Phương pháp hàm phạt minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTÔ MINH QUYẾT PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTÔ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2017

tối ưu phạt 7

2 Phương pháp hàm phạt minimax chính xác và định lí điểmyên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ lồi không trơn 222.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ 222.2 Phương pháp hàm phạt minimax chính xác và định lí điểm

yên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ không trơn 252.3 Trường hợp đặc biệt 42

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS Đỗ Văn Lưu,người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôitìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề, nhờ đó tôimới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình Từ tận đáy lòng, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cốgắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thờigian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặcbiệt là PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luônquan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình, đặc biệt là bố mẹ Những người luôn động viên, chia sẻ mọikhó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôitheo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Tô Minh Quyết

Bảng ký hiệu

Rn không gian Euclide n-chiều

Rm+ orthant không âm của Rm

T chuyển vị của véc - tơ

B là hình cầu đơn vị mở trong Rn

∂fi(x) dưới vi phân của hàm lồi fi tại x

I(¯x) tập các chỉ số ràng buộc tích cực

g+i bằng 0 nếu gi(x) ≤ 0, bằng gi(x) nếu gi(x) > 0L(x, µ, ν) hàm Lagrange

Mở đầu

Phương pháp hàm phạt chính xác cho phép đưa một bài toán tối ưu phituyến có ràng buộc về một bài toán tối ưu không có ràng buộc sao cho nghiệmcủa bài toán tối ưu phạt cũng là nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộcban đầu Antczak ([2], 2013) đã nghiên cứu mối quan hệ giữa nghiệm củabài toán tối ưu vô hướng có ràng buộc và nghiệm của bài toán tối ưu không

có ràng buộc với hàm mục tiêu là một hàm phạt minimax chính xác và chỉ

ra cận dưới của tham số phạt để hai bài toán đó tương đương Jayswall Choudhury ([7], 2016) đã thiết lập các định lí điểm yên ngựa cho bài toán tối

-ưu véc - tơ có ràng buộc bằng phương pháp hàm phạt minimax chính xác vàxác định các điều kiện để bài toán tối ưu véc - tơ có ràng buộc tương đươngvới bài toán không có ràng buộc bằng phương pháp hàm phạt minimax chínhxác Đây là đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy, tôi chọn

đề tài: "Phương pháp hàm phạt minimax chính xác cho bài toán tối ưu khôngtrơn"

Mục đích của luận văn trình bày phương pháp hàm phạt minimax chínhxác và các định lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu của T.Antczak (đăng trong Tạp chí J Optim Theory Appl 159 (2013), 437 - 453)

và cho bài toán tối ưu véc - tơ của A Jayswal - S Choudhury (đăng trongTạp chí J Optim Theory Appl 169 (2016), 179 - 199) có ràng buộc đẳngthức và bất đẳng thức

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung củaluận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: "Cận dưới của tham số phạt của phương pháp hàm phạt max chính xác cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không khả vi" trình bày cáckết quả của Antczak [2] về phương pháp hàm phạt minimax chính xác, và sựtương đương của bài toán tối ưu có ràng buộc và bài toán tối ưu không córàng buộc phạt được chứng minh khi tham số phạt lớn hơn một giá trị cậndưới.

mini-Chương 2: "Phương pháp hàm phạt minimax chính xác và định lí điểmyên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ lồi không trơn" trình bày các kết quảcủa Jayswal - Choudhury [7], phương pháp hàm phạt minimax chính xác vàcác định lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ lồi không trơn với cáchàm Lipschitz địa phương

Nhận xét 1.1.3 Từ định nghĩa của hàm lồi f : Rn → R tại x, suy ra:

f (z) − f (x) ≥ ξT(z − x), ∀ξ ∈ ∂f (x), (1.1)

đúng với ∀z ∈ Rn, trong đó ∂f (x) kí hiệu dưới vi phân của f tại x Tương

tự, với hàm lõm f : Rn → R tại x, ta có bất đẳng thức:

f (z) − f (x) ≤ ξT(z − x), ∀ξ ∈ ∂f (x), (1.2)đúng với ∀z ∈ Rn

Trước khi chứng minh kết quả chính cho bài toán (P ), ta cần bổ đề sauđây:

