Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t3

của s lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, đường thẳng SA tạo với đáy góc 60°.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phang SBC... Cho hìn

Tam giác vuông SAH có: — = + — - ^ = — 1 = -

AK^ SA' AH= (a^/3)^

17 I5a' AK = a,

- 3 VI7

Vậy d(AD;SC) = AK = a ^ — .

V í dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = 2a ,

AB = 3a,CD = a Tam giác SAD cân tại s và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 60“ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

B ài toán này có một ỷ nữa đỏ là tinh thế tích cùa khối chóp

S.ABCD ta tính đường cao S H vì vậy cần tính được độ d ài H I.

Đe tính HI ta sử dụng công thức diện tích: HI = 2S„

BC Diện tích tính gián tiếp(lấy diện tích cả hình thang trừ đi diện

tích hai tam giác vuông nhỏ) Độ dài BC tính thông qua tam

giác vuông Kẻ CE song song với AD cắt AB tại E.

600

Tam giác vuông CEB có: CE = EB = 2a nên là tam giác vuông cân suy ra BC = 2a^/2

Ta có: S|^3f — ^HAB ^UCD AB + CD A D - HA.AB HD.CD 3a + a a.3a a.a

M A AB 3 HA

Ta có kết quả tương tự cách trên.

= 3 ^ d (B C ;(S A F )) = 3d (H ;(S A F )).

của s lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, đường thẳng SA tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đưòng thẳng AD và SB.

Bài giải

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó G là giao điểm của

AM và BD.

Tam giác AM = ABsin60° = .

Góc SG i ( ABCD) => SAG = 60° là góc giữa SA và mặt

phẳng (ABCD).

Tam giác vuông SAG có:

SG = AG tan 60° = - AM tan 60° = - ^ V 3 = a

601

Kẻ GH vuông góc với SM tại H ta có GH T (SBC)

Tam giác vuông SGM có: — ^ H— ^

Suy ra d(AD;SB) = 3 G H -■

13

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy góc 60° Gọi M là trung điểm cạnh SB, mặt phẳng (A D M ) cắt cạnh sc tại N Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CD.

* Tính khoảng cách 2Ỉữa hai đườne thẳng chéo nhau cùng chiều so vói măt đáy

Bài toán này sẽ khó hơn bài toán loại trên.

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M là trung điểm cạnh SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.

Tính khoảng cách: Gọi o là trung điểm cạnh BD, ta có MO//SB nên SB / /(A M C )

Vì vậy d(SB ;C M ) = d(B ;(A M C ))^ 3V,M ABC

Mặt bên A C C ’A ’ là hình vuông Gọi M,N,P lần lưọl là trung điểm của AC,CC’,A ’ B’ và H là hình chiếu cùa A lên BC Tính thể tích khối chóp A ’ HMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN.

Vậy d (H ;(A 'M N )) = - A B = 3a => V H ,.M N = ^ d (H ;(A 'M N )).S , 1 h 3a' _3a^

3' 4 ■ 8 ” 32 Gọi E là trung điểm của B’C ’ ta có E P //A 'C //C M ,E P = CM = —=>CMPE là hình bình hành suy ra

để tính thể tích Tương tự’ nếu hai đưòng thẳng chéo nhau không có đưòng thắng nào nằm trên mặt đáy

ta phải xác định mặt phẳng đáy mói (chứa một đường thẳng và song song với đưòng thẳng còn lại) để quy về tính khoảng cách như các bài toán có một đường thẳng thuộc mặt đáy quen thuộc.

Dạng 3 Khối đa diện cho trước khoảng cách

Khi cho trưóc khoảng cách ta phải định chính xác công thức khoảng cách đó Sau đó tìm ra các yểu tố cùa khối đa diện để hoàn thiện bưóc tính thể tích, góc hoặc khoảng cách tùy thuộc vào yêu cầu đề bài.

V í dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình binh hành và SA = SB = AB = 2BC = 2a , góc ABC = 120° Gọi M là trung điểm của AB Biết hình chiếu vuông góc H của s lên mặt đáy (ABCD)

Í3 năm trong tứ giác ABCD và khoảng cách từ M đên mặt phăng (SCD) băng a Tính thê tích khôi chóp S.ABCD.

Cách 1: Goi M là trung điểm cùa AB và gọi o là giao điểm của

hai đường chéo AC và BD.

Gọi H là giao điểm của AC và DM khi đó H là tâm đưòng tròn

ngoại tiếp tam giác ABD.

Cách 2: Nhiều học sinh không nhận ra OK là đoạn vuông góc chung cùa BD và s c vậy áp dụng cách

tính khoảng cách tổng quát ta thực hiện như sau:

Trong mặt phẳng (AB CD) dựng hình bình hành BDCE.

