m sin β − n sin α)2≥ 0 (Đúng)

Suy ra (1.16) được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

m= − 6

q2(√

2

αcos2α = 0

3

1.4 Các đa thức thuần cos và thuần sin

1.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác

Định nghĩa 1.6 (Về đa thức lượng giác) Biểu thức

a0, ak, bk ∈ R; k ∈ {1, 2, , n}; |an| + |bn| 6= 0; n ∈ N∗

Được gọi là đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với các hệ số a0, ak, bk ∈ R; k ∈{1, 2, , n}

Định nghĩa 1.7 (Về đa thức thuần cos và thuần sin).

Nếu đa thức (1.19) tất cả các hệ số bk, (k ∈ {1, 2, , n}) đều bằng 0 thì ta

có đa thức lượng giác cấp n thuần cos là:

Cn(x) = a0+ a1cos x + a2cos 2x + · · · + ancos nx, (an6= 0) (1.20)Nếu đa thức (1.19) tất cả các hệ số ak, (k ∈ {1, 2, , n}) đều bằng 0 thì ta có

đa thức lượng giác cấp n thuần sin là:

Sn(x) = a0+ b1sin x + b2sin 2x + · · · + bnsin nx, (bn6= 0) (1.21)

1.4.2 Một số tính chất của đa thức thuần cos và thuần sin

Tính chất 1.1 Cho Lm(x) và Ln(x) là hai đa thức lượng giác Khi đó:

a) Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc k , với k ≤ max{m, n}

b) Lm(x).Ln(x) là đa thức lượng giác bậc m + n.

Tính chất 1.2 Với mọi đa thức lượng giác Ln(x) dạng (1.19) luôn luôn tồn tạicác đa thức đại số Pn(t) và Qn−1(t) sao cho

Ln(x) = Pn(cos x) + sin xQn−1(cos x)

Tính chất 1.3 Với mọi đa thức lượng giác Sn(x) dạng (1.21) thì luôn tồn tại đathức đại số Qn−1(t) để:

t = cos x ta đều biến đổi về được đa thức Cn(x) dạng (1.20) với an= 21−n

Bài toán 1.9 Viết công thức biểu diễn của cos nx và sin nx theo các lũy thừa

của cos x và sin x

Lời giải. Từ công thức Moivre: cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)n

Và theo khai triển nhị thức Newton ta có

(cos x + i sin x)n=

n

∑

k=0

Cnkcosn−kx(i sin x)k

= cosnx+ iCn1cosn−1xsin x

−Cn2cosn−2xsin2x+ · · · + A + iB

Với

A=

((−1)n2sinnx, nếu n chẵn(−1)n−12 Cnn−1cos x sinn−1x, nếu n lẻ;

B=

((−1)n−22 Cn2cos x sinn−1x, nếu n chẵn(−1)n−12 sinnx, nếu n lẻ

Bài toán 1.10 Biểu diễn các hàm số sinnx, cosnxdưới dạng các đa thức lượnggiác.

Lời giải. Giả sử z = cost + i sint Ta có z−1= (cost + i sint)−1= cost − i sint.Vậy cost = z+ z

−1

2 , sint =

z+ z−12i .

n, nếu n chẵn(zn+ z−n) +Cn1(zn−2+ z−(n−2)) + · · · +C

n−1 n

n (z + z−1), nếu n lẻvà

(z − z−1)n= zn−Cn1zn−1z−1+Cn2zn−2z−2+ · · · + (−1)nz−n

(

(zn+ z−n) −Cn1(zn−2+ z−(n−2)) + · · · + (−1)n2C

n 2

n nếu n chẵn(zn− z−n) −Cn1(zn−2− z−(n−2)) + · · · + (−1)n−12 C

n−1 2

2C

n 2

n

, nếu n chẵn1

2n−1

cos nx +Cn1cos(n − 2)x + · · · +C

n−1 2

n cos x

, nếu n lẻ

n

i, nếu n chẵn(−1)n−12

2n



2 sin nx − 2iCn1sin(n − 2)x + · · · + (−1)n−12 C

n−1 2

n 2 sin x

,nếu n lẻ

Bài toán 1.11 Cho cj∈ C, j = 0, n; c06= 0; cn6= 0; z = eit, t ∈ R Chứng minhrằng nếu

h(z) = c0+ c1z+ c2z2+ · · · + cnznthì |h(z)|2là một đa thức lượng giác bậc n theo t

Vậy |h(z)|2 là một đa thức lượng giác bậc n theo t.

Bài toán 1.12 Cho cấp số cộng {an} với công sai là d Tính tổng

d

d



d

, ta có 2 sin ansind

2 = g(n) − g(n + 1).

2 sin ansind

2 = g(n) − g(n + 1)Cộng các đồng nhất thức theo vế ta có

2Snsind

2 = g(1) − g(n + 1) = cos



a1−d2

d



−n

2d



n

2d



sind2

Chương 2 Phương pháp giải phương trình đa thức lượng giác

2.1 Phương trình lượng giác thuần nhất

2.1.1 Phương trình lượng giác thuần nhất bậc 2

Bài toán tổng quát 2.1 Giải phương trình

asin2x+ b sin x cos x + c cos2x= 0 (a2+ b2+ c26= 0)

Phương pháp giải.

- Xét cos x = 0 suy ra x = π

2 + kπ (k ∈ Z) xem có là nghiệm của phươngtrình không

- Xét cos x 6= 0, ta chia cả hai vế phương trình cho cos2xđể đưa phương trình

về phương trình bậc hai đối với tan x

Bài toán 2.1 Giải phương trình

sin2x− (1 +√3) sin x cos x +√

tan2x− (1 +√3) tan x +√

3 = 0

⇔ tan x = 1tan x =√

Bài toán 2.2 Giải phương trình

sin2x+ 4 sin 2x + 3 cos2x= −2 (2.2)

Lời giải.

