Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)

Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 5/2017

Mục lục

Chương 1 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 5

1.1 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach 5

1.1.1 Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không gian Hilbert 6

1.1.2 Toán tử đơn điệu 9

1.1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 13

1.2 Bài toán đặt không chỉnh 15

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 15

1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 16

1.3 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 17

1.3.1 Hiệu chỉnh trong trường hợp fi = 0 19

1.3.2 Hiệu chỉnh trong trường hợp fi 6= 0 22

Chương 2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27

2.1.1 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27

2.1.2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30

2.2 Tốc độ hội tụ 352.2.1 Tốc độ hội tụ 352.2.2 Ví dụ số minh họa 38

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đạihọc Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và độngviên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trongtrường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổthông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang và các anh chị emđồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi họcCao học

Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K9C và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập

và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Phương

Bảng ký hiệu

H không gian Hilbert thực

E∗ không gian đối ngẫu của E

Lp[a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p

trên đoạn [a, b]

lp, 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Mở đầu

Nhiều vấn đề của khoa học, công nghệ và kinh tế dẫn đến việc giảicác bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,tức là có một thay đổi nhỏ của các dữ liệu đầu vào có thể dẫn đến sự saikhác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệmhoặc vô định Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh

Khái niệm bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được J Hadamardđưa ra vào đầu thế kỷ XX khi nghiên cứu các điều kiện biên lên nghiệmcủa các phương trình eliptic cũng như parabolic (xem [6] và tài liệu tríchdẫn)

Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh đã được các nhà toán học hàngđầu thế giới đặt nền móng cho việc nghiên cứu như: V.K Ivanov, M.M.Lavrentev, A.N Tikhonov Gần đây, do tầm quan trọng trong ứng dụng

mà lớp bài toán này được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm nghiên cứu như: Ya.I Alber, A.B Bakushinsky, P.K Anh, Đ.Đ Áng,

Ng Bường, Đ.N Hào

Để giải lớp bài toán này ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định,sao cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìmđược càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu Các phương phápgiải bài toán đặt không chỉnh khi biết thêm thông tin định tính về nghiệmlà: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụngphương trình xấp xỉ Trong trường hợp tổng quát khi không biết thêmthông tin về nghiệm, ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh do A.N

Tikhonov đề xuất, dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọngiá trị của một tham số mới đưa vào.

Năm 1963 A.N Tikhonov (xem [15]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnhcho phương trình toán tử đặt không chỉnh

là sử dụng toán tử M : E → E∗ có tính chất hemi-liên tục và đơn điệumạnh làm thành phần hiệu chỉnh Js, ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E,

là một toán tử có tính chất như vậy Ya.I Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạnày để xây dựng phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αJs(x − x∗) = fδ, (2)cho bài toán (1), ở đây Ah là xấp xỉ của A, fδ là xấp xỉ của f , x∗ là phần

tử cho trước thuộc E và α là tham số mới đưa vào

Một trong các mở rộng của bài toán (1) là bài toán tìm nghiệm của hệphương trình toán tử đặt không chỉnh

Ai(x) = fi, i = 0, 1, , N, (3)

ở đây, Ai : E → E∗ là các toán tử đơn điệu, đơn trị và fi ∈ E∗ Năm 2006,

Ng Bường (xem [9]) đã kết hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (2) đểhiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trong trường hợp vế phải fi = 0 trên

cơ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số

ở đây Ahi là xấp xỉ của Ai, α là tham số hiệu chỉnh, J là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc của E, h là sai số cho trước.

Tham số hiệu chỉnh có thể được chọn tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm.Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) đã sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng đểchọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4) Tham số hiệu chỉnh α phụthuộc vào h được xác định từ phương trình:

ρ(α) = hpα−q, p, q > 0,

ở đây ρ(α) = α(a0+ kxhαk), với mỗi h > 0, a0 là hằng số dương cho trước,

xhα là nghiệm của (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0], α0 > 0

Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp chọn tham số hiệuchỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trìnhtoán tử (3), nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh dựa trên cách chọn tham số hiệu chỉnh này trên cơ sở bài báo[10] của Nguyễn Bường và các đồng tác giả công bố năm 2015

Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo gồm có 2 chương Chương 1 giới thiệu hệ phương trình toán tử đặtkhông chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệutrong không gian Banach Chương 2 trình bày nguyên lý tựa độ lệch suyrộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệuchỉnh và giới thiệu ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp hiệuchỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm

1.1 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach

Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trìnhtoán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach ở mục sau,mục này giới thiệu định nghĩa, ví dụ và một số tính chất hình học củakhông gian Banach, không gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ và một số tínhchất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệumạnh, toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach Phần cuốigiới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu

1.1.1 Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không gian

Hilbert

Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn Eđược gọi là hội tụ mạnh tới x0 ∈ E, viết là xn → x0 hay limn→∞xn = x0,nếu kxn− x0k → 0 khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn Eđược gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0(ε)sao cho kxm − xnk < ε với mọi m > n0(ε) và n > n0(ε)

Nhận xét 1.1.3 Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy nhưng điều ngược lạikhông đúng

Định nghĩa 1.1.4 (i) Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức làmọi dãy Cauchy đều hội tụ, là không gian Banach

(ii) Không gian tích vô hướng đầy đủ là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.5 Không gian Lp[a, b], 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach vớichuẩn

kf k =

 Z b a

| f (t) |p dt

1/p

, f ∈ Lp[a, b]

Không gian L2[a, b] là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.6 Cho E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn,

A1, A2 là các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F , ta định nghĩa

(A1 + A2)x = A1x + A2x với mọi x ∈ E;

(αA1)x = αA1x với mọi x ∈ E, α ∈ R

Kí hiệu B(E, F ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F Khi đó B(E, F ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác

(i) Không gian liên hợp của Rn là Rn;

(ii) Không gian liên hợp của lp là lq, 1 < p < ∞ và 1

Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu vớimọi phần tử x∗∗ ∈ E∗∗, không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tạiphần tử x ∈ E sao cho

x∗(x) = x∗∗(x∗) với mọi x∗ ∈ E∗

Ví dụ 1.1.13 Không gian Rn, không gian Hilbert H, không gian lp, Lp[a, b]với 1 < p < ∞ là các không gian phản xạ.

Định nghĩa 1.1.14 Dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn Eđược gọi là hội tụ yếu tới x0 ∈ E, viết là xn * x0, nếu với mọi f ∈ E∗ ta

Nhận xét 1.1.16 Trong không gian hữu hạn chiều, khái niệm hội tụ mạnh

và hội tụ yếu là tương đương

Định lý 1.1.17 (xem [3]) Giả sử E là không gian Banach Khi đó, cácmệnh đề sau là tương đương

(i) E là không gian phản xạ;

(ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có dãy con hội tụ yếu

Định nghĩa 1.1.18 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu vớimọi x, y ∈ SE sao cho x 6= y ta có

x + y

2 < 1.

Ví dụ 1.1.19 Không gian Rn, n ≥ 2 với chuẩn kxk2 được xác định bởi

là không gian Banach lồi chặt

Mệnh đề 1.1.20 (xem [4]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng củakhông gian Banach phản xạ và lồi chặt E Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tạiduy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn

Định nghĩa 1.1.23 Không gian Banach phản xạ E được gọi là có tínhchất Ephimov–Stechkin (hay tính chất ES) nếu E lồi chặt và có tính chấtKadec–Klee

Ví dụ 1.1.24 Không gian Hilbert là không gian có tính chất ES

1.1.2 Toán tử đơn điệu

Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E∗ là không gian liên hợpcủa E, A : E → E∗ là toán tử đơn trị với miền xác định là D(A) ≡ E,miền ảnh R(A) nằm trong E∗ và ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàmlồi chính thường Ta ký hiệu hx∗, xi thay cho x∗(x) với x ∈ E và x∗ ∈ E∗.Định nghĩa 1.1.25 Hàm ϕ : E → R ∪ {+∞} được gọi là

(i) nửa liên tục dưới trên E nếu

Định nghĩa 1.1.27 Một toán tử đơn trị đơn điệu A : E → E∗ được gọi

là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) := {(Ax, x) : x ∈ D(A)} của nó không

bị chứa thực sự trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác

Ví dụ 1.1.28 Toán tử A : R → R xác định bởi A(x) = x3 là toán tử đơnđiệu cực đại trên R