Kẻ HI vuông góc với s c tại I ta có HI ± ( S C E )

I aVó 3

A" í P ĩ\- ~

4a-2aV3 3

HI = - a 3

Vậy d(BD;SC) = - H l = - — = -

Ta cộ kết quả tương tự cách trên.

V í dụ 1 Cho hình lăng trụ đứng A B C A ’B’C ’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a Gọi M là trung điểm BC, biết góc giữa mặt phẳng (A ’ BC) và mặt đáy (ABC) bằng 60° Tính thể tích lăng trụ khối chóp A ’ BCC’ B’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM

B à i e iả ỉ

V í dụ 2 Cho hình lăng trụ A B C A ’ B’C ’ có A ’ ABC là hình chóp đều, AB = a Gọi (p là góc giữa mặt

V3 phẳng (A ’ BC) và mặt phẳng (ABC) với cos(p = — Tính thể tích khối chóp A ’ BCC’ B' và khoảng cách từ A ’ đến mặt phẳng (BCC’ B’).

B à i s iả i

Gọi M, N lần lưọt là trung điểm của BC và AB Gọi H là

giao điểm cùa A M và CN khi đó H là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC.

Tam giác vuông A ’ HM có; A 'H = HM.tancp =: HM

Nhận xét Ta có thể quy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’ B’ ) về khoảng cách từ H đến mặt phẳng (BCC’ B’ ) như sau:

EF- ~ EP- E M ' ” A ' H ' ^

AH-Tam giác vuông MPE có: — = —XT + — —r = — —v +

* Góc 2Ìữa đường thắng và măt phắne

Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Nếu a//(P) thì góc giữa a và (P) bằng O”.

607

Neu a cắt (P), khi đó xác định đường thẳng a’ là hình chiếu của a lên

(P), khi đó góc giữa a và a’ là góc giũ’a a và mặt phẳng (P).

Trong trường hợp khó xác định hình chiếu của đưòng thẳng trên mặt

phang để xác định góc ta có thủ thuật chuyển về khoảng cách + góc.

Chú ý tam giác ABD và ACD vuông tại B và c.

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.

Ví dụ 2 Cho hỉnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = - = a,

S A l( A B C D ) Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (AB CD) bằng 45° Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phang (SBC.

Lử i s iả i:

Ta có AC - V a b " + BC' = aV2;C D = aV2 => AD" = AC^ + C D ' = 4a'

608

Vì vậy tam giác ACD vuông tại c, do đó CD 1 (S A C ).

Tính góc: Do AD//BC nên AD / /(SBC) => d(D;(SBC)) = d(A;(SBC))

Kẻ AH vuông góc với SB ta có AH _L(SBC) Tam giác vuông SAB có

5Đáp số: cos(A C ';(B C C 'B ')):

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,

SA = a j6 và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính góc giữa

* Góc giữa hai đưòng thẳng

Phương pháp:

Giả sử cần xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể thực hiện như sau:

609

Loại 1 Chuyển về một góc mới

Từ một điểm A trên đường thẳng a, kẻ đường thẳng a’ đi qua A và song

song với b, khi đó (a;b) = ( a ';b )

Hoặc có thể xác định hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng sc và BD

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M, N lần iưọ1 là trung điểm BC và AD Xác định

góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết MN = ã\Ỉ3

Định lý hàm số côsin cho tam giác MNP ta có

MP- + N P '- M N " a-’ + a - - 3 a ‘ 1cosMPN

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3; AC = 4 Cạnh bên SA = 2,

SAB = SAC = 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Lờ i siải:

Lần lưọt kẻ HI, HJ vuông góc với AB và AC (I thuộc AB, J thuộc AC)

Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB 1 SI; AC 1 SJ

Từ đó suy ra hai tam giác vuông ASI và ASJ bằng nhau(g.c.g)

Suy ra AI = AJ = SA.cos60° = 1;SI = SJ = SA.sin 60° = ^/3

Do đó HI = H J, vì vậy AH là phân giác trong góc A, do tam giác ABC vuông tại A nên AIHJ là hình vuông cạnh a, vì vậy AH = ^/2 Ta có SH = v/SA" - A H “ = V4 - 2 = ^/2

Kết luận: cos(SB; AC) = ^—

mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G cùa tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đưÒTig thẳng SM và AC, với M là trung điểm cạnh AB

L ờ i siải:

Gọi H là trung điểm cạnh BC, do tam giác ABC cân tại A nên AH 1 B C

611

Ví dụ 5 Cho hình hộp ABCD.A’ B 'C ’ D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a^/3, A A ' = AC == 2a73 Hình chiểu của B xuống mặt phẳng (A 'B ’C’ D’ ) trùng với trung điểm của B ’ D’ Tính thể tích khối hộp ABCD.A’ B’C’ D’ và côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BB’

+)Tính góc: Ta có A C //A ’C’ ; BBV/AA’ nên (AC ;BB ') = ( A 'C ; A A ')

Tam giác vuông ABO có OA = 7aB ' + BO" = V3a“ + 9 a ' =2a\Ỉ3

A ’A ' + A ’0 - - O A - I2 a -+ 3 a 1 2 a - 1Suy ra co sA A '0 = ■

Vi vậy cos(AC;BB') =

2 A 'A A '0cos A A '0

2.2a73.a73

612

Ví dụ 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại s,

SDC = 30° Hình chiếu cùa s lên mặt đáy (ABCD) nằm trên cạnh CD Gọi M là trung điểm của SA Tính thể tích khối chóp M ABD và côsin góc giữa hai đường thẳng AC và DM

Lời ỉỉiá i:

Tam giác vuông SCD có SH

a a^/3SC.SD _ 0 ’ 2 _

Bài tâp rèn lu yên

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = 3a Hình chiếu cùa s lên mặt đáy trùng vói tâm o của mặt đáy (ABCD), SO = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D AB = 2a,

thẳng SD và BC Đáp số: cos(SD;BC) = ——

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD A’ B’C ’ D’ cạnh a Gọi M, N, p lần lưọl là trung điểm các cạnh

613

Bài 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và

Bài 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh bên bằng 2a Gọi M là trung điểm s c , biết SA vuông

Bài 7 Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a, các mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau Tính thể tích tứ diện ABCD và góc giũa hai đường thẳng AD và BC

Cltú ý Biểu diễn các véc tơ theo véc tơ đường cao của khối chóp.

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BAC = 120° Cạnh bên SA = a%/3 và vuông góc vói mặt đáy (ABC); góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng s c và BI, với 1 là trung điểm của cạnh AC

Suy ra BI.SC = a V 7 2 a - i = 4a" c o s ( b Ĩ ; S c ] = — ^— = — 7=— 7= - —.

Vậy cosỊbI; AcỊ = —

Cạnh bên SA = aV3 và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi E là điểm trên cạnh AD sao cho AE = a ,

F là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin góc giữa hai đưòng thẳng SE và BF

L ờ i siải:

Ta có SogpB = Sdeb + SopB = ^ DE.BC + ^ DF.BC

= — 2a.4a + —2a.4a =8a^

615

Góc giữa A A ’ và B ’C’ là góc giữa BB’ và BC, từ đó dễ có cos(AA ';B C ) = —.

4

Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ đứng A B C A ’ B’ C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a,

A A ’ = 2aV2 Gọi D, E lần lưọt là điểm đối xứng của B’ C’ qua A ’ Gọi M là trung điểm AD Mặt phẳng (M B ’ C’ ) cắt AE tại N Tính thể tích khối chóp A B ’ C ’ MN và góc giữa hai đường thẳng A B ’

và C’ M

Lời siăi:

Do B’CV/DE nên MN//DE do đó N là trung điểm của AE

Chú ý Tam giác HB’ A ’ vuông tại A ’ nên HB' = Va 'B'^ + A ' H ’ = 2a = BB'=Í> AHBB' cân tại B’

B à i tâp rèn ỉ uyên

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a^/3 Hình chiếu của

s lên mặt đáy (ABC) trùng vói trung điểm M của cạnh BC, góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 60°

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = aV3 ; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N lần lưọt là trung điểm các cạnh AB,BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN và côsin góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Đáp số: Vsbmdn = - ^ ^ ;c o s ( S M ;D N ) = ^

616

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4^/2 Cạnh bên s c = 2 và vuông góc

với mặt đáy (ABC) Gọi !VI,N lần lưọl là trung điểm cùa BC và AB Tính thể tích khối chóp S.ANMC

và góc, khoảng cách giữa hai đưòng thẳng SM và CN

Đáp SỐ: V s , , ^ , = ^ ; ( S M ; C N ) = 45 “; d ( S M ; C N ) = ^

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a^/3 và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ACD và côsin góc giữa hai đưòng thẳng SB và AC

* Góc giữa hai măt phắng

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA = a và vuông góc vói mặt đáy (ABCD) Gọi H là hình chiếu của A lên SB Tính thể tích khối chóp H.ACD và

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC =AD■ = a,

SA 1 (ABCD) Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng 45° Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giũa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) Đáp số: 60°

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A’ B’C’ cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 120° Gọi I là trung điểm của CC’ Chứng minh tam giác A B ’ l vuông và tính côsin góc giĩra hai

* Chửng minh vuông góc

Loại 1 Đường thang vuông góc vói đưòng thẳng

Thông thưòng để chửng minh đường thắng d vuông góc vói đưòng thắng d ’, ta chứng minh d vuông góc vói mặt phắng (P) chứa d’

