Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 t1

Bài toán 6: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện.. Gọi A là giao tuyến của P và Q thi trong mpQ

NGirr.ThS LÊ HOÀNH PHÒ

GIẢICÁC CHỦ Đ Ê

NHÀ XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI

16 H à n g C h u ố i - H ai Bà T rư ng - Hà Nội Điên thoai: Biên tâp-C hế bản: (04Ì 39714896:

C hế bản: NGUYỄN KHỞI MINH

T rin h bày bìa: v õ THỊ THỪA

Đối tác liên kết xuấ t bản:

N hà sách HỒNG ÂN

SÁCH LIÊN KÊTCÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12

Mã số: 1L- 155ĐH2014

In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ty cổ phần Văn hóa Văn Lang

Giấy phép xuất bản số: 463-2014/CXB/09-99 ĐHQGHN, ngày 14/03/2014

Quyết định xuất bản số: 153LK-TN/QĐ-NXB ĐHQGHN

In xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014

n ó ^ c ỉa iù

Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 nắm vững kiến thức căn bản về môn Toán ngay từ lúc vào THPT cho đến khi chuẩn bị thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, tác giả đã

nội dung là phân dạng Toán, tóm tắt kiến thức và phương pháp giải, các chú ý; phần tiếp theo là các bài toán chọn lọc căn bản minh họa với nhiều dạng loại và mức độ; phần cuối là 8 bài tập có hướng dẫn hay đáp số.

Dù đã cố gắng kiểm tra trong quá trình biên soạn song không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong đón nhận các góp ý của quý bạn đọc, học sinh để lẩn in sau hoàn thiện hơn.

Tác giả

LÊ HOÀNH PHÒ

o CHỦ ĐỂ I

KHỐI ĐA DIỆN

DẠNG TOÁN

1

//iii/i da diện và khối da diện

- Hình đa diện gồm một sổ hữu hạn đa giác phăng íhoủ mãn hai điểu kiện:

(!) ỉỉai da giác hát kì hoặc không có diêm chung, hoặc có một đinh chung, hoặc cỏ một cạnh chung.

(2) Moi cạnh cua một đa giác lù cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Hình da diện chia không gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên mỉoài Hình đa diện cùng V(/Ì phần hên trong cùa nó gọi là khối đa diện.

- Mồi khối đa diện có thê phân chia dược thành những khối tứ diện.

Mỗi đa giác cua hình H được gọi là một mặt cùa khoi đa diện Các đình, các cạnh cua mỗi mặt cỏn gọi là đỉnh, cạnh của khối đa diện Các điểm nam trong hình H còn gọi là diém trong của khối da diện.

Khối chóp và khối lăng trụ

- Khối đa diện được gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp, hình chóp cụt Tương tự cho khối chóp n-giác, khối chóp cụt n- giác khối chóp đểu khối tứ diện,

- Khối da diện dược gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn hởi một hình

lăng trụ tương tự cho khối hộp, khối hộp chữ nhật, khổi lập phương

- Phân chia và lắp ghép cúc khối đa diện: Mọi khối chóp và khối lăng trụ luôn

có ihẽ phán chia được thành những khối tứ diện bằng nhiều cách khác nhau.

Chú ỷ:

1) Dặc sy 5 O-le cua khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lồi H, ta kí hiệu

D lù so dinh, c là so cạnh, M là so mặt của H thì cỏ đặc số

ỵjH ) = Đ - c - M = 2.

2) ỉĩinh lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng (có cạnh bên VU( ng góc với mặt đáy) và

có đáy là đa giác đểu.

3) Hình chóp đều: đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải

là số chẵn Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế vói số mặt bằng 4, 6, 8,10

Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất là ba cạnh, và vì vậy nó cũng phải

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh

là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện

Giải

Gọi A là một đỉnh của khối đa diện Theo giả thiết, đỉnh

A là đỉnh chung cho ba cạnh, ta gọi ba cạnh đó là AB, AC,

AD Cạnh AB phải là cạnh chung của hai mặt tam giác, đó

là hai mặt ABC và ADB (vì qua đỉnh A chỉ có 3 cạnh)

1'ương tự, ta.có các mặt tam giác ACD và BCD.

Vậy khối đa diện đó chính là khối tứ diện ABCD

Bài toán 5: Chứng minh rằng, số góc của tất cả các mặt gấp đôi số cạnh của khối

da diện Suy ra số góc chẵn

Giải

Gọi sổ góc là G và số cạnh của khối đa diện là c.

Trong mỗi mặt là đa giác thì số góc bằng số cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G chẵn

Bài toán 6: Chứng minh không tồn tại khối đa diện có một số lẻ mặt và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh

Vậy không tồn tại khối đa diện thoà đề bài

Bài toán 7 : 1 lãy phân chia một khối tứ diện thànli ba khối tứ diện bởi hai mặt phang

Giải

Cho khối tứ diện ABCD

Lấy điểm M và N phân biệt nằm giữa c và D

khối tứ diện đã cho thành ba khối tứ diện: ABCN,

ABNM va ABMD

Bài toán 8: Hãy phân chia một khối tứ diện thànli bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng

Cho khối tứ diện ABCD

Lấy diểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa c và D

thành năm khối tứ diện sau đây:

ABDA', C B D C , B'A’C'B, D'A'C'D và, BDA'C

Phép dời hĩnh biến đường thăng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phảng Hợp thành cùa những phép dời hình là phép dời hình.

Các phép dời hình dặc biệt

- Phép đồng nhất: Phép dời hĩnh hiến diểm M hẩt kĩ thành chỉnh nó.

- Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ V là phép hiển hình hiến mỗi điểm

M thành diêm M ' sao cho MM ' = V

- Phép đối xứng qua đường thăng (phép đối xứng trục): Cho đường thăng d

phép đoi xứng qua dường thăng d là phép hiến hình hiến mỗi điếm thuộc d thành chính nỏ và hiến moi diêm M không thuộc d thành điểm M ’ sao cho trong mặt phăng (M, d), d là đưòmg trung trực cùa đoạn thăng MM'.

- Phép đoi xứng qua một diêm (phép dổi xứng tâm): Cho điểm (), phép đối xứng qua diêm () là phép hiến hình hiến mỗi điểm M thành điếm M ' sao cho OM

• OM ' 0 , hay () là trung diêm của MM'.

- Phép đổi xứng qua mặt phang (P) là phép hiến hình hiển mỗi điểm thuộc (P)

thành chỉnh nỏ và hiến mỗi diêm M không thuộc (P) thành điểm M' sao cho (P) là mặt phăng trung trực của đoạn thăng MM'.

Hai hình bằng nhau

- Hai hình đa diện gọi là hằng nhau nếu có một phép dời hình hiến hình nàv thành hình kia.

