ung dung tinh don dieu de giai phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh vo ty

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề 1: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Giải các phương trình a.

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT

PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Vấn đề 1: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Giải các phương trình

a 2011

2

1 5

x  x 

Lời giải:

f x x  x f x  x  

 f(x) là hàm số đồng biến

Mặt khác: f(1)2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

b Điều kiện x1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình

f x x  x với x > 1

1

x



 f(x) là hàm số đồng biến

Mặt khác: f(2)5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình x 3 x 7x 2 4 (1)

Lời giải

Điều kiện của phương trình 7 41 7 41

(1) x 3 x 7x  2 4 0

Xét

7 1

x





 g(x) là hàm số đồng biến

Mặt khác: g(1) = 0

Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Thật vậy:

Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình sau 3 3

5x  1 2x  1 4 x (1)

Lời giải

Điều kiện:

3

1 5

x

(1) 5x  1 2x  1 x 4

Xét

2

3

x

 hàm số đã cho đồng biến trên

3

1

; 5

 

Mặt khác: f(1)4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất

Kết luận: S  1

x  x  x   x

Lời giải

Phương trình (1) được viết lại 3 3 3 2 3 2

x   x  x   x

3

3



 hàm số đồng biến trên R

1

2

x

x







  

 Giải phương trình

2

2

3

x x

Lời giải

Điều kiện

2

2

3 0

   





.ln 3

t

2

x

x

 



 Vậy: S   1; 2

Giải phương trình 3x4x 5x (1)

Lời giải

f x       f x      x

 f(x) là hàm đồng biến trên R

Mặt khác: f(2)0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình 9x2(x2)3x2x 5 0 (1)

Lời giải

Đặt t3x0

5 2

 





Với t 5 2x3x  5 2x3x2x 5 0

Xét f x( )3x2x 5 f x'( )3 ln 3 2x   0, x

 f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình x x 5 x 7 x1614

Lời giải

Điều kiện của phương trình x5 Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình

Xét f x( ) x x 5 x 7 x16

 f(x) là hàm số đồng biến trên (5;)

Mặt khác: f(9) 14 nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình: 5 3

1 3 4 0

x x   x 

Giải Điều kiện: 1

3

x Đặt   5 3

1 3 4 0

f x x x   x 

2 1 3

x

  f (x) đồng biến trên  ,1

3



 

Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1

Giải phương trình 2

2x x 2x (x 1) (1)

Lời giải

2

2

2

x x x

x x x

Xét f t( )  2t t f t'( )2 ln 2 1 0,t   t

 f(t) là hàm đồng biến

(2) f x(  1) f x(    x) x 1 x  x x 2x   1 0 x 1

Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình 25x2(3x)5x2x 7 0 (1)

Lời giải

7 2

 



 Với t 7 2x5x  7 2x5x2x 7 0

Xét ( ) 5x 2 7 '( ) 5 ln 5 2x 0,

 f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác: f(1)0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình 3

log (1 x)log x (1)

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình x > 0

Đặt tlog7 x x 7t

Phương trình (1) trở thành

3

2

t t

t

            Xét

           

 f(t) là hàm số nghịch biến trên R

Mặt khác: f(3) = 0 nên t  3 x 343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log5xlog (7 x2)

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x0

Đặt tlog5x x 5t

f t        f t       t

 f(t) là hàm nghịch biến trên R  phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R

Mặt khác: f(1)0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vấn đề 2: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình

Giải bất phương trình 3 2

2x 3x 6x16 2 3 4x

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là 2  x 4

Bất phương trình được viết lại thành 3 2

2x 3x 6x16 4 x 2 3 (2) Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên

Xét

2

4

x



 f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)

Mặt khác: (2) f x( ) f(1) x 1

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2  x 1

Giải bất phương trình x 9 2x 4 5

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 2

Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

 f(x) là hàm số đồng biến trên ( 2; )

Mặt khác: x 9 2x  4 5 f x( ) f(0) x 0

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Giải bất phương trình 4 2 4

3 x 2 x 13

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình x 2

Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

 f(x) là hàm số đồng biến trên ( 2; )

Mặt khác: 4 2 4

3 x 2 x 13 f x( ) f(0) x 0

So với điều kiện ta có x0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình log2 x 1 log3 x 9 1

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Xét

2( 1) ln 2 2( 9) ln 3

 f(x) là hàm số đồng biến trên ( 1; )