Bổ đề 1.1.4 Giả sử ϕk, k = 1, , p, là hàm giá trị thực xác định trên X ⊂

i ∈ I, hj : X → R, j ∈ J là các hàm Lipschitz địa phương trên tập khác rỗng

X ∈ Rn và D là tập chấp nhận được của bài toán (P )

Để đơn giản ta sẽ đưa vào một số kí hiệu: g := (g1, , gm) : X → Rm và

h := (h1, , hs) : X → Rs

Hơn nữa, ta kí hiệu tập các chỉ số ràng buộc bất đẳng thức tích cực tại

x ∈ D

I(¯x) := {i ∈ I : gi(¯x) = 0}

Định lý 1.1.5 [9] Giả sử ¯x là nghiệm của bài toán (P ) và một điều kiệnchính quy thích hợp thỏa mãn tại ¯x Khi đó tồn tại các nhận tử Lagrange

Với p = 1 và xét các tham số αi, i = 1, , m, βj, j = 1, , s bằng 1, tanhận được hàm phạt chính xác không khả vi được gọi là hàm phạt chính xác

l1 (ta cũng gọi là hàm phạt giá trị tuyệt đối) Phương pháp hàm phạt chínhxác l1 đã được đưa vào bởi Pietrzykowski [8] Đa số các tài liệu về phươngpháp hàm phạt chính xác không khả vi nghiên cứu các điều kiện đảm bảonghiệm tối ưu của bài toán có ràng buộc đã cho cũng là cực tiểu địa phươngcủa bài toán với hàm phạt chính xác không có ràng buộc

Với p = ∞, ta nhận được hàm phạt minimax chính xác được cho bởi:

P∞(x, c) := f (x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

Định lý 1.3.1 Giả sử ¯x là điểm Karush-Kuhn-Tucker và điều kiện cần tối ưuKarush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) thỏa mãn tại ¯x với các nhân tử Lagrange

¯

λ ∈ Rm và ¯µ ∈ Rs Kí hiệu J+(¯x) := {j ∈ J : ¯µj > 0} và J−(¯x) :={j ∈ J : ¯µj < 0} Hơn nữa, ta giả sử hàm mục tiêu f và hàm ràng buộc

gi, i ∈ I(¯x), hj, j ∈ J+(¯x) là lồi trên X, còn hàm ràng buộc hj, j ∈ J−(¯x)

1, , m, ¯µj, j = 1, , s là các nhân tử Lagrange ứng với gi và hj), thì ¯x cũng

là cực tiểu của bài toán tối ưu phạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chínhxác

Theo giả thiết, ta có hàm mục tiêu f và hàm ràng buộc gi, i ∈ I(¯x), hj, j ∈

J+(¯x) là lồi trên X Hơn nữa, các hàm ràng buộc hj, j ∈ J−(¯x) là lõmtrên X Khi đó, từ (1.1) và (1.2), ta có

f (x) − f (¯x) ≥ ξT(x − ¯x), (1.9)

gi(x) − gi(¯x) ≥ ηiT(x − ¯x), i ∈ I(¯x), (1.10)

hj(x) − hj(¯x) ≥ ζjT(x − ¯x), j ∈ J+(¯x), (1.11)

hj(x) − hj(¯x) ≤ ζjT(x − ¯x), j ∈ J−(¯x) (1.12)đúng với ∀x ∈ X và ∀ξ ∈ ∂f (¯x), ηi ∈ ∂gi(¯x), i ∈ I(¯x), ζj ∈ ∂hj(¯x), j ∈

Bây giờ, ta cộng hai vế của (1.9), (1.15) và (1.16), ta nhận được

Do điều kiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3), ta suy ra

ϕk(x) = gk+(x), k = 1, , m (1.21)

ϕm+k(x) = |hj(x)|, k = 1, , s (1.22)Chú ý rằng, theo (1.19) và (1.20), ta có

{g+i (¯x), |hj(¯x)|}.

Nhân bất đẳng thức trên với

1≤i≤m 1≤j≤s

1≤i≤m 1≤j≤s

f (x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{g+i (x), |hj(x)|} ≥ f (¯x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

đúng với mọi x ∈ X Theo định nghĩa của hàm phạt minimax chính xác

P∞(x, c), ta suy ra

P∞(x, c) ≥ P∞(¯x, c) (1.26)đúng với mọi x ∈ X Điều này có nghĩa ¯x là nghiệm tối ưu của bài toánphạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chính xác

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

Theo giả thiết, c ≥

f (x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{g+i (x), |hj(x)|} ≥ f (¯x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

đúng với mọi x ∈ X Theo định nghĩa của hàm phạt minimax chính xác

P∞(x, c), ta suy ra bất đẳng thức sau

P∞(x, c) ≥ P∞(¯x, c) (1.27)đúng với mọi x ∈ X Điều này có nghĩa là ¯x là nghiệm tối ưu của bàitoán phạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chính xác Vì vậy, từ (1.26)

1, , m, ¯µj, j = 1, , s là các nhân tử Lagrange ứng với gi và hj), thì ¯x cũng

là cực tiểu của bài toán phạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chính xác.Mệnh đề 1.3.3 Giả sử ¯x là cực tiểu của bài toán phạt (P∞(c)) với hàm phạtminimax chính xác Khi đó, ta có bất đẳng thức

f (x) ≥ f (¯x)đúng với mọi x ∈ D

Chứng minh

Vì ¯x là nghiệm của bài toán phạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chínhxác, bất đẳng thức

P∞(x, c) ≥ P∞(¯x, c)đúng với mọi x ∈ X Theo định nghĩa của hàm phạt minimax chính xác

P∞(x, c), ta suy ra bất đẳng thức sau

f (x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(x), |hj(x)|} ≥ f (¯x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

đúng với mọi x ∈ X Như vậy, từ (1.6), mọi x ∈ D, ta có

f (x) ≥ f (¯x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

Lại sử dụng (1.6), ta có bất đẳng thức

f (x) ≥ f (¯x)

Bây giờ, với giả thiết lồi thích hợp cho các hàm có trong bài toán (P ), tachứng minh kết quả ngược lại Như vậy, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một ngưỡng

¯

c sao cho mọi tham số phạt c vượt quá giá trị này, ¯x, là một cực tiểu trongbài toán phạt (P∞(c)) với hàm phạt minimax chính xác cũng là nghiệm tối

ưu của bài toán cực trị (P )

Định lý 1.3.4 Giả sử ¯x là một cực tiểu của bài toán phạt (P∞(c)) với hàmphạt minimax chính xác và tham số phạt c đủ lớn (có nghĩa là c >

|µj|, trong đó ˜x là một điểm Karush-Kuhn-Tucker của (P ) với các nhân

tử Lagrange ˜λ ∈ Rm và ˜µ ∈ Rs) Hơn nữa, giả sử rằng hàm mục tiêu f vàhàm ràng buộc gi, i ∈ I(˜x), hj, j ∈ J+(˜x) là lồi trên X, các hàm ràng buộc

hj, j ∈ J−(˜x) là lõm trên X Nếu D là tập các nghiệm chấp nhận được củabài toán (P ) là tập compact thì ¯x cũng là nghiệm của bài toán cực trị (P ).Chứng minh

Để chứng minh ¯x là nghiệm tối ưu của (P ), trước hết chỉ ra ¯x là điểm chấpnhận được của (P ) Dùng phương pháp phản chứng, chúng ta giả sử ¯x làkhông chấp nhận được của (P ) Vì f liên tục, bị chặn dưới trên tập compact

D, theo định lý Weierstrass, f đạt cực tiểu ˜x trên D Vì vậy, bài toán cựctrị (P ) có nghiệm tối ưu ˜x Do đó điều kiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tuckerthỏa mãn tại ˜x với các nhân tử Lagrange ˜λ ∈ Rm và ˜µ ∈ Rs Theo giả thiết,hàm mục tiêu f và hàm ràng buộc gi, i ∈ I(˜x), hj, j ∈ J+(˜x) là lồi trên X,

các hàm ràng buộc hj, j ∈ J−(˜x) là lõm trên X Vì vậy, theo (1.1) và (1.2),

J+(˜x) ∪ J−(˜x), tương ứng Do đó, nó cũng thỏa mãn với x = ¯x Như vậy,

f (¯x) − f (˜x) ≥ ξT(¯x − ˜x), (1.28)

gi(¯x) − gi(˜x) ≥ ηTi (¯x − ˜x), i ∈ I(˜x), (1.29)

hj(¯x) − hj(˜x) ≥ ζjT(¯x − ˜x), j ∈ J+(˜x), (1.30)

hj(¯x) − hj(˜x) ≤ ζjT(¯x − ˜x), j ∈ J−(˜x) (1.31)Bởi vì các điều kiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) thỏa mãntại ˜x với các nhân tử Lagrange ˜λ ∈ Rm và ˜µ ∈ Rs, và hơn nữa, ˜λi ≥ 0, i ∈