Dổi với các khối đa diện lồi: Neu phép dời hình F hiến tập các đinh của khối

đa diện lồi H thành tập các đình cua khối đa diện lồi H' thì F hiển H thành H' Dịnh lý: Hai hình tứ diện ABCD và A 'B'C'D' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng hằng nhau, nghĩa là AB = A'B', BC - B 'C , CD = C 'D ’, DA - D 'A\

AC = A ’C , BD = B'D'.

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến

B thành B Chứng minh ràng f biến mọi điểm M nàm trên đường thẳng ABthành diêm M

Giải

Ta có f(A) = A r(B) = B

(jiả sư điểm M Ihuộc dường ihẳng AB và f(M) = M' Khi đó M' thuộc đường thăng AB và AM = AM', iỉM BM' Suy ra M' trùng M, tức là f biến M thành chính nó.

Vậy 1'biến mọi diồm M nàm trên dường thẳng AB thành chính điểm M

Fỉài toán 2: Cho tam giác ABC và pliép dời hình f biến tam giác ABC thành chính

nó, tức là f(A) = A, f(B) = B, f(C) ^ c Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó, tức là l'(M) = M,-

Ta chứng minh ràng f biến điổm M bất kì thành M Thật vậy giả sử M' ~ f(M)

và M' khác với M Khi đó vì phép dời hình không làm thay đôi khoáng cách giữa hai diêm nên AM = AM' BM = BM', CM = CM', DM = DM', suy ra bốn điểm A,

B, c, D nằm trên mặt phăng trung trực của đoạn MM', điều dó trái với giả thiết ABCD là hỉnh tứ diện

Vậy M' trùng với M và do dó f là phép dồng nhất

Bài toán 4: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng bằng nhau;

AB = A'B' BC = B’C CD = C’D', DA - D’A', DB = D'B', AC = A 'C Chứng minh ràng cỏ không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, D lần lượt thành các điểm A', B', c D'

Giải

Gia sử có hai phép dời hình f| và f'2 dềii biến các điểm A B, c, D lần lượt thành các điềm A', B' c , D'

Ncu fi và I2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu Mi = fi(M) và

M2 = t'2(M) thì M| và M2 là hai điểm phân biệt

Khi dó vì f) và t'2 đều là phép dời hình nên A'Mi = AM và A'M2 = AM vậy A'M, = A'M2, tương tự B'M| = B'M2, C’M| = C M2, D'M| = D’M2, do đó bốn điểm A' B', c, D' cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M1M2, trái với giá thiết A'B'C'D' là hình tứ diện

Do đó với mọi diếm M ta đều có f|(M ) ^ 1'2(M), tức là hai phép dời hình f| và í'2

trùng nhau

Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, D lần lượt thành các diếm A', B', C', D'.

Bài toán 5: Cho hai tam giác bằng nhàu ABC và A'B'C' (AB = A'B', BC = B'C,

AC = A 'C) Chứng minh rằne có đúng hai phép dời hình, mỗi phép biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C

Cho trước tam giác ABC Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó?

D

Giãi

Tròn đưòng thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A

lấy điểm D khác A, trên đưòng thảng a' vuông góc với

mp(A'B'C) tại A' có hai điểm phân biệt Di và D2 sao

cho A’D, = A'D2 = AD

'l a có các hình tứ diện ẠBCD, A'B'C'D, và A’B’C'D2

có các cạnh tương ứng bằng nhau Nếu f là phép dời

hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì hoặc

rbiến D thành D| hoặc f biến D thành D2

Vậy có đủng hai phép dời hình biến tam giác ABC

thành tam giác A 'B'C Đó là phép dời hình f| biến tứ

diện ABCD thành tứ diện A'B'C'Di và phép dời hình Ỹ2

biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D2

Dây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau Vậy ta có hai phép dời hình biên ABCD thành chính nó; đó là phép đông nhât và phép đôi xứng qua mp(ABC)

Bài toán 6: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính

nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện Tìm tập hợpcác diêm M trong không gian sao cho M = f(M) trong các trường họp sau đây:a) f(A) = B, f(B) - c, f(C) = A

b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D

c) f(A) = B, f(B) = c, f(C) = D

Giải

a) 'ĩheo giả thiết f(A) = B và f(B) = c, f(C) = A

Do đó f(M) = M khi và chi khi MA = MB = MC

Suy ra tập họp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.b) Theo giả thiết f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D

Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB và MC = MD, tức là M đồng thời năm trôn các mặt phăng trung trực của AB và CD

Suy ra tập họp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.c) Theo giả thiết f(A) - B, f(B) = C^CC) = D

Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB = MC = MD

Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm tứ diện ABCD

Bài toán 7: Chúng minh rằng các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm là các phép

Suy ra: M' N' = ÕN' - õĩvi' = -Õ N + ÕM = NM

Do đó M'N' = MN, suy ra phép đổi xứng tâm o là một phép dời hình

Bài toán 8: Chứng minh rằng các phép đổi xứng trục, đối xúng qua mặt phẳng là

các phép dời hình

Giải

- Giá sử phép dổi xứng qua đường thẳng d biến hai

điểm M, N lần lượt thành hai điểm M', N' Gọi II và K lần

lượt là trung điểm của MM' và NN', ta cộ;

Vậy phép đổi xứng qua d là phép dời hình

- Giả sử phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến M, N thành M', N'

Nếu M, N thuộc (P) thì M' s M, N' = N nên M’N ’ = MN

Ncu có ít nhất một trong hai điểm M, N không nằm trên (P) thì qua bốn điểm

M, N, M', N' có một mặt phẳng (Q) (MM' và NN' cùng vuông góc với (P) nên song song với nhau)

Gọi A là giao tuyến của (P) và (Q) thi trong mp(Q), phép đổi xứng qua đường thẳng A biến hai điểm M, N thành hai điểm M' và N' nên MN = M 'N '.'

Bài toán 9: Chứng minh 2 hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

Vì F là phép dời hình nên F biến hình vuông thành hình vuông, do đó F’ biến diểm c thành dicm p biến dicm B' thành N' biến diêm D' thành Q' và biến diểm C' thành P'.

Vậv hai hình lập phương đã cho bằng nhau

Bài toán 10: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng:

a) Các hình chóp A.A'B'C'D' và C.ABCD bàng nhau

b) Các hình lăng trụ ABC.A'B’C' và AA'D’.BB'C' bằng nhau

(ỉiải

a) Gọi o là tâm của hình lập phương Vì phép dối xứng tâm o biến các đỉnh của hình chóp A.A'B'C'D' thành các đỉnh cùa hình chóp CABCD Vậy hai hình chóp đó bàng nhau

b) Phép đối xứng qua mp(ADC'B') biến các đỉnh của hình lăng trụ ABC A'B'C' thành các dỉnh của hình lăng trii AA'D'.BB'C' nên hai hình lăng trụ dó bằng nhau

- Phép đối xứng qua một diêm (phép dổi xứng tâm): Cho diêm o phép dối xứng qua diêm () là phép hiên hình hiên môi diêm M thành diêm M' scư) cho

OM • OM ' = 0 , hay o là trung diêm cùa MM'.

- Phép đổi xứng qua mặt phăng (P) là phép hiển hình hiến mối diêm thuộc (P) thành chính nỏ và hiên môi diêm M không thuộc (P) thành diêm M' sao cho (P) lù mặt phăng trung trực cùa doạn thũng MM'.

Bài toán 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' 'l ìm

Giải

a) 'ĩâm đối xứng o là giao điểm của 4 đường chéo

A C, BD', CA' và DIV

b) (}ọi a là mặt dối xứng của hình lập phương thì

phép dối xứng qua a biến hình vuôm> ABCD thành

chính nó hoặc thành hình vuông chung cạnh hoặc

thành hình vuông A’B'C’D'

Từ dó thì hình lập phương có 9 mặt phang dối

xímg là 3 mặt phang trung trực của các cạnh và 6 mặt

phẳna chứa hai cạnh dối

c) 9 trục dối xứng gồm 3 trục của các mặt và 6 dường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh dối

Bài toán 2: Cho hình tứ diện đều ABCD.

a) rìm tất cá các trục dối xứng

b) rim lất cá các mặt phăng dối xứng

Giải

a) Tứ diện dều ABCD có 3 trục đối xứng là 3 đường

thăng di qua trung đicm 2 cạnh đối diện (đường taing bình)

b) Tứ diện dều ABCD có 6 mặt phăng đối xứng, đó

là các mặt phăng trúng trực của các cạnh

Bài toán 3: rim các mặt phảng dối xứng của các hình sau đây:

a) 1 lình chóp tứ giác đều

b) Hình chóp cụt lam giác đều

c) 1 lình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông

Giải

a) 1 linh chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẩng đổi xứng: mp(SAC), mp(SBD), mặt phàng trung trực cùa AB (dồng thời cùa CD) và mặt phang trung trực của AD (đồng thời cua BC)

b) 1 linh chóp cụt lam giác dều ABC.A'B'C' có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phăng trung trực cùa ba cạnh AB BC, CA

c) I lình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D’ (mà không có mặt nào là hình vuông) có

ba mặt phăng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB,AD, AA'

lỉài toán 4: Chứng minh rằng mội hình chóp không có tâm đổi xứng.

Giải

Trước hết la thấy ràng néu một hình chóp có tâm đối xứng o , thì số mặt chẵn.'Thật vậy nếu M là điểm bất kì thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M' đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đinh thành đỉnh) Điều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thảng MM' Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt lả chẵn

Vậy đáy cùa hình chóp có tâm đôi xứng là đa giác với số lẻ cạnh nên o không thuộc mặt phang đáy và không thuộc các mặt bên Gọi (T) là thiết diện của hình chóp đi qua o và song song với đáy (('1') tồn tại vì phép đối xứng qua o biến đỉnh hình chóp thành điốm thuộc đáy chóp), khi đó ( T) là đa giác có tâm đối xứng lại

có số lè cạnh (vì các cạnh của (T) chi nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp) Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng song song a và a' hai mặt phang (P) và (P') cùng

vuông góc với a 'Tìm phép tịnh tiến biến a thành a' và biến (P) thành (P')

Vậy 'T2 o 'Ti là phép lịnh tiên theo vectơ V, 4 V,

Một cách tông quát: h(,rp thành của n phép tịnh tiến đã cho là một phép tịnh tiến

có vectư lịnh tiến bàng tống các vectơ của các phép tịnh tiến đã cho

Bài toán 7: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R = AB một đicrn M

thay dối trên mặt cầu Gợi c D' M' là các điềm sao cho: CC'= DD' = M M '= A B Chứng minh rằng nếu BC'D'M' là hình tứ diện thi tâm mặt cầu ngoại liếp tứ diện dónằm trên (S)

Giải

Phép tịnh tiến 'T theo vectợ V = ẢB biến A thành B, c thành c , D thành D'

và M thành M' lức là biến tứ diện ACDM thành tứ diện BC'D'M'

Do dó 'T biến tâm o của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm O' của mặt câu ngoại liêp tứ diện BC'D'M', tức là 0 0 ' = V = A B

Vì 0 0 ' = AB = R nôn diêm O' nằm trên mặt cầu (S)

14

G C - - G D = - - ( G A + GB + GC + GD) = Õ

Bài toán 8; Cho tứ diện ABCD Gọi A |, B|, Ci, D| lần lượt là trọng tâm các lam

giác BCD, ACD, ABD, ABC Với điểm M bất kì trong không gian ta gọi M) làảnh của M qua phép tịnh tiến A A |, M2 là ảnh của Mi qua phép tịnh tiến theo

BB, , M3 là ảnh của M2 qua phép tịnh tiên theo cc, , M4 là ảnh của M3 quaphép tịnh liên theo DD|

Chứng minh rằng M trùng với M4

Giải

Ta có M4 là ảnh của M qua 4 phép tịnh tiến liên tiếp Hợp thành phép tịnh tiến

đó là một phép tịnh tiến theo vectơ

Bài toán 9: Cho phép dời hình f thoả mãn điều kiện phép họp thành cúa f và f

là phép đồng nhất: f o f = e, biết ràng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thánh chính nó Chứng minh rằng f là phép đổi xứng tâm

Giải

Với một điếm M bất kì khác I, ta gọi M' là ành của M qua f, khi đó M và M' khônỉi trùng nhau Vì t'o f = c nên f biến M' thành M, vậy f biến đoạn thẳng MM' thành đoạn thẳng M'M

Từ đó suy ra f biển trung diểm đoạn thẳng MM' thành chính nó và vì vậy, theo giá thiết trung diểm MM' phải là điểm I Vậy f là phép đối xứng qua tâm I

Bài toán 10: Chứng minh ràng hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm

là một phép tịnh tiến, họp thành của một số lẻ của phép đối xứng tâm là phép dối xứng tâm

Giải

- Giá sử Đi và 1)2 là các phép dối xứng lâm có tâm lần lượt là 0 | và O2 Gọi M

là một diổm bất kì Mi = Đi(M) và M' = Đ2(M|) thì phép hợp thành Đ2 o Đi biến

M thành M'

'l a có: MM' = MM^ + I ^ M ' = 2Õ 7f^ + 2m7X = 2Õ |o7

Suy ra D2 0 Di là phép tịnh tiên theo vectơ V = 2O O2

- Với diêm M la lấy M| đối xứng với M qua o , và lấy M' sao cho M |M ' = V

Khi đó hợp thành 1' 0 Đ()biến M thành M'

Nêu gọi 1 là trung diêm cùa MM' thi OI - —

Vậy đicm I cố định Suy ra T- o Đo là phép đối xứng qua I.

