Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng sao cho tam giác ABC vuông tại B.. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt phẳng A
Trang 1SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 - LỚP 12 NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số 2
1
x y
x có đồ thị kí hiệu là ( )C
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB2 2
Câu 2 (1,0 điểm):
2
và cos 3
5
Tính giá trị của biểu thức: cos sin
b) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, tìm
xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Giải phương trình:
1
1 2 3
x x
b) Tính giá trị của biểu thức: 3
4
Q a b a b b , biết rằng a, b là các số thực
dương khác 1
Câu 4 (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx.logx trên khoảng (0;10)
Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : y 2 0 và các điểm (0;6), (4; 4)
A B Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng
sao cho tam giác ABC vuông tại B
Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB2a Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt
phẳng (ABCD bằng ) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng 0
AC và mặt phẳng (SAB)
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
là 3 1;
2 16
I , tâm đường tròn nội tiếp là (1;0)J Đường phân giác trong góc BAC và đường phân giác
ngoài góc ABC cắt nhau tại K(2; 8) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ
dương
Câu 8 (1,0 điểm): Giải bất phương trình: 2 2
1 4x 20 x 4x 9
Câu 9 (1,0 điểm): Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2
3
P
x y
x xy y
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
VIETMATHS.NET
Trang 2SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2, NĂM HỌC 2015-2016
Môn : Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
I LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của thí
sinh Khi chấm nếu thí sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó
- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm
- Thí sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm
- Trong lời giải câu 6 và câu 7 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
II ĐÁP ÁN:
1 a
Khảo sát hàm số 2
1
x y
* TXĐ: D \ 1
* Giới hạn, tiệm cận:
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1 1
y y x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0.25
x x , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) & (1;)
0.25
*BBT:
x y’
y
-1
1
+∞
-∞
1
-x y’
y
-1
1
+∞
-∞
1
-0.25
Trang 32
-2
-4
-2 1
b Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:
2
x
x m
0.25
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2 2
4 8 0(*) 4( 2) 0
m m
0.25
Khi đó d cắt (C) tại A x( ;1 x1 m B x), ( ;2 x2 m), với x x là nghiệm phương trình 1, 2
(1) Theo Viet, ta có
2 1 1 2 2 ( 1 2) 4 1 2 2 4 8
0.25
Yêu cầu bài toán tương đương với :
6
m
m (thỏa mãn (*))
Vậy m 2 hoặc m6
0.25
2
và cos 3
5
Tính giá trị của biểu thức:
0.5
2
nên sin 1 cos2 4
5
Suy ra
cos cos sin sin sin cos cos sin
P
0.25
b Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham
gia biểu diễn, tìm xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số
bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
0.5
Số cách chọn 5 bạn bất kì là: 5
12 729
C Để chọn được 5 bạn thỏa mãn yêu cấu bài
VIETMATHS.NET
Trang 4Vậy xác suất cần tìm là: 35 210 245.
P
Giải phương trình:
1
1 2 3
x x
Phương trình đã cho tương đương với :
1 3.
1 2 3 1 2 1 4
2 4
3x 3 2 4 2
b Tính giá trị của biểu thức: 3
4
Q a b a b b , biết rằng a, b là
2
1
a b
a
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x x.logx trên khoảng (0;10] 1.0
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10] Ta có '( ) log 1 log log
ln10
1 '( ) 0 log log
BBT:
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
0.25
Từ BBT ta suy ra
(0;10]
min f x'( ) e x
5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng :y 2 0 và các điểm
(0;6), (4; 4)
A B Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C
trên đường thẳng sao cho tam giác ABC vuông tại B
1.0
Phương trình đường thẳng AB là: 0 6 6
0.25
( ; 2) ( 4; 2), ( 4; 2)
Tam giác ABC vuông tại B nên BA BC 0 4t 16 4 0 t 3 C(3; 2) 0.25
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB2a Hình chiếu của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và
mặt phẳng (ABCD bằng ) 0
30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB)
1.0
VIETMATHS.NET
Trang 5O G
M
A
B
H I K
Gọi M là trung điểm BC, O là giao điểm của AC và BD Ta có
2 2 2 2 5
5
AM AB BM a AG AM Vì SG vuông góc với mặt đáy,
nên góc giữa SA và mặt đáy là 0
30
SAG Xét tam giác vuông SGA, ta có
tan tan 30
0.25
2
4
ABCD
3 2
.
S ABCD ABCD
Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc
SI Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB) Ta có 2 2
đó
2 2
6
GK
GS GI
0.25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có 3 10
AH là hình chiếu của AO lên (SAB) suy ra góc giữa AC và (SAB) là OAH Xét tam
4 2
0.25
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
là 3 1;
2 16
I , tâm đường tròn nội tiếp là (1;0)J Đường phân giác trong góc BAC và
đường phân giác ngoài góc ABC cắt nhau tại K(2; 8) Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương
1.0
VIETMATHS.NET
Trang 62
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
H
I
J
K
Gọi giao điểm của AK và đường tròn (I) là H Xét tam giác BHJ có
HJB JAB JBA (góc ngoài tam giác JAB)
JACJBC ( vì AJ, BJ là các đường phân giác)
CBHJBC (nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn (I))
HBJ
Suy ra tam giác HJB cân tại H, vậy HJ=HB và HJBHBJ (1)
0.25
Lại có BJ, BK thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài góc ABC nên tam giác
BKJ vuông tại B Suy ra 0
90
Từ (1) và (2) suy ra HKBHBK hay tam giác HBK cân tại H, do đó
HJ HB HK , vậy H là trung điểm JK, hay 3; 4
2
H Tương tự
HJ HC HK
0.25
Ta có 0; 65 ; 1; 4
B, C cùng thuộc các đường tròn (I;IH) và (H; HJ) nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
2 2 2
2
2
(5; 2), ( 2; 2)
x y
0.25
AH đi qua J và K nên phương trình đường thẳng AH là:
x y Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với AH, d
có véc tơ pháp tuyến n 2HJ 1; 8 , phương trình đường thẳng d là:
x y Gọi M là giao điểm của d và AH, tọa độ M là nghiệm hệ:
(1; 0)
1
; 4 2
0.25
VIETMATHS.NET
Trang 7Kết luận: 1; 4
2
A , (5; 2), ( 2; 2).B C
Bất phương trình đã cho tương đương với:
0.25
x
0.25
2 2
x
0.25
9 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2
2
3
P
x y
x xy y
1.0
Do x0,y0,xy y 1 nên
2
2 2
0
x y
4
x
P
0.25
Ta có
2
2( 1)
t
P t
t
t t
4
t t t t t t t , do đó
2
P t t
t t
0.25
Vậy ( )P t đồng biến trên 0;1
4
, suy ra
Khi 1; 2
2
- Hết -
VIETMATHS.NET
