Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t2

Nhưng trường họp này dấu bằng không xảy ra Ket họp hai trường họp suy ra giá trị nhỏ nhất của p bằng 1 đạt tại a = b,c = 0... Hưó’ng 2: Chia hai vế phương trình cho 2 nhóm về các công th

Cách 2: Từ aiái tliiêt suy ra ~ = ——jL Khi đó p =

Đ ặ t t ^ ^ = > t = ^ <

^ X + y ^ v~2z y

x ’ y ' -t X x V " + X + y'’ + y^ ^ 2 2 2

- 2 > X y ; - —2 - -2 - 2_ > 2xy ;x + y > 2xy

Bất đăng thức được chửng minh Đăng thức xảy ra khi và chi khi a = b = c

Ví dụ 4 Cho X, y, z là các số thực thuộc đoạn [l;2 ] Tim giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất cùa p bằng — đạt tại X = y = 2

Ví dụ 6 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện a > b > c > 0

- 9 \ - + 6 x y + y" + —, 121 ^ - > x +8xy + y +-6 + — -ĩ—^ -o 121

121Đặt t = X" + 8xy + y" + 1 =:í> p > f ( t ) = t + + 5

121

Ta có; f'( t) = l - 2 ± i ; f ' ( t ) = 0 o t = l 1

t

Ta có f (t) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua t = 11 nên f(t) đạt cực tiểu tại t = 11

hay p > f( t) > f( l 1) = 27 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của p bằng 27 đạt tại a = b = c

Ví dụ 7 Cho X, y z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 7 (x ' + y" + z") = 1 l(x y + yz + zx)

(x + y ) (y 4 z )(z + x)Theo giả thiết ta có: 7 (x 4- y 4- z)‘ = 25(xy + yz 4- zx)

( x t y + z ) Ị ( x y - > z ỵ - - f ^ ''^ ( x - ^ y - t / y j ( x t y + z)’

Suy ra p + 3 = ■

Do đó

( x + y ) ( y + z ) ( z + x) ( x + y ) ( y 4 z ) ( z 4 x)

Suy ra Q, ^ iníix = — ;Ọ, 125 ^ 1^11' 3375 => p „ = 2;p , = —*4tíix ' inin g

* Môt đánh giá hay sử dung

Với điều kiện các số thực a, b, c không âm ta các bất đắng thức tluròng đạt điểm rơi tại một biến bàng 0 nên ta thưòng giả sứ c = min |a.b,c} và tim cách đánh giá đưa bất đắng thức về hai biến

Ta có các ước lượng hay sử dụng; a‘ + c '< ;b" + C “ < Ị^b + — j ;a" + b" < Ị^a + — j +Ị^b-+—j ;

p < a = b - ( a = - a b + b ') = > - ị< - f

- I +Suy ra

Ta có f ( t ) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua t = — nