chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?. Hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất bằng 2... 2.3 Khi xác định hàm số lượng giác có đồ thị cho trước, ta cần chú ý đến các yếu tố sau: • C

Chương i hàm số lượng

Các em học sinh theo dõi facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong

để nhận được nhiều tài liệu hay hơn

Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489 để biết thêm chi tiết

•Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sinx k2sinx với k  

•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

•Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cosxk2cosx với k  

•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

-π2

3π 2 π

2 -1

1

3π 2π

π

f x ( ) = sin x( )

•Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tanxk tan ,(x k  )

•Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , 

x

-3π

-π 2

3π 2

π 2

3π 2π

π -π

-2π -3π

f x ( ) = cos x( )

-3π

-π 2

3π 2

π 2

•Hàm số tuần hoàn với chu kỡ  , cú nghĩa cotx k cot ,(x k   )

•Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng k  ; k ,k  

•y cotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng x k k ,   làm đường tiệm cận (Hỡnh 4)

ii các dạng toán thường gặp và phương pháp giải

Daùng toaựn 1: Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa haứm soỏ

2

-π2

-3π

2-π π 2π-2π

f(x)=cotan(x)

O y

x

• Hàm số  

 

P x y

Q x

 xác định khi Q x   0 Từ đó suy ra:

- Hàm số y tanx xác định khi cosx 0

- Hàm số y cotx xác định khi sinx  0

• Hàm số y  f x  xác định khi f x   0

Ví dụ 1 Tìm tập xác định D của hàm số sin 22

sin cos

x y

Câu 4 Hàm số 1 cos

1 sin

x y

• Nếu f  x f x  với mọi x D thì hàm số y f x  là hàm số chẵn

• Nếu f   x f x  với mọi x D thì hàm số y  f x  là hàm số lẻ

• Nếu  x D mà f  x f x  hoặc f   x f x  thì hàm số y f x  là hàm số không chẵn (không lẻ)

Chú ý: Khi xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ta cần lưu ý:

•  x , sin   x sin x •  x , cos  x cos x

Ví dụ 3 Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?

A y sin x B y cos x C y  tan x D y cot x

Ví dụ 4 Hàm số y sin cosx x là:

 thỏa mãn tính chất nào sau đây?

A Hàm chẵn B Hàm không có tính chẵn , lẻ

C Xác định trên  D Hàm lẻ

Câu 9 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y sin 2x B y sin cos 2x x C tan

.cos

x y

x

.sin

x y

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, ta biến đổi hàm số đã cho

về dạng y  a bsint hoặc y  a bcos t

Và sử dụng kết quả:  1 sint   1, 1 cost1

Ví dụ 5 Hàm số y 2 sin cosx x cos 2x có giá trị lớn nhất là:

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2.

D Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2

Câu 15 Hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất bằng 2

A y tanxcot x B y 2 tan x

C y  2 cos xsinx D sin 2

Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác ta cần lưu ý rằng:

• Hàm số y sin ,x ycosx có chu kì T 2 

• Hàm số y tan ,x ycotx có chu kì T 

• Hàm số y sinaxb y, cosaxb a, 0 có chu kì 2

T a

A T 2  B.T  C 2

.3

Khi xác định hàm số lượng giác có đồ thị cho trước, ta cần chú ý đến các yếu tố sau:

• Các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua;

• Xác định chu kì của đồ thị hàm số thông qua đồ thị

Ví dụ 9 Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

Câu 21 Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

A y sin 2 x B y sin 3 x C y cos x D y cos 2 x

Câu 22 Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây:

A y tan 2 x B y cot 3 x C tan

Bước 2 Nhập biểu thức vào mỏy tớnh

Bước 3 Thử cỏc giỏ trị tường minh

x   thỡ kết quả mỏy tớnh bằng 0 Nờn chọn C

Ngoài ra, phương phỏp này cú thể ỏp dụng cho cỏc bài toỏn phương trỡnh lượng giỏc, vấn

đề này sẽ núi sau

iii bài tập trắc nghiệm tự luyện (có đáp án)

Cõu 1 Tập xỏc định của hàm số y  1sinx là:

A D  1;1 

  B.D   0;1 C.D   D.D   1;1  Cõu 2 Tập xỏc định của hàm số y  1cos2x là:

A D  1;1 

  B.D  0;1 C.D   D.D  \ 1   Cõu 3 Tập xỏc định của hàm số y tanxcotx là:

A y cosxsin 2x B y sinxcos x

C y  cos x D y sin cos 3 x x

Câu 7 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y  sin x B y  sinx cos x

C y  cosxsin 2x D y sin cos x x

Câu 8 Giá trị lớn nhất của hàm số cos 2 sin 3

Câu 12 Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  0; ?

A y sin x B.y cos x C.y  tan x D.y x2

Câu 13 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y 2x 3 sin x B.y sinx cosx  x

Câu 17 Chu kì của hàm số   cot cot cot

.3

Câu 24 Tập giá trị của hàm số y 2 sin 2x  là: 3

A T   0;1  B T   2; 3  C.T   2; 3 

  D.T   1;5  Câu 25 Cho hàm số   2 tan 3 tan

BàI 2 PHƯƠNG TRìNH Lượng giác cơ bản

I kiến thức cần nhớ

Phương trỡnh sinx a  1

• a  : Phương trỡnh 1  1 vụ nghiệm

• a  : Gọi 1  là một cung sao cho sin  a Khi đú  1  sinx sin và  1 cú cỏc

   và sin  a thỡ ta viết  arcsin a

- Phương trỡnh sinx sin

• a  : Gọi 1  là một cung sao cho sin  a Khi đú  2  cosx cos và  2 cú cỏc

- Khi 0   và cos  a thỡ ta viết   arccos a

- Phương trỡnh cosx cos

   và tan  a thỡ ta viết  arctan a

- Phương trỡnh tanx tan

- Khi      và cot   a thỡ ta viết   arccot a

- Phương trỡnh cotx cot

cú cỏc nghiệm: x  k180 , k Phương pháp casio để giảI toán trắc nghiệm phương trình lượng giác

Với mục đớch là kiểm tra nghiệm của phương trỡnh lượng giỏc

Dạng 1 Nghiệm phương trỡnh lượng giỏc Fsin;cos; tan;cot0 Để kiểm tra nghiệm

ta dựng chức năng tớnh bảng giỏ trị (Table)

Khi làm việc với hàm lượng giỏc, mỏy tớnh phải đưa về chế độ RAD đ : Shift >Mode>4 Phương phỏp:

Nhập hàm, chuyển tất cả phương trỡnh về 1 vế trỏi, vế phải luụn bằng 0

Nhận xột trước cỏc phương ỏn để chọn khoảng xột:

+ Nếu cỏc nghiệm đều dương thỡ chọn khoảng xột là 0;2

 

+ Nếu cú nghiệm õm thỡ chọn  ; 

+ Chọn 1 vũng đường trũn lượng giỏc là để xột k 2  hay k hay

Xét các giá trị nghiệm chọn bước nhảy thích hợp Sau khi có bảng, thì nếu cột

Câu 29 Phương trình cos 1

Câu 30 Phương trình cos 32 x  có nghiệm là: 1

  , phương trình sinx  1 cos2x có tập nghiệm là:

C.2 sinx 3 cosx 1 D.cot2xcotx 5 0

Câu 40 Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

A sin 2xcos 2x 1 B.sin 2xcosx 0

Câu 49 Phương trình 2 cos 3 0

26

A

2

526

Câu 56 Nghiệm phương trình cos 1 0

Cõu 77 Số nghiệm của phương trỡnh sin 1

BàI 3 MộT Số PHƯƠNG TRìNH Lượng giác thường gặp

i kiến thức cần nhớ

Tài liệu chỉ nhắc đến cỏc dạng toỏn thường gặp

ii.các dạng toán thường gặp và phương pháp giải

Daùng toaựn 1: Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sinx vaứ cosx

Vớ dụ 1 Giải phương trỡnh: 3 sin 2x cos 2x 1

Hướng dẫn: Chia hai vế cho 2

Vớ dụ 2 Giải phương trỡnh: 5 sin 2x 12 cos2x 13

Hướng dẫn: Chia hai vế cho 13

Ví dụ 3 Giải phương trình: 3 sin 2x cos 2x 2 cosx 1

Hướng dẫn: sin 2x 2 sin cos , cos 2x x x 2 cos2x1.

Ví dụ 5 Giải phương trình: 2 cos x 3 sinxcosx cosx 3 sinx  1

Hướng dẫn: 2 cos x 3 sinxcosx 2 cos2x  3 sin 2 x

Ví dụ 6 Giải phương trình: sin 8xcos 6x  3 sin 6 x cos 8x

Hướng dẫn: sin 8 x 3 cos 8x  3 sin 6xcos 6 x

a a

m m

  



 

 B.m 4. C.m  4. D. 4 m4. Câu 6 Tổng các nghiệm của phương trình cos 2xsin 2x  trong khoảng 1 0;2 là: 

A 7

.4



.4



Câu 7 Nghiệm của phương trình 2 sinxcosx1 3 cos 2x là:

m m

m m

m m

 



  

 C 4 m 0. D 0m 4.Câu 11 Giải phương trình 3 sinxcosx 1 0

224

k k x

k x

k x

k x

Câu 18 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 sinx4 cosx5

A miny 0, maxy 12 B miny 0, maxy 10

C miny0, maxy 5 D miny  2, maxy  5

Câu 19 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau sin 2 cos 1

C miny  1, maxy 2 D miny  2, maxy 2.

Ví dụ 7 Giải phương trình sau: 2 cos2x3 cosx 1 0



.8



.4

x   Câu 22 Nghiệm bé nhất của phương trình 2 sin2x5 sinx  3 0 thuộc 0;2 

  là:

Câu 23 Số nghiệm của phương trình cos 2xsin2x 2 cosx  1 0 thuộc 0; 4 

  là:

Hướng dẫn: Đưa về cùng cung x

Câu 29 Giải phương trình cos 3x cos2x cosx 1 0

Hướng dẫn: Đưa về cùng cung x

Câu 30 Giải phương trình 12

C

4arccot 2

Câu 31 Giải phương trình 1 5 sin 2 cos  2x 0

A

2

526

Câu 33 Giải phương trình cos2 12 2 cos 1 2 0.

coscos

x x

2

coscos

x x

2 tan cot 2 sin 2

C

2

5212

k k x

k k x

 Trường hợp 1 :Xét cosx  0 sinx  1.Thay vào (1) xem thoả hay không thoả.Kết luận

 Trường hợp 2:Xét cosx 0.Chia hai vế của (1) cho cos x ,rồi đưa về phương trình bậc hai 2theo tan x ,giải bình thường

  1  adtan2x btanx   c d 0.

Sơ đồ tư duy:

Ví dụ 13 Giải phương trình: 3 sin2x6 sin cosx x 3 2  3 cos 2x   3

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos 2x

Ví dụ 14 Giải phương trình: 2 sin2x 3 3 sin cosxcos2x  4

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos 2x

Ví dụ 15 Giải phương trình: sin2 sin 2 2 cos2 1

2

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos 2x

Ví dụ 16 Giải phương trình: 3 cos4x4 sin2xcos2xsin4x 0

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos4x

k k x

k k x

k k x

Hướng dẫn: Chia 2 vế cho cos x3

Câu 50 Giải phương trình 2 cos3x sin 3x

k k

C arctan 2

k x

k k

Hướng dẫn: sin 3x 3 sinx4 sin3x

Câu 51 Giải phương trình 2 sin2x 3 sin cosx x3 cos2x 2

A

2

1arctan

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cos x2

Câu 53 Giải phương trình sau 2 sin2x 3 3 sin cos x x  31 cos 2x   1

Câu 63 Giải phương trình sin 3xcos 3x 2 cosx 0

Dạng toán 4: Phương trình đối xứng

sin cos  sin cos 0 1 

Thay vào (1) rồi giải phuong trình bậc 2 theo t

Sơ đồ tư duy:

Ví dụ 18 Giải phương trình sinxcosxsin cosx x 1 0

Ví dụ 21 Giải phương trình 2 sin 2x3 6 sinxcosx  8 0

Hướng dẫn: Đặt t  sinx cosx ( Đk : 0 t 2 )  t2 (sinxcos )x 2

Hướng dẫn:sin 2x (sinxcos )x 1

Dạng toán 5: Phương trình đối xứng

tan2 cot2  tan cot  0 1 



Ví dụ 23 Giải phương trình lượng giác 2 tanx5 tan x2 cotx5 cot x  8 0

Hướng dẫn:  1 tan2xcot2x5 tan x cotx 8 0.

Ví dụ 24 Giải phương trình lượng giác 3 tan2x 8 cotx 8 tanx 3 cot2x2 3

Hướng dẫn:  1  3 tan 2xcot2x8 tan xcotx2 3 0

 Áp dụng làm các bài tập sau:

Câu 68 Giải phương trình sin 2x 4 sin xcosx4

1 sin 2 cos 2 sin 4

sin 2xcos 2x và chuyển sin 4 x 2 sin 2 cos 2 x x

Câu 74 Giải phương trình 6 sin xcosxsin cosx x  6 0

Hướng dẫn: cos 2x cos2xsin2x cosxsinxcosx sinx

sinx cosx  2 sin 2x 1 sinx cosx  2

sin 2x  1 sinx cosx ,t sinxcosx

Câu 77 Giải phương trình tan3xcot3x3 tan 2xcot2x3 tan xcotx10 0

Câu 80 Giải phương trình 2  

x x

ễN TẬP CHƯƠNG I

Phần 1 Hàm số lượng giác

Cõu 1 Tỡm tập xỏc định của hàm số 1 sin 2

.cos 3 1

x y

A miny  2; maxy 5 B miny  1; maxy 4.

C miny  1; maxy 5 D miny  5; maxy 5

Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1 4 sin 22 x

A miny  2; maxy 1 B miny  3; maxy 5

C miny  5; maxy 1 D miny  3; maxy 1

Câu 14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 sinx  3

A miny 1;maxy  5 B miny  5; maxy 2 5

C miny 2; maxy  5 D miny  5; maxy 3

Câu 15 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 2 2sin 42 x

A miny  3 2 2; maxy  3 2 3 B miny  2 2 2; maxy  3 2 3

C miny  3 2 2; maxy  3 2 3. D miny  3 2 2; maxy  3 3 3.Câu 16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 cosx sinx  4

A miny2; maxy 4 B miny2; maxy 6

C miny 4; maxy 6 D miny 2; maxy 8

Câu 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1 2 cos2x  1

A miny  1 3; maxy 1 B miny  1 3; maxy  3

C miny  1 3; maxy  2 D miny  1 3; maxy  0

Câu 18 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 2 cos 32 x

A miny 1; maxy 2 B miny1; maxy 3

C miny 2; maxy 3 D miny  1; maxy3

Câu 19 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1 2sin 2x

A miny 2; maxy  1 3 B miny 2; maxy  2 3.

C miny 1;maxy  1 3 D miny 1; maxy 2

Câu 20 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2

Câu 22 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 sinx 4 cosx 1

A miny  6; maxy 4 B miny  6; maxy 5

C miny  3; maxy 4 D miny  6; maxy 6

Câu 23 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 sin2x 3 sin 2x4 cos2x

A miny  3 21; maxy 3 2 B min1 y  3 21; maxy 3 2 1

C miny  3 2; maxy 3 2 1 D miny  3 22; maxy 3 2 1.Câu 24 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin2x 3 sin 2x 3 cos2x

A miny  2 10; maxy  2 10 B miny  2 5; maxy  2 5

C miny  2 2; maxy  2 2 D miny  2 7; maxy  2 7

Câu 25 Khi x thay đổi trong nửa khoảng ;

A 3;10  

  B 6;10   C.1;13  D 1;11  

Câu 28 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A y  2 sinx là hàm số lẻ B y  tanxsinx là hàm số lẻ

C y  tanx cosx là hàm số lẻ D y sinx là hàm số lẻ x

Câu 29 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A 19

;10 2

C y là hàm số không chẵn, không lẻ D y là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ

Câu 33 Cho hàm số y f x cos2n 1x n,   Hàm số * f x là:  

A y tan 2 x B y tan x C.y 2 tan x D.y cot x

Câu 42 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.y  tan 2 x B.y  1 2 cos 2x C.y 2 tan x D.y cot x

Câu 43 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.y cos 2 x B.y tan x C.y sin 2 x D.y cos x

Câu 44 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.y cos 2 x B.y  tan x C.y  sin 2 x D.y 2 cos x

Câu 45 Đồ thị hàm số y  sinx trên đoạn 0;2 

  là:

Câu 46 Đồ thị hàm số y  sinx trên đoạn 0;2 

Câu 24 1 cos 2 3 1 cos 2 

x x

k x

72

k k x

k k x

k k x

k k x

Câu 28 Phương trình cos 4

tan 2cos 2

Câu 30 Giải phương trình 3 cot2x   3 với điều kiện cosx 0

A

2

23

x x

.1

Cõu 39 Giải phương trỡnh   2

Phần 3.Một số phương trình lượng giác thường gặp

Cõu 1 Giải phương trỡnh 2 sin2x3 sinx  1 0

A

22

656

6526

1

41

A

2

24

k k

k k x

Câu 33 Phương trình 3 sinxm1 cos x m  (với m là tham số) có nghiệm khi: 2

A m 1 B m  1 C.m  1 D.m 1

Câu 34 Phương trình msinx 3 cosx 2m có nghiệm khi:

A m 3 B.m   3 C.m  3 D m  3

Câu 35 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 cosx sinx 2

A miny   2 5; maxy   2 5 B miny   2 7; maxy   2 7

C miny   2 3; maxy   2 3 D miny   2 10;maxy   2 10.Câu 36 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 sin 3x3 cos 3x 1

A miny  3; maxy 6 B miny  4; maxy 6

C miny  4; maxy 4 D miny  2; maxy 6

Câu 37 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 2 2 cos 2 3