Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán t2

Sử dụng kết quả của kì thi để xét Tốt nghiệp THPT và làm dữ liệu để xét tuyển vào các trưÒTig Đại học - Cao đẳng.. Cụ thể: Chương 1: Hàm số và các vấn đề liên quan Chương 2: Phưong trìn

NGUYỄN TÁT THU (Chủ biên)

NGUYỄN TẤT THU (Chủ biên)

TRUNG TÂM SÁCH GIÁO DỤC ALPHA

THLPT ® ilể e ©14

Môn

ỵ BIỄn soạn theo hưởng ra ƯỂ thi mđi nhất của Bộ GD&ĐT

y/ Bành cho HS chuẩn bỊ ôn thi tfi't nghiệp THPĨ và xét tuyển vào BH

■/ Bấy đủ cá c dạng bàl tập mdi, cd bản và nâng cao.

^ Củng cô kiến thưc và phát tPiễn kĩ năng làm bài.

NHẬN B IỂT - THÔNG HIỂU - VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

>i't Siội

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NHÀ X U Ấ T b Ẳ n Í)ẠI HỌC QUỐ C GIA HÀ NỘI

ị 16 Hàng Chuối - Hai Bà,Trưng - Hà Nội

/ ' Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;

Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tập: (04) 39714897

Fax: (04) 39729436 / ' * * *

/ '

\ ĩ

Quyết định xuất bản sô': 592LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN

Ụi xong và nộp lưu chiểu quý I năm 2015.

LÒI M Ở ĐẦU

Trong năm học 2014 - 2105, Bộ giáo dục đã đổi mới thi cử nhập hai kì thi Tốt nghiệp THPT và kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng thành một kì thi Sử dụng kết quả của kì thi để xét Tốt nghiệp THPT và làm dữ liệu để xét tuyển vào các trưÒTig Đại học - Cao đẳng Một ki thi với hai mục đích nên đề thi có tính phân loại cao Do đó, việc ôn tập theo cấu trúc đề thi mới gây nhiều khó khàn cho các em học sinh Nhằm chia sẻ những khó khăn đó và góp phần vào

việc ôn tập được hiệu quả hon, chúng tôi biên soạn bộ sách ‘Từi liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán” gồm hai tập Cuốn sách các bạn đang cầm trên

tay là cuốn thứ 1 gồm 6 chưoTig và một số đề thi mẫu Cụ thể:

Chương 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

Chương 2: Phưong trình lượng giác

Chương 3: PhưoTig trình, bất phương trình, hệ phương trình

Chương 4: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và

logarit

Chương 5: Tích phân và ứng dụng.

Trong mỗi chưoTig, chúng tôi phân chia theo các chủ đề trọng điểm Trong mỗi chuyên đề được chia làm 3 phần:

- Phần 1: Tóm tắt lí thuyết: Trong phần này, chúng tôi hệ thống lại một

số kiến thức cần thiết liên quan đến chuyên đề và phưong pháp giải dạng toán thuộc chuyên đề đó

- Phần 2: Các ví dụ minh họa: Trong phần này, chúng tôi chia làm hai phần gồm: Các ví dụ cơ bản dành cho mức độ nhận biết, thông hiểu để đáp ứng phần điểm xét thi tốt nghiệp trong đề thi Phần thứ hai là các ví dụ phân loại dành cho mức độ vận dụng và vận dụng cao để đáp ứng phần điểm để xét tuyển vào các trường đại học - cao đẳng

- Phần 3: Bài tập vận dụng: Phần này chúng tôi đưa ra hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó để bạn đọc có thể ôn tập lại và rèn luyện thêm kĩ năng giải toán thuộc chuyên đề đó Phần hướng dẫn các bài tập này được chúng tôi đưa ra ngay sau để giúp các bạn đối chiếu với kết quả của mình Cuối cùng, chúng tôi giói thiệu 4 đề thi và đáp án theo cấu trúc mới, nhằm giúp các em học sinh làm quen với dạng đề thi sắp tới

Mặc dù đã dành nhiều thòi gian và tâm huyết cho cuốn sách, dù vậy sai sót là điều khó tránh khỏi Mong nhận đưọc sự góp ý cùa bạrí đọc để cuốn sách được hoàn thiện hơn trong những lần tái bản

Mọi đóng góp xin gỏi về:

* Trung tâm sách Giáo dục Alpha

CHƯƠNG 1 HÀM Sỏ VÁ CÁC VẤN ĐÉ LIỀN QUAN

A' = b^ - 3 a c < 0

• Hàm số đồng biến trên khoảng (a;3) khi và chỉ khi y ' > 0 Vx G (a;0 )

• Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;(3) khi và chỉ khi y ' < 0 Vx G (a;3 ).

