Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia nguyên hàm và tích phân

Bộ sách này gồm 8 cuô'n cho 8 chuyên đề, để các om tiện dùng trong ôn luyện theo chướng trình học và trước kỳ thi: - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT

NGƯT ThS LÊ HOÀNH PHÒ

LỜI NÓI ĐẦU

Các Em học sinh thân mô"n!

Nhằm mục đích giúp các bạn h(x: sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PHÔ THÒNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng

tuvển vào các trường Cao đẳng, Đại học mà mình đã xác định nghề nghiệp cho tưcing lai, theo định hướng mới

Bộ sách này gồm 8 cuô'n cho 8 chuyên đề, để các om tiện dùng trong ôn luyện theo chướng trình học và trước kỳ thi:

- TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

- LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG

- PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT đ Ẳ n G THỨC

Cuốn NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN gồm có 18 phần nhỏ để liện

luyện lập theo chủ đề 'lư các kiến thức và phương pháp giải 'loán căn bản

và nâng cao dần dần, kếl hợp ôn tập Toán lớp 10 và 11, bố sung và mở rộng kiến Ihức và phương pháp giải khác nhau, luyện tập thêm Toán khó, Toán tổng hợp, các bạn ròn luyện kỹ năng làm bài và lừng bước giải đúng, giải gọn các bài lập, các bài toán trong kicm tra, thi cử

Dù dã cố gẩng kiếm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong dón nhận các góp ý của quý bạn dọc, học sinh dể lần in sau hoàn thiện hơn

Tác giả

LÊ HƠÀNH PHÒ

Ồ N Đ Ạ O H À M V À V I P H Â N

Đạo hàm của các hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm Xo thuộc khoảng đó Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ s ổ - -— — khi X dần đến Xo được gọi là

Tinh giới hạn lim - ——,

Hoặc ta thực hiện hai bước sau:

Tỉnh sổ gia của hàm số Ay = f(xo + Ax) - f(xo) trong đó Ax là số gia của biển số tại Xo.

Tim giới hạn lim

Ax->0 Ạx

Nêu giới han này tôn tai hữu han thì đó là f'(xo) cân tìm: f'(xo) = lim — , còn ngược lại thì hàm sổ không có đạo hàm tại đó.

Quan hệ giữa đạo hàm và tinh liên tục

Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì

nó liên tục tại điểm

Xo-Ỷ nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm sổ y =f(x) tại điếm Xo là hệ

sổ góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm sổ tại điếm

Mo(xo; f(xo)).

Vận tổc tức thời v(to) tại thời điểm to (hay vận tốc tại to) của một chuyển động

cổ phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của hàm số

s = s(t) tại điểm to, tức là: v(to) = s'(to).

Đạo hàm của hàm so trên một khoảng

Hàm sổ f gọi là có đạo hàm trên khoảng K nếu nó có đạo hàm f Ỵx) tại mọi điếm X thuộc K Kỉ hiệu y ' =f'(x).

Đạo hàm của một số hàm sổ thường gặp

Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì tiếp luyến của đồ thị hàm sổ tại điểm Mo(xo;f(xo)) có phương trình là: y = f'(xo )(x - Xo) + f(xo).

Ỷ nghĩa cơ học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm sổ lượng giác

(sinx)' = cosx (sinu)' = u'.cosu

(cosx)' = -sinx (cosu)' = -u'.sinu

1) Đê linh đạo hàm hay vi phân cùa một hàm số, ta phải xác định dạng cùa hàm

số sau đó vận dụng công thức và quy tắc để tinh Có thể chia tách, viết lại dạng, khai triên, nâng lũy thừa, mũ hóa, logarit hóa để chuyến dạng tinh đạo hàm.

2) Đổi với hàm hợp nhiều hàm số liên tiếp thì làm dần từng bước, có thể đặt hàm sổ trung gian nếu cần.

3) Đạo hàm của tổng, hiệu nhiều hàm số

(u ± v ± ± w )' = u' ± v ' ± ±w'.

4) Đạo hàm của tích nhiều hàm so:

(uvw)' = [(uv)w]' = (uv)'w + (uv)w'

= (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'.

Bài toán 1.1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau;

ÂÍToạx Ãr^ô(2x-l)(2x + 2A x-l) (2 x -l)^

Vậy y = — - ^ với .

( 2 x - l)- 2

b) Cho X < 3 số gia Ax.

Ta có: lim Ay = lim — Ax = lim — lim Ax = f '(xo) 0 = 0

Ax->0 Ax-^0 Ạ y A x^O Ạ x Ax->0

Do đó: lim (f(x)-f(X o)) = lim Ay = 0

Cho X = 0 số gia Ax, ta có; Ay = f(0 + Ax) - f(0) = ^ỊAxỊ

lim — = lim — = lim

-Ax^o* Ax Ax->0* Ax Ax->0* J|Ax|= + 0 0

Vậy không tồn tại đạo hàm tại X = 0

Bài toán 1.4: Chứng mirủi hàm số:

í2x khi X < 0

f(x) = < •; _ có đạo hàm tại X = 0

sin 2x kh ix> 0

8

Hàm sổ xác định và liên tục trên R.

Giải

Ta có f'(x) l o o k h i X < 0 irU- „ n ê n l i m / ' ( x ) = 2 = l i m / ' ( x )

[ 2 c o s 2 x k h i X > 0

Vậy f có đạo hàm tại X = 0 là f ’(x) = 2

Bài toán 1.5: Tìm a, b để hàm số: f(x) x ^ - 2 khix < 0

Ta có f'(x) =

2vx^ - 2 x Vx^ - 2 xb) Vì x^ - 2x + 3 > 0 với mọi X nên điều kiện: X ^

Ta có y = cos2x - 2x + 5 nên y ' = -2(sin2x + 1)

b) Hàm số gián đoạn tại các điểm X = -b + kn (k e Z)

Bài toán 1.16: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

Giải

2 ^ -2 -

2" + 2 'a) y' = 3.e" + (3x - l).e" = (3x +2).e’‘

{2^ ln2 + 2~’‘ ln2)(2^ +2~’‘)-(2 ’‘ -2~’‘)(2’‘ ^2-2-^^ ln2)

^ (2’‘ + 2 -’‘) ' - ( 2 ’‘ - 2 ' ’‘) ' 2^ 41n'2

ln'2 = (2’‘ + 2-’‘) ' “ (2’‘ +2-’‘) ' '

-Bài toán 1.17: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (3x - 2)ln'x b) y = ln(x + Vx' + a ' ).12

4x + lCách khác: y = (4x+l)’‘ nên Iny = ln(4x+l)’‘ =x.ln(4x+l).

Bài toán 1.20: Cho hàm sổ y = f(x) có đạo hàm với mọi X và ihoả mãn:

Bài toán 1.22: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

Bài toán 1.27: Tính vi phân của mồi hàm số sau:

a) y = cos^x + 14x -9 b) y = 8sin^— + sin2x - 2x

Giải

a) Ta có y = c o s \ + 14x - 9 nên y ' = - 2sinxcosx + 1 4 = 1 4 - sin2x

Do đó vi phân dy = (14 - sin2x)dx

b) Tập xác định D = R

y’ = 4sinx + 2cos2x - 2 = 4sinx(l - sinx)

Do đó vi phân dy = 4sinx(l - sinx) dx

Bài toán 1,28: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

Dùng định nghĩa, giới hạn 2 bên khác nhau

Bài tập 1.2; Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:

b)y' 3sin^ X ;in- '

Bài tập 1.6: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

a) y = (2x + 1)" - tane’^ b) y = ịỊìn^ 5x

H DĐS

a) dy = (27x(2x+l)''‘'-(l+tanV )e’‘)dx b) dy = , dx

5ựln- 5x

Bài tập 1.7: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

a) Neu f chẵn trên R thì với mọi X 6 R: f(-x) = f(x).

Lấy đạo hàm 2 vế thì được: f'(-x ) (-x)' = f'(x)

=> -f'(-x) = f ’(x)=> f'(-x) = - f'(x ) Vậy f ' lẻ

b) Nếu f lẻ trên R thì với mọi X e R; f(-x) = -f(x).

N G U Y Ê N H À M C Ủ A H À M số

Định nghĩa nguyên hàm

Cho K là một khoảng (a;h), nửa khoảng (a;bj, [a,b) hay đoạn [a;b].

Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: F'(x) = f(x),

Với aỉ>i-J: í x° dx = — + C" [ u^.u'.dx = + c

J cosxdx = sinx + c I cosu.u'.dx = sỉnu + c

J sinxdx = -cosx + c I sinu.u'.dx - -cosu + c

1) Để chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) ta chứng minh

F'(x) = f(x) với mọi X thuộc D.

2) Đe tính nguyên hàm, ta phối hợp dùng bảng công thức với các biến đổi chia tách hai nguvên hàm, thêm hớt, khai triển tích so, hằng đẳng thức, nhân chia

m

lượng liên hợp, viết mũ phân sổ

3) Đặc hiệt để tinh nguyên hàm, có khi ta viết hùm so cần tìm nguyên hàm thành đạo hàm của một hàm số khác:

Ị f(x).dx =J (g(x))'xỏr = g(x) + c

Bài toán 2.1: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây;

1 a) F(x) = 1 -co t H -

Vậy F(x) = là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = 3e*‘"^’‘ cos3x.

Bài toán 2.2: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây:

Điều kiện: tan

Bài toán 2.9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

a) f(x) = cosx - 3sinx b) f(x) = tan^x

a) Ta có - — jdx = j (e’‘ + 2e“’‘ )dx = e’‘ - 2e-" + c

b ) Tacó flO'Mx = flOO’‘dx = - ^ + C = - i ^ + C

Bài tập 2.6: Tìm nguyên hàm của hàm sổ;

a) f(x) = 4cosx +sinx b) f(x) = cot^x

HD-ĐS

a) I = 4sinx - cosx

24

-cotx - x + c b) [cot^ xdx = [ í — \ 1 ctc = - (

Phương pháp nguyên hàm đối biển số

Dạng I: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên lục trên K thì:

Phương pháp nguyền hàm từng phần

Neu các hàm sổ u(x), v(x) cỏ đạo hàm liên tục trên K thì:

J udv = ÍÍV - 1 vdụ

Chú ý:

1) Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm cỏ công thức

2) Chọn đặt u và dv đế đưa về nguyên hàm đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng nguyên hàm từng phần liên tiếp 2 hay nhiều lần hoặc dạng vòng tròn lặp lại nguyên hàm ban đầu,

3} Các dạng hàm hỗn họp ệsinx, êcosx, P(x).ê, x.lnx, x^.lnx, P(x).lnx, đều dùng phương pháp từng phần, có thế đặt u, dv liên tiếp nhiều lần.

cosu í >ìdx = -siníi-0

Đặt u = X, v' = cosx Khi đó u' = 1, chọn V = sinx

Ta có I = j xcosxdx = j udv = uv - j vdu

= xsinx - Ịsinxdx = xsinx + cosx + c

Đặt u = x^, v' = cos2x Khi đ ó u' = 2x, chọn V = — sin2x

I = jX" cos2xdx = Judv = u v - ị vdu = — x^sin2x - jxsin2xdx

I = — x^sin2x - I xsin2xdx = — x'sin2x + — I xd(cos2x)

= Ậ x^sin2x + ị- xcos2x - — sin2x + c.

Vx + Ọ - V x

HD-ĐS

Nhân lượng liên hiệp

Bài tập 3.6: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x)

- Khai triển tích số thành tổng hiệu và các hằng đẳng thức,

Phương pháp đỗi biến số

Dạng ỉ: Neu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên K thì:

j f{x)dx = ị f{u{t)).u\t).dt

Dạng 2: Neu t = v(x) có đạo hàm liên tục trên K và có

f(x)dx = g(t)dt thì: I f{x)d x = j g{í)dt

- Xem xét có biểu thức nào là đạo hàm u’ của biểu thức u nào đó hay không,

nếu có thì đổi biến số hay viết gộp:

Bài toán 4.3: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Đổi biển t = x^ + 2x + 3 hay viết gộp.

Bài tập 4.6: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = x(l - x)^*^.

