Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng A
Phơng trình đã cho tơng đơng
2
4 4
cos x
cos x m
⇔ 4cos x cos x24 + 4 =4m−3 (1)
0.50
Đặt t = cos4x ta đợc: 4t2+ =t 4m−3, (2)
4 4
x∈ − π π
4 4
x∈ − π π
khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2
nghiệm phân biệt t∈[-1; 1), (3)
0.50 Xét g(t) = 4t2+t với t∈ −[ 1;1), g’(t) = 8t+1.
g’(t) = 0 ⇔ t = 1
8
Bảng biến thiên
0.50
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra ⇔ 1 4 3 3
− < − ≤ ⇔ 47 3
64 < ≤m 2 Vậy giá trị m cần tìm là: 47 3
64< ≤m 2
0.50
Đặt t= x từ (1) và điều kiện suy ra 3≤ ≤t 4
t + + t − +t ≤a (3)
Ycbt ⇔ bất phơng trình (3) có nghiệm t ∈[3;4] ⇔ min ( )[3;4] f t ≤a
'
f t
−
0,50
3 g’(t) 0 +
t 1
1 16
−
Trang 2( ) 2 ( ) 2
f t = ⇔ t − +t t= −t t +
x
f x f f
x
→
−
3
2
3
x
0.5
3
x
x x
→
=
0
Mặt khác với x≠0, ta có ( )
2 2
3
sin
x
Đặt x= a y, = b z, = c x y z; , , ∈(0;+ ∞)
P
x yz y zx z xy
0.50
P
x yz y zx z xy
Q
x yz y zx z xy
0.50
áp dụng bđt BCS ta đợc
2
Q x y z xy yz zx
0.50
2 2
x y z Q
x y z xy yz zx
+ +
⇔ ≥
3
x y z
xy yz zx + +
4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3
0
n k
=
0
n
n k
n x − − n k C x − −
=
Trang 3Suy ra ( ) 1 1( ) ( )
0
n k
nx x − − n k C x −
=
0
n k
n x − n x − − n k C x − −
=
Gọi K và I lần lợt là giao điểm của MN với CD và BC, ta có CK = 3
2CD, CI =
3
d(P,(ABC)) = 1
VPCIK = 1 1
= 9
16(
1
⇒ VPCIK = 9
18
IBEM ICPK
V IB IE IM
Từ (1) và (2) ⇒ VIBEM = 1
Tơng tự VKNDF = 1
Gọi V2 là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy ⇒ V2 =
= 9
16VSABCD -
1
16VSABCD =
1
Vậy V2 = 1
2VSABCD ⇒ đpcm
0.25
A
D
S
P
C
B M
E
F N
I K
O
Trang 47 2,0
Đặt AD BC a AC BD b AB CD c BAC= = , = = , = = ,ã =A ABC B ACB C,ã = ,ã = .
Ta có ∆ABC nhọn và ∆ABC = ∆DCB = ∆CDA = ∆BAD
Suy ra ãBCD ABC B ABD BDC CAB=ã = ;ã =ã =ã =A, 1( )
0.5
Hạ CM ⊥ AB, vì (CAB) (⊥ DAB) nên
áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc
CM +BM +BD − BM BD A CD=
BC +BD − BM BD A CD= ⇔a + −b ab A B c= 0.25
1
2
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 4/ 4 - 12 THPT - Bảng A
M A
B
C
M
A
B
D
C