Cho tam thức f(x) = ax^ + bx + c,a 0 Khi đó, để giải quyết bài toán f(x) > 0 (< 0) Vx G (a;3) (1) ta có các cách sau:

Cách 1: Nếu biến đổi (1) về dạng: h(x) > g(m) (hoặc h(x) < g(m))

Khi đó (1) đúng khi và chỉ khi g(m )<m inh(x) hoăc g(m) > maxh(x)

2) TXĐ: D = R

Ta có y ’ = - 6 - 2(m + l)x - m + 1

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' < 0 Vx e R

Hay x^ - 2(m + l ) x - m + l >OVxeR<=>A' = m ^ + 3ra < 0 < ^ - 3 < m < 0 Vậy - 3 < m < 0 là những giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm sổ

Do đó m = 0 không thỏa bài toán

• m 0 , khi đó hàm số đồng biến trên IR khi và chỉ khi y ' > 0 Vx e R Hay mx^ — 2(3m - l)x + m + 3 > 0 V x e R

a = m > 0

A ' = (3m — 1)^ — m(m + 3) < 0

m > 0 8m^ — 9m + 1 < 0 8

o — < m < 1

Vậy - < ra < 1 là những giá trị cần tìm

2) TXĐ: D = R

Ta có y ' = 3[(m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - 3]

• m = 1, khi đó y ' = - 3 < 0 Vx e R , suy ra hàm số nghịch biến trên R

Do đó, m = 1 thỏa mãn bài toán

• m 1, khi đó hàm số nghịch biến trên R khi và chi khi y ’ < 0 Vx e R

-• - 3m + 2 = 0 m — 1, m = 2

+) m = 1, ta CÓ y ’ = 6 > 0 Vx e K nên hàm số đồng biến trên R

+) m =^2 , ta có y' = 3 (-2 x + 2 ) ^ y ’ > 0 -í= > -x < l Suy ra m = 2 không thỏa mãn bài toán

• - 3m + 2 0 <í=> m ^ | l , 2| Khi đó, hàm số đồng biến trên R khi vàchỉ khi y ’ > 0 Vx e K

Hay (m^ — 3m + 2)x^ — 2(m — l)x + 2 > 0 Vx Ễ K

-í^ - 3m + 2 > 0

A' = (m -1 )^ - 2 ( m - l ) ( m - 2 ) < 0

(m — l)(m — 2) > 0 (m —1)(3 — m) < 0

m < 1

m > 3

Vậy m < 1 hoặc m > 3 là những giá trị cần tìm

2 Các ví dụ phân loại

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

1) y = -x^ + 3x^ + 3mx - 1 nghịch biến ừên khoảng (0; +oo) (Khối A - 2013).

1Suy ra f '(x) = 0 X = - -

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

1) y = mx^ — 3(2m — l)x^ + 3(m — l)x + m đồng biến trên (2; +oo)

2) y = -(m ^ - l)x^ + (m - l)x^ - 2x + 1 nghịch biến trên (-oo;2)

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

• m 0 , khi đó hàm số đồng biến trên (2;+oo) khi và chỉ khi

2 Do đó m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

m 5«^ 0 , khi đó hàm số đồng biến trên toàn trục số y ' > 0, Vx e E

m > 0

A ' = (m + 1)^ - m(2m - 3) < 0<í=>

m > 0+ 5m + 1 < 0

m > 5 + yJ^

5 + >/29 1, 1 _ i Vậy m > - — là những giá trị cân tìm

2) TXĐ: D = E

Ta có: y ' = 3 (m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - 5

• m = 1, ta CÓ; y ' = - 9 < 0, Vx e M nên hàm số nghịch biến trên toàn trục số

Suy ra m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

• m 1, hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

• Nếu m = - 2 , khi đó y ' = 7 > 0, Vx 6 M m = - 2 thỏa bài toán

• Nếu - 2 , khi đó hàm số đồng biến trên R y ' > 0, Vx e R

thỏa yêu cầu bài toán

• m ÍC 0 , khi đó hàm sổ nghịch trên ( -0 0 ; 1) khi và chỉ khi y ’ < 0, Vx < 1

• m 0 , hàm số nghịch biến trên (0;4) khi và chỉ khi y ' < 0, Vx € (0;4) mx^ - 2(m + l)x + 2(m - 1) < 0, Vx e (0; 4)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) <4- y ' > 0 Vx G (0;2) (*)

