Một số định lý tồn tại nghiệm trong quy hoạch toàn phương

Tính chất này được xem như định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính.Frank - Wolfe [5] đã chỉ ra rằng nếu một hàm toàn phương bất kể hàm đólồi hay không mà bị chặn dưới trên tập lồi đa diệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HỮU SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HỮU SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính 4

1.2 Định lý Frank-Wolfe của quy hoạch toàn phương 6

1.3 Mở rộng định lý Frank - Wolfe 12

1.3.1 Quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương 13

1.4 Quy hoạch đa thức lồi 15

2 Quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert 17 2.1 Giả thiết cơ bản và các bổ đề phụ trợ 17

2.2 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ nhất 21

2.3 Trường hợp một ràng buộc 29

2.4 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ hai 33

Lời cảm ơn

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “MỘT SỐĐỊNH LÍ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀNPHƯƠNG” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của bản thân

và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp

và người thân Qua trang viết này tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người đãgiúp đỡ tôi trong thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi GS.TS Trần Vũ Thiệu,người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôitìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề nhờ đó tôimới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình Từ tận đáy lòng, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cốgắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo và các thầy côKhoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã quantâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình, đặc biệt là bố mẹ Những người luôn động viên, chia sẽ mọikhó khăn cùng tôi trong suốt thời gian tôi theo học thạc sĩ tại trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Hữu Sơn

Bảng ký hiệu

R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng

l2 không gian các dãy số vô hạn

|x| giá trị tuyệt đối của x ∈ R

{xn} hay {xk} dãy điểm trong H

xk * x0 xk hội tụ yếu (hội tụ theo tích vô hướng) tới x0

xk → x0 xk hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) tới x0

hx, yi tích vô hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H

dC(x) khoảng cách từ điểm x tới tập C

A + B tổng véc-tơ của hai tập A và B

A − B hiệu véc-tơ của hai tập A và B

0+F nón lùi xa của tập lồi F

intS phần trong của S(= intHS)

Mở đầu

Khi xét bài toán tối ưu min{f (x) : x ∈ D} ta thường đặt ra câu hỏi: Vớinhững điều kiện nào của hàm hàm mục tiêu f và tập ràng buộc D thì bàitoán có nghiệm tối ưu?

Trong quy hoạch tuyến tính ta đã biết sự kiện quen thuộc sau: một hàmtuyến tính bị chặn dưới trên tập lồi đa diện D 6= ∅ phải đạt cực tiểu trên

D Tính chất này được xem như định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính.Frank - Wolfe [5] đã chỉ ra rằng nếu một hàm toàn phương (bất kể hàm đólồi hay không) mà bị chặn dưới trên tập lồi đa diện D 6= ∅ thì hàm đó chắcchắn đạt cực tiểu trên D Kết quả này được biết với tên gọi định lý Frank -Wolfe trong quy hoạch toàn phương và định lý này là một mở rộng của định

lý cơ bản trong quy hoạch tuyến tính

Tiếp đó nhiều tác giả khác đã mở rộng định lý Frank - Wolfe cho các lớphàm mục tiêu khác và tập ràng buộc D có thể khác tập lồi đa diện

Đề tài luận văn đề cập tới các định lý tồn tại nghiệm của các dạng khácnhau của bài toán quy hoạch toàn phương lồi hoặc không lồi và giới thiệumột kết quả tổng quát mới, nêu ra trong tài liệu tham khảo [4] về sự tồn tạinghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert

Để hiểu rõ các dạng bài toán quy hoạch toàn phương và các định lý tồn tạinghiệm sẽ trình bày, luận văn nhắc lại một số khái niệm cần thiết về tập lồi,hàm toàn phương, dạng thức Legendre, toán tử compact trong không gianHilbert và các kết quả về sự tồn tại nghiệm của các bài toán quy hoạch toànphương trong Rn Các kiến thức và kết quả cơ bản này chủ yếu được trìnhbày ở chương 1 của luận văn

Nội dung tiếp theo của luận văn là giới thiệu kết quả nghiên cứu mới [4]

về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi trongkhông gian Hilbert Các định lý kiểu Frank - Wolfe thứ nhất và thứ hai vàcác hệ quả trong các trường hợp riêng Những nội dung này sẽ được trìnhbày chi tiết ở chương 2 của luận văn

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên trên các tài liệu tham khảo [1] − [8]hiện có và gồm hai chương.

Chương 1 "Bài toán quy hoạch toàn phương trong Rn" trình bày các kếtquả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính (định lý cơ bảncủa quy hoạch tuyến tính), bài toán quy hoạch toàn phương với các ràngbuộc tuyến tính (định lý Frank - Wolfe trong quy hoạch toàn phương), bàitoán quy hoạch toàn phương với các ràng buộc toàn phương và trong quyhoạch đa thức lồi Với mỗi lớp bài toán được xét đều có dẫn ra các ví dụphân tích các giả thiết nêu trong các định lý tương ứng

Chương 2 "Quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert" trình bàykết quả nghiên cứu mới ở [4] về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạchtoàn phương không lồi với miền ràng buộc được xác định bởi các bất đẳngthức tuyến tính hay toàn phương lồi trong không gian Hilbert Để thu đượccác kết quả này, các tác giả [4] đã sử dụng các tính chất của dạng thứcLegendre hoặc các tính chất của toán tử compac với miền giá trị đóng Cáckết quả về sự tồn tại nghiệm được thiết lập không cần đến tính lồi của hàmmục tiêu hoặc tính compact của tập ràng buộc và chúng bao hàm như trườnghợp riêng một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toànphương trong không gian Rn

Bài toán quy hoạch tuyến tính, ký hiệu (LP ), có thể phát biểu dưới dạng:

min{f (x) = cTx : Ax ≤ b}, (LP)

trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm, c, x ∈ Rn (x - véc tơ biếncần tìm)

Trong quy hoạch tuyến tính ta đã biết sự kiện quen thuộc với tên gọi "định

lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính" Nội dung định lý như sau

Định lý 1.1.1 ([7], Định lý 9, tr 312) Một hàm tuyến tính f (x) = cTx bịchặn dưới trên một tập lồi đa diện D 6= ∅ phải đạt cực tiểu trên D

Chứng minh Giả sử D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} Theo định lý biểu diễn tậplồi đa diện, mọi x ∈ D có biểu diễn

hwi, wji = 0, i 6= j (Nếu D không chứa đường thẳng nào, tức là r = 0, thì

có thể lấy ui là các đỉnh của D và vj là các tia cực biên của nón lồi đa diện

Liệu định lý này còn đúng nếu hàm f khác hàm tuyến tính hoặc tập ràngbuộc D không còn là tập lồi đa diện?

Nhận xét 1.1.2 Định lý 1.1.1 nói chung không còn đúng nếu hoặc f kháchàm tuyến tính hoặc tập D không là tập lồi đa diện Các Ví dụ 1.1.3 và 1.1.4dưới đây minh hoạ cho nhận xét này

Ví dụ 1.1.3 Bài toán với hàm mục tiêu tuyến tính và D khác tập lồì đadiện:

min{x2 : x1x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

vô nghiệm, mặc dù θ := inf{x2 : x1x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} = 0 > −∞(xem Hình 1.1).

Hình 1.1: Ví dụ 1.1.3

Ví dụ 1.1.4 Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu khác hàm tuyến tính có thể

vô nghiệm ngay cả khi hàm mục tiêu có cận dưới hữu hạn Chẳng hạn, bàitoán cực tiểu: min

(1

1 + x2 : x ∈ R

)(xem Hình 1.2)

Hình 1.2: Ví dụ 1.1.4

1.2 Định lý Frank-Wolfe của quy hoạch toàn phương

Xét bài toán quy hoạch toàn phương, ký hiệu là (QP ), có dạng

min{f (x) = 1

2x

TQx + cTx : Ax ≤ b}, (QP)

với Q ∈ Sn (ma trận đối xứng), A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm

và c ∈ Rn Quy hoạch tuyến tính là trường hợp riêng của quy hoạch toànphương (khi Q = 0)

Ký hiệu D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} và θ = inf f (x) : x ∈ D Rõ ràng là nếu

D = ∅ hoặc nếu θ = −∞ thì bài toán (QP ) không có nghiệm Câu hỏi đặt

ra là liệu với D 6= ∅ và θ > −∞ thì (QP ) luôn có nghiệm hay không?

Vào năm 1956 M Frank và F Wolfe trong [3] đã công bố một kết quảquan trọng, được biết với tên gọi định lý Frank-Wolfe, giải đáp câu hỏi nêutrên về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương (QP )

Định lý 1.2.1 (Định lý Frank-Wolfe) Nếu hàm toàn phương f (x) = 1

2x

TQx+

cTx bị chặn dưới trên một tập lồi đa diện D khác rỗng (tức θ > −∞) thì fphải đạt cực tiểu trên D, nghĩa là tồn tại véctơ ¯x ∈ D sao cho f (¯x) ≤ f (x)với mọi x ∈ D

Có nhiều cách chứng minh định lý Frank - Wolfe Sau đây tôi trình bàychứng minh nêu ở [8] (không rõ tác giả) khá ngắn gọn cho định lý Frank -Wolfe, dựa trên định lý quen biết về biểu diễn tập lồi đa diện qua các đỉnh

và cạnh của nó)

Để tiện theo dõi, sau đây sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã có

về giải tích lồi (xem [1], [2])

Định nghĩa 1.2.2 Tập M ⊆ Rn gọi là một tập afin nếu λa + (1 − λ)b ∈ Mvới mọi a, b ∈ M và mọi λ ∈ R, tức là nếu M chứa trọn đường thẳng đi quahai điểm bất kỳ của nó Nói riêng tập ∅, tập gồm duy nhất một điểm vàtoàn bộ Rn đều là các tập afin Siêu phẳng trong Rn là một tập afin có dạng

H = {x ∈ Rn : aTx = α} với a ∈ Rn, a 6= 0, và α ∈ R

Có thể chứng minh được rằng tập M (khác rỗng) là tập afin khi và chỉkhi M = a + L, trong đó a ∈ M và L là một không gian con (được xác địnhduy nhất), gọi là không gian con song song với M Từ đó, ta định nghĩa thứnguyên hay số chiều của tập afin M , ký hiệu dimM , bằng số chiều của khônggian con L song song với M

Định nghĩa 1.2.3 Cho E là một tập bất kỳ trong Rn Giao của tất cả cáctập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là af f E Đó là tập afin nhỏnhất chứa E

Định nghĩa 1.2.4 Thứ nguyên hay số chiều của tập lồi C ⊆ Rn, ký hiệudimC, là thứ nguyên hay số chiều của bao afin của nó Một tập lồi C trong

Rn gọi là có thứ nguyên đầy đủ nếu dimC = n

Có thể chứng minh rằng tập lồi C trong Rn có phần trong khác rỗng khi

và chỉ khi C có thứ nguyên đầy đủ, tức là intC 6= ∅ ⇔ dimC = n

Định nghĩa 1.2.5 Cho C là một tập lồi trong Rn Véc - tơ d ∈ Rn, d 6= 0,gọi là một hướng lùi xa của C nếu

{x + λd : λ ≥ 0} ⊂ C với mọi x ∈ C(mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ x ∈ C theo hướng d đều nằm trọntrong C) Tập tất cả các hướng lùi xa của C, cùng với véc - tơ 0, gọi là nónlùi xa của C, ký hiệu là recC hoặc 0+C

Có thể chứng minh được rằng tập lồi đóng C là compact khi và chỉ khinón lùi xa của nó gồm duy nhất điểm 0, tức là recC = {0} Hơn nữa, vớitập lồi đa diện thì

D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}(A ∈ Rm×n, b ∈ Rm) ⇒ recC = {d ∈ Rn : Ad ≤ 0}.Chứng minh nêu dưới đây dựa chủ yếu vào tài liệu [8] với một số diễn giảicần thiết

Chứng minh định lý Frank - Wolfe Ta giả thiết D không bị chặn, vìnếu D bị chặn thì định lý đúng với mọi hàm liên tục Vì vậy, theo định lýbiểu diễn tập lồi đa diện, ta có thể viết

D = {x : Ax ≤ b} = {p + λs : p ∈ P, s ∈ S, λ ≥ 0},

trong đó P là một đa diện lồi và S là giao của nón lùi xa recD (nón cáchướng lùi xa của D) với mặt cầu đơn vị trong Rn Để ý là cả P và S là cáctập compact (đóng và bị chặn) Vì D không bị chặn, tức recD 6= {0}, nêntập S khác rỗng

Ta chứng minh bằng qui nạp theo số chiều của D Không giảm tổng quát,

ta có thể giả thiết D có phần trong khác rỗng, nghĩa là dimD = n

Rõ ràng định lý đúng với n = 1, bởi vì trong trường hợp này hàm mộtbiến f (x) = ax2+ bx + c là một tam thức bậc hai bị chặn dưới theo giả thiết

và D là một tia hay cả đường thẳng (do D không bị chặn) trong R1

Giả thiết qui nạp: Giả sử n > 1 và định lý đúng cho mọi tập lồi đa diện khácrỗng với số chiều nhỏ hơn n Theo giả thiết θ = inf {f (x) : x ∈ D} > −∞.Khi đó, theo định nghĩa của hàm f , với mọi x = p + λs ∈ D (p ∈ P, s ∈

Do f (x) = f (p + λs) ≥ θ với mọi λ ≥ 0 nên phải có sTQs ≥ 0 với mọi

s ∈ S (vì trái lại f (x) → −∞ khi cho λ → +∞, trái với θ > −∞) Xét haitrường hợp:

• Trường hợp 1: sTQs > 0 với mọi s ∈ S Đặt

¯

λ = max{0, −(c + Qp)

Ts

sTQs },trong khi đó cực tiểu của

{p + λs : p ∈ P, s ∈ S, λ ∈ [0, −β

α]}.

Rõ ràng tập này chứa một điểm ¯x sao cho

f (¯x) = min{f (x) : x ∈ D}

• Trường hợp 2: ¯sTQ¯s = 0 với ¯s nào đó thuộc S.

Khi đó, do ¯s ∈ S nên với mọi x ∈ D và mọi λ ≥ 0 ta có x + λ¯s ∈ D và

f (x + λ¯s) = f (x) + λ(c + Qx)Ts ≥ θ.¯Như vậy phải có (c + Qx)Ts ≥ 0 với mọi x ∈ D (vì nếu có (c + Qx)¯ Ts < 0¯thì f (x + λ¯s) → −∞ khi λ → +∞, trái với θ > −∞ theo giả thiết)

+ Trước hết giả sử tồn tại y ∈ D sao cho y + λ¯s ∈ D với mọi λ ∈ R, nghĩa

là A(y + λ¯s) ≤ b với mọi λ ∈ R Điều này kéo theo A¯s = 0 Từ đó suy ra

x + λ¯s ∈ D với mọi x ∈ D và mọi λ ∈ R Hơn nữa do

f (x + λ¯s) = f (x) + λ(c + Qx)Ts ≥ θ.¯

nên (c + Qx)Ts = 0 với mọi x ∈ D và do đó f (x + λ¯¯ s) = f (x) với mọi x ∈ D

và mọi λ ∈ R Điều này cho thấy khi chiếu D lên siêu phẳng trực giao với ¯Sgiá trị hàm f không thay đổi Do hình chiếu này là một tập lồi đa diện với

số chiều bằng n − 1 nên theo giả thiết qui nạp, f đạt cực tiểu tại một điểmthuộc hình chiếu, chẳng hạn tại điểm ¯x Khi đó có λ ∈ R sao cho ¯x + λ¯s ∈ Dvới f (¯x + λ¯s) = f (¯x), nghĩa là ¯x + λ¯s là nghiệm cực tiểu cần tìm

+ Tiếp đó giả sử rằng với mỗi x ∈ D tồn tại λ ∈ R sao cho x + λ¯s ∈ D.Đặt

λx = min{λ ∈ R : x + λ¯s ∈ D}

Khi đó với mọi x ∈ D ta có λx ∈ (−∞, 0] và x + λxs ∈ ∂D, trong đó ∂D¯

là ký hiệu biên của D Vì thế

f (x + λxs) = f (x) + λ¯ x(c + Qx)Ts ≤ f (x)¯

(bất đẳng thức cuối là do λx ≤ 0 và (c + Qx)Ts ≥ 0 với mọi x ∈ D).¯

Bất đẳng thức này cho thấy ta có thể tìm cực tiểu của f trên các diệnthuộc biên ∂D, các diện này có số chiều thấp hơn số chiều của D Theo giảthiết qui nạp, cực tiểu của f trên D đạt được trên biên ∂D 

Ví dụ 1.2.6 và 1.2.7 minh họa Định lý Frank-Wolfe cho trường hợp tập Dkhông bị chặn

Ví dụ 1.2.6 Xét bài toán tối ưu lồi hai biến:

min{f (x) = x21 + 2x22− x1x2 : −x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

Trong bài toán này f (x) = x21+ 2x22− x1x2 = 1

2

(x1− x2)2+ x21+ 3x22



≥ 0với mọi x ∈ R2 và D = {x ∈ R2 : −x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} là tập lồi

đa diện không bị chặn (nửa đường thẳng) Do f (x) bị chặn dưới trên D nêntheo Định lý Frank-Wolfe, bài toán đã cho có nghiệm Có thể thấy nghiệmcực tiểu của bài toán là ¯x = (0, 1)T với fmin = f (¯x) = 2 (Xem Hình 1.3)

2(4 − 1) + 2 = 3, 5 (XemHình 1.4)

1.3.1 Quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương

Xét bài toán tối ưu có ràng buộc:

Ta nhắc lại, f : Rn −→ R là hàm tựa lồi nếu với mọi x, y ∈ Rn, λ ∈ [0, 1]

1 Hàm f0 chắc chắn đạt cực tiểu trên D trong các trường hợp sau

Định lý 1.3.1 ([6], Định lý 3) Với giả thiết a)−b), nếu f0 tựa lồi (nói riêng,

f0 lồi) trên D và nếu mọi hàm ràng buộc fi(i = 1, , m) lồi thì f0 đạt cựctiểu trên D (Trường hợp này gọi là bài toán quy hoạch lồi toàn phương vớicác ràng buộc toàn phương)

Ví dụ sau cho thấy, trong Định lý 1.3.1 không thể thiếu giả thiết f0 lồi(hay tựa lồi)

Ví dụ 1.3.2 ([6], Ví dụ 2) Xét bài toán cực tiểu trong R4 :

min{f0(x) : f1(x) ≤ 0, f2(x) ≤ 0} với

f0(x) = f0(x1, x2, x3, x4) := x21 − 2x1x2 + x3x4,

f1(x) = f1(x1, x2, x3, x4) := x21 − x3 ≤ 0,

f2(x) = f2(x1, x2, x3, x4) := x22 − x4 ≤ 0,

Có thể thấy f0(x) không lồi, nhưng f1(x) và f2(x) lồi Hơn nữa, do x3 ≥ x2

Điều này cùng với (1.2) chỉ ra rằng inf f0 trên tập chấp nhận được bằng

−1 Nhưng bất đẳng thức (1) cho thấy rằng cận dưới đó không đạt được tại

Định lý 1.3.3 ([6], Định lý 2) Với giả thiết a) − b), nếu hàm f0 không lồitrên D và nếu có nhiều nhất một hàm ràng buộc fi(i = 1, , m) lồi phituyến (mọi ràng buộc khác là tuyến tính afin) thì f0 đạt cực tiểu trên D.(Trường hợp này gọi là bài toán quy hoạch toàn phương với một ràng buộctoàn phương)

Ví dụ sau đây cho thấy, trong Định lý 1.3.3 không thể thiếu giả thiết vềtính lồi của hàm ràng buộc trong bất đẳng thức toàn phương duy nhất (nếucó)

Ví dụ 1.3.4 ([6], Ví dụ 3) Xét bài toán tối ưu với một ràng buộc toànphương trên R2

min{x2 : xy ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}

Rõ ràng là cận dưới lớn nhất (infimum) của bài toán này bằng 0, nhưngcận dưới đó không đạt được tại bất kỳ điểm chấp nhận được nào Để ý rằngtrong trường hợp này, hàm ràng buộc trong bất đẳng thức xy ≥ 1 là khônglồi, mặc dù tập chấp nhận được là lồi

Hai định lý vừa nêu trên được xem là sự mở rộng tự nhiên của định lýFrank - Wolfe cho bài toán quy hoạch toàn phương với các ràng buộc toànphương, thường được ký hiệu là (CQCQP )

2 Với giả thiết a) − b), nói chung hàm f0 không đạt cực tiểu trên D trongcác trường hợp sau (chẳng hạn, trừ ra khi f0 là hàm hằng trên D):

+ Có ít nhất một hàm ràng buộc fi(i = 1, , m) không lồi (Qi 6= 0, khôngxác định dương hay nửa xác định dương), kể cả khi f0 là hàm lồi

+ Hàm f0 không lồi và có ít nhất hai hàm ràng buộc fi(i = 1, , m) lồiphi tuyến

1.4 Quy hoạch đa thức lồi

Ta biết rằng mỗi hàm đa thức bậc p trên Rn được biểu diễn (duy nhất)bởi tổng

(P ) min{f0(x) : x ∈ X},trong đó

X = {x ∈ Rn : fi(x) ≤ 0, i = 1, , m} (1.3)

và f0, f1, , fm là các đa thức thực của các biến x1, , xn Tập có dạng(1.3) gọi là tập đa thức Nếu các đa thức f0, f1, , fn là lồi thì (P ) được gọi

là một quy hoạch đa thức lồi và X được gọi là tập đa thức lồi

E G Belousov và D Klatte [3] đã nêu các kết quả mở rộng định lý Frank

- Wolfe cho các hàm đa thức lồi

Định lý 1.4.1 ([3], Định lý 3) Giả sử f0, f1, , fm là các hàm đa thức lồitrên Rn Nếu f0 bị chặn dưới trên tập khác rỗng

X = {x ∈ Rn : fi(x) ≤ 0, i = 1, , m}

thì f0 chắc chắn đạt cực tiểu trên X

Ví dụ sau cho thấy trong Định lý 1.4.1 không thể bỏ giả thiết lồi của hàm

không thể đạt được tại bất cứ véc-tơ chấp nhận được nào Trong ví dụ này

f0 là hàm không lồi cũng không lõm Thu được cùng một kết quả như vậybằng cách dùng đa thức lõm làm hàm mục tiêu

f0(x1, x2, x3) := −2f1(x) − 2f2(x) + (x2− x3)2 := −(x2 + x3)2 + 4x1 + 2

Rõ ràng là ma trận Hess của cả hai hàm mục tiêu

f0(x) = 2x1 − 2x2x3 + 1 và f0(x) = −(x2 + x3)2 + 4x1 + 2

chỉ có một giá trị riêng âm

Câu hỏi mở (mở rộng Định lý 1.3.3), chưa có lời giải: Nếu f0 là đa thức bậchai tùy ý và bị chặn dưới trên tập ràng buộc X, trong đó có nhiều nhất mộthàm ràng buộc fi(i = 1, , m) phi tuyến (nhưng là đa thức lồi, không nhấtthiết toàn phương lồi) thì liệu f0 có chắc chắn đạt cực tiểu trên X không?Kết luận chương Chương này đã giới thiệu định lý Frank - Wolfe trongquy hoạch toàn phương (ràng buộc tuyến tính) và một số mở rộng của định

lý này cho quy hoạch toàn phương với các ràng buộc toàn phương và quyhoạch đa thức lồi

2.1 Giả thiết cơ bản và các bổ đề phụ trợ

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và sự kiện cơ bản sẽđược dùng đến về sau

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i và chuẩn

k · k Dãy {xk} trong H gọi là hội tụ yếu tới x0, ký hiệu xk * x0, nếu

ha, xki −→ ha, x0i với mỗi a ∈ H (hội tụ theo tích vô hướng) Dãy {xk}trong H gọi là hội tụ mạnh tới x0, ký hiệu xk −→ x0, nếu kxk − x0k −→ 0.(hội tụ theo chuẩn)

Trong chương này ta chỉ xét dạng toàn phương liên tục dưới dạng Q(x) =

hx, T xi, trong đó T : H −→ H là toán tử tự liên hợp tuyến tính liên tục.(hx, T xi = hT x, xi)

Định nghĩa 2.1.1 Dạng toàn phương Q(x) trong không gian Hilbert H gọi

là dạng thức Legendre nếu

(a) Q(x) nửa liên tục dưới yếu và

(b) xk −→ x0 mỗi khi xk * x0 và Q(xk) −→ Q(x0)