- Khai triển và chia tách

- Khi bậc tử bé hơn mẫu, biến đổi mẫu thành tích số rồi đưa phân thức về các phân thức mẫu bậc nhất đơn giản bằng cách đồng nhất hệ số hoặc thêm bớt, chia tách,

Phương pháp đổi biến số

Dạng Ị : Neụ X = u(t) có đạo hàm liên tục trên K thì:

Bài toán 5.2: Tìm nguyên hàm của hàm số:

dx = -ln |x |- —+ ln|x + l| + c

X

Cách khác; Biến đổi 1 = x^ - x^ - X + X + 1.

42

Bài tập 5.4: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = 3x- - 6

V x + 1 x ^ - l j

+ c

NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC

Phưcmgpháp giải biến đổi lượng giác

Dùng các công thức lượng giác đế phân tích, biển đoi đưa về tìm nguyên hàm các tổng hiệu các hàm theo bảng cóng thức.

Dăc biêt: sina ± co sa = V2 sin(a ± —),

4

cosa ± sin a = V2 cos(a + —).

4

- Công thức nhân hai:

cos2a = cos^a - sin^a = 2cos^a -1 = 1- 2sin^a

sin2a = 2sinacosa; ían2a 2tanof

1 - tan" a

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina - 4sin^a; cos3a = 4cos^a - 3cosa

sin(a - P) cosa.cosp

_ siní/ỡ + a ) - sm( B - a ) cota + cotỊ3 = — -^ cota- C0tf3=

- Công thức hiến đổi tích thành tống:

sinasinj3= - — [cos(a + p) - cos(a- P)]

cosacosP = — [cos(a + P) + cos(a- P)]

sinacosP= — [sin(a ^ P) ^ sin(a- P)]

cosccsinp = — [sin(a + P) - sin(a- P)].

Phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Neu X = Ii(í) có đạo hàm liên tục trên K thì:

- Đoi biển số đặc biệt:

Bậc lẻ với sinx thì đặt t = cosx,

Bậc lẻ với CQSX thì đặt í = sinx

Đối biến đối, b ù , phụ: t = -X, t - 7Ĩ -X, t = ^ - X

2

Tổng quát: J R{s\nx,cosx)dx ; đặt t = tan—, và:

Neu có R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx

Nếu có R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx

Neu có R(-sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt í = tanx, cotx.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu các hàm sổ u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

I udv = I/V - 1 vdu.

Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm gần công thức hơn hoặc dạng vòng tròn, từng phần liên tiếp,

J P(x).sin ax.dx : đặt u = P(x), v' = sinax

I P(x).cosax.dx : đặt u = P(x), v' = cosax.

48

Chú ỷ:

1 ) Nguyên hàm liên kết:

Đe tỉnh I thì đặt thêm J mà việc tính I +J và I — J, hay phức tạp hơn là linh

I + kJ và I — mJ thuận lợi hơn tính trực tiếp I , từ đó suy ra I.

2 ) Với nguyên hàm truy hồi ỉ„ theo I„-I hay I „ -2 thì:

Dạng theo sin'’ X, cos” X tách luỹ thừa I và dùng phương pháp nguyên hàm từng phần,

Dạng theo tan" X, c o f X tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp nguyên hàm đôi biến sổ.

3) Các biến đoi và cách đặt sau:

asinx + bcosx±Va^ +b^ Va^ +b^ l±cos(x + a)

asinx + bcosx ^ B(c.Q,osx-d.s\nx)

= A +

-csinx + dcosx csinx + cosjc

asinx + Pcosx+Ỵ _ A(asinx + bcosx+c)'

asinx + bcosx+c asinx+bcosx+c asinx+bcosx+c

_ Ị _ _ Ị _Ị _

asin^ x + bsinxcosx + cos^ X atan^ x + bttanx + c cos^ X

sinxcosx _ sin^ x + cos^ x)'

(a^ sin^ x + b^ cos^ xỴ (a^ sin^ x + b^ cos^ xỴ

Bài toán 6.5: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Ta có I = J tan^ xdx = J tan(l + tan^ X - l)dx

[ tan xd (tan x) - [ -EHLÍ íừ = — tan ^ X + Inlcos x| + c ,

cosx 2sin^ X

sin2x + cos2x + V2

Ta có: f(x)

sin2x

1 _ _ Ị 1+ cos2x + V2 V2 cos(2 x- - ) + V2 2V2 cos' (x- - )

Bài toán 6.22: Tính; I =1 sin4xsin3x

Bài toán 6.26: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = ■13sinx + llcosx

-13sinx + 1 Icosx = A(sinx + 3cosx) +B(cosx - 3sinx)

-13sinx + 1 Icosx = ( A - 3B)sinx + (3A +B)cosx

Bài toán 6.28: Tính: E = jcos^ x.cos3xdx

Giải

Xét thêm nguyên hàm: F = Ịsin^ x.cos3xdx thì:

Tổng E + F = Jcos3xdx = —sin3x + C| và

56

Hiệu E - F = jcos2x.cos3xdx = —j(cos5x +cosx)dx

Đặt u = X , v' = sinx Khi đó u' - 1, chọn V = - cosx

Ta có I = j x.sinxdx = j udv = u v - ị vdu

= - X cosx + Icosxdx = - xcosx + sinx + c

1= JsinVx^dx = |sin t.2t.dt = 2|/.sin/.<ií

Đặt u = t, v' = sint Khi đó u' = 1, chọn V = - cost

Ta có I t.sintdt = I udv = wv - 1vdu = - t.cost + I costdt = -t cost + sint + c.

Do đó: I = 2(-tcost + sint) + c = 2(-^Ịx cos ^íx + sin Vx ) + c.

Bài toán 6.33: Đặt In = Isin"xdx, n e N* Tính In theo In-2 và n > 3

Giải

In= |sin "'‘x.sinxdx = - jsin''‘'xd(cosx)

= -sin"''x.cosx + (n - 1) Jsin"'“x.cos^xdx

= -sin'’' ’x.cosx + (n - 1) Jsin"'^x( 1 - sin ^x)dx

= -sin"''x.cosx + (n - l)In-2 - (n - l)In

= J tan" ^ xdx (tanx) - In-2 tan"-‘x - I

n- 1 n-2 *Vậy In 1 tan" ‘

Bài tập 6.5: Tính nguyên hàm của hàm số; f(x) = s in \ cos^x.

HD-ĐS

Đặt t = sinx

■sin3x.sin4x.dx-

HD-ĐS

a) Intan(^ +,x n ^

1b) Chia tử và mầu cho cos^ X , - I r

-sinx + 5cosx sinx + 5cosx

Bài tập 6.9: Đặt In = Icos"xdx, n e N* Tính In theo In-2 và n > 3

Tổng quát với - ì thì: 1 x“.dx= - + c và [ u°.u'.dx = -+ c.

Phương pháp biến đổi hàm số

- Áp dụng công thức, mở rộng X qua ax + b,

- Viết dạng mũ phân số = a"

- Khai triển và chia lách hai nguyên hàm

- Nhân chia lượng liên hiệp đế trục căn thức ở mẫu,

Phương pháp ngưyên hàm đối hiến số

Dạng ỉ: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên K thì:

- Đổi biến lượng giác

Dạng chứa yla^ - X" thì đặt X = asint hay X = acost

= 2V1 + X + In

1

1 t + 1,VTTx-1

dt = 2t + Inịt - 1| - ln|t + 1| + c

■\/r+ X +1

xdx+ c

(x + 2)3 - 3(x + 2)3 + c

64

Bài toán 7.14: Tính: I = Jx^ sin d x

r I \

x^ +1 V

Va^ sin" X + b^ COS' X

sm X

BÀI TẬP Bài tập 7.1: Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = ị/5 x -3 .

je 'íủ : = e*+c ịe" u'dx = e“+c

í a"íử = —— h c f a" u ' ẩ J x = + c (a>0, a Ỉ^ ỉ)

- Ẩp dụng công thức và mở rộng X qua ax + b.

- Khai triển và chia tách hai nguyên hàm

Phương pháp nguyên hàm đổi biển sổ

Dạng ỉ: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên lục trẽn K thì:

- Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm gần công thức hơn hoặc dạng vòng

Đổi biến: t = sinx

I = I cosxdx = j e‘dí = e' + c = e""" + c

Hay ta viết ghép: j e*'"" cos xdx = j e®'"’‘d(sin x) = e®'"" + c

Bài toán 8.7: Tính: I = J (2x - “"íử

70