Rèn luyện tư duy học sinh qua bài toán tính tích phân

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TỔ CHỨC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH TRƯỜNG HỢP DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN Training thinking for students through the organization of solving pr

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TỔ CHỨC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH TRƯỜNG HỢP

DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN Training thinking for students through the organization of solving problems in

different ways: case of teaching students to calculate integrals

TÓM TẮT

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên dạy học Toán hiện nay là rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Để hoàn thành được nhiệm vụ này, giáo viên có thể tổ chức các hoạt động khám phá chohọc sinh khi dạy học kiến thức mới và thông qua hoạt động dạy học giải các bài toán Đặc biệt, có một cách hữu hiệu để rèn luyện tư duy cho học sinh là tổ chức giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau Dựa trên

tư tưởng này, chúng tôi triển khai thực nghiệm cho HS lớp 12 giải bài toán bằng nhiều cách khi tính tích phân.

Từ khóa: rèn luyện tư duy, giải toán bằng nhiều cách, tính tích phân.

ABSTRACT

An important task of the mathematics teacher is to train and to develope thinking for students To accomplish this task, teachers can organize activities for students to discover new knowledge and activities of solving problems In particular, there is an effective way to train students to think is that teachers can organize activities of solving problems in many different ways Based on this idea, we implement an experiment for students in class 12 to calculate integrals in various ways.

Keywords: train thinking, solve problems in different ways, calculate integrals

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Hoạt động giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán Một trong các ý nghĩa ấy là giúp học sinh (HS) phát triển được tư duy Bởi lẻ, để

có thể giải được nhiều cách, người làm cần phải biết huy động thật nhiều kiến thức liên quan, từ đó họ tiếp tục phân tích, tổng hợp, đánh giá các dữ kiện của bài toán và sau cùng là tìm ra lời giải thích hợp Quá trình ấy buộc HS phải sử dụng các thao tác tư duy cần thiết và suy luận hợp lí Thực tế, sách giáo khoa (SGK) 12 cung cấp cho HS nhiều kiến thức hữu hiệu để tính tính phân Vấn đề đặt ra, các em có thực sự khai thác hết các kiến thức ấy để tính tích phân chưa Qua đây, có một số câu hỏi cần nghiên cứu như sau:

- Việc giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau có các ý nghĩa gì trong dạy học toán? Mối quan hệ với việc rèn luyện tư duy ra sao?

- Sách giáo khoa toán hiện hành có thực sự cung cấp đầy đủ kiến thức về tích phân để tạo điều kiện cho các em sử dụng chúng nhằm giải toán theo nhiều cách khác nhau hay không?

- Học sinh có thực sự khai thác hết các kiến thức cần thiết trong SGK để tiến hành tính tích phân bằng nhiều cách hay không? Hiệu quả của chúng ra sao?

Mục tiêu của bài báo sẽ đi tìm câu trả lời cho ba câu hỏi trên và xem xét tính đúng đắn

của giả thuyết nghiên cứu H: “Khi dạy học tính tích phân, giáo viên có thể tổ chức các

hoạt động giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, từ đó góp phần rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh”.

2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

2.1 Phân tích, tổng hợp các tài liệu

Chúng tôi phân tích, tổng hợp các nội dung của chủ đề nguyên hàm – tích phân trong các SGK hiện hành và sách tham khảo sau đây:

- Sách giáo khoa - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007),

- Sách giáo viên - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007),

- Hướng dẫn thực hiện chương trình Sách giáo khoa lớp 12 môn toán (Nguyễn Thế Thạch chủ biên - 2008),

- Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn toán lớp 12 (Nguyễn Thế Thạch chủ biên - 2009)

Mục tiêu: nhằm chỉ ra những nội dung về kiến thức, kĩ năng và phương pháp mà giáo viên (GV) có thể tổ chức dạy học chủ đề tích phân theo chương trình ban cơ bản để giúp HS học tập chủ đề này với hiệu quả cao nhất có thể

2.2 Thực nghiệm sư phạm

2.2.1 Đối tượng và thời gian thực nghiệm: Học sinh lớp 12A2 (N = 31) thuộc trường

THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, thành phố Cần Thơ Thời gian: từ 9h45 đến 10h30 (giờ Việt Nam) buổi sáng ngày 29/02/2016

2.2.2 Công cụ để tổ chức thực nghiệm và kịch bản: Tổ chức cho HS giải bài toán sau:

Hãy tính tích phân sau bằng 5 cách khác nhau: 2

0

sin 4

π

π

∫

Thực nghiệm được thiết kế theo 3 pha:

Pha 1: (HS làm bài cá nhân - 15 phút) Tổ chức cho các em làm bài cá nhân HS làm

bài trên giấy do GV photo có in sẵn bài toán

Mục tiêu: Pha 1 được tổ chức cho các em làm việc cá nhân Điều đó đồng nghĩa với việc chúng tôi muốn tìm hiểu mối quan hệ của cá nhân HS Mọi ứng xử của HS sẽ được thể hiện trên bài làm Cụ thể hơn, HS thể hiện được khả năng của mỗi em trong việc giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau

Pha 2: (HS làm bài theo nhóm, 15 phút) 5 nhóm hoàn thành bài giống như trên.

