Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán t1

Phương trình, bất phướng trình m ũĐể giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên.. Một sổ ph ưong pháp giải phư

H ưóìig dẫn giảiBài 1.

1) Phương trình X > -1

+ ( m - 2 ) x - 4 = 0 (*)Phương trình (*) luôn có hai nghiệm:

3) Phương trình đã cho tương đương <

[3x2 _ ( m - 4 ) x - l = 0 (*)

Để phương trinh có hai nghiệm thực phân biệt thì (*) cớ hai nghiệm thực

lớn hơn hoặc bàng hay

A = (m - 4)2 +12 > 0

+ - > 0 4

X + -

2

' ^2 , 3'X - 0 + T

1

X — — 2

/ 1^2 3

(x + ^ r

2 4 <í^ X = 0 thay vào (1) tathấy không thỏa mãn

Vậy phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm => f ’(x) không đổi dấu trên M,

mà f '(0) = l> 0 = > f ( x ) > 0 V x e R

Mặt khác;

2x lim f(x) = lim —=

x-»+oo x-»+ou / 2

Bảng biến thiên:

- I— = 1 v à l i m f ( x ) = - l + x - |- l + V x ^ - x + l x-*-oo

x^ - 3x2 - m^ + 3m2=0Phương trình (1) <í+ x^ - 3x2 _ - 3m2

X ^ b = - , —

-2Vx + 3 2 v 6 - x

338 7 /

Dựa vào bàng biến thiên ^ t G [3;3\/2].

Suy ra (1) có nghiệm (2) có nghiệm t e [3;3\/2]

Phương trình dã cho có nghiệm o (3) có nghiệm t > 1

Phương trình đã cho trở thành: t + - 9 m + 2t — 9 = 2m (1)Xét hàm số f(t) = + 2t - 9, t e [3;3V2]

f '(t) = 2t + 2 > 0, vt G [3;3%/2] vậy hàm số đồng biến trên [3;3\Í2] suy ra min f(t) = f(3) = 6, raax f(t) = f(3\/2) = 9 + 6\Ỉ2

t = 2 (1)

t = 8 (1)Phương trình có nghiệm khi m e ( -00;-8yỈ2] u [ - 8; +00)

Yêu cầu bài toán o (*) nghiệm đúng vt e [0;5].

Xét hàm số f(t) = + 1 v ớ it e [0;5], ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên

-C H Ư Ơ N G 4 P H Ư Ơ N G TRÌNH, BÂT P H Ư Ơ N G TRÌNH, HỆ P H Ư Ơ N G TRÌNH M Ũ V Ả LOGARIT _ Chuyên đê 1 Phương trình, bất phướng trình m ũ

Để giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển

về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên

2 Một sổ ph ưong pháp giải phương trình - bất phương trình mũ

1.2 Phưong trình đặt ẩn phụ

Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: Pía*^'*’) = O.VỚi dạng này

ta đặt t = a^‘*', t > 0 và chuyển về phương trình F(t) = 0 , giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được X.

Ta thường gặp dạng: + p = 0 Với bất phương trình tacũng làm tương tự

Tính chất 1; Nêu hàm sổ y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)

trên (a;b) thì sô nghiệm của phương trình: f(x) = k (trên (a;b )) không lứiiều hơn một và f(u) = f(v) o u = V với Vu, V € (a;b)

Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a;b)

+) Nếu u > V => f ( u ) > f ( v )

+) Nếu u < V => f(u) < f(v)

Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn

nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì sổ^^nghiệm trên D của phương trình; f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và

3Xq e D : f(Xo) = gCxp)

* Nếu X > X q ^ f(x) > í ( x q ) = gtx^) > g(x) = > PT;f(x) = g(x) vô nghiệm

* Nếu X < X q => f(x) < f(Xp) = gCxg) < g(x) => PT:f(x) = g(x) vô nghiệm Vậy X = X q là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)

Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f(u) > f(v) <=> u > V (u < v) Vu, V e D

Tính chất 4: Cho liàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên

khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) thì phương trìrh f'(x) = 0 có ít rủiất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Chứng minh: Giả sử phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b ).

Khi đó f '(x) >0 Vx e (a; b) (hoặc f '(x) < 0 Vx e (a; b ))

Suy ra f(b) > f(a) (hoặc f(b) < f(a))

Điều này trái vói giả thiết f(a) = f(b )

Vậy phương trình f '(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a ;b )

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu Ị)hương trình f(x) = 0 có m nghiệm thì phương trình

f '(x) = 0 có m - 1 nghiêm

Hệ quả 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp k liên tục trên

(a;b ) Neu phirơng trình f ‘'"’(x) = 0 có đúng m nghiệm thì phương trình

f ‘'^"^’(x) = 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm

Thật vậy: Giả sứ phuơng trình f '‘""^’(x) = 0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phưcmg trình f '(xj = 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán

Từ hệ quả 2 =i> nếu í'’(x) = 0 có một nghiệm thì f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm

344 - Tì

-II Các ví dụ minh họa

Vậy X = 3,x = -8 là nghiệm của phưomg trình đã cho

2) Ta có 7 - 4V3 = (2 - Vs)^ và (2 - V3)(2 + >/3) = 1 nên phưomg trìiứi đã cho tương đương với

4) Lấy lôgarit cơ sô 3 hai vế ta có:

logg 1^3’'^ 2” j = logg 1 o x^ + X logg 2 = 0<=>x = 0,x = - logg 2

Là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau

o x ^ + x < 0 c i > - l < x < 0 là nghiệm của bất phương trình

2) Do 0 < ^ < 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với

V2

-r / -3 4 5

4x^ - 5x - 1 > - 3 c:> 3x^ - 5x + 2 > 0 o

X > 1

2 ■

X < ^3Vậy T = 2 u [l;+oc)

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

1) 16’' - 5.2^’'“^ +1 = 0 2) 4* - 29.10’‘”^ + 25* = 0

Lời giải

r.4*= 21) Phương trình <^> 2.4^* - 5.4* + 2 = 0 o 1 <=> X = ± —1

2Vậy phương trình đã cho có nghiệm X = ± —

Vậy nghiệm cua bất phương trình là 0 < X < 2

2) Chia hai vế cho 4* ta có bất phương trình:

<Í5> X = 0, X = 6 là nghiệm của phương trình đã cho.

4) Vì x^ + — > 0 nên ta có các trưòng hợp sau

Vậy phương trinh đã cho có hai nghiệm X = l,x = 2

Chú ỷ: Ta có thể giải phương trình 2n/x + 2 + 4 = X® (1) như sau

Suy ra (1) có ntỉhiệm duv nhất X = 2

Ví dụ 7 Giải các phương trình - bất phương trình sau

348 - Tỉ

, t > 0 ta có phương trìiứi:

3t^ + 7t - 6 = 0 o t = — (nhận); t = -3 (loại)

3x^-2x

y ^ - l = 0 o y = l c í > t - — = 1

t

« > t ^ - t - 2 = 0 o t = 2 o x = l

Vậy phương trình có nghiệm X = 1.

Ví dụ 8 Giải các phương trình - bất phương trình sau

1) (7 + 4^3)’' - 3(2 - Vs)* + 2 < 0 2) g-*^+2x+i _ 34 I52x-x2 ^ = 0

- Tỉ - 349

350 - T I

Từ đó suy ra f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Mặt khác f(0) = f(l) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm

-192x

>0, Vx > 0

V ( x 2 + l ý

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 3 nghiệm trên [0;+ooỊ

Mà f (0) = f i- =f(l) = 0 nên x = 0,x = —,x = l là ba nghiệm của

Nên f(t) là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

Kết hợp với điều kiện a.b > 0 ta suy ra f(a) = f(b) o a = b

<=> sin X = cos X <=> tan x = l o x = — + k n , k e z

42) Phương trình o 5* - 4=^ = 3=^ - 2* (1)

Giả sử X = a là nghiệm của (1)

Xét hàm số f(t) = (t + 1)“ - 1“ , ta có: f(4) = f(2)

Suy ra f'(t) = 0 có ít nhất một nghiệm t = c e (2;4)

a = 0 (c +1)“-' = ca - l <=>

Bài 4.| Giải các phương trình sau

1) 8 ^ = 36.3^'*

x-l

2) 2*.5 * = 10

352 - TI

Phương trình có hai nghiệm X = ± 1

4) Chia hai vế phương trình cho 2* ta được phương trình:

6) Chia hai vế cho 25’‘ ta có:

v3y

, t > 0 ta có phương trình

- T ỉ - 3 5 5

7) Bất phương trình o (2* - 1)(5* - 25) < 0 o 0 < X < 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vây X = — ;x = 3 là nghiêm của phương trình đã cho.

4

8) Đặt t = S’' , t > 0 , ta có phương trình: 5t^ - 7t + 3|3t - 1| = 0

3Giải phương trình trên ta đươc; X = logg — ;x = -logg 5

59) Đặt t = 2'^ ^ ^ , t > 1 ta có phương trình;

1) Điều kiện: X 0

Bất phương trình o - —— < 0 o

^3^

v2y - 33’' - 2" < 0 o 0 <

o 3x^ - 2x +1 < 0 bấl phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 2

+ 3

v2y < 6 <=> X > 0 (Do vế trái là hàm nghịchbiến)

6) Điều kiện; 1 Kiẹn; X X 0 PTu r 1

(2 + 4*)2 3trình bậc hai theo ẩn là 4* nên phương trình này có nhiều nhất là 2 nghiệm, suy ra phương trình f(x) = 0có nhiều nhất 3 nghiệm, mà

Xét hàm số f(x) = InỊ^x + + 1 j - xl n3 , có

f '(x) = , ^- ■■v - l n 3 <0=>f ( x) là hàm nghịch biến

Hơn nữa f(0) = 0 => X = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Chuyên đê 2 Phường trình^ bất phường trình logarit

I Tóm tắt lí thuyết _

1 PhưoTig trìn h logarit CO' bản

Đe giải phưcmg trình - bất phương trình - hệ phương trình logarit ta tìm

các chuyển các logarit về cùng cơ số để thực hiện các phép biến đổi

Trong một sô trường hợp ta không chuyên vê được cùng cơ sô hoặc trong phương trình có các cấu trúc đại số khác nhau ta có thể nghĩ tới phương pháp hàm số

Công thức đổi cơ sổ: log b = ,

2) Phương trình » log(x^ - 7x +10) = log 10(2x +1)

<=> X = 0, X = 27 Vậy nghiệm của phương trìiứi là X = 0,x = 27

- r / - 3 6 l

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

1) logg x -21og2(4x) + l = 0

2) lo g g (x -l)-2 1 o g „ (x -l) + 3 = 0

1) Điều kiện: X > 0

Lòi giải

Phương trình o log2X - 2(log2X + 2) +1 = 0

o logg X - 2 log2X - 3 = 0 o log, X = -1

log2X = 3Vậy nghiệm của phương trình là s = Ị — s Ị

Ví dụ 3 Giải các bất phương trình sau

1) logj(x^ - 3x + 2) > -1 2) log^ X-logx^ + 2 > 0 2

2) Bất phương trình log^ x -3 1 o g x + 2 > 0 <=> logx > 2

Vậy nghiệm của phương trình là X = -2 - Vĩõ

2) Phương trình <=> logg + loggta*^^ + 3) = loggtll.s* - 9)

Ví dụ 5 Giái các phương trình sau

1) loggtx^ +1) = log3 |2x - l | + -ilo g ^ ( x + l)

3

2) ^ log^ (x + 2)^ + 3 = log^ (4 - x)^ + log^ (x + 6)^

3) 2(logg x)^ = logg x.ìogJ\l2x + 1 - 1)

Phưcmg trình đã cho biến đổi thành

^log^ (x + 2)^ + 1 = ị log^ (4 - + -^ log 4 (x + 6)^

>/2x + l - 1 > 0Phương trình được viết dưới dạng:

2 — logg X = logg X.l0gg(V2X + 1 -!)<=> — logg^ X = logg X.l0gg(V2X + l ~1)

Vậy phương trình có nghiệm X = 1, X = 4

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau

0 < X ít 11

X - r

22) Điều kiện: -

<=> ^logg X + 1 = 2 » logg X = 3 <=> logg X = ±>/3 o x = 3*'^

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: X = 3*'^.

Ví dụ 7 Giải các bất phương trình sau

TH2: Với X > 2 Ta được hệ: r ^ o r ^

2x - 1 > - 2x x^ - 4x + 1 < 0

X > 2

o 2 < x < 2 + V3[ 2 - V 3 < x < 2 + V3

Vậy tập nghiệm bất phương trình là s = [ -1;0) u (2;2 + V3]

2) Điều kiện: X > —

4Bất phương ửình o log3(4x - 3)^ < 2 + log3(2x + 3) = loggdSx + 27)

<=> (4x - 3 )^ < 18x + 27 o 8x^ - 21x - 9 < 0 o - Ậ < X < 3

Ket hợp với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình là: < X < 3 3) Điều kiện: X > 0

Ta có bất phương trình

<=> logg lOg^tVx^ +1 - x) + logg lOggíVx^ + 1 + x) < 0

o logg logj Ị^7x^ + 1 - xjlog5 Ị^Vx^ + 1 + x j < 0

4 < x < 5 o 2 < x < 3 (thỏa điều kiện)

3Í

X <

X - 5x + 6 > 0Vậy bất phương trình có tập nghiệm s = (2; 3)

Ví dụ 8 Giải các bất phương trình sau

1) ^Ẹ^gẠ2}^^^3x + ỉ) + 1 > 21og2 ^2x^ + 3x + 2

366 - T I

2) log 2 X - \og\

log x+7

2V «y

32 + 9 1 o g „ -^ < 41ogj X

Lời giải 1) Đặt t = yjỉog^{2x^ I- 3x + 2), t > 0

2) Đặt t = log2X 1 a có; log^ — = -31og2 X + 3 = -3 t + 3

— < X < 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho

1) 21og2 X + log^(l -^/x) = ^ lo g ^ (x -2 V x +2)

2

(Trích đề thi ĐH Khối D - 2013)2) log2(8 - x^) + logj (Vl + X + n/i - x) - 2 =J)

2

(Trích đề thi ĐH Khối D - 2011)Lòi giải

- T I - 367

2) log2(4=‘'"^ 4-4).log2(4* +1) = log ^ F

3) 4- X - 1) 4- log^^j(2x - 1)^ = 4 (Đại học Khối A - 2008)4) (2 4- V2)'“®2 + x(2 - = 1 +

5 ) 4 ' ° K 2 _ j j i o g 2 6 ^ 2 3 '° ® 2

Lòi giải1) Phương trình o 4.4‘^’' - 6'®’' -18.9'®* = 0

-2) Phương trình o (1 + log2(4* +1)) log2(4* + 1) = 2

Lưu ý: Việc thực hiện hai lần đặt như trên với mục đích giúp chúng ta

làm đơn giản hình thức bài toán, từ đó ta dễ nhìn ra hướng giải bài toán hơn

* Nếu X > 1 ^ f(x) > f(l) = 2 => (1) vô nghiệm

* Nếu - — < X < 1 ^ f(x) < f(l) = 2 (1) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: X = 4 và X = 2

Ví dụ 12 Giải các phương trình sau

-logg a + a = -logg b + b <=> f(a) = f(b) (1)

Trong đó, hàm f(t) = logg t + 1 là hàm số đồng biến

Do vậy :(l)<=>a = b<=>b-a = 0 < = > x ^ + 3 x + 2 = 0 < í > x = - l;x = -2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: X = -2;x = -1

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: X 7

3) Điều kiện; ^ ^

[2* - l X > 0 [2* - 1 > 0

Khi đó, phương trình đã cho o log2(2* - 1) + 2’' - 1 = logg X + X

Đặt y - 1 = log^(6x - 5) => 7^"^ = 6x - 5 (1) Khi đó, phương trình đãcho trở thành: 7*"^ = 1 + 21og2(6x - 5)^ = 1 + eiog^lGx - 5) = 6y - 5 (2)Trừ theo từng vế (1) và (2) ta được:

7’'"^ - 7^'^ = 6y - 6x co 7*-^ + b(x - 1) = 7^-^ + 6(y - 1)

Trong đóf(t) = 7‘ +6t , có f'(t) = 7‘.ln7 + 6 > 0 nên hàm số f(t) đồng biến trên K , dẫn đến; f(x - 1) = f(y - 1) co X = y

Thay vào (1) và biến đổi ta được PT: 7’'"^ - 6(x - 1) - 1 = 0 (3)

Hàm số g(t) = 7‘ - 6t - l , có g'(t) = 7‘ ln 7- 6

=> g '(t) = 7 - 6 = 0 o tg = log^ 6 - log^ In 7

7'/-371

Hàm số g(t) nghịch biến trên khoảng (-oo;t()) và đồng biến trên (t(,;+oo) nên trên mỗi khoảng đó g(t) có nhiều nhất một nghiệm nên phương trình g(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta thấy = 0,t2 = 1 là hai nghiệm cùa g(t) suy ra phương trình (3) có hai nghiệm = 1, X2 = 2 Hai nghiệm này thỏa mãn điều kiện

5) log2(x^ + 3x + 2) + log2(x^ +7x4-12) = 3 + log2 3

6) logổ X - 21og2 x^ + 3 = 0

7 ) 2 ( l o g 2 X + 1 ) l o g 4 X + l o g 2 ^ = 0

8) log^Cx - l f + log^(x -1)^ = 25

Bài 2 Giải các bất phương trình sau

1) logj X + 21ogj (x - 1 ) + log2 6 < 0

Bải 5.| Giải các phưcmg trình, bất phương trình sau

1) log2 4x > ^-logg X + 51og2 x'

2) log2‘* (x ) -lo g i‘

4) Ig^ X - Ig X log2 (4x| + 2 log2 X = 0

5) logg^ X - log2 (8x ) logg X + log2 x^ < 0

6) log2 + log 2 x.log2(x^ - x) - 2 = 0

7) log, X log2 X < 2 logg X - log2 —

Vậy nghiệm của phương trình là X = 3

5) Điều kiện: X £ (-00 - 4) u (-3;-2) u (-l;+oo)

Phương trình o log2 [(x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 4)] = log2 24

C5> log 2 X + log2 X - 2 = 0 o log2 X = 1

100 Bài 2.

1) Điều kiện: X > 1

Bất phương trình Cí> log2 X + log2(x -1 ) - log26 > 0

<=> log2 [x(x - 1)] > log2 6 o x(x - 1 ) > 6

- T I - 375

Kêt horp với điêu kiên, ta có nghiêm bât phuơng trình là: — < X < 3 ,

44) Bất phưomg trình o logg X - 2(log3 X +1) - 1 < 0

<=> logg X - 2 logg 2 - ;

5) Điều kiện: 0 < X íí 1.

<=> logg X - 2 logg 2 - 3 < 0 o - l < log3 x < 3 o — < x < 2 7

Bất phưcmg trình <I> — - — + log„ X (1

log2(2x)Đặt t = log2X ta có bất phưcmg trình: