Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia khảo sát hàm số

ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM sốGiới hạn của hàm số tại một điếm: Giả sử a; b là một khoáng chứa điểm Xo và f là một hàm sổ xác định trên tập hợp a; b \ {xo}.. - Nếu mẫu thức tiến đến 0 và tử thức

NGƯT ThS l i : HOÀNH PHÒ

C á c c h u y ê n đ ề 'i Bám inTĐCTHi

T H P T Q U Ố C G i A

EB

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

Các Km học sinh th â n môn!

Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị th ật tôl cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ TH Ò N G QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng tuyến vào các trường Cao dang, Đại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho tưpng lai, theo định hướng mỏi

Hộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuvên dề, dê các em tiện dùng trong ôn luyện theo chư<Jng trìn h học và trước kỳ thi;

- TỌA HỘ KHÔNG GIAN

- LƯ Ợ N ÍỈ GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG

- PH Ư Ơ N G T R ÌN H VẢ HAT DANG THỨC

Từ các kiên thức và phưcing pháp giải 'l'oán căn bản và nâng cao dần dần, kết hỢp ôn tập 'Poán lớp 10 và 11, bỏ sung và mỏ' rộng kiên thức và phương pháp giải khác nhau, lưyộn tập thêm Toán khó, Toán tông hỢp, các bạn rèn luyện

kỹ náng làm hài và từng bước giái dũng, giái gọn các bài tập, các bài toán trong kiểm tra thi cử

khỏi những sai sót mà tác gia chưa thấy hôt, mong dón nhận các góp ý của quý hạn dọc, học sinh dê lầii in sau hoàn thiện hơn

T á c giá

LÊ HƠÀNH PHỜ

ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM số

Giới hạn của hàm số tại một điếm:

Giả sử (a; b) là một khoáng chứa điểm Xo và f là một hàm sổ xác định trên tập hợp (a; b) \ {xo} Ta có lim f (x) = L nếu với mọi dãy số (x^ trong tập hợp (a; b)

x - > x „

\ {Xo} và lim x„ = Xo, ta đểu cỏ lim f(x ^ = L.

Định nghĩa tương tự cho các giới hạn khác.

Định lý: Già sừ lim f (x) = A và lim g(x) = B (A, B e R).

Già sử hàm số f xác định trên khoảng (Xoi b) (Xo e R) Giới hạn bên phải:

lim f(x) = L nếu với mọi dãy so (Xn) trong khoảng (Xo; b) mà lim x„ = Xo, ta đểu có

X - ^ x J

lim f(x„) = L.

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; Xo) (Xo e R) Giới hạn bên trái:

lim f(x) = L nếu với mọi dãy số (Xn) trong khoảng (a; Xo) mà lim x„ = Xo, ta đểu có

x ' +3lim

x->2"^x —2 x->2*x —2

Với mọi X < 2, ta có I X - 2 I = 2 - X.

Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) =

Có tồn tại lim / (x) không ?

•V >2 '

[x ’ - 2 x -f 3 khi x < 2 4x^ - 29 khi X > 2

\ - > l

Giải

Với X < 1 thi f(x) |x - lỊ ^ - ( x - 1) -1 nên lim f(x) = lim (-l) = -1

Với 1 < X < 3 thì f(x) = X t 2 I a ncn lim F(x) = lim(x -f2-t-a) = 3-(-a

Lấy 2 dãy x„ = n;:, X,, = + 2n7t có lim Xn = -t 00, lim X,, = +00

nhưng lim l’(x„) = 0 còn lim f(x'n) = 1

Phương pháp chung: Trước khi giải bài toán tìm giới hạn là thể thử X = Xo

hoặc cho X ^ + o q X -oo theo yêu cầu để bài để xem xét giới hạn cần tìm có dạng vô định không.

- Neu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, thì dùng định lý vể các phép toán tổng, hiệu, thương để giải.

- Nếu mẫu thức tiến đến +00 hoặc -00 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới hạn cho bằng 0.