Ta có

(2.2) ⇔ sin2x+ 4 sin 2x + 3 cos2x= −2(sin2x+ cos2x)

⇔ 3 sin2x+ 8 sin x cos x + 5 cos2x= 0 (2.3)

+ kπ(k ∈ Z)

2.1.2 Phương trình lượng giác thuần nhất bậc cao

Bài toán tổng quát 2.2 Giải phương trình

a0sinnx+ a1sinn−1xcos x + · · · + amsinn−mxcosmx+ · + ancosnx= 0,trong đó (n ≥ 3, n ∈ N), trong đó ai không đồng thời bằng 0 (i = 0, , n)

Phương pháp giải.

a0tannx+ a1tann−1x+ · + amtann−mx+ · · · + an= 0.

Bài toán 2.3 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng-2008-khối B) Giải phương

Bài toán 2.4 Giải phương trình

sin4x+ sin3xcos x − 2 sin2xcos2x− 3 sin x cos3x− 3 cos4x= 0

Lời giải.

- Xét cos x = 0 ⇔ x = π

2 + kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình

- Xét cos x 6= 0, ta chia cả hai vế của phương trình cho cos4x, khi đó phươngtrình trở thành:

tan4x+ tan3x− 2 tan2x− 3 tan x − 3 = 0

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành

t= −√

3 .Vậy

tan x =√

3tan x = −√

Định nghĩa 2.2 Các đa thức Un(x), (n ∈ N) được xác định

U0(x) = 1; U1(x) = 1

Un+1(x) = 2xUn(x) −Un−1(x), ∀n > 1,gọi là các đa thức Chebyshev - loại 2

Chứng minh.Theo Tính chất 2.1, ta có Tn(x) = cos(n arccos x) suy ra Tn(cost) =cos nt.

Vậy ta có

Tn(− cost) = Tn(cos(t + π)) = (cos n(t + π))

= cos(tn + πn) = (−1)ncos nt = (−1)nTn(cost)

Suy ra

Tn(−x) = (−1)nTn(x)Vậy Tn(x) là hàm lẻ khi n lẻ và là hàm chẵn khi n chẵn (Điều phải chứng minh)

Tính chất 2.4 Đa thức Tn(x) có đúng n nghiệm phân biệt trong [−1, 1] là:

kπn

(k = 0, 1, 2, , n − 1)

Mà cos π

2n = cos

 π2n−π

n + 2π nên ta cócos u0= cos u2n−1; cos u1= cos u2n−2; ; cos un−1 = cos un

Vậy với 2n điểm uk khác nhau ta chỉ có n giá trị khác nhau của xk ứng với

k = 0, n − 1 Do đó trên [−1, 1], Tn(x) có n nghiệm phân biệt Mặt khác Tn(x)

là đa thức bậc n nên nó chỉ có n nghiệm phân biệt Vậy Tn(x) có đúng n nghiệmphân biệt trong [−1, 1] là:

xk = cos2k + 1

2n π (k = 0, 1, , n − 1).

2n−1 Tn(x) là đa thức bậc n có hệ số bậc cao nhất là 2

n−1 nên Tn∗(x) là đathức bậc n có hệ số bậc cao nhất là 1

Giả sử tồn tại đa thức P(x) bậc n có hệ số cao nhất là 1 với max

−1≤x≤1|Pn(x)| < 21−nthì −21−n< P(x) < 21−n

Xét đa thức H(x) = Tn∗(x) − P(x) Ta có deg H(x) ≤ n − 1

Xét các điểm luân phiên Chebyshev xk= coskπ

n (k = 0, n) Theo Tính chất 2.4,

|Un(x)| ≤ n, ∀x ∈ (−1, 1).

Tính chất 2.11 Đa thức Un(x) có đúng n − 1 nghiệm phân biệt khác nhau trongkhoảng (−1, 1).

= sin nt − sin nt cos

2t+ cos nt sint costsint

Bài toán 2.7 Chứng minh rằng

(1 − x2)Un00(x) − 3xUn0(x) + (n2− 1)Un(x) = 0, ∀n ∈ N, ∀x ∈ (−1, 1)

Lời giải. Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có Un(x) = sin(n arccos x)√

1 − x2 Suy ra

Un0(x) =−n cos(n arccos x)

1 − x2 +

xsin(n arccos x)(1 − x2)√

1 − x2+

3x2sin(n arccos x)(1 − x2)2√

b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với m = 0 ta có T0(Tn(x)) = 1 = T0.n(x) Vây b) đúng với m = 0, ∀n ∈ N.Giả sử b) đúng tới m Khi đó ta có

Bài toán 2.9 Chứng minh rằng mọi đa thức f (x) bậc n (n ≥ 1) đều có thể biểu

diễn dưới dạng

f(x) = a0+ a1T1(x) + a2T2(x) + · · · + anTn(x) (an6= 0)

và cách biểu diễn này là duy nhất

Lời giải. Ta có Tn(x) là đa thức bậc n có hệ số cao nhất là 2n−1 nên ta có

Tn(x) = 2n−1xn+ ϕ(x) (với ϕ(x)là đa thức bậc nhỏ hơn n)

2.3 Một số lớp phương trình đa thức lượng giác

2.3.1 Phương trình bậc hai và bậc cao với một hàm số lượng

giác

Bài toán 2.10 Giải phương trình

sin 3x + 2 cos 2x − 2 = 0 (2.5)