Ta có: log2 x 1 log3 x  9 1 f x( ) f(0) x 0

So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình x  1 3 5x  7 4 7x  5 5 13x  7 8 (*)

Giải Điều kiện 5

7

f x  x  x  x  x

Ta có:  

f x

 f (x) đồng biến trên 5 , 

7

 Mà f (3)  8 nên (*)  f (x) < f (3)  x < 3

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 5 3

7  x

Giải bất phương trình 3 3 2 5 2 6

x

 (1)

Lời giải

Điều kiện của bất phương trình là 1 3 (*)

2 x 2

x





 g(x) là hàm số nghịch biến trên 1 3;

2 2

Mặt khác: g(1) = 6

Khi đó: (1)g x( ) 6 g x( )g(1) x 1

Kết luận: x1 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình 2 2

x  x  x  x   x x Điều kiện của bất phương trình: 1 x 3

(1) (x1)  2 x 1 (x3)  2 3x

2

1

2 2

t

t t



 f(t) đồng biến trên (0;)

Mặt khác: (1) f x(  1) f(3      x) x 1 3 x x 2

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2 x 3

7x 7 7x 6 2 49x 7x42181 14 x (1)

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình 6

7

x

7x 7 7x 6 2 49x 7x42 181 14  x0

7x 7 7x  6 t 14x2 49x 7x42 (t0)

Phương trình trở thành : 2

t  t     t kết hợp điều kiện (t0)

ta được 0 t 13(1) 7x 7 7x 6 13 (2); điều kiện 6;

7



Xét hàm f x( ) 7x 7 7x6

7

6

; 7



Mặt khác f(6) 13 nên f x( ) 13  x 6 vậy nghiệm của bất phương trình là 6 6

7 x hay 6

.6

7

x 



 

Giải bất phương trình log7 xlog (23  x) (1)

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình x > 0

Đặt tlog7 x

3

t t

t

              

Xét ( ) 2 1 7 1 '( ) 2 1 ln1 7 ln 7 0

            

 f(t) là hàm số nghịch biến

t t

Giải bất phương trình 3

8x 2x(x2) x1

Lời giải:

Điều kiện x 1

3

3

2

(2 ) ( 1), ( )

0 0

0 0

1 17

8

x x

x x













Vậy bất phương trình có nghiệm 1 1 17

8

  

Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình

3

1

x y







Lời giải:

3

( ) ( 1), ( )

1

  



 Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)

Giải hệ phương trình

y







Lời giải

(1)x 3x y 3y

Xét 3 2

 f(t) là hàm số đồng biến trên R

x  xy  y f x  f y  x y

Ta được hệ phương trình như sau: 2 2

2

x

x y





Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)

Giải hệ phương trình 3 10 5







Lời giải

Điều kiện xác định của hệ phương trình  3 x y, 10

Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x 3 10 x y 3 10y

 f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)

x   x y   y f x  f y  x y

Ta được hệ phương trình như sau

1



Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Giải hệ phương trình

3

y x

   







Lời giải

Điều kiện xác định của hệ phương trình x0,y0

Xét hàm số f t( ) t 1 f t'( ) 1 12 0, t 0

 f(t) là hàm số đồng biến trên R\ 0 

Mặt khác: x 1 y 1 f x( ) f y( ) x y

2

x y





Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm 1, 1 5

2

x y x y  

Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Tìm m để phương trình 2

m x  x  x  x có nghiệm x0;1 3

Lời giải:

m x  x  x   x m x  x   x  x 

2

1

x



Vẽ bảng biến thiên suy ra x0;1 3 t  1; 2

1

t

t



 Xét

2

 f(t) là hàm số đồng biến

Bất phương trình được thỏa khi

1 2

1 min ( ) (1)

2

x

 

Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( 1) 4( 1) (*)

1

x

x



Lời giải:

Điều kiện của phương trình x  0 x 1

Với điều kiện trên thì (*)x x(  1) 4 x x(  1) m (**)

Đặt t x x( 1), t0

Phương trình (**) trở thành 2

t   t m có nghiệm t0 Điều kiện trên được thỏa khi m 4

2 (x2)(4x)x 2x m có nghiệm

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình 2  x 4

t x x     t x x t

Phương trình trở thành 2

2t  t 8 m

2

Phương trình có nghiệm khi

min ( )g t  m m x ( )a g t

Ta có: g t'( ) 2t 2

Vẽ bảng biến thiên ta có

min ( )g t  m m x ( )a g t g(1) m g(3)    9 m 5