Định nghĩa 1.1.29 Toán tử A : E → E∗ được gọi là λ-ngược đơn điệumạnh nếu tồn tại hằng số dương λ sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ E

Định nghĩa 1.1.30 Toán tử A : E → E∗ được gọi là

(i) hemi-liên tục tại x0 ∈ E nếu A(x0+ tnx) * A(x0) khi tn → 0 với mọi

x thỏa mãn x0+ tnx ∈ E và 0 ≤ tn ≤ t(x0);

(ii) demi-liên tục trên E nếu từ xn → x suy ra A(xn) * A(x);

(iii) thế năng nếu A(x) là đạo hàm của phiếm hàm lồi ϕ(x)

Nhận xét 1.1.31 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên E thì liên tục trên E

demi-Định nghĩa 1.1.32 Toán tử A : E → E∗ được gọi là L-liên tục Lipschitznếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ E ta có

kA(x1) − A(x2)k ≤ Lkx1 − x2k

Nhận xét 1.1.33 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơnđiệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ

Ký hiệu 2E∗ là tập các tập con của E∗

Định nghĩa 1.1.34 Ánh xạ Js : E → 2E∗ (nói chung là đa trị) được địnhnghĩa bởi

Js(x) = x∗ ∈ E∗ : hx∗, xi = kx∗ks−1kxk = kxks, x ∈ E}, s ≥ 2gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E

Khi s = 2 thì Js được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc của E Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh

xạ đơn vị I

Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị

Mệnh đề 1.1.35 (xem [7]) Giả sử E là không gian Banach thực, J : E →

E∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E Khi đó,

(i) J (0) = {0};

(ii) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x) với mọi x ∈ E;

(iii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x) với mọi λ > 0, mọi

x ∈ E;

(vi) Với mỗi x ∈ E, J (x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng;

(v) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị

Chứng minh Ta sẽ chứng minh J là ánh xạ lẻ Các chứng minh khácđược làm tương tự

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ J(−x) Theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc ta có

hx∗, −xi = kx∗kk − xk = k − xk2.Xét

h−x∗, xi = (−1)2hx∗, −xi = (−1)2kx∗kk − xk = (−1)2k − xk2,

hay

h−x∗, xi = k − x∗kkxk = kxk2,chứng tỏ −x∗ ∈ J(x), hay x∗ ∈ −J(x)

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ −J(x), hay −x∗ ∈ J(x) Ta có:

h−x∗, xi = k − x∗kkxk = kxk2.Xét

hx∗, −xi = (−1)2h−x∗, xi = (−1)2k − x∗kkxk = (−1)2kxk2,

hay

hx∗, −xi = kx∗kk − xk = k − xk2,chứng tỏ x∗ ∈ J(−x)

Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, đơn điệu chặt và toán tử

có tính chất bức là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach

E Đó là nội dung của định lý sau

Định lý 1.1.36 (xem [7]) Nếu E∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục Hơnnữa, nếu E cũng là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệuchặt

Định nghĩa 1.1.37 Với toán tử r : E → E∗, ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với

Đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi có tính chất đơn điệu, đó là nộidung của mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.38 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một hàm khả viGâteaux trên E Khi đó, điều kiện cần và đủ để hàm ϕ lồi trên E là đạohàm Gâteaux ϕ0 của nó là một toán tử đơn điệu từ E vào E∗

1.1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu

Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E∗ là không gian liên hợpcủa E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k

Xét hệ phương trình toán tử

Ai(x) = fi, i = 0, 1, , N, (1.1)

ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : E → E∗ là các toán tử hemi-liêntục và có tính chất thế năng, fi ∈ E∗ Gọi Si là tập nghiệm của phương

trình thứ i của hệ (1.1) Ta luôn giả thiết S =

N

T

i=0

Si khác rỗng Khi đó, S

là tập con lồi đóng trong E

Trong trường hợp Ai là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi chínhthường nửa liên tục dưới ϕi : E → R ∪ {+∞} và fi = 0 thì tập Si trùngvới tập nghiệm của bài toán cực trị

inf

x∈Eϕi(x)

và là tập lồi đóng trong E, với mỗi i = 0, 1, , N Kết quả này được suy

ra từ bổ đề Minty và các mệnh đề dưới đây

Bổ đề 1.1.39 (xem [16]) Cho E là một không gian Banach thực, E∗ làkhông gian liên hợp của E, f ∈ E∗ và A là một toán tử hemi-liên tục từ

E vào E∗ Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ E,thì A(x0) = f

Nếu A là toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên tương đương với

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ E

Bổ đề trên được gọi là bổ đề Minty, tên của nhà toán học Mỹ, người đãchứng minh kết quả trên trong trường hợp E là không gian Hilbert Saunày cũng chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trongkhông gian Banach

Mệnh đề 1.1.40 (xem [12]) Giả sử ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếmhàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên E và khả vi Gâteaux với đạohàm Gâteaux ϕ0 được giả thiết là liên tục Khi đó, các phát biểu sau làtương đương:

(i) x0 là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên E;

(ii) hϕ0(x0), x − x0i ≥ 0 với mọi x ∈ E;

(iii) hϕ0(x), x − x0i ≥ 0 với mọi x ∈ E.

Mệnh đề 1.1.41 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàmlồi Khi đó tập nghiệm của bài toán

inf

x∈Eϕ(x)

là tập lồi đóng, có thể là tập rỗng

1.2 Bài toán đặt không chỉnh

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử

trong đó A : E → F là một toán tử từ không gian Banach E vào khônggian Banach F , f là phần tử thuộc F Sau đây là một định nghĩa củaHadamard

Định nghĩa 1.2.1 Bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt chỉnh posed) nếu

(well-(1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ F ;

(2) nghiệm này là duy nhất;

(3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán(1.2) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed)

Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f ),được gọi là ổn định trên cặp không gian (E, F ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tạimột số δ(ε) > 0 sao cho từ ρF(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρE(x1, x2) ≤ ε, ở đây

xi = R(fi), xi ∈ E, fi ∈ F, i = 1, 2

Nhận xét 1.2.2 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian nàynhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.2) thường được cho bởi đo đạc,nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thỏamãn kfδ− f k ≤ δ Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.2) với f thay bởi

fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại) Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bàitoán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x

1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử (1.2) với A là một ma trận vuông cấp M = 4được xác định bởi

Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu (matrận A và vế phải f ) đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm Vậy bài toán

đã cho là bài toán đặt không chỉnh

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nênngười ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụngnghiệm x0 sao cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm

x0 ∈ S thỏa mãn

A(x0) = f,và

kx0− x∗k = min{kx − x∗k : Ax = f },trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.2), được giả thiết là khác rỗng.Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ

1.3 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu

Xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử được đề cập ởMục 1.1: Tìm phần tử x0 ∈ E thỏa mãn:

(1.3), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm khôngphụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do đó, bài toán tìm nghiệm của

hệ (1.3), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh Để giải bài toán đặtkhông chỉnh ta phải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai

số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần vớinghiệm đúng của bài toán ban đầu Một trong những phương pháp được

sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.Năm 1966, Browder (xem [11]) nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnhBrowder–Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử A(x) = f trên cơ sở

sử dụng phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αM (x) = fδ, (1.4)

ở đây Ah là xấp xỉ của toán tử A, fδ là xấp xỉ của f , M : E → E∗ là toán

tử có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh Ánh xạ đối ngẫu tổng quát

Js của E là một dạng của toán tử M , do đó trong [6], người ta đề xuấtphương trình hiệu chỉnh dạng:

Ah(x) + αJs(x − x∗) = fδ, (1.5)

ở đây x∗ ∈ E là phần tử cho trước, Ah là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục

và là xấp xỉ của A thỏa mãn

kA(x) − Ah(x)k ≤ hg(kxk), h → 0, (1.6)g(t) là hàm không âm, bị chặn với t ≥ 0 và fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn:

kf − fδk ≤ δ, δ → 0 (1.7)Tham số hiệu chỉnh α = α(δ) của phương trình (1.5) được chọn khi

A ≡ Ah được xác định từ phương trình

ρ(α) = eKδp, 0 < p < 1, eK ≥ 1,với ρ(α) = αkxδαk Phương trình hiệu chỉnh (1.5) cùng với cách chọntham số hiệu chỉnh α = α(δ) như trên là thuật toán hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho mỗi phương trình của hệ (1.3)