- Nếu mẫu thức tiến đến 0 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới hạn là dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu các thừa sổ, của tử và mẫu.

- Dổi với biểu thức chửa căn thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo

ra thừa số (x - Xo) rồi rút gọn.

- Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công

x T r I n - 2

10

Khử dạng 00- 00, O.oo:

- Dặt nhãn tử chung là luỹ thừa cao nhất của X.

- Quy đồng phân số

- Nhân chia lượng liên hợp đế khử căn,

- Chuyên về dang — hoãc — đã biết.

14

Vì limíx - 1) = -1 < 0, lim X' = 0 và x^ > 0 với mọi X 0 nên: lim

X —>-00

Giải

’‘-" ^ V x ^ + 3 + xb) Với mọi X < -1, la có:

Vx^ + x +-\/4 + x^

x - 41X

Hùm sổ không liên lục tại Xo gọi là gián đoạn lại

Xo-Hàm sỗ f liên tục trên khoang K nếu flién lục lại mọi diêm thuộc tập hợp đó.

18

Hàm sổ fliê n lục Irên đoạn [a; b] nếu (liên tục trên khoảng (a; b)

và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).

- Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm sổ liên tục tại một điếm là những hàm

sổ liên tục tại điếm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu lại điếm đó phải khác 0).

- Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên lục trên tập xác định cùa chúng Các hàm sổ lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chủng.

Bài toán 3.1; Xét sự liên tục của các hàm số:

b ) T acó : lim f(x ) = lim (x +1)^ = 1

Với X = 2 thì f(2) = — và lim f (x) = lim —

Với mọi Xo e (-2; 2) ta có: lim g(x) = J s - 2 x ^ = f(Xp)

Do đó hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2)

Vậy hàm số g liên tục trên D = [-2; 2]

Bài toán 3.3: Tìm các khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục

Giải

1a) Điều kiện 2 x + l9 tO < » x íẾ - —, V ì f l à hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên

b) Điều kiện: x + 1 > O v à x > 3 o x > 3 nên D = [3; +oo)

Bài toán 3.4: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số

-sin X - v3 cosx

Giái

y = cotx liên tục tại X kn, k e z

Do đó hàm số f(x) = tanx + 2cosx gián đoạn tại các điểm

X = — + k7ĩ, x = k7i<=>x = k — , k e z

b) Hàm số g(x) gián đoạn tại các điểm x:

sinx - ^|2 cosx = 0 <=> ị- sinx - ^ cosx = 0

20

Bài toán 3.6: Tuỳ theo tham số, xét sự liên tục của hàm số:

-3a + b 3Ế — thì f gián đoạn tại X = -3

-3a + b = — thì f gián đoạn tại X = 1

-3a -t b 3Ế — thì f gián đoạn tại X = -3, X = 1

a + b = ^ ; -3a + b = — < = > a = ^ , b = ^ thì f liên tục trên R

2 3 24 24

Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; hj Nếu f(a) ^f(h ) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại it nhất một điểm c e (a; b) sao chof(c) = M.

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

Ta có thê xét hàm số y = f(x), kiêm tra tính chất liên tục.

Neu f(x) liên tục trên đoạn [a;bj và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c thuộc khoảng(a;b)

để f(c) = 0 tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm X = c thuộc khoảng (a;b).

đoi dẩu liên tiếp Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhẩt k nghiệm thuộc k

22

Bài toán 3.7: Chứng minh mọi phương trình bậc lẻ đều có ít nhất 1 nghiệm.