- Y

Tương lự D() o 'T là phép đôi xứng qua điêm r mà o r = - —

- Vi hợp ihành của hai phép đổi xứng tâm là một phép tịnh tiến nên họp thành cùa 2n phép dối xứng tâm là họp thành cùa n phép tịnh tiến và do đó là một phép tịnh liến

1 lợp thành của 2n f 1 phép đối xứng tâm là họp thành của một phép tịnh liến

\ à một phép đối xứng tâm nôn là một phép dối xímg tâm

Bài toán 11: Chứng minh ràng:

a) llcYp thành của hai phép đổi xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến

b) ỉ lợp thành của một phép đổi xứng trục và một phép tịnh tiến theo vectơ vuông uóc với trục dối xứng là một phép đối xứng trục

Giải

a) (}iá sư Da và Dh là các phép dối xứng trục có

trục lần lucrt là các dường thăng a và b song song với

nhau Lấy hai đicm 1 và 1 lần lượt nam trên a và b sao

chơ u à_ a Với dicm M bất ki, ta gọi Mi = Da(M) và

M’ = Dh(Mi) thì phép hợp thành Dh 0 Da biến M thành

M' Neu gọi II là trung dicm của MM| và K là trung

diêm của MiM' thì;

ỈVÍvT' = M M ' + ÌVli^M’ = 2HNĨ^ + 2MjK = 2ĨĨK = 2ĨÌ

Vậy hcyp thành Dh o Da chính là phép tịnh tiến theo vcctơ V = 2IJ

b) Gia sứ Da là phép dối xứng qua dường thăng a,T là phép tịnh tiến theo

vcctơ V vuông nóc với a.

(ìọi b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo vectơ — thì phép tịnh tiến T- là hợp

thành của hai phép dối xứng Da và Db qua các dường thăng a và b: T = Đb o Đg

Bài toán 12: Gọi D là phép đối xứng qua mặt plìẳng (P) và a là một đưòng thẳng nào

dó Già sử Đ biến đường thắng a thành đường thẳng a' Trong trường hợp nào thì:

Giải

à) a trùng với a' khi a nằm trên mp(P) hoặc a vuông góc với mp(P).

b) a song song với a' khi a song song với mp(P)

c) a cắt a' khi a cắt mp(P) nhưng không vuông góc với (P)

d) a và a' không bao giờ cắt nhau

Bài toán 13: Chứng minh:

a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến

b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

Giải

a) Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q)

sao cho AB J (P) Với một điểm M bất kì, ta gọi Mi là

điếm đối xứng với M qua mp(P) và M' là điểm đối xứng

với M| qua mp(Q)

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM| và M]M'

thì ta có:

= M M| + M,M' = 2(hĨ ^ + ĨvĨ^k)^ 2ĨĨK = 2ÃB

Vậy phép hợp thành là phép tịnh tiên theo vectơ 2 A B

b) Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q)

Với một điểm M bất kì, ta gọi Mi là điểm đối xứng với M qua mp(P) và M' là điềm đối xứng của M| qua mp(Q)

Nếu M nằm trên (P) hoặc trên (Q) thì

thấy M' là điểm đối xứng của M qua d

Nếu M không nằm trên cả (P) và (Q)

thì ba điểm M, Mj và M' xác định mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q), do

đó vuông góc với d

Gọi giao tuyến của (R) với (P) và (Q) lần

lượt là p, q, còn o là giao điểm của p và q

Xét trong mặt phang (R) thì diểm

M' là ảnh của điểm M qua hợp thành của phép đối xứng qua đường thẳng p và phép đối xímg qua đường thắng q Suy ra o là trung điểm của MM'

Mặt khác MM' -L d nên phép hợp thành là phép đối xứng qua đường thẳng d

|> A

A’

Bài toán 14: Cho mặt phắng (P) và cho phép dừi hình f có tính chất: f biến điểm

M thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P) Chứng tỏ ràng f là phép đối xứng qua mặt phăng (P)

Giải

Phép dời hình f biến mọi điểm M nằm trên (P) thành M

Với điểm A không nằm trên (P) ta gọi a là đường

thảng đi qua A và vuông góc với (P) Nếu H là giao

điểm cùa a và (P), vì f(H) = n nên f biến a thành đường

thăng đi qua H và vuông góc với (P), vậy f(a) = a

Từ đó suy ra điểm A biến thành điểm A' nằm trên a,

A' khác với A và I lA = HA'

Vậy (P) là mặt phăng trung trực của đoạn thăng AA'

Suy ra f là phép đối xứng qua mp(P)

Bài toán 15: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M, N lần lượt lằ trung điểm các cạnh

AB và CD Gọi o là trung diêm của đoạn MN Chứng minh ràng với mọi điểm

K nằm trong tứ diện ta có KA + KB + KC + KD ^ OA + OB + o c + OD

Giải

Ta có MN là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD

Gọi K' là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK' và MN

Ta có KA + KB = AK + AK' > 2AH và KC + KD = CK + CK' > 2CH

'ĩa chứng minh ràng AH + CH > OA + o c ,

Xét trong mặt phăng (MCD), điểm A' sao cho tia MA' vuông góc với MN, ngược chiều với tia NC và độ dài M \’ = MA

Ta có HA’ = HA nên HA + HC = HA' + H O A'C

Vì A'C đi qua o nên A'C = o c + OA' = o c + OA

Vậy KA + KB + KC + KD ^ OA + OB + o c + OD

Bài toán 16: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy là tam giác cân ABC (AB = AC)

Trên các cạnh AC và A'B' ta lấy các điểm tương ứng M và M' sao cho AM = A'M' Tim tập hợp trung điểm của đoạn MM’

Bài toán 17: Cho mặt phăng (P) và tứ diện ABCD Với mỗi điểm M thuộc (P) ta

xác định điểm N theo công thức:

Tìm tập họp N, khi M di động trong (P)

18

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì G cố định

I'a c ó t ^ + MB + MC + ĩ ^ = 2MN

Do đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm G

Vậy tập hợp N là mặt phang đổi xứng với (P) qua G

DẠNG TOÁN

Định nghĩa đuvng và mặt song song

a //h khi a, h đồng phăng và không có điểm chung,

a // (P) khi chủng không có điêm chung.

(P) // (O) khi chúng không có điểm chung.