Hoặc chỉ ra rằng d//a, trong đó a vuông góc với d’

Ví dụ 1 (B/2002) Cho hình lập phương ABCD.A’ B’C’ D Gọi M,N,P lần lưọt là trung điểm cùa BB’ ,

CD và A ’ D’ Chứng minh rằng MP vuông góc với C’N

L ờ i siải:

Gọi E là trung điểm cạnh c c , ta có ME//BC//A’ D’ Ta có ME 1 (CDD'C')=> ME 1 C'N

Trong hình vuông CDD’C’ dễ chứng minh được:

C'N 1 D ’ E = > C 'N T (M P D 'E )= ^ C 'N IM P (Đ P C M )

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N,P lần Iưọ1 là trung điểm các cạnh SB,BC và CD Tính thể tích khối chóp S.ANPD và chứng minh AM vuông góc vói BP

Ta có S H - , SA= - AD^ 2 a‘ _ a \ Ỉ 3

Ta có AH//CN và AH = CN nên AHCN là hình bình hành, vì vậy AN//HC

D I chứng minh được BP vuông góc với HC, suy ra PB _L (SHC) => BP _L s c

Í B P I A N

> Vấn đề 4 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Bước 1 Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 2 Vẽ trực đường ngoài ngoại tiếp đa giác đáy-gọi là d

Bước 3 Vẽ mặt phang trung trực của cạnh bên-gọi là (P), chú ý tận dụng cạnh bên vuông góc với mặt đáy Bước 4 Gọi I là giao điểm của d và (P), khi đó 1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện cần tìm

Chú ý tính bán kính theo 2 cách

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = ãyỈ3 Cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy (ABC); cạnh bên s c tạo với mặt đáy góc 60“ Tính thể tích khối chóp S.ABC

và xác định tâm - bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời ưiải:

Ta có:

Do SA vuông góc với mặt đáy (ABC) nên góc SCA = 60“ -là góc

giữa s c và mặt đáy (ABC)

Tam giác vuông SAC có SA = ACtan60° = 2a\Ỉ3

Vì vậy: WsAíìc =^SA.S^bc - j.2aV3.^.a.aV3 =a^ (đvtt)

Gọi M là trung điểm AC, do tam giác ABC vuông tại B nên M là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ M kẻ Mt vuông góc với mặt đáy (ABC), Dựng mặt phẳng trung trực (P) của SA Khi đó (P) cắt Mt tại 1, và 1 chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BAC = 120“ Cạnh bên SA = 2a\Ỉ3 và

vuông góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 60“ Tính thể tích khối chóp S.ABC và xác định tâm bán bính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

618

Mặt khác BC vuông góc với SA nên BC ± (S A M ).

V3Suy ra BC = 2CM = 2 AM tan 60° = 4aV3

Vì vậy Vg^gc = -S A -A M B C = -.2aN/3.2a.4aA/3 =8a'(đvtt)

Dựng hình binh hành ABDC ta có DA = DC = DB = 2AM = 4a ,

nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Dựng Dt vuông góc với mặt đáy (ABC) Dựng mặt phang trung trực của SA-gọi là (P) Giao điểm I của

Dt và (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Gọi H là trung điểm của SA, có AH ID là hình chữ nhật

Vì vậy R = IB = yJìD^ + DB^ = VaH’ + DB^ = V3a^ + I6a^ = a%/Ĩ9

Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A’ B ’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a Cạnh bên

A 'A = a V Ỉ , gọi M là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp B’ ACC’A ’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A B ’CM

Gọi 0 | là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC, 0 | là

giao điểm cùa BJ(J là trung điểm cùa AC) và đường trung

trực cùa MC (có 0 |K //B A , K là trung điểm MC)

Gọi 0 |t là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC thì 0 |t

song song với BB’ và tâm o mặt cầu phải tìm thuộc 0|t

Khi đó R ' = oc- - x ' + 0 ,C “ (x = 0 ,0 )

Vi 0 |C là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC nên

Vì vậy 0,c ì^ỉ\õ rì / 1 \

8Mặt khác R“ =O B'" = 0 [" + ^ ^ = 0!~ (vói I là trung điểm B’C) Hình chiếu của I lên (ABC)trùng với M, vì vậy 10" = ( 0 |0 - M l)" + 0 |M "

Ví dụ 4 Cho hình hộp A B C D A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a\Ỉ3, BD = 3a, hình chiếu

vuông góc của B lên mặt phẳng (A 'B 'C 'D ') là trung điểm của A 'C Biết rằng côsin của góc tạo bỏi