Gìái:

Phương trình bậc lẻ có dạng

aox2m+l + aix^"’ + 4- a2mX + a2m+i = 0, ao 0, m là số tự nhiên

Xét hàm số P(x) = aox^'"’^' + aix^'" f + a2mX + a2m+i , khi đó hàm đa thức P(x) xác định và liên tục trên R

- Xét ao > 0 thì lim P{x) = -00 nên tồn tại a < 0 để P(a) < 0 và lim P{x) =+00

nên tồn tại b > 0 để P(b) > 0

- Xét ao < 0 thì tương tự lim P{x) =+00 nên tồn tại a < 0 để P(a) > 0 và

X-+-00lim P{x) =-00 nên tồn tại b > 0 để P(b) < 0

x->+X)

Do đó trong 2 trường hợp thì luôn có P(a) P(b) < 0 nên phương trình bậc lẻ P(x) =0 luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm

Cách khác: chia 2 vổ cho hệ số khác 0 là ao để còn 1 trường hợp

Kết quả; phương trình bậc 3 luôn luôn có nghiệm

Bài toán 3.8: Chứng minh phuxmg trình ax^ + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm với

mọi tham số thỏa mãn: 5a + 4b + 6c = 0

Giải Xét f(x) - ax^ + bx + c , khi dó f(x) liên tục trên R

nên f(0) + 4 / ( - ) + f(2) = 5a + 4b + 6c = 0

do đó tồn tại 2 giá trị p, q e Ịo; —; 2 | thoả j \ p ) f { q ) < 0

nên phương trinh luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c

Bài toán 3.9: Chứng minh rằng phương trình x^ + X + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm

âm lớn hơn -1

Giải

Hàm số f(x) == x^ + X + 1 liên tục trên đoạn [-1; 0]

Ta có f(-l) = -1 và f(0) = 1 Vì f(-l) f(0) < 0 nên tồn tại ít nhất một điểm c 6 (-1; 0) sao cho f(c) = 0 vì c > -1 nên đó là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương ữình đã cho

Bài toán 3.10: Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm:

a.sinSx + b.cos2x + c.cosx + sinx = 0 với mọi a,b,c

Giải:

Xét hàm số f(x) = a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sin x , khi đó f(x) liên tục trên R.

Đặt f { x ) = x ‘^ + — x^ ^

Ta có f(0) = b+ c, f( — )= - a- b+ 1, f(7ĩ) = b - c, f( — )= a - b - 1

nên f(0) + f( —) + f(7ĩ) + f( — ) = 0 với mọi a,b,c

Do dó ,ôn „ i 2 giá trị | o ; f ; ; f Ị dtoá n p ) m 0

nên phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c

Bài toán 3.11: Chứng minh phương trình:

Vậy phương trình luôn luôn có 2 nghiệm với mọi m

Bài toán 3.12: Chứng minh phương trình: 2x^ - 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 3.13: Chứng minh phương trình: x^ - 5x^ + 4x - 1 = 0 có 5 nghiệm phân biệt.

Bài toán 3.14: Cho phưong trình x'" +1 = 4x'^^fx" -1 Tìm số n nguyên dưoTig

bé nhất dế phưong trình có nghiệm

Giải

Ta có diều kiện x" - 1 > 0 Ncu n lé thi X > 1, còn nếu n chẵn, khi phương trinh

có nghiệm thì phái có nghiệm X > 1 Do dó ta chi cần xét X > 1

X - 2

1khi x> 1X

-7 x - 3

khi X > 1khi X <

Bài tập 3.4: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi a,b,c:

ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0

lỉD -Đ S

Đặt f(x) = V 'r thì f liên tục trên D= R

Và f(0) = a^b^ +- b^c^ -t- a^c^ > 0

Bài tập 3.5: Chứng minh phương trình x^ - 3mx^ + 4(m-2)x + 1- 9m= 0 luôn luôn

có nghiệm với mọi m

IID -D S

Giới hạn hàm số VT là - 00 và + 00 khi X lần lượt tiến đến - 00 và + 00

Bài tập 3.6: Chứng minh phương trình ax^ + bx f c = 0 luôn luôn có nghiệm với

ÔN ĐẠO HÀM VÀ CÁC QUY TẮC

Đạo hàm của hàm số tại một điếm

Cho hùm số y f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm X() thuộc khoảng đỏ

Nếu hàm sổ y = f(x) cỏ đạo hàm tại điếm Xo thì fỉiên lục tại Xo-

Ỷ nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm Xo là hệ số góc của tiếp tuyến cửa đồ thị

Ỷ nghĩa cơ học của đạo hàm

Một chuyển động có phương trình s = s(t) thì vận tốc tức thời v(tọ) tại thời điểm to là: vậo) = s'(to).