Mục tiêu: Trong pha 2, các em không còn giải quyết yêu cầu của bài toán một mình mà

có sự cộng tác từ các bạn trong nhóm Pha này tạo cơ hội cho các em bảo vệ chính kiến của mình Tuy nhiên, HS cũng có thể thấy được cách giải của mình chưa chính xác nếu được bạn khác thuyết phục bằng những chứng cứ hợp lí

Pha 3: (Hợp thức hóa – 15 phút)

Lớp học vẫn được chia thành 5 nhóm Các nhóm cùng sửa bài với GV Mỗi nhóm đưa

ra nhận xét, phát biểu cách làm của nhóm mình Các nhóm khác nhận xét, phản biện và

bổ sung GV là người nhận xét, đánh giá sau cùng

Mục tiêu: Pha 3 là sự nhận xét, đánh giá các kết quả có được từ pha 2 nhưng có sự can thiệp từ GV (rất hạn chế) Đây cũng chính là pha hợp thức hóa của tiết học Nó cho phép ghi nhận lại những gì quan trọng, các yếu tố mà các em có thể học tập thông qua việc giải quyết vấn đề đưa ra HS được mong muốn để học: có những cách hợp lí khác nhau để giải một bài toán tính tích phân

2.2.3 Phân tích tiên nghiệm bài toán thực nghiệm

a Mục tiêu thực nghiệm

Mục tiêu chính của thực nghiệm là đi tìm câu câu trả lời cho các câu hỏi và kiểm chứng

tính đúng đắn của giải thuyết H được nêu ra trong phần đặt vấn đề.

Thêm vào đó, trong quá trình dạy chủ đề tích phân, chúng tôi cho rằng đã có một hợp đồng ngầm ẩn giữa GV và HS, đó là bài toán được kết thúc sau khi đã tìm ra đáp án chính xác của nó HS không cần phải nghiên cứu xem liệu lời giải có hợp lí chưa? Lời giải có thừa hay thiếu gì không? Còn có lời giải nào khác cho bài toán này hay không? Trường hợp đề bài yêu cầu tính tích phân đã cho bằng 5 cách đã dẫn đến sự phá vỡ hợp đồng và chúng tôi mong muốn rằng HS sẽ huy động kiến thức cần thiết để có thể trình bày lời giải bằng nhiều cách khác nhau

b Ngữ cảnh lớp học của bài toán thực nghiệm

Bài toán được tổ chức cho HS giải sau khi các em học xong chủ đề nguyên hàm – tích phân Trong đó, các phương pháp tìm nguyên hàm ít nhiều đã được đề cập

c Các cách giải có thể

S1 Vận dụng định nghĩa nguyên hàm

'

S2 Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bằng cung phụ

sin3 sin 2 2 0

S3 Đổi biến số

Đặt

4

t = − ⇒π x dx = −dt

Khi đó, 0 ,

x= ⇒ =t π x= ⇒ = −π t π

4 4

π π

−

−

−

S4 Sử dụng vi phân

S5 Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bằng công thức cộng

2

0

π

2.2.4 Phân tích kết quả thực nghiệm

Pha 1

Bảng 1.1: Thống kê số học sinh theo chiến lược giải, theo cách giải đúng

Số HS 29 (93.5%) 14 (45.2%) 31 (100%) 18 (58.1%) 31 (100%)

Số HS

làm

đúng

9 (31%) 12 (85.7%) 14 (45.2%) 17 (94.4%) 28 (90.3%)

- Chiến lược chiếm ưu thế thuộc về S5 (31/31 HS, chiếm 100%) Nhìn chung, các em đều định hướng đúng là có thể sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân để biến đổi

tích phân đã cho thành tổng (hiệu) của hai tích phân có thể sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm Hơn nữa, một số em còn bổ sung thêm công thức

sin a b− =sin cosa b−cos sina b trong bài làm của mình Điều này cũng có thể giải

thích dễ dàng bởi vì các em đã quen thuộc với việc trình bày cơ sở lí thuyết cho những suy luận của mình khi giải toán Có 3 HS (chiếm 9,68%) có lời giải không chính xác

- Chiến lược S3 cũng chiếm ưu thế không kém (31/31 HS, chiếm 100%) Tuy nhiên chỉ

có 14 HS (chiếm 45,16%) có lời giải đúng khi trình bày theo chiến lược này Sai sót nhiều nhất là sai cận của tích phân sau khi đã đổi biến số Việc định nghĩa tích phân xác định trên đoạn [ ]a b a b; , < vô hình chung đã dẫn các em đến sai lầm này mặc dù sách

giáo khoa trang 105 cũng đã có chú ý: “Trong trường hợp a b= hoặc a b> ta quy ước

f x dx= f x dx= − f x dx

- Chiến lược S1 cũng được rất nhiều HS lựa chọn (29/31 HS chiếm 93.55%) Nhìn chung, các em nắm vững định nghĩa nguyên hàm và có ý thức trong việc khai thác phương pháp này.Tuy nhiên, chỉ có 9 HS (chiếm 31.03%) có lời giải đúng Điều này cũng dễ thấy vì trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, các bài tập đều có thể giải được bằng những cách được trình bày cụ thể là bảng nguyên hàm, đổi biến số và đặt ẩn phụ HS cũng không có nhiều cơ hội để luyện tập phương pháp này khi không tìm hiểu nhiều cách để giải một bài tập

- Chiến lược S4 cũng có nhiều HS lựa chọn (18/31 HS chiếm 58.06%) Đây là chiến lược có tỉ lệ HS làm đúng cao nhất (17/18 HS chiếm 94.44%) khi đã lựa chọn và trình bày lời giải theo phương pháp này Nhận xét về ưu (nhược) điểm của từng cách giải khi được khảo sát đã cho thấy tính ưu việt của phương pháp vi phân

- Chiến lược S2 nhận được ít sự lựa chọn nhất, bởi hầu hết HS đầu cho rằng việc tìm

nguyên hàm của sin , cos

    là không có nhiều khác biệt Những hàm số

này đều có công thức tính trong bảng nguyên hàm mở rộng Nhưng với một số HS, việc

tìm nguyên hàm của hàm số cos

4 x

π

  giúp hạn chế sai sót về dấu Cụ thể:

( )

Những sai sót mà HS gặp phải khi trình bày lời giải theo các cách khác nhau là:

Viết thừa kí hiệu tích phân khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân (6 HS) Dưới đây là bài làm của một HS H19 mắc phải lỗi này:

2

0

π

Viết thiếu cung, sai cung của hàm số lượng giác (4 HS) Dưới đây là bài làm của một

Viết sai dấu (6 HS): Dưới đây là bài làm của một HS H5 mắc phải lỗi này:

Viết sai cận (2 HS): Dưới đây là bài làm của H1 mắc phải lỗi này:

Viết thiếu giá trị cận trên và giá trị cận dưới sau khi đã tìm được nguyên hàm: (12 HS)

Dưới đây là bài làm của một H21 mắc phải lỗi này:

2

' 0

cos 4 sin

4

4

x

x dx

x

π

π

Cách viết đúng

2 2

' 0

0

cos 4 sin

4

4

x

x dx

x

π

π

π

∫

Viết thiếu dx (5 HS): Dưới đây là bài làm của H15 mắc phải lỗi này:

Viết sai công thức lượng giác sin(a b− =) sina−sinb thay vì công thức đúng là

sin a b− =sin cosa b−cos sina b

Viết thiếu kí hiệu đạo hàm (6 HS) Dưới đây là bài làm của H19 mắc phải lỗi này:

2 2

0

0

cos 4 sin

4

4

x

x dx

x

π

π

π

Cách viết đúng:

2 2

' 0

0

cos 4 sin

4

4

x

x dx

x

π

π

π

∫

Viết sai công thức nguyên hàm:

2 2

π π

∫

2 2

π π

∫

Không tìm vi phân khi đổi biến số (1 HS) , 0 ,

t= −π x x= ⇒ =t π x= ⇒ = −π t π

t = − ⇒π x dx = −dt x= ⇒ =t π x= ⇒ = −π t π

Bảng 1.2: Thống kê số HS theo số cách mà các em đã làm đúng

Pha 2

Bảng 2.1: Thống kê số nhóm theo chiến lược giải, theo cách giải đúng

Số nhóm 5 (100%) 5 (100%) 5 (100%) 5 (100%) 5 (100%)

Số nhóm

làm

đúng

5 (100%) 5 (100%) 3 (60%) 5 (100%) 4 (80%)

Từ bảng thống kê cho thấy, các nhóm đã nắm được yêu cầu của bài toán, tức các em cố gắng đưa ra 5 cách giải khác nhau Có 3 cách giải mà có 5 nhóm đều làm đúng (cách 1,

2, 3) Tuy nhiên, không phải nhóm nào cũng thành công với 5 cách giải Riêng cách 3

có nhóm 2 và nhóm 5 thực hiện không ra đúng kết quả Cả 2 nhóm đều tìm nguyên hàm

sai sau khi đổi cận Chẳng hạn, bài làm của nhóm 2 như sau:

4

4 4 4

sintdt sint

π

π π

−

=

vào đó, chỉ có 4 nhóm (chiếm 80%) làm đúng theo cách giải 5 bởi vì nhóm 5 đã khai

triển sai công thức lượng giác sin( ) sin sin

Mặc dù, làm việc nhóm tạo cơ hội cho các em sữa chữa những sai lầm cho nhau Nhưng cũng có 2 nhóm chưa thực sự làm tốt được điều đó Chính vì vậy, chúng tôi cũng cần có pha 3 với kết quả như bên dưới đây

Pha 3

Giáo viên tổ chức cho đại diện của mỗi nhóm trình bày sản phẩm của nhóm, các HS ở nhóm khác nhận xét, phản biện sản phẩm của nhóm được trình bày, đại diện nhóm trình bày bảo vệ quan điểm của nhóm Giáo viên cho HS thống nhất ý kiến và đưa ra kết luận sau cùng Qua hai pha: làm việc cá nhân và làm việc theo nhóm trước đó, HS dễ dàng nhận xét, rút ra được những kiến thức, kinh nghiệm khi trình bày lời giải bài toán đã nêu Hoạt động học tập này sẽ trở thành thói quen tốt khi được tổ chức rèn luyện thường xuyên bởi sau hoạt động này HS đã hình thành kĩ năng nghiên cứu khoa học, biết đào sâu kiến thức, khai thác được tri thức phương pháp để hình thành nhiều cách giải khác nhau, tìm được cách giải hợp lí nhất (tối ưu) và trên hết là đã nhận xét được ưu/khuyết của từng cách giải Cụ thể các em đã nhận xét như sau:

Đối với S1 cách vận dụng định nghĩa nguyên hàm

2 2

0

0

4

4

x

x dx

x

π

π

π

−

−

điểm là nhanh chóng tìm được kết quả nhưng nhược điểm là dễ quên chia cho u'

Đối với S2 cách biến đổi lượng giác bằng cung phụ

2 2

∫ ∫ thì ưu điểm là tìm được trực tiếp nguyên hàm là

sin

4 x

π

  hạn chế được việc sai dấu nhưng nhược điểm lại là khó khăn khi tìm ra

công thức biến đổi sin u thành cos u

t = − ⇒π x dx= −dt x= ⇒ =t π x= ⇒ = −π t π

thì

ưu điểm là đưa hàm số đã cho về dạng cơ bản đơn giản hơn nhưng nhược điểm của cách làm này là phải tìm vi phân, đổi cận và viết tích phân mới theo biến mới, cận mới Đây là những chi tiết mà HS dễ bỏ sót

Đối với S4 cách dùng vi phân 2 2

biến đổi trực tiếp không cần phải đổi cận nhưng nhược điểm là dễ sai sót, đặc biệt là sai

dấu khi viết 2 ( ) 2 ( )

f x dx f u du

=

Đối với S5 cách dùng công thức cộng 2 2

thì ưu điểm là nhìn thấy ngay công thức cần sử dụng nhưng nhược điểm lại là lời giải dài và dễ sai dấu khi thế giá trị cận trên, cận dưới để tính giá trị của tích phân đã cho

3 KẾT LUẬN

Những kết quả đạt được cho phép trả lời được các câu hỏi xuất phát và khẳng định tính

đúng đắn của giả thuyết H Trong đó, HS đã thực sự khai thác được những kiến thức

cần thiết trong SGK để đưa ra những lời giải thích đáng, gián tiếp góp phần vào việc rèn luyện và phát triển tư duy cho các em Một ghi nhận khác là còn rất nhiều sai sót

của HS khi tính tích phân: thiếu dx , thiếu cận trên và cận dưới, sai công thức nguyên

hàm, ghi sai cận, không thuộc công thức lượng giác, Chúng tôi thiết nghĩ đây cũng là một vấn đề nghiên cứu thú vị trong thời gian sắp tới

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.

2 Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, Nha Trang.

3 Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, TP Hồ Chí Minh.

4 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 12 môn toán, Nxb Giáo dục, Phú Yên.

5 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn toán lớp 12, Nxb Giáo dục, Phú Yên.