Do điều kiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3), ta suy ra

ϕk(¯x) = g+k(¯x), k = 1, , m (1.39)

ϕm+k(¯x) = |hj(¯x)|, k = 1, , s (1.40)Chú ý rằng, theo (1.37) và (1.38), ta có

1≤i≤m 1≤j≤s

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(˜x), |hj(˜x)|} (1.42)Theo giả thiết, ¯x /∈ D, và vì ˜x ∈ D, từ (1.6) ta có

max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(˜x), |hj(˜x)|} = 0, (1.43)

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(¯x), |hj(¯x)|}

≥ f (˜x) + c max

1≤i≤m 1≤j≤s

{gi+(˜x), |hj(˜x)|} (1.45)

Vì vậy, theo định nghĩa của hàm phạt minimax chính xác P∞(x, c), ta suy

ra bất đẳng thức

P∞(¯x, c) > P∞(˜x, c) (1.46)Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của ¯x trong bài toán tối ưu phạt (P∞(c))với hàm phạt minimax chính xác

Vì vậy, ta đã thiết lập được ¯x là điểm chấp nhận được của bài toán cựctrị có ràng buộc (P )

Như vậy, tính tối ưu của ¯x trong bài toán (P ) được suy ra trực tiếp từ

Từ Hệ quả 1.3.2 và Định lý 1.3.4, ta suy ra kết quả sau:

Hệ quả 1.3.5 Giả sử các giả thiết của Hệ quả 1.3.2 và Định lý 1.3.4 thỏamãn Khi đó, tập các nghiệm tối ưu của bài toán (P ) và tập các điểm cựctiểu của bài toán phạt minimax (P∞(c)) là trùng nhau

Chúng ta sẽ minh họa kết quả đã nhận được bằng một ví dụ cho bài toántối ưu phi tuyến với các hàm lồi Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hàmphạt minimax chính xác

Ví dụ 1.3.6 Xét bài toán tối ưu sau:

(P 1) min f (x) = |x1− 1| + |x2|,

x ∈ D = {x ∈ R2 : g1(x) = x21− 3x1 + 2 ≤ 0, h1(x) = x22− x2 = 0}.Chú ý rằng D = {(x1, x2) ∈ R2 : 1 ≤ x1 ≤ 2 ∧ (x2 = 0 ∨ x2 = 1)} và ¯x = (1, 0)

là nghiệm tối ưu của bài toán (P 1) Hơn nữa, dễ chỉ ra cả hàm mục tiêu f

và các hàm ràng buộc g1 và h1 là lồi trên R2 Để giải bài toán tối ưu đã xét

ta sử dụng phương pháp hàm phạt minimax chính xác Như vậy, bài toán tối

ưu không ràng buộc sau đây được xây dựng theo phương pháp này:

(P 1∞(c)) P 1∞(x, c) = |x1 − 1| + |x2|

+ c max{max{0, x21− 3x1 + 2}, |x22 − x2|} → min Chú ý rằng ¯x = (1, 0) là điểm chấp nhận được trong bài toán (P 1) và điềukiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) thỏa mãn tại điểm này vớicác nhân tử Lagrange ¯λ1 = ξ1, ¯µ1 = ξ2, trong đó ξ = (ξ1, ξ2) ∈ ∂f (¯x) Khi

đó, theo Định lý 1.3.1 với tham số phạt c thỏa mãn c ≥ ¯λ1 + |¯µ1| = 2, thì

Ví dụ tiếp theo xét bài toán tối ưu mà trong đó không phải tất cả các hàm

là lồi Với những bài toán như thế thì sự tương đương có thể không đúng

Ví dụ 1.3.7 Xét bài toán tối ưu sau:

(P 2) min f (x) = x3,

x ∈ D = {x ∈ R : g1(x) = −x − 1 ≤ 0, g2(x) = −x2 − 3x − 2 = 0}.Chú ý rằng D = {x ∈ R : x ≥ −1}; x = −1 là nghiệm tối ưu của bài toán(P 2) Hơn nữa, dễ chỉ ra cả hai hàm mục tiêu f và hàm ràng buộc g2 khônglồi trên R Tuy nhiên, chúng ta sử dụng phương pháp hàm phạt minimaxchính xác để quyết bài toán cực trị (P 2) Khi đó, ta xây dựng bài toán không

ràng buộc sau đây:

(P 2∞(c)) P 2∞(x, c) = x3

+ c max{max{0, −x − 1}, max{0, −x2 − 3x − 2}} → min

Dễ chỉ ra rằng bài toán phạt minimax (P 2∞(c)) không có cực tiểu tại x = −1với bất kỳ tham số phạt c > 0 Trong trường hợp này không có sự tươngđương giữa tập nghiệm của bài toán (P 2) và tập cực tiểu của bài toán phạt(P 2∞(c)) với hàm phạt minimax chính xác với tham số phạt c

Chương 2

Phương pháp hàm phạt minimax

chính xác và định lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ lồi không trơn

Chương này trình bày phương pháp hàm phạt minimax chính xác và định

lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu véc - tơ lồi không trơn với các hàmLipschitz địa phương Các kết quả trình bày trong chương 2 là của A Jayswal

- S Choudhury [7]

2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Cho x, y ∈ Rn, trong đó Rn là không gian Euclide n-chiều Ta định nghĩa:(i) x = y ⇔ xi = yi, ∀i = 1, , n;

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là tập con khác rỗng của Rn Hàm f : X → Rpđược gọi là hàm lồi trên X nếu

f (λy + (1 − λ)x) 5 λf (y) + (1 − λ)f (x)đúng với mọi y, x ∈ X và bất kỳ λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 2.1.2 Hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tạiđiểm x ∈ Rn nếu tồn tại hằng số K > 0 và  > 0 sao cho

|f (y) − f (z)| ≤ Kky − zkđúng với mọi y, z ∈ x + B, trong đó B là hình cầu đơn vị mở trong Rn.Định nghĩa 2.1.3 [1]

Dưới vi phân của hàm lồi f : Rn → R tại x ∈ Rn được định nghĩa

∂f (x) := {ξ ∈ Rn : f (z) − f (x) ≥ ξT(z − x), ∀z ∈ Rn}

Trong chương này, ta xét hàm véc - tơ f : Rn → Rp sao cho thành phần bất

kì fi, i = 1, , p là Lipschitz địa phương tại điểm đã cho

Xét bài toán véc - tơ sau:

(VP) min{f (x) := (f1(x), , fp(x)) : gj(x) ≤ 0, hk(x) = 0},

trong đó fi : X → R, i ∈ I = {1, , p}, gj : X → R, j ∈ J = 1, , m và

hk : X → R, k ∈ K = {1, , q} là các hàm Lipschitz địa phương trên tập mởkhác rỗng X ⊂ Rn Giả sử D là tập các điểm chấp nhận được của bài toán(V P ), tức là

D := {x ∈ X : gj(x) ≤ 0, j ∈ J, hk(x) = 0, k ∈ K}

Hơn nữa, ta kí hiêu tập các chỉ số các ràng buộc tích cực tại ¯x ∈ D bởi

J (¯x) := {j ∈ J : gj(¯x) = 0}

Định nghĩa 2.1.5 Điểm ¯x ∈ D là nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu véc

- tơ (V P ) nếu không tồn tại y ∈ D thỏa mãn

f (y) ≤ f (¯x)

Định nghĩa 2.1.6 Điểm ¯x ∈ D là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưuvéc - tơ (V P ) nếu không tồn tại y ∈ D thỏa mãn

f (y) < f (¯x)

Rõ ràng, mọi nghiệm hữu hiệu đều là nghiệm hữu hiệu yếu

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker sau đây là điều kiện cần để một điểm chấpnhận được trở thành nghiệm hữu hiệu (hữu hiệu yếu) của bài toán tối ưuvéc - tơ (V P )

Định lý 2.1.7 (Điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker [5])

Giả sử ¯x là nghiệm hữu hiệu (yếu) của bài toán tối ưu véc - tơ (V P ) vàđiều kiện chính quy thích hợp thỏa mãn tại ¯x Khi đó, tồn tại các nhân tửLagrange ¯λ ∈ Rp, ¯µ ∈ Rm và ¯ν ∈ Rq sao cho