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Các quy tắc tính đạo hàm

( u'\ u ' v - u v '

Bài toán 4.9: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

Giải

a) D = R, y' = Scosx + 3sinx

30

Bài toán 4.10: T ìm đạo h àm của mỗi h à m số sau:

b) y' = 3 x ^ c o s\ - x^sin2x = x^(3cos^x - xsin2x)

Bài toán 4.11: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) AS = f(t + At) - f(t) - - g(5 I At)^ + - g.25= - g(10At + At^)

Vân tốc trung bình — — = — g ( l0 + At) w 49,005 (m/s)

Ax ^0 Ax A x-t 1 A ' ^ 0 'Ax A,x >()-Ax + 1 A-'*(' Ax

Bài tập 4.3: l ìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

Cho hàm sổ f có đạo hàm cấp n - I (với n e N, n >2) là /" '‘\

Nếu f '''‘^ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm c ủ a /" '‘^ gọi là đạo hàm cấp n của hàm sổ f và ki hĩệu: /"^ = , (n e N, n >2).

Đạo hàm cấp n của hàm s ổ y =f(x) còn được kí hiệu lày^"K

Bài toán 5.1; Tính giá trị đạo hàm tại điểm:

a ) y = ( 5 x + l ) ^ y ' " ( 0 ) b ) y = ^ , y " ( i )

X + 2

(x + 2)^

-1 4

-1427

Bài toán 5.2: Cho chuyển động thẳng có phưong trình s = 4sin(2t + —), với s tính

bằng mét và t tính bằng giây Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời

Bài toán 5.4: Tính đạo hàm đến cấp 3:

Giải

34

a) y' = 1 + t a n \ ; y" = 2tanx(l + t a n \ )

y'" = 2(l+tan^x)^ + 4tan^x( 1+tan^x) = 6t a n \ + 8t a n \ + 2

— (1 - 2cos2x + cos'^2x) 4

y' = sin2x - — sin4x, y" = 2cos2x - 2cos4x, y'" = -4sin2x + 8sin4x

Bài toán 5.5: Chứng minh:

x - 4 thi 2( y f + (1 -y)y" = 0b) Nếu y = x.sinx thì x.y" - 2(y' - sinx) + xy = 0

Do đó xy" - 2(y - sinx) + xy

Chúttg minh công thức đạo hàm cấp n

(cosxỷ”^ cos(x + n —) ; (cos(ax + b ) f ’^ = a'\cos(ax + h + n —).

Lập công thức đạo hàm cấp n

- Sử dụng các công thức gốc rồi chứn^ mình quy nạp,

- Tính đạo hàm y \ y", y'", rồi tìm ra quy luật hoặc quan hệ giữa các cấp đạo hàm của hàm sổ này với hàm sổ kia Dùng phương pháp quy nạp để hoàn thiện công thức tống quát.

- Đổi với hàm sổ lượng giác thì hiến đổi hạ bậc, biến đối tích thành tống đê đưa vể bậc nhất đổi với sin(ax + b) và cos(ax + b).

- Dổi với hàm phân thức, nếu bậc tử lởn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì chia tách

đa thức, đưa về phân thức có bậc tử bé hơn bậc mẫu Tiếp tục phân tích mau ra các thừa số bâc nhất rồi đưa vể tống các phân số dạng ——— quy đồng đồng

ax + b nhất hệ sổ để tìm A, B,

Eiài toán 5.6: Chứng minh với mọi n nguyên dưomg:

^ax+b

Do đó (1) đúng khi n = k + 1 Vậy công thức đúng với Vn e N*

b) Khi n = 1: (sinx)' = cosx = sin(x + —): đúng

Giả sử: (sinx)*'^^ = sin(x + k —) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

Nên công thức đúng khi n = k + 1

Vậy công thức đúng với mọi n nguyên dưong

Bài toán 5.7: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

lìài toán 5.8: l.ập công thức dạo hàm C í t p n của hàm số;

Ta chứng minh quy nạp: y*'” -■ -(sin4x)*"''* = -4'’ '.sin(4x t (n - 1) - )

Ta chứng minh quy nạp: (cosax)"” - a".cos(ax t n - )

Suy ra: y"” ' |4".cos(4x ! n ” ) t 2".cos(2x f n ^ )|

B À I T Ậ PBài tập 5.1: 'l ính giá trị dạo hàm tại diốm:

Bài tập 5.2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức

v(t) = 8t + 3 r, trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng méưgiây (m/s) Tìm gia tốc của chất điểm

a) Tại thời điểm t = 5

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bàng 11

Bài tập 5.6: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

H D-D S

a) chứng minh quy nạp y*"’ - 3"cos(3x - 2 + n —)

b) y' = sin2x ; y^"^ = (sin2x)^"''' = 2"''.sin(2x + (n - 1) — )

Vi phân cùa hàm s ẩ y = f(x) lại điếm Xo ứng với so gia Ax' được kí hiệu df(xo) là:

(Ịf(xo) = f'(xo)A x

Neu f có đạo hàm f ' thĩ vi phân cùa hàm sổ f l à dy = y'dx

ửng dụng của vi phân vào tỉnh gần đủng:

f(xo + Ax) ^f(xo) + f ’(xo)Ax.

Kếí quả: Khi X ^ 0 thì sinax ^ax, tanhx ^hx,

- 2(l + lanx)

lỉài toán 6.5: Chứng minh:

h) Nốu y X t Vx ’ f 1 thi Vl + x ’ dy - ydx 0

Định nghĩa

Hàm số fx ả c định Irên K là một khoáng, đoạn hoặc nửa khoảng.

f đồng biến trên K nếu với mọiX / , X 2 e K: x ị < X2 => f(xì) < f(x 2 ) [nghịch biến trên K nếu với mọiX / , X2 Ể K:X / < X2 =^f(xi) > f(x 2)

Điều kiện cần đế hàm số đơn điệu

Giá sử hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; h) khi đỏ:

Neu f đồng biến trẽn (a; b) thì f'(x) >0 với mọi X e (a; b)

42

N ếu/nghịch biến trên (a; b) íhĩ f'(x) <0 với mọi X e (a; h).

Diều kiện đủ đế hàm sổ đơn diệu

Giá sử hàm sổ f củ đạo hàm trẽn khoámỊ (a; b):

Neu f '( x ) > 0 với mọi X e (a; b) thì hàm số f đồng biến trên (a; b)

Nếu f '(x) < 0 với mọi X e (a; b) thì hàm sổ nghịch biến trên (a; h)

Khi f Ỵx) = 0 chỉ tụi một so hữu hạn điểm cùa (a; b) thì kết quả trên vẫn đúng Neu hàm số f đồng biến trên (a; h) và liên tục trên nửa khoảng [a;b); (a;bj; đoạn [a;bj thì đồng biến trên nửa khoáng [a;b); (a;bj ; đoạn [a;bj lương ứng Tương

tự cho nghịch biển.

Neu f'(x) 0 với mọi X e (a; b) thì hùm so (không đôi trên (a; b).

Phương pháp xét tỉnh đơn điệu:

2) Dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax^ + bx + c, a píO

Neu A < 0 thì f(x) luôn cùng dấu vói a

Nếu A = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a, trừ nghiêm kép

Nếu A > 0 thì dấu "trong trái - ngoài cùng "

Bài toán 7.1 : Xét sự biến thiên cúa hàm sổ;