Vì B0 = —— = —A 'C ' nên tam giác A 'B C ' vuông tại fí Vì B'D'_L ( A 'B C ) nên B 'D ' là trục đưòng

tròn ngoại tiếp tam giác A 'B C Gọi G là tâm của tam giác đều A 'C 'D ' Khi đó G A ' = GC' = GD' và

G A' = GB = GC' nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A 'B C 'D ' Mặt cầu này có bán kính

R = G D ' = - O D ' = - — = a

B à i tâp rèn lu v é n

Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bàng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 45” Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a\Ỉ2

Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), SB = sc = a, BSC = 120“ Tính thể tích khối chópS.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Đáp số; Vjs ABC

12 -;R s ABC : a Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi E là trung điểm CD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABE

p _ a V 4 Ĩ

4Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc vói mặt đáy ABCD và SA = a Gọi E là trung điếm của AD Tính thế tích khối chóp S.CDE và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =:a>/3 Hỉnh chiếu của s lên mặt đáy (ABCD) trùng vói trung điểm H cạnh AB Cạnh bên sc tạo vói mặt đáy (ABCD) góc 60” a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC

c) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMC, vói M là trung điểm cạnh CD

Bài 6 Cho hình lăng trụ A B C A’ B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a\Ỉ2 Góc giữa hai

mặt phắng (ABC) và (A B 'C ’ ) bằng 60° Hình chiếu của A lên mặt đáy ( A 'B ’C’ ) là trung điểm H của

A ’ B ’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’ B ’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AH B’C’

và SD Biết rằng BE vuông góc vói CF Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại

621

CHUYÊN ĐỂ 11 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

> Vấn đề 1 Véc tơ và phép toán cơ bản

* Tích có hướng của hai véc tơ và các phép toán cơ bán

Với h a i v é c tơ a = ( X | ; y p Z | ) , b = ( x2; y , ; Z j ) k h i đ ó t í c h c ó h ư Ó T ig c ủ a h a i v é c tơ là một v é c tơ đ ư ợ c x á c

Diện tích, thể tích trong không gian Oxyz

Thể tích khối hộp ABCD A’ B ’C’ D’ ; VAB CD A 'B 'C 'D ' [a b,a c] a a'

Ví dụ 1 Cho bổn điểm A(2; 3; 1), B ( - l; 2; 0),C(1; 1; -2 ) và D(2; 3; 4)

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Chứng minh A, B, c, D là bốn đỉnh một tứ diện và tính thể tích tứ diện đó Tính khoảng cách từ D đến mặt phang (ABC)

c) Tim toạ độ chân đường phân giác trong góc A, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm cùa tam giác ABC

c) Gọi E là chân đường phân giác trong góc A ta có EB AB

X = —

1529

X =

y =

11Ĩ51130

z = “ T 3

623

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(4; 0; 0), B(b; c; 0) vói b, c dương thoả mãn

b) Tim toạ độ điểm D thuộc Ox, điểm E thuộc Oz sao cho tam giác ABD cân lại D và tử diện ABDE có thể tích bằng 20

H u óhịỉ (lần ỊỊỈái

Trưóc tiên ta tim toạ độ điểm B, ta có OẤ = (4;0;0),OB = (b ;c ;0 )

’( b - 4 ) - + c' =40 4b

Theo giả thiết ta có <

n/2

b = 6

o { => B(6;6;0)

c = 6, 4x/b^+ c

a) Vì c thuộc tia Oz nên C(0; 0; c) vói c dương

Gọi điểm E(0;0;e) thuộc Oz ta có AD = (10;0;0) => 1^ A D ,ẤbJ = (0;0;60)

B à i tâp rèn Ị uyên

Bài 1 Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho A(2; 3; -1 ), B (l; -1 ; 4), C(-2; 1; 6)

a) Xác định toạ độ trong tâm G của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính thế tích tử diện ABCD biết D(3; 4; 5)

d) Tim toạ độ điềm E sao cho ABCE là hình thang cân

Bài 2 Trong không gian Oxyz cho A(4; 2; I ), B ( - l; 0; 3), C(2; -2 ; 0), D(-3; 2; 1)

a) Chứng minh rằng A, B, c, D là bốn đỉnh một tứ diện

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thắng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ 0.xyz cho A(5; 3; 1), B(2; 3; -4), C(1; 2; 0)

a) Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều

b) Tim toạ độ điềm E sao cho SA, SB, s c đôi một vuông góc

^ 7 1 3 ^ 4',3 ■ 3 ' 3

Bài 4 Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABCD.ATTC’ D' biết A( 1; -2 ; 3), C( 1; 4; 5),

B '(-3 ; 3; 2) và D'(5; 3; 2) Tìm toạ độ các đinh còn lại của hình hộp đã cho

Bài 5 Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng AB C A’ B 'C ' biết A(1;0;1), B(2;0;0), C(0;l;0) và thể tích khối lăng trụ bằng 3, tam giác A13C vuông Tim toạ độ các đĩnh còn lại của lăng trụ đã cho

624

Đáp số: D ( 2 : 6 ; - l ) , D ^ y ; - ^ ; - ^ j v à E(3; l;-2 ), E ^ ^ ; y

> vấn đề 2 Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng có dạng:

a(x - Xy)+ b(y - yo) + c ( z - Z(|) = 0 C5> ax + by + cz + d = 0,d = -aX(j - by^ -cZg

Ví dụ 1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2;3;l), B (-l;2 ;0 ),C (l;l;-2 )

B à i tâp tư ơ n g tư

Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0) và H ( l; l; l) Viết phưong trình mặt phẳng (P) cắt các trục Oy,Oz tại B,c sao cho tam giác ABC có diện tích bằng Vl26

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm H(l;2;3) Viết phương trình mặt pháng (P)

đi qua H và cắt các trục toạ độ tại A,B,C và tam giác ABC nhận H làm trực tâm

625

và đường thăng d : - = - Viêt phương trinh mặt phăng (Ọ) đi qua A, vuông góc vói (P)

và cất d tại điểm B thoả mãn AB = %/2

Bài 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(2;0;0) và K(1 ;1 ;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B(0;4;0), C(0;0;4)

b) Viết phưong trình mặt phẳng đi qua A cắt các trục Oy, 0 z tại B, c sao cho điểm gỊ^—;2;3 j là trọng

tâm tam giác ABC

c) Viết phưong trình mặt phẳng đi qua A cắt các trụ Oy, Oz tại B, c sao cho điểm K là trực tâm của tam giác ABC

d) Viết phưong trình mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox,Oy,Oz tại B, c, D sao cho K là trực tâm ẹủa tam giác BCD

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, K và cắt các tia Oy, Oz tại B, c sao cho diện tích tam giác ABC nhở nhất

t) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A,K và cất các tia Oy, Oz tại B,c sao cho thể tích tứ diện OABC bàng —

Đáp sé:c) x + y + z - 2==0 f) 2x + y + z - 4==0

626

Chú ý Ta có thể lấy hai điểm A,B cùng thuộc (P) và (Q) khi đó đưÒTig thẳng cần tim đi qua hai điểm A B.

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thắng d| : - = - = - va — x - 4 : ly - 1 _ — \ / àz+ 5

d , :x - 2 _ y + 3 _ z

vuông góc chung cùa d |,d ,

Lời siải:

Đường thẳng d| đi qua điểm A (4 ;l;-5 ) véc to chi phương a = ( 3 ;- l; - 2 )

Đường thẳng d, đi qua điểm B(2;-3;0) véc tơ chi phương b = (l;3 ;l)

Ta có ă,b^ = (5;-5;10), AB = (-2 ;-4 ;5 ) => AB.Ị^ã,bJ = 60 0 Do đó dpd, chéo nhau

627

Gọi M, N lần lượt là chân đưò'ng vuông góc chung của dpd, (M e d|,N e d , )

Chú ý Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta sử dụng hệ thức AB.|^ã,bJ 0 hoặc hệ tạo bởi

dpd, vô nghiệm và có hai véc tơ chỉ phương không cùng phương

d , : — = X _ y + l _ z - 3 Cắt nhau tại I ( l ; l ; l ) Viết phưong trinh đường thẳng d đi qua điểm M (0 ;-l;2 )

cắt d|,d2 lần lưọt tại A, B sao cho tam giác lAB cân tại A

Lời siải:

Chọn B '(0 ;-l;3 ) e d,, A '(l + a;l + 2a;l + 2a) e d| sao cho tam giác 1A’ B ’ cân tại A ’

Ta có phưong trinh lA ' = AB' <=> a' + 4a" + 4a" = (a + l) “ + (2a + 2 )' + (2a - 2)"

Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba đường thăng

Đưòng thẳng d, có véc to' chi phương II = (2 ;l;l)

Theo giả thiết ta có: AB.Ũ = 0 <=> 2 (l - b - a) + (3b + 2a) + (-2 - 2b - a) = 0 <=> b = -a

Vi vậy AB = ^1 + a‘ + ( a - 2 ) " = i j 2 ( a - l ) “ +3 > V3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = I => A (2;-2;2), AB = ( l ; - l ; - l )

Đường thẳng cần tim đi qua A, B có phương trinh d :x - 2 _ y + 2 _ z - 2

'x = 4

và c sao cho tam giác ABC cân tại A Đáp số: - y = 3

z = 2 + 4tBài 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M (4 ;5 ;-l) và hai đường thẳng

d, : ^ = ——- = d, ; ^ = - — - = - —^ Viết phương trình đưÒTig thẳng d đi qua M và cắt hai

a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau, viết phương trình đương vuông góc chung cùa d và d’

b) Viết phưong trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ, cắt d và vuông góc với d’

Bài 5 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm ( l; l; 2 ) và đường thẳng

A x _ y - 3 _ z + l ^ x - 4 _ y _ z - 3

Chứng minh rằng dpd,chéo nhau Viết phương trình đường thẳng d song song với Ox đồng thời cắt cả

X = 7 + td|, d^ Đáp số: d : ( y = -11

z - - 2 2Bài 9 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba đường thẳng

> vấn đề 4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách từ điểm M (x „;y o ;z „) đến mặt phẳng (P ); ax + by + cz + d = 0 xác định bỏi:

Mặt phẳng (P) có véc to' pháp tuyến a = (1;1;1), mặt phang (Q) có véc tơ pháp tuyến b = ( 2 ;- l;3 )

Do (R) vuông góc vói (P) và (Q) nên nhận véc tơ tích có hướng |^ã,bj = ( 4 ;- l;- 3 ) làm véc tơ pháp tuyến Khi đó ( R ) ; 4 x - y - 3 z + c = 0

|c|

V 4 = ± (-lV + (-3 )=

Vậy ( R ) : 4 x - y - 3 z ± 2 6 = 0

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phang

Để tìm toạ độ điểm H là hình chiểu của M lên (P) ta viết phương trinh đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P), khi đó H là giao điểm của (P) và d

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A (2;l;4) và mặt phẳng ( P ) : 2 x - y - z ± 7 = 0 Tìm toạ độ điểm H là hình chiểu của A lên (P)

Thay X, y, z từ phương trình của d vào (P) ta đưọc:

2(2 + 2 t ) - ( I - t ) - ( 4 - t ) + 7 = 0cí>t = - l ^ H (0 ;2 ;5 )

Viết phương trinh đường thang d’ là hình chiếu cùa đường thắng d lên mặt phang (P)

Tim toạ độ giao điểm I của d và (P)

V Lấy một điểm A thuộc d, tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của A lên (P)

'T Viết phương trình đường thẳng đi qua I,H và đó là đưòng thẳng cần tim d’

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x ± y - 3 z - 3 = 0 ; đưòng thẳng

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên (P)

Lấy điểm A( 1 ;0;-2) thuộc d, gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Đường thẳng AH đi qua A và nhận véc tơ pháp tuyến của (P) làm véc tơ pháp tuyến nên có dạng

B à i tâp tươncỊ tư

X — 1 y z + 2

d : - — —— Tim toạ độ giao diêm của d và (P) và viêt phưong trình đưòng thăng d’ là hìnhchiếu của d lên (P)

* Viết phương trình đưòng thẳng d’ đối xứng vói đường thẳng d qua măt phẳng (P ).

Tỉm giao điểm I của d và (P)

Lấy điểm A thuộc d, gọi A ’ là điểm đối xứng với A qua (P)

Đưòng thẳng d’ cần tìm đi qua A ’ và I

Chú ý, Neu d//(P) khi đó d’ song song với d và đi qua A ’

Ví dụ 1 Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) :x + y - 3 z - 3 = 0 ; đưòng thẳng

Đưòng thẳng AH đi qua A và nhận véc tơ pháp tuyến của (P) làm véc tơ pháp tuyến nên có dạng

X = I + t

A H :]y = t

z = - 2 - 3 t

632

Thay X, y, z từ pliưong trinh của AH vào phưong trinh của (P) ta được:

X = X| + at

y = y, + bt xác định bỏ'i:

z = z, + ct

Trong đó A(X|;y, ;Z| ), i i = (a ;b ;c )

Chú ý Muốn tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M lên d ta viết phương trinh mặt phẳng (P) đi qua M

và vuông góc vói d, khi đó H là giao điếm cùa d và (P)

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A (2 ;3 ;-l) và đường thẳng

^ x - 3 _ y - 2 _ z

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của A lên d

b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d

L ờ i s iả i:

a) Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u ==(1;3;2) và đi qua điểm B(3;2;0)

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d nhận véc to’ chỉ phương của d làm véc to' pháp tuyến nên có dạng: (x - 2 ) + 3(y - 3 ) + 2(z + l) = 0 o ( P ) : x + 3y + 2 z - 9 = 0

'x = 3

y = 2=> H(3;2;0)

z = 0Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

Khi đó d(đ|;d2) =

-a,b ,AB[ Ỉ 6 ]

trong đó a = (a,;b,;C|),b = (a2;b ,;c2)và A (x ,;y ,;Z |),B (x2;y ,;z ,)

