Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)

Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG TRƠN

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Thái Nguyên - 2017

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: TOÁN ÚNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC

PGS TS ĐO VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

Lời

cảm ơn ii Bảng ký hiệu 1 Mở

đầu 2

1 Cận dưới của tham số phat cua phương pháp hàm phat min- imax chính xác cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không kha

1.1 Các khái niệm và ket qua liên quan 4

1.2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác 6

1.3 Sn tương đương cna bài toán toi ưu có ràng buộc và bài toán toi

2.3 Trưòng hop đặc biệt 42

Kết luận 44

ii i

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thay tôi PGS.TS Đỗ Văn Lưu,ngưòi đã trực tiếp hưóng dẫn luận văn, đã tận tình chi bao và hưóng dan tôitìm ra hưóng nghiên cúu, tìm kiem tài liệu, giai quyet van đe, nhờ đó tôimói có thể hoàn thành luận văn cao học cna mình Tù tận đáy lòng, tôi xinbày to lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat tói Thay cna tôi và tôi se cogang hơn nua để xứng đáng vói công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tao trưòng Đai họcKhoa học - Đai học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đõ tôi trong suot thòigian học tập tai trưòng Tôi xin cảm ơn quý thay cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt

là PGS.TS Nguyen Thị Thu Thny, trưong Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm,động viên, trao đoi và đóng góp nhung ý kien quý báu trong suot quá trình hqctập, nghiên cúu và hoàn thành luận văn

Cuoi cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tói những ngưòi thântrong gia đình, đặc biệt là bố mẹ Nhung ngưòi luôn động viên, chia sẻ mọikhó khăn cùng tôi trong suot thòi gian qua và đặc biệt là trong thòi gian tôitheo hqc khóa thac sy tai trưòng Đai học Khoa hqc - Đai học Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 4 năm 2017

Tác gia luận văn

Tô Minh Quyet

Bang ký hi¾u

Rn không gian Euclide n-chieu

m orthant không âm cna Rm

T chuyen v% cna véc - tơ

B là hình cau đơn v% mo trong Rn

∂f i (x) dưói vi phân cna hàm loi f i tai x

i bang 0 neu gi (x) ≤ 0, bang g i (x) neu g i (x) > 0

P∞(x, c) hàm phat minimax chính xác

(P∞(c)) bài toán toi ưu phat

V P∞(x, c) hàm phat minimax chính xác véc - tơ

(V P∞(c)) bài toán toi ưu véc - tơ phat

R+

g+

5

Ma đau

Phương pháp hàm phat chính xác cho phép đưa m®t bài toán toi ưu phituyen có ràng bu®c ve m®t bài toán toi ưu không có ràng bu®c sao cho nghi¾mcna bài toán toi ưu phat cũng là nghi¾m cna bài toán toi ưu có ràng bu®cban đau Antczak ([2], 2013) đã nghiên cúu moi quan h¾ giua nghi¾m cnabài toán toi ưu vô hưóng có ràng bu®c và nghi¾m cna bài toán toi ưu không

có ràng bu®c vói hàm muc tiêu là m®t hàm phat minimax chính xác và chi

ra c¾n dưói cna tham so phat đe hai bài toán đó tương đương Jayswall Choudhury ([7], 2016) đã thiet l¾p các đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi

-ưu véc - tơ có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax chính xác vàxác đ%nh các đieu ki¾n đe bài toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c tương đươngvói bài toán không có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax chínhxác Đây là đe tài nhieu tác gia quan tâm nghiên cúu Chính vì v¾y, tôi chqn

đe tài: "Phương pháp hàm phat minimax chính xác cho bài toán toi ưu khôngtrơn"

Muc đích cna lu¾n văn trình bày phương pháp hàm phat minimax chínhxác và các đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi ưu đơn muc tiêu cna T.Antczak (đăng trong Tap chí J Optim Theory Appl 159 (2013), 437 - 453)

và cho bài toán toi ưu véc - tơ cna A Jayswal - S Choudhury (đăng trongTap chí J Optim Theory Appl 169 (2016), 179 - 199) có ràng bu®c đangthúc và bat đang thúc

Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương trình bày n®i dung cnalu¾n văn, phan ket lu¾n và danh muc tài li¾u tham khao

Chương 1: "C¾n dưói cna tham so phat cna phương pháp hàm phat max chính xác cho bài toán toi ưu đơn muc tiêu không kha vi" trình bày cácket qua cna Antczak [2] ve phương pháp hàm phat minimax chính xác, và sntương đương cna bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài toán toi ưu không córàng bu®c phat đưoc chúng minh khi tham so phat lón hơn m®t giá tr% c¾ndưói.

mini-Chương 2: "Phương pháp hàm phat minimax chính xác và đ%nh lí điemyên ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn" trình bày các ket quacna Jayswal - Choudhury [7], phương pháp hàm phat minimax chính xác vàcác đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn vói cáchàm Lipschitz đ%a phương

Chương 1

C¾n dưái cua tham so phat cua

phương pháp hàm phat minimax

chính xác cho bài toán toi ưu đơn

mnc tiêu không kha vi

Chương này trình bày phương pháp hàm phat minimax chính xác và sntương đương cna bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài toán toi ưu phat không

có ràng bu®c Các ket qua trình bày trong chương này là cna T Antczak [2]

1.1 Các khái ni¾m và ket qua liên quan

Hàm f : X → R xác đ%nh trên t¾p loi X ⊂ R n đưoc gqi là loi neu vói

Nh¾n xét 1.1.3 Tù đ%nh nghĩa cna hàm loi f : R n → R tai x, suy ra:

đúng vói ∀z ∈ Rn , trong đó ∂f (x) kí hi¾u dưói vi phân cna f tai x Tương

tn, vói hàm lõm f : R n → R tai x, ta có bat đang thúc:

i ∈ I, h j : X → R, j ∈ J là các hàm Lipschitz đ%a phương trên t¾p khác rong

X ∈ R n và D là t¾p chap nh¾n đưoc cna bài toán (P ).

Đe đơn gian ta se đưa vào m®t so kí hi¾u: g := (g1, , g m ) : X → R m và

Đ%nh lý 1.1.5 [9] Gia su x¯ là nghi¾m cua bài toán (P ) và m®t đieu ki¾n

chính quy thích hop thóa mãn tai

Đ%nh nghĩa 1.1.6 Điem x¯ ∈ D đưoc gqi là điem Karush-Kuhn-Tucker trong

bài toán (P ) neu ton tai nhân tu Lagrange λ¯ ∈ R m và µ¯ ∈ R s sao cho đieu

ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) đúng

1.2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác

Năm 1978 Charalambous [4] đưa vào m®t lóp các hàm phat chính xác không kha vi như sau:

P p (x, α, β, c) := f (x) + c

(1.6)

là bang 0 vói mqi x thoa mãn ràng bu®c và có giá tr% dương khi ràng bu®c

này b% vi pham Hơn nua, sn vi pham lón o g i (x) ≤ 0 đat giá tr% g+(x) Như v¾y hàm g+(x) có đưoc điem phat liên quan vói ràng bu®c g i (x) ≤ 0.

Vói p = 1 và xét các tham so α i , i = 1, , m, β j , j = 1, , s bang 1, ta

nh¾n đưoc hàm phat chính xác không kha vi đưoc gqi là hàm phat chính xác

l1 (ta cũng gqi là hàm phat giá tr% tuy¾t đoi) Phương pháp hàm phat chính

xác l1 đã đưoc đưa vào boi Pietrzykowski [8] Đa so các tài li¾u ve phươngpháp hàm phat chính xác không kha vi nghiên cúu các đieu ki¾n đam baonghi¾m toi ưu cna bài toán có ràng bu®c đã cho cũng là cnc tieu đ%a phươngcna bài toán vói hàm phat chính xác không có ràng bu®c

Vói p = ∞, ta nh¾n đưoc hàm phat minimax chính xác đưoc cho boi:

P∞(x, c) := f (x) + c max {g+(x), |h j (x)|}. (1.7)

1≤i≤m 1≤j≤s

Bây giò, ta su dung hàm phat minimax chính xác giai các bài toán cnc tr%

(P ) Vói bài toán cnc tr% (P ), ta xây dnng bài toán toi ưu phat:

tieu cna bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.

1.3 SN tương đương cua bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài

toán toi ưu phat

Trưóc het, ta chi ra m®t điem Karush-Kuhn-Tucker (KKT) trong bài toántoi ưu có ràng bu®c (P ) se cho ta m®t cnc tieu cna hàm phat minimaxchính xác trong bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói tham so phat c trên m®t

ngưõng thích hop nào đó

Đ%nh lý 1.3.1 Gia su x¯ là điem Karush-Kuhn-Tucker và đieu ki¾n can toi ưu

là lõm trên X Neu c đu lón (túc là c ≥ Σ λ¯ i + Σ |µ¯ j |, trong đó λ¯ i , i =

1, , m, µ¯ j , j = 1, , s là các nhân tu Lagrange úng vói g i và h j ), thì x¯ cũng

là cnc tieu cua bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.

i=

i=

Su dung các nhân tu Lagrange bang 0, ta nh¾n đưoc

λ¯ i g i (x) − λ¯ i g i (x¯) ≥ λ¯ i η T (x − x¯), i ∈ I, (1.13)

µ¯ j h j (x) − µ¯ j h j (x¯) ≥ µ¯ j ζ T (x − x¯), j ∈ J. (1.14)Lay tong hai ve cna (1.13) và (1.14) theo i và j, ta đưoc

i j

i j

Bây giò, ta c®ng hai ve cna (1.9), (1.15) và (1.16), ta nh¾n đưoc

f (x) − f (x¯) + Σ λ¯ i g i (x) − Σ λ¯ i g i (x¯) + Σ µ¯ j h j (x) − Σ µ¯ j h j (x¯)

Bây giò, su dung đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.4) cùng

vói tính chat nh¾n đưoc cna x¯ trong bài toán (P ), ta có bat đang thúc

đúng vói mqi x ∈ X Như v¾y, do (1.6), ta suy ra

Σ

λ¯ i + Σ |µ¯ j|Như v¾y, do (1.19) − (1.22), ta suy ra

Theo gia thiet, x¯ là nghi¾m toi ưu cna bài toán (P ) Do đó, nó là điem

chap nh¾n đưoc cna bài toán (P ) Vì v¾y, do (1.6), ta có

m s

Nhân bat đang thúc trên vói Σ λ¯ i + Σ |µ¯ j | > 0, ta nh¾n đưoc

f (x) +

Σ

đúng vói mqi x ∈ X Đieu này có nghĩa x¯ là nghi¾m toi ưu cna bài toán

phat (Pm ∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác s

Σ λ¯ i + Σ |µ¯ j| = 0, nên bat đang thúc trên

m s

i

đúng vói mqi x ∈ X Theo đ%nh nghĩa cna hàm phat minimax chính xác

P∞(x, c), ta suy ra bat đang thúc sau

P∞(x, c) ≥ P∞(x¯, c) (1.27)

đúng vói mqi x ∈ X Đieu này có nghĩa là x¯ là nghi¾m toi ưu cna

bài

toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác Vì v¾y, tù (1.26)

và (1.27), vói mqi c ≥ Σm λ¯ i + Σs |µ¯ j|, điem

Karush-Kuhn-Tucker

x¯ cna bài toán toi ưu có ràng bu®c là m®t cnc tieu cna bài toán

phat

(P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác Đ%nh lý đưoc chúng minh Q

H¾ qua 1.3.2 Gia su x¯ là m®t nghi¾m toi ưu cua bài toán (P ) Hơn

là cnc tieu cua bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.

M¾nh đe 1.3.3 Gia su x¯ là cnc tieu cua bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác Khi đó, ta có bat đang thúc

P∞(x, c), ta suy ra bat đang thúc sau

Bây giò, vói gia thiet loi thích hop cho các hàm có trong bài toán (P ), tachúng minh ket qua ngưoc lai Như v¾y, ta se chi ra rang ton tai m®t ngưõng

c¯ sao cho mqi tham so phat c vưot quá giá tr% này, x¯, là m®t cnc tieu

trong bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác cũng là

nghi¾m toi

ưu cna bài toán cnc tr% (P )

Đ%nh lý 1.3.4 Gia su

phat minimax chính xác và tham so phat c đu lón (có nghĩa là c > λ˜ i +

ChNng minh.

Đe chúng minh x¯ là nghi¾m toi ưu cna (P ), trưóc het chi ra x¯ là điem chap

nh¾n đưoc cna (P ) Dùng phương pháp phan chúng, chúng ta gia su x¯ là

không chap nh¾n đưoc cna (P ) Vì f liên tuc, b% ch¾n dưói trên t¾p compact

D, theo đ%nh lý Weierstrass, f đat cnc tieu x˜ trên D Vì v¾y, bài toán cnc

tr% (P ) có nghi¾m toi ưu x˜ Do đó đieu ki¾n can toi ưu Tucker thoa mãn tai x˜ vói các nhân tu Lagrange λ˜ ∈ R m và µ˜ ∈ R s

Karush-Kuhn-Theo gia thiet, hàm muc tiêu f và hàm ràng bu®c g i , i ∈ I(x˜), h j , j ∈ J+

(x˜) là loi trên X,

các hàm ràng bu®c h j , j ∈ J−(x˜) là lõm trên X Vì v¾y, theo (1.1) và (1.2),

ta có các bat đang thúc sau

f (x) − f (x˜) ≥ ξ T (x − x˜),

g i (x) − g i (x˜) ≥ η T (x − x˜), i ∈ I(x˜),

h j (x) − h j (x˜) ≥ ζ T (x − x˜), j ∈ J+(x˜),

h j (x) − h j (x˜) ≤ ζ T (x − x˜), j ∈ J−(x˜) đúng vói mqi x ∈ X và mqi ξ ∈ ∂f (x˜), η i ∈ ∂g i (x˜), i ∈ I(x˜), ζ j ∈ ∂h j (x˜),

i j j

i j j

i j

er

(1.3)

, ta suy ra

m ss

f (x¯

) −

f (x˜

) + Σ

λ˜ i

g i(

x¯)

− Σ

y,

ta có

m sm s

f (x¯) + Σ λ˜ i g i (x¯) +

Σ

µ˜ j h j (x¯) ≥ f (x˜)

+ Σ λ˜ i g i (x˜) + Σ µ˜ j h j (x˜).

Tù tính chat nh¾n đưoc

cna x˜ trong bài toán (P )

và đieu ki¾n can toi ưuKarush-Kuhn-Tucker (1.2),

Bây giò, ta gia su Σ λ˜ i

Đieu này mâu thuan vói tính toi ưu cna x¯ trong bài toán toi ưu phat (P∞(c))

vói hàm phat minimax chính xác.m s

Trong trưòng hop Σ λ˜ i + Σ |µ˜ j | = 0, bat đang thúc (1.42) suy ra tù

đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) và bat đang thúc (1.28) Vìm s

v¾y, theo gia thiet c > Σ λ˜ i + Σ |µ˜ j |, ta suy ra bat đang thúc (1.46) thoa mãn Đieu này mâu thuan vói tính toi ưu cna x˜ trong bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.

Vì v¾y, ta đã thiet l¾p đưoc x¯ là điem chap nh¾n đưoc cna bài toán cnc tr%

có ràng bu®c (P )

Như v¾y, tính toi ưu cna x¯ trong bài toán (P ) đưoc suy ra trnc tiep

tù

Tù H¾ qua 1.3.2 và Đ%nh lý 1.3.4, ta suy ra ket qua sau:

H¾ qua 1.3.5 Gia su các gia thiet cua H¾ qua 1.3.2 và Đ%nh lý 1.3.4 thóa

mãn Khi đó, t¾p các nghi¾m toi ưu cua bài toán (P ) và t¾p các điem cnc tieu cua bài toán phat minimax (P∞(c)) là trùng nhau.

Chúng ta se minh hqa ket qua đã nh¾n đưoc bang m®t ví du cho bài toántoi ưu phi tuyen vói các hàm loi Chúng ta se su dung phương pháp hàmphat minimax chính xác

Ví dn 1.3.6 Xét bài toán toi ưu sau:

đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) thoa mãn tai điemnày vói

các nhân tu Lagrange λ¯1 = ξ1, µ¯1 = ξ2, trong đó ξ = (ξ1, ξ2) ∈ ∂f (x¯).

Khi

đó, theo Đ%nh lý 1.3.1 vói tham so phat c thoa mãn c ≥ λ¯1 + |µ¯1| = 2, thì

x¯ = (1, 0) cũng là m®t cnc tieu cna bài toán toi ưu phat (P 1∞(c)) vói hàm

phat minimax chính xác đã cho o trên

Ngưoc lai, boi vì tat ca các gia thiet cna Đ%nh lý 1.3.4 đeu thoa mãn, cho

nên x¯ = (1, 0) là cnc tieu cna bài toán (P 1∞(c)), trong đó c > 2 cũng

là

nghi¾m toi ưu cna bài toán (P 1)

Ví du tiep theo xét bài toán toi ưu mà trong đó không phai tat ca các hàm

là loi Vói nhung bài toán như the thì sn tương đương có the không đúng

Ví dn 1.3.7 Xét bài toán toi ưu sau:

(P 2) min f (x) = x3,

Chú ý rang D = {x ∈ R : x ≥ −1}; x = −1 là nghi¾m toi ưu cna bài

toán (P 2) Hơn nua, de chi ra ca hai hàm muc tiêu f và hàm ràng bu®c g2

không loi trên R Tuy nhiên, chúng ta su dung phương pháp hàm phatminimax chính xác đe quyet bài toán cnc tr% (P 2) Khi đó, ta xây dnng bàitoán không

ràng bu®c sau đây:

(P 2∞(c)) P 2∞(x, c) = x3

+ c max{max{0, −x − 1}, max{0, −x2 − 3x − 2}}

→ min

De chi ra rang bài toán phat minimax (P 2∞(c)) không có cnc tieu tai x =

−1 vói bat kỳ tham so phat c > 0 Trong trưòng hop này không có sn tương

đương giua t¾p nghi¾m cna bài toán (P 2) và t¾p cnc tieu cna bài toánphat (P 2∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác vói tham so phat c.

Chương 2

Phương pháp hàm phat minimax

chính xác và đ%nh lí điem yên ngNa

cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không

trơn

Chương này trình bày phương pháp hàm phat minimax chính xác và đ%nh

lí điem yên ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn vói các hàmLipschitz đ%a phương Các ket qua trình bày trong chương 2 là cna A Jayswal

- S Choudhury [7]

2.1 Các khái ni¾m và ket qua bo tra

Cho x, y ∈ R n, trong đó Rn là không gian Euclide n-chieu Ta đ%nh nghĩa: (i) x = y ⇔ x i = y i , ∀i = 1, , n;

Đ%nh nghĩa 2.1.1 Gia su X là t¾p con khác rong cna R n Hàm f : X → R p

đưoc gqi là hàm loi trên X neu

f (λy + (1 − λ)x) ≤ λf (y) + (1 − λ)f (x) đúng vói mqi y, x ∈ X và bat kỳ λ ∈ [0, 1].

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Hàm f : R n → R đưoc gqi là Lipschitz đ%a phương tai

điem x ∈ R n neu ton tai hang so K > 0 và s > 0 sao cho

Trong chương này, ta xét hàm véc - tơ f : R n → Rp sao cho thành phan bat

kì f i , i = 1, , p là Lipschitz đ%a phương tai điem đã cho.

Nh¾n xét 2.1.4 (i)Gia su f : R n → Rp là hàm véc - tơ loi tai điem x ∈

Rn

Khi đó, bat đang thúc sau

f i (z) − f i (x) ≥ ξ T (z − x), ∀ξ i ∈ ∂f i (x) đúng vói mqi z ∈ R n và i = 1, , p, trong đó ∂f i (x) kí hi¾u dưói vi phân cna f i tai x.

(ii)Gia su f : R n → Rp là hàm véc - tơ lõm tai x ∈ R n Khi đó, bat đang thúc sau

f i (z) − f i (x) ≤ ξ T (z − x), ∀ξ i ∈ ∂f i (x) đúng vói mqi z ∈ R n và i = 1, , p, trong đó ∂f i (x) kí hi¾u trên vi phân cna f i tai x.

i

i