Vì y'(x) liên tục tại X = 0 và tại X = 2 nên (*)<=> y ' > 0 Vx e [O; 2]

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) y' > OVx e (1;2)

Vì y '(x ) liên tục tại X = 2; X = 1 nên <=> y ' > 0 Vx e (1;2) (* )

-x^ - 2x-x^ + 2x + 3)

Vây m > - — thì hàm sô đông biên trên khoảng (0;2)

45) Hàm số xác định trên M

Ta có: y ' = mx^ - 2(m - l)x + 3(m - 2)

Cách 1 Hàm đồng biến trên (2;+cx3) o y' > 0 Vx e (2;+oo)

o f(x) = mx^ — 2(m — l)x + 3(m — 2) > 0, Vx € (2; +oo) (1)

TH 1: m = 0 khi đó (1) chỉ đúng với mọi X > 3 ^

TH 2: m < 0 ta thấy trường họp này không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH 3: m > 0, f(x) có A' = -2m ^ + 4m + 1

* Nếu A ' < 0 <Í4> m > ^ (do m > 0 ) => f(x) > 0 Vx G K

2

* Nếu A ' > 0 < = > 0 < m < ^ (+)

Khi đó f(x) có hai nghiệm Xị < X2 và

47) Ta có y ' = x^ + 2(m - l)x + 2m + 1

Yêu cầu bài toán <=> y ' > 0 o

<=> m < —9 (Do m < —1).

> 0( X j + X g ) ^ - 4 X j X2 > 1

m + 3 < 0

m + 9 < 0

Vậy m e (-c» ;-9 ]U (-l;+ o o ) là những giá trị cần tìm

9) Ta có y ' = 3(x^ + 2x - + 1) = 3(x - m + l)(x + m + 1)

• Nếu m - 1 = - m - l<=í>ni = 0=ỉ>y’> 0 V x nên hàm số đồng biến ứên R

• Nếu m > 0, suy ra yêu cầu bài toán -í=>

• Neu m < 0, suy ra yêu cầu bài toán

C ách 1: Nếu hai nghiệm Xj,X2 của phương trình y ' = 0 là nghiệm “đẹp” tức

là A = (am + P)^ thì ta thay trực tiếp vào phương trình hàm số.

Cách 2: Neu hai nghiệm XpX2 của phương trình y' = 0 có hình thức phức tạp thì ta chia y cho y ' ta được y = (ax + P)y'+mx + n Khi đó;

= mXj + n; yg = mx2 + n và đường thẳng y = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

II Các ví dụ minh họa

Dê thây hàm sô đạt cực đại tại X = ^ Do đó m = 0 thỏa bài toán

• m =<= 0 , khi đó hàm số có cực đại khi và chỉ khi phương trìrứi

y ' = 0 o mx^ - 2(m + l)x + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt

Điêu đó xảy ra khi

A ' = (m + 1)^ — m(2m + 3) = — — n H -1 > 0

- l - y ị ỉ _ - 1 + ^5

< m < - 2

Ví dụ 3 Tìm các số a,b,c,dsao cho hàm số f(x) = ax^ + bx^ + cx + d đạt cực tiểu tại điểm X = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm X = l,f(l) = 1.

Lời giải

1) Ta có y ’ = 3(x^ - 2mx + m - 4 )

Suy ra y ' = 0 <=> x^ -2 m x + m - 4 = 0 (1)

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x^.Xg

Hay A ' = - m + 4 > 0 , bất phương trình này đúng với mọi m e

Gọi A(l;5 + m);B(2;4 + m) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có: ÃB = (1;-1), ÕA = (1;5 + m).4, 5 , ỡ không thẳng hàng khi và chỉkhi hai vectơ AB và OA không cùng phưorng khi và chỉ khi

5 + m = e - l o m : ? i -6(*)

Ta có; OA = x/l + (5 + m)2;OB = V4 + (4 + m)^AB = yỊĨ.

/ Chu vi tam giác OAB:

- I + V33

m = 1, m = -

2

Ví dụ 8 Cho hàm số y = -X^ + 3x^ + 3(m^ - l)x - 3m^ - 1 (1) Chứng minh rằng với m 0 đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị và (xq - IXyQ + 2) > 0 Trong đó (Xoiyo) là điểm cực trị của đồ thị hàm

-TI-Suy ra phương trình AB : 2m^x - y - 2xr? - 2 = 0.

Do đó 7q = 2m^XQ — 2m^ - 2 nên

(Xq - l)(yQ + 2) = (Xq - l)(2m'^XQ - 2m^) = 2m^(xQ - 1)^ > 0 (đpcm)

Ví dụ 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y = x^ - 3x^ - 3m(m - l)x - 1 có hai cực trị trái dấu

7) y = — — mx^ +4m x + m2 đạt cực trị tại x^.Xg sao cho biểu thức

3) y = x^ - 3x^ - 3m(m + l)x - 1 có hai cực trị trái dấu

4) y = - 3mx^ + 3(m^ - l)x - có cực đại, cực tiểu và tung độđiểm cực đại đạt giá trị nhỏ nhất

24 n

-Bải 4 Cho hàm số y = - 3mx^ + 3m^ (1) Tìm m sao cho đồ thị hàm số(1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 48

(Đ H K h ọ iB -2 0 1 2 ).

Bài 5.| Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

1) y = -x^ + 3x^ + 3(m^ - l)x - 3m^ - 1 có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ

2) y = x^ + 3x^ + m có hai điêm cực trị A, B sao cho AOB = 120°

3) y = x° - 3x^ + 3mx + m + 2 có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích băng 1

4) y = -x ° + 3mx^ - 3m - 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 8 y - 7 4 = 0

5) y = x° - 3x^ + (3m - 3)x + 2 có cực đại, cực tiểu cùng với điểm

I ( - l ; - l ) tạo thành tam giác vuông tại I

m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

• m ^ 0 , hàm số có cực đại khi và chi khi phưomg trình y' = 0 có hai

1- V ỗ , I + V õ

A ' = - (m - l)(2m + 1) > 0 -m + m + 1 > 0 <=>■

zVậy ^ ~ — < m < ^ là những giá trị cần tìm

3) T X Đ : D = M

T a có: y ' = mx^ - 2(m - l)x + 2m - 1

• m = 0 , suy ra y ' = 2x - 1 nên hàm số có m ột cực trị

< m <

Đẳng thức xảy ra khi m = - 1.

Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm

3) Hàm số xác định trên M

Ta có: y ' = x^ - 2x + m - 1, suy r a y ' = 0<í=>x^-2x + m - l = 0 (1) Hàm sổ có hai cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt X^,X2 <;=> m < 2

2Theo định lí Viet, ta có;

(1) có hai nghiệm phân biệt XpX2 A = -3m^ + 1 2 > 0 < ^ - 2 < m < 2

Yêu cầu bài toán

Hàm số có hai điểm cực trị nhỏ hon 3 khi và chỉ khi phưong trình (1) có

hai nghiệm phân biệt

m 1

— 2m^ — m + 1 < 0 XjX2 - 3(x^ + X 2) + 9 < 0

g '(x) = -3x^ + 6x + 3(m^ - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt

A ' = 9m^ > 0 o m 5«: 0

- TI - 3 \

Gọi A,B là các điểm cực trị ta có;

-Yêu cầu bài toán -í=> s,OMN= 1 ịoM O N = 1 - m + 1

= - ( m - 1 )

x = 0

X = 2mHàm sô có cực đ ạ i , cực tiểu <=> phương trình y ’ = 0 có hai nghiệm phân

b iệ t« m 0

Hai điểm cực trị là A(0;-3m - 1); B(2m;4m^ - 3m - 1)

Trung điểm I cùa đoạn thẳng AB là I(m;2m^ - 3m -1 )

Vectơ AB = (2m;4m^); VTCP của đưòfng thẳng d là u = ( 8 ; - l )

Hai điếm cực đ ạ i , cực tiểu A và B đối xứng với rứiau qua đưÒTig thẳng d

Kết hợp điều kiện ta có m = 1 là giá trị cần tìm.

Chuyên đê 3 Cực trị hàm số y = ax'^ + bx^ + c, a ^ 0

tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng

Tam giác ABC vuông <=> AB.AC = 0

Tam giác ABC đều 0 AB^ = BC^

Diện tích tam giác ABC: s = —AH.BC với H

II Các ví dụ minh họa

1) Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi m + 1 < 0 m < - 1

2) Hàm sổ có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 o m > - 1

m > 1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Vậy hàm số luôn có cực tiểu với mọi giá trị của m

2 Các ví dụ phân loại

Ví dụ 3 Cho hàm số y = x^ - 2mx^ + m + 1 có đồ thị (Cm) Tìm tất cả các

giá trị của tham số m để đồ thị (Cin):

1) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

2) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông

AABC cân tại A

1) Tam giác ABC đều khi và chi khi AB = BC m + = 4m -í=> m = ^

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120“

1) Có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

y đổi dấu khi X đi qua các nghiệm đó o m > 0 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m - 1), B(-Vĩn; -m ^ + m - 1), C{yfm; -m ^ + m - 1)

1) Ta CÓ S^abc = ||y B - y A | - k c =

AB = AC = vm ^4-tn, BC = 2yfĩn

3 6

Vậy m = 1, m = — - là giá trị cân tìm.

2) Vì B, c đối xứng nhau qua trục tung nên BC luôn vuông góc OA

Do đó o là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi OB.AC = 0

có bán kính vòng tròn nội tiếp lớn hon 1

1) Có hoành độ điểm cực tiểu bằng 2.

2) Có cực tiểu mà không có cực đại

3) Có ba cực^trị

Bài 3 Tìm m để đồ thị hàm số: y = x"* - 2mx^ + m + 1 (Cjjj)

1) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

2) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32

Bài 4 Cho hàm số y = x"‘ - 2(m + l)x^ + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông (ĐH Khối A - 2012)

Bài 5 Cho hàm số y = x'^ - 2(m + l)x^ + m (1), m là tham số Tìm m đê đô thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, c sao cho OA = BC, o là gốc tọa

độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và c là hai điểm cực trị còn lại (ĐH

_l a ố i B - í o i l )

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số y = x'* - 2mx^ + 2 có ba điểm cực trị tạo

thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số y = x"* - 2mx^ + 2m^ - 1 có ba điểm cực trị

tạo thành một tam giác có gốc tọa độ o là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x"* - 2(1 - m^)x^ + m + 1 có ba điểm cực

trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất

A í-iÁ „ 4 1 Urt r»-trr^ +fỉ forv fíiàr»Vl rr

Bài 9 Tìm m để đồ thị hàm số y = x'* - 2mx^ - 1 có ba cực trị tạo thàiứi một

tam giác cân có độ dài cạnh đáy gấp đôi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Bài 10.| Tìm m để đồ thị hàm số y = x^ - 2mx^ - 3 có ba cực trị sao cho bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đạt giá trịnhỏ nhât

2) Hàm sô có cực đại mà không có cực tiểu khi và chi khi

2) Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại <;=> phưorng trình y' = 0

có 1 nghiệm <í=> phương trình (1) vô nghiệm hoặc có một nghiệm bằng 04= i-m -l< 0< í= > m < l

Vậy lĩi < 1 là giá trị cần tìm

3) Hàm số đã cho có ba cực trị phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0<í=>m-l>O<í=>m>l

Vậy lĩi > 1 là giá trị cần tìm

Bài 4 Ta có: y ' = 4x(x^ - m - l ) = ^ y ' = O o x = 0

x^ = m + 1

ĐỒ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > - 1

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là:

Bài 7 TXĐ: D =

Ta có: y ' = 4xtx^ - m), y ' = 0 o X = 0

mHàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m > 0

Tọa độ ba điểm cực trị là: A(0;2m^ - 1), B(-\/m;m^ - 1), C(\/m;m^ -1 ) Yêu cầu bài toán tưong đương với:

40 TI

* Phương trình tiếp tuyếnry = f'(X ị)(x - Xj) + f(Xị) (i = l ,2 , ,n )

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

* Số tiếp tuyến của đồ thị chính là sổ nghiệm của phương trình:

f ’(x) = L

^ 2 TI