Định lý song song cơ bản

Giao tuyến song song

Đảo lại, trẽn 2 đường chéo nhau lần lượt lấy các điềm A B, c và A \ B \ C'

theo thứ tự, nếu AB BC - thì AA B B c c ' năm trên 3 mặt phăng song song.

a) Chứng minh 0 0 ' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N là trọng tâm các tam giác ABD và ABE Chứng minh MN song song với mặt phang (CDEE)

Giải

a) Ta có: 0 0 ' // DF, nên: 0 0 ’ // (ADF)

Tương tự: 0 0 ' // CE nên 0 0 ’ // (BCE)

b) Gọi I là trung điểm của AB

Trong mp(IDE), vì M, N, là trọng tâm nên;

Ị M _ ] N _ 2

ID ~ lE ~ 3

Vì MN không nàm trong (CDEF) nên MN // (CDEF)

Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC yà BC

Trôn cạnh BD, lấy điểm K sao cho BK = 2KD Gọi E và F là giao điểm của đường thẳng CD và AD với mặt phẳng (IJK)

b) Gọi M và N là hai điểm bất ki lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)

Giải

a) Trong (BCD), CD cắt JK tại E nên E là

giao điểm của CD với (IJK)

Trong tam giác BCD, dimg DD' // JK

Do đó FA = 2 PD.VÌ K và F là trọng tâm các tam giác BCE và ACE nên ta có:

KJ FI

b) MC cắt u tại p, MD cắt FK lại Q thì PQ là giaơ tuyến của mp(MCD) và mp(UK) Trong (MCD), MN cắt PQ tại o, chính là giao điểm của MN với (LJK)

Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi

M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và sc

a) Gọi I và J là giao điểm của mpCiSBD) với các đường thẳng AN và MN

a) Gợi o là tâm hình binh hành ABCD

'Trong ASAC, AN cắt so tại I

Vậy 1 là giao điếm của AN và mp(SBD)

'Trong ANAB, MN cắt BI tại J

Vậy J là giao điêm của MN và mp(SBD)

'Theo cách vẽ thì B, I, J thẳng hàng

lAb) Vì 1 là trọng tâm của tam giác SAC nên — = 2

Bài toán 4: Cho tứ diộn ABCD Các điềm p, Q lần lượt là trung điểm của AB

và CD; đicm R nàm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC Gọi s là giao điểm của

SA

mp(PQR) và cạnh AD 1 ính tỉ

SD

Gọi 1 là giao diềm cùa RQ và BD;

lí là trung diêm của BR

Do đó DB = DI nên AD và IP là hai đường trung tuyến của tam giác ABI nên giao điêm s của AD và IP là trọng tâm của tam giác ABI và ta có AS = 2DS.

Vậy ^ = 2.

SD

Bài toán 5: Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song

song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng (a ) cắt bốn nửa đường thắng theo thứ tự nói trèn tại A', B', C' và D' Chứng minh:

a) (Ax, By) // (Cz, Dt), (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành và AA' + CC' = BB' + DD'

Giải

a) Ta có Ax // Dt => Ax // (Cz, Dt)

AB // DC ^ AB // (Cz, Dt)

Vì mp(Ax, By) chứa 2 đường thẳng Ax,

AB cắt nhau cùng song song với (Cy, Dt)

nên (Ax, By) /7 (Cz, Dt)

Tưcmg tự (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Mặt phẳng (a ) cắt 2 cặp mặt phẳng

song song (Ax, By) và (Cz, Dt); (Ax, Dt) và

(By, Cz) theo các giao tuyến A'B' // D'C

A'D' // B'C' nên A'B'C'D' là hình bình hành

Gọi o , O' lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A'B'C'D'

Ta có 0 0 ' là đường trung bình của hình tliang AA'C'C nên có: 0 0 ' =

1

Vậy AA' + CC' = BB' + DD’

Bài toán 6: Cho lăng trụ tam giác A'B'C'.ABC Gọi 1, G và K lần lượt là trọng

tâm của tam giác ABC, A C C và A'B'C Chứng minh:

Ilướng dẫn giải

AA'+CC'

A' M'Theo tính chất trọng lâm của tam giác ta có:

Do đó (AEB') // (A'CF)) hay (AIB') // (A'GK).

Bài toán 7: Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bàng nhau,

ĩrên AB, DD', C'B' lấy ba điểm M, N, p sao cho AM = D'N = B'P Chứng minh ràng mp(MNP) song song mp(AB'D')

'1 heo dịnh lí 'Fa Ict đảo, các đường thẳng BC, MP, AB'

cùng song song với một mặt phang hay MP // mp(AB'D')

Tương tự thì được MN // mp(AB'D') Vậy mp(MNP) // mp(AB'D')

Bài toán 8: Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một

hình hộp bang tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Giải

Ta biết trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phưcmg bốn cạnh

Với hình hộp ABCD.A^B’C 'D '

Áp dụng đối với 2 hình bình hành ACCA' và BDD'B'

A C ‘ + CA'^ = 2(AC^ + AA'^)

và BD'^ + DB'‘ = 2(BD- + BB'^)

Nên AC'^ + CA'^ + BD'" -+ DB'^ - 2[(AC' + BD^) + (AA'^ + BB'^)]

= 2 [(2(AB^ + AD^) + 2AA'^1 = 4(AB^ + AD^ + AA'^)

Vì 12 cạnh hình hộp chia làm 3 nhóm song song và bằng nhau =í> đpcm

Bài toán 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình binh hành Một mặt phẳng (P) lần

lưcyt cắt các cạnh SA, SB, sc tại A', B', c Gọi o là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của A'C' và so Gọi D' là giao điểm của mp(P) với cạnh SD

Trong mp(SAC) A'C' cắt so tại I Trong mp(SBD), B'I cắt SD tại D'

Khi dó D' chính là giao điếm của mp(P) với SD

Bài toán 10: Cho một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành

tâm o Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP) và tìm giao điểm cùa so và (MNP)

Giải

Đường thẳng NP cắt AD lại I và cắt AB tại J,

MI cắt SD tại K; MJ cắt SB tại L

Nối NL, PK thì thiết diện là ngũ giác MLNPK

Trong mp(ABCD), AC cắt NP tại E

Trorig mp(SAC), so cắt ME tại H thì H là

giao điểm của so với mp(MNP)

«

Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Xác định thiết

diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phang đi qua trung diểm M của cạnh AB, song song với BD và SA

Giải

Qua M vẽ đưòng thẳng song song với BD cắt AD

tại N và cắt AC tại I Qua M, I, N vẽ các đường thẳng

song song với SA lần lượt cắt SB, sc, SD tại R, Q, p

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

Cách khác: Tìm giao điểm Q của mặt phang cắt với

cạnh sc bằng cách nối giao điểm J của MN và BC

với R và kéo dài cắt sc tại Q.

Bài toán 12: Cho hình lãng tại tam giác ABC.A'B'C Gọi H là trung điểm của

cạnh A'B'

a) Chứng minh ràng đường thẳng CB' song song với mp(AHC')

b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C) và (A'BC) Chứng minh ràng d song song với mp(BB'C'C) Xác định thiết diện cắt bời mp(H; d)

Giải

a) Ciợi 1 là tâm của hình bình hành AA'C'C

Xét tam giác A'B'C thì HI là một đường trung bình

của nó nên CB' // III Mặt khác HI nằm trong mặt

phẳng (A IIC ) nên CB' // mp(AHC')

b) Gọi J là tâm cùa hình bình hành AA'B'B

Ta có I, J là hai diểm chung của hai mặt phang

(AB'C) và (A'BC) Vậy giao tuyến d của chúng

là đường thẳng u Vì d // B 'C nôn d // (BB'C'C)

Dưcmg thắng HJ cắt AB tại M

Ta có AA' // HM, suy ra AA' // mp(H; d) nôn

mp(AA'C'C) cắt mp(H; d) theo giao luyến qua I

và song song với AA'

Giao luyến này cẳt AC và A'C'lần lượt tại N và E Vậy thiết diộn là hình bình hành MNIÌH

BẪĨTẬP TỔNG HỢP

Bài tập 1: Hãy phân chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện bời một mặt phẳng.

ỈID-DS

Kết quả Chọn mặt phẳng qua một cạnh và cắt mặt đối diện

Bài tập 2: Cho ba doạn AA', BB’, CC' nàm trên 3 đường thăng song song và không

đồng phẳng sao cho: AA' < BB’ < CC' Hãy chia hình đa diện ABCA’B’C" thành một hình chóp và một hình lăng trụ

IID-DS

Qua mút của đoạn ngắn nhất AA’ vẽ mặt phẳng song song với mặt đáy kia

Bài tập 3: Cho khốil đa diện lồi H ta kí hiệu D lả số dinh, c là số cạnh, M là số

Bài tập 4: Chứng minh:

a) Hợp thành các phép dời hình fog là một phép dời hình

b) Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu bằng nó

HD-DS

a) Kct quả dùng định nghĩa

b) K.ết quả dùng định nghĩa và dùng ảnh của tâm mặt cầu

Bài tập 5: Cho điếm I nằm trên đường thẳng d, đường thẳng d nằm trên mặt

phẳng (P) Chứng minh phép dời hình f biến (P) thành (P), d thành d và có một điểm bẩt động duy nhất 1 là phép đổi xứng tâm I

UD-ĐS

Dùng định nghĩa phép đối xứng tâm

Bài tập 6: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau Gọi M, N lần lượt là

trung diểm của AB và CD Gọi A’, B’ là hình chiếu cùa A, B lên CD và C ’, D'

là hình chiếu của c, D lên AB

Chứng minh đoạn A 'C ’ = B’D’ và A 'D ' = B ’C ’

IID-ĐS

Dùng phép dối xứng trục

Bài tập 7: Cho hình họp ABCD.A’B’C’D'.

a) Chứng minh mặt phẳng (BDA') song song (B'D'C), đường chéo AC' đi qua trọng tâm G| và G2 của hai tam giác BDA' và B'D'C, hơn nữa Gi và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bàng nhau

b) Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B cùng nàm trên một mặt phăng

IID-ĐS

a) Kct qua tính chất hình bình hành

b) Ket quả dùng mật phẳng (BDA') song song (B'D'C)

Bài tập 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.AiBiCi.

a) Dựng thiết diện của hình lăng trụ với m p(a) đi qua AC| và song song với CB| Gọi G| là trọng tâm cúa tam giác A iB |C | Xác định giao tuyến của m p(a) và mp(BB|Gi)

b) Xác định giao điếm ĩ của đường thẳng BM với m p(a) trong đó M là trung

JGdiêm của cạnh A |C | '1'ính ti số —

JO

ỈID-DS

h) Kct quả i/C/|

JÕ

o CHỦ ĐỂ II

KHỐI Đe PIỆN ĐỀU Vờ PHÉP VỊ Tự

DẠNG TOÁN

- Cho số k khôrìịị đối khác 0 và mộl điềm o cố định Phép hiến hình trong không

gian hiến mỗi điềm M thành tỉiểm M' sao cho OM ' = Ấ:OM gọi là phép vị tự.

Diêm o gọi lù lâm vị tự sổ k gọi là ti so vị tự.

Nếu phép vị tự ti w k hiến hai điêm M N thành hai điểm M \ N ' thì

Bài toán 1: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường

thăng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phang thành một mặt phang song song hoặc trùng với mặt phang dó

Giãi

- Ciiá sứ phép vị tự V tỉ số k biến đường thẳng a thành đường thẳng a' Lấy hai

diêm phân hiệt M N nàm trôn a thì ành của chúng là các điểm M', N' nằm trên a'.'kheo lính chất cua phép vị tự thì M' N' = kMN

Do dó hai đường thăng a và a' song song hoặc trùng nhau

- Giá sứ phép vị tự V biến m p(a) thành m p(a') Ivấy trên (a ) hai đường thẳng cắt nhau a và b thì anh của chúng qua V là hai dường thăng a' và b' nàm trên (a')

và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Từ đỏ suy ra hai mặt phắng (a ) và (a') song song hoặc trùng nhau

Bài toán 2: Cho phép vị tự V tâm o tỉ số k 1 và phép vị tự V' tâm O' ti sổ k' C'hứng minh ràng nếu kk' = 1 thì phcp hợp thành V oV là một phép tịnh tiến

Giải

Gọi V là phép vị lự tâm o ti số k V' là phép vị tự tâm O' ti số k'

Với mồi diổm M la lấy Mi sao cho OM| = kOM rồi lấy điểm M' sao cho

O M' = k '0 'M | thì phép họp thành V oV biến điổm M thành điểm M'

Từ đó suy ra V' 0 V là phép tịnh tiên theo vectơ: V = - — - 0 0 '.

Bài toán 3: Cho phép vị tự V tâm o tỉ số k và phép vị tự V' tâm O' tỉ số k' với

k k ’ ^ 1 Gọi F = V' o V Chứng minh ranu:

a) Có điếm I duy nhất sao cho F(0 =

b) Với điềm M hất kì gợi Mi là ảnh của M qua phép vị tự V, M' là ảnh của Mi qua phép vị tự v thì F biến M thành M'

Vậy F’ là phép vị tir tâm 1 tỉ số kk'

Bài toán 4: Cho hai hình tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng song song:

AB // A'B', AC // A 'C AD // A'D', CB // C’B’, BD // B'D', DC // D’C'

Chimg minh rằng có một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự biến tứ diện này thành tứ diện kia

Vì AB // A'R' nôn có sổ k 0 sao cho AB = kA' B '

Ta chứnu minh rằng khi đó ta cũng có

Vì hai vectơ A 'C ’ và B'C' không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi

và chi khi n - k = m - k = 0, tức là n = m, vậy AC = kA 'C ' và BC = kB'C'

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự

Suy ra phép vị tự V tâm o tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'

Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD Điểm M lưu động trong tam giác ABC Các điểm

A' B', C' lần lượt thuộc các mặt (BCD), (CAD), (ABD) sao cho MA' // AD, MB' // BD, MC' // CD Tìm tập hcrp các trọng tâm của tam giác A'B'C

Giắi

'la chứng minh: DA' + DB' + DC' = 2DM

Vì G là trọng tâm tam giác A'B'C' nên

tập họp các điểm G là ảnh của tam giác ABC qua phép

vị tự đó

Bài toán 6: Cho hai tử diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng tỉ lệ:

(}ọi A |B iC |D i là ánh của ABCD qua V

Ta có: A,B, = kAB B,C| = kBC, C|Di = kCD D,A|

= kDA, AiCi = kAC, B,D, = kBD.Theo giả thiết thì A|B| = A’BVB,Ci = B'C’ C,D| = cư, D|A, = D'A’, A|C, = A'C, B|Di = B'D', do dó hai tứ diện A iB |C |D | và A'B'C'D' bàng nhau

Vậy hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' dồng dạng

Bài toán 7: Chứng minh rằng hai hình lập phương bât kì đều dồng dạng với nhau.

Giải

Giá sứ hình lâp phương ABCD.A'B'C'D' canh a và hình lâp phương MNPQ M'N'P'Q' cạnh b

bXét phép vị tự V tâm o nào đó và tỉ sổ k = — • Khi đó ánh của hình lập phương

aABCD.A'B'C'D' cạnh a thành hình lập phương I'’FGH.E’F'GTr có cạhh là ka = b

Do dó hai hình lập phương HFGFI.F:'F’G 'ir và MNPQ.M'N'P'Q’ có cùng cạnh b nên băng nhau

Vậy hai hình lập phương ABCD.A'B'C'D’ và MNPQ.M’N'P'Q’ đồng dạng

DẠNG TOÁN

- MỘI khối đa diện được gọi là khổi đa diện lồi nếu hát kì hai diêm A và B nào

của nó thì mọi diêm cua đoạn thăng A B cũng thuộc khói đỏ.

- Khoi đa diện dểu là khối da diện lồi có hai tính chất sau dây:

(1) Cúc mặt là những đa giác đểu và có cùng vó cạnh:

(2) Moi đinh là dinh chung cùa cùng một số cạnh.

Khối da diện dều mù mỗi mặt lù đa giác đều n cạnh và moi đinh là đinh chung cùa p cạnh được gọi là khối đa diện đều loại Ịn, pỊ.

- Có nám loại khỏi đa diện đểu: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám

mặt đều, khối mười hai mặt đểu, khối hai mươi mặt đều.

Khối tứ diện đểu là loại (3; 3}: Khối hát diện đều là loại {3; 4}

Khối lập p h ư m g là loại {4: 3}; Khối 20 mặt đều là loại {3; 5}.

Khối 12 mặt đểu là loại ị5; 3}.

30

Khối tứ diện đểu Khối lập phưong

Khối nhị thập diện đều Khối thập nhị diện đều

C húỹ:

Dê chứng minh khối đa diện (K) là khối đa diện đều, ta có thể dùng định nghĩa của 1 trong 5 loại khối đa diện hoặc dùng phép vị tự, khối (K) là ánh của khối đa diện đểu nào đó.

Bài toán 1: Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu

chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó Đoạn thẳng nối hai đinh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều thì ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi dường; đôi một vuông góc với nhau và bằng nhau

Giải

Giá sử ABCDKP là khối tám mặt đều Ba đường chéo

của nó là EF, AC và BD Bốn điểm A, B c , D cách đều

hai điểm E và F nên cùng nằm trên một mặt phẳng

Vậy ABCD là hình thoi, ngoài ra E cách đều A, B, c, D

nên hình thoi đó là hình vuông

Suy ra hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung

điem của mỗi đưòng, chúng vuông góc với nhau và có độ

dài bàng nhau

Tưong tự đối với các cặp đường chéo còn lại

Bài toán 2: Cho hình bát diện đều ABCDEE Tìm;

a) Hình bát diện đều ABCDEP có lâm đối xímg

() là giao điềm cùa 3 đường chéo AC, BD và EF

b) Hình bát diện dều ABCDEE có tất cả 9 mặt

phẳng đối xứng: ba mặt phẳng (ABCD), (BEDF),

(A E C n và 6 mặt phẳng, mỗi mặt phang là mặt

phảng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn

A B vaC D )

c) Hình bát diện đều ABCDEF có 9 triic đối xứng: ba trục của

mặt (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 đường thẳng đi qua 2 trung

điểm của 2 cạnh song song

liài toán 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A', B', c , D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh răng hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đồng dạng Suy ra nếu ABCD là tứ diện dều thì A'B'C'D' cũng là tứ diện đều

Bài toán 4: Cho khối lập phưong ABCD.A'B'C'D'

Chứng minh A C B'D ’ là khối tứ diện đều

Giải

Gọi cạnh khối lập phương ABCD là a

Vì các mặt là hình vuông nên các đường chéo

AC = AB’ = AD’

= CD’ = CB’ - B ’D' = a V 2

Vậy ACB’D ’ là khối tứ diện đều

Bài toán 5: Cho một khối tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

Giải

Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC, BD,

AD, BC của khối tứ diện đều ABCD

32

Khi đó, tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP,

NPR NRQ, NSP là những tam giác đều, chúng làm

thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, p, Q, R, s

mà mồi đỉnh là đinh chung của bốn cạnh

Vậy MNPQRS là khối tám mặt đều

Bài toán 6: Chứng minh tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh củamột khối lập phương

Giải

Cho khối tám mặt đều SABCDS'

Gọi M N, p, Q, M', N', P', Q' lần lượt là

trọng tâm cùa các mặt SAB, SBC, SCD,

SAD, S'AB, S’BC, S'CD, S'DA thì các tứ

giác MNPQ M'N’P'Q', MNN'M' PQQ'P',

NPP'N' MQQ'M' đều là hình vuông và mỗi

đinh M, N, p, Q M', N', P' Q’ đều là đinh

Bài toán 8: Cho hình lập phưong ABCD.A'B'C'D' có cạnh bàng a Tính khoảng

cách giữa hai đường thăng;

Ta có B'D cắt hai mặt phẳng (ACD')

và (A 'BC) lần lượt tại G G' thì DG = GG’ = G'B'

DB' _ aV3

3 " 3Vậy d(CD'; B C )

DẠNG TOÁN

Định nghĩa vuông góc

a ± b khi g(a, h) = 9Ờ\

a 1 (P) khi a vuông góc với mọi đường thẳng của (P).

(P) -L (Q) khi góc của 2 đường thăng a, h lần lượt vuông góc với 2 mặt phăng hằng 9Ờ\

Cho b ' là hình chiểu của h lên (P), và a d (P) Nếu a Ả -b th ìa l b ’ và ngược lại.

- ỉ Tinh lăng trụ đểu: Đáy đa giác đều và các cạnh bên vuồng góc với đáy (lăng trụ đứng).

- Hình hộp chừ nhật: hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật.

- ỉ Tinh lập phưong: ỈTinh hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau.

Góc giữa đường thẳng và mặt phang

- Góc giữa 2 đường thăng là góc hợp hởi 2 đường thang cùng đi qua một điểm

và lần lượt song song với 2 đường thang đã cho.

- Góc giữa 2 mặt phang là góc h(jp hởi 2 đường thẳng lần lượt nằm trên 2 mặt

phăng và vuông góc với giao tuyến.

- Góc giữa đường thăng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó với hình chiểu cùa nó lên mặt phăng Đặc hiệt nếu đường thẳng vuông góc với mật phang

.1 ' ' ỉ ^ nno

thì có sô đo 90".

Khoảng cách giữa điểm, đường thẳng và mặt phang

- Khoáng cách từ l điêm đến 1 đường thẳng là đoạn vuông góc hạ từ điểm đỏ đén đường thăng.

- Khoang cách từ l điêm đến 1 mặt phang là đoạn vuông góc hạ từ điểm đó đên mặt phăng.

- Khoảng cách giữa 2 yếu tổ song song là cách từ 1 điêm của vếu tố này đến yếu tố kia

- Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau là độ đài đoạn vuông góc chung, cũng

là khoang cách tử đường thăng nàv đến mặt phang song song chứa đường kia.

Chú ỷ:

ì) Dùng thêm quan hệ vectơ để giải toán.

2) Nếu một hình có diện tích s nằm trên (P) có hình chiếu lên (Q) với diện tích

S 'th ì: S '= S.cosoc, a là góc giữa 2 mặt phang Từ đó suy ra cách tính góc giữa 2 mặt phang nhờ diện tích.

Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B và 2 mặt bên (SAB),

(SAC) cùng vuông góc với đáy

Vì AH vuông góc với giao tuyến SB nên AH ± (SBC)

Mà AH c (AIỈK) nên (^AHK) 1 (SBC)

Bài toán 2: Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, oc đôi một vuông góc

Hạ AH vuông góc với (ABC) Chứng minh:

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm tam giác ABC

AC" OA^ + OC^

Do đó BC^ < AB^ + AC^ nên góc B của tam giác

ABC là góc nhọn Tương tự thì tam giác ABC nhọn

Vì H là hình chiếu của điểm o trên mp(ABC) nên OH 1 (ABC)

Mà OA J_ (OBC) nên OA J- BC do đó hình chiếu AH ±'BC

'l ương tự thì BH 1 CA Vậy II là trực tâm tam giác ABC

b) Nếu AH _L BC tại A' thì BC 1 OA' Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA', vuông tại o và OA' là đường cao của tam giác vuông BOC, vuông tại o nên;

• +

Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABC có SA -L mp(ABC) và tam giác ABC không vuông Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

Chứng minh rằng:

a) A ll, SK BC đồng quy

b) HK 1 mp(SBC); (SAC) 1 (BHK)

Giải

a) Gọi AA' là đưòng cao của tam giác ABC, do

SA J_ (ABC) nên SA' 1 BC Vì H là trực tâm tam

giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc

AA' K thuộc SA'

Vậy AH, SK, BC đồng quy lại A'

b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên BH -L AC, mà BH J_ SA nên BH -L s c

Mà K là trực tâm tam giác SBC nên BK J_ s c

= 0

^ b - a ) = 0 ^ |p Q - ^ A B

Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B và có

AD = 2AB = 2BC, SA vuông góc với đáy

và OA // BC, ta có góc A, B vuông nên OBCD là hình vuông

Do đó OB -L AC mà OBCD hình bình hành nên OB // CD, do đó CD J_ AC

Mà CD 1 SA nên CD 1 (SAC) Vậy (SCD) 1 (SAC)

Bài toán 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh

bên CC' vuông góc với đáy và CC' = a

a) Gọi I, M là trung diêm của BC, BB'

Chứng minh AI vuông góc với BC' và BC' vuông góc với AM

b) Gọi K là điểm trên đoạn A'B' sao cho B'K = — và J là trung điểm của B'C.Chứng minh AM vuông góc với KJ

Giải

a) Tam giác đều ABC nên trung tuyến

AI J_ BC Theo giả thiết, ta có: CC' J- (ABC)

Do đó: c c 1 Al Suy ra: AI 1 (BCC)

Vậy AI 1 BC'

Ta đã có: BC' 1 AI Mặt khác, BCCB' là hình

vuông cạnh a nên BC' ± CB' IM là đường trung

bình của tam giác BCB' nên IM // CB'

Từ đó ta có: BC' T IM

Ta suy ra: BC' 1 (AIM) Vậy: BC' 1 AM

C'

b) Hình chiếu AM lên (A 'B 'C ) là A’B'.

Tam giác A'B'C' đều nên C'N 1 A’B' mà JK // C'N nên J K 1 A'B'

Vậy AM 1 JK

Bài toán 7: Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong m p(a), cạnh AB

và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc p và Ỵ

Gọi a là góc tạo bới mp(P) và mp(ABC).

Chứng minh sin^a = sin^p + s in \

Giải

Hạ AA' vuông góc vói mp(P) thì A B A ', ACA'

lần lượt là góc giữa AB, AC với mp(P), theo giả

thiết ẤBA' = P , ẨcA' =ỵ

I ỉạ đường cao AH của tam giác vuông ABC thì A'H ± BC

nên AHA' = a là góc giữa mp(ABC) và mp(P)

I a có: sinp = ^—- , siny = , sina = —

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

~ AB- ^ AC^

sim a = sin p + simy

Bài toán 8: Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính các góc a là góc giữa BC và AD; p là góc giữa AC và BD; y là góc giữa

AB và CD Chứng minh rằng trong ba số hạng a^cosa, b^cosp, c^cosy có một

Với a, b, c là độ dài của BC, CA, AB, ta có thể xét a > b > c thì a^ c o sa = |c ^ - b ^ l; b" cosP = |a^ - C '|; c^ cosy = |b ^ - a ‘ |

Từ đó, trong trường họp này ta có b^cosp = a^cosa + c^cosy

Bài toán 9: Cho hai tam giác ABC và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc

với nhau, AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x

a) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

b) Xác định X sao cho (ABC) vuông góc với (ABD)

Giải

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Tam giác ACB cân đỉnh c và lA = IB nên CI T AB

Tưomg tự DI T AB nên AB T(CID)

Do đó u 1 AB

Tương tự CD T (AJB) nên u TCD

b) Ta có góc giữa (ABC) và (ABD) là CĨD = 2CĨJ

Bài toán 10: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm o cạnh a, cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm của cạnh

sc và M là trung điểm của AB.

Tính khoảng cách từ I đến (ABCD) và đến đưòng thẳng CM