Chú ý Ta có thế xác định toạ độ chân đường vuông góc chung cùa hai đường thẳng và độ dài đoạn nối

hai điểm đó là khoảng cách giữa hai đường thẳng

x - 4 y - 1 z + 5 , - = = — —• và

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d| :

Lời íiiải:

Đưòng thẳng d| đi qua điểm A (4 ;l;-5 ) véc tơ chỉ phưong a = ( 3 ;- l; - 2 )

Đường thẳng d, đi qua điểm B(2;-3;0) véc tơ chỉ phương b = ( l;3 ;l)

Giả sử (T) có véc tơ pháp tuyến n = (a ;b ;c )

Do (T) đi qua gốc toạ độ 0(0;0;0) nên có phương trinh là ( T ) : ax + by + cz = 0

+) Với c = 7a,chọn a = l,c = 7,b = 20 =>( T ) : X + 20y + 7z = 0.

Ví dụ 2 Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điếm A ( - l ;2;-3), B (2 ;-l ;-6) và mặt phăng

6

Lời sìải:

Giả sử (Q) có véc tơ pháp tuyến n = (a ;b ;c ) Ta có AB = (3 ;-3 ;-3 )/ /(1;-1;-1)

Do A,B thuộc (Ọ) nên lỉ.AB = 0 < = > a -b -c = 0<=>b = a - c=i>n = (a;a -c ;c )

-6 v l" + 2’ + l\- ^ a ’ + ( a - c ) “ + c" 6

a = 0 8a = 5c

<=> |3a - c| = Va" +c" -a c «■ 8a" - 5ac = 0 o

a) Viết phương trinh đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Góc giữa hai đường thẳng d, :

635

b) Viết phưong trinh mặt phẳng (P) chứa d p d ,.

c) Viết phưong trình đường thẳng d đi qua điểm M (2 ;3 ;l) và tạo với d|,d, một tam giác cân tại A

<=> {

X = I

y = i

z = IVậy A ( l; l; l)

b) Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng có véc tơ pháp tuyến lĩ = [ã ,b j = (-8 ;4 ;0 )

Do đó (P ): 2x - y - 1 = 0

c) Giả sử ư = (a;b;c) là véc to' chỉ phưong của d Vi d thuộc (P) nên u.ri = 0 <=> 2a - b = 0 => u(a;2a;c)

Do d tạo vói dl ,d2 một tam giác cân tại A nên (d ;d |) = (d ;d ,)

z = 1 + t

636

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thăng

a) Chứng minh rằng d|,d,chéo nhau Tính góc và khoảng cách giữa chúng

b) Viết phưong trinh đường thẳng d cắt hai đường thẳng dpd, theo một đoạn thẳng MN có độ dài bàng

Viêt phương trình đường thăng d đi qua A và vuông góc với cả d| ,d, Đáp sô: d : -— =

-Bài 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;2;1) và đưòng thẳng

Bài 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

, x - 3 y - 3 z - 3 , x + 5 y + 2 z

d, - - = - ;d,

b) Viết phương trinh đưÒTig thẳng d là đưòng phân giác của góc tạo bởi dpd ^

Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M(1 ;-l ;0) và đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M cắt d và tạo với (P) góc 30“

L ờ i slải:

Giả sử d’ cắt d tại điểm N, khi đó N(2 + 2 t;t;-2 + 1) => MN = (1 + 2 t;t + l;- 2 + 1 )

Mặt phang (P) có véc tơ pháp tuyến n = ( 2 ; - l ; - l )

a) Tim toạ độ giao điểm I của d và (P)

b) Mặt phẳng (Ọ) chứa d và tạo (P) góc 60“ cắt Oz tại M Tim toạ độ điểm M

638

L ờ i siải:

a) Toạ độ giao điểm 1 là nghiệm của hệ phưong trình

b) Giả sử M(0;0;m), đường thẳng d đi qua điểm A(1 ;0;0) khi đó AM = ( - l;0 ; m )

Mặt phắng (P) có véc tơ pháp tuyển iip = ( 2 ; - 2 ; - l )

Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là M(0;0;2 - V2);M (0;0;2 + 4 2 )

Bài tâp rèn ỉuyên

d : ^ — !- = - — - và mặt phẳng (P ):x + 2 y - z + 5 = 0 Đường thẳng d’ đi qua A, cắt d tại B và tạo

vói (P) góc 30° Tim toạ độ điểm B Đáp số: B( 1; 1 ;5)

Khi đó (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R = v/a* + b' + c ‘ - d

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(0;1;0), B(2;3;l), C(-2;2;2) và D (l;-1;2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

<=> b =

23

2 5

c = — 2

d = 2

Vi vậy (S ): X + y + z - X - 3y - 5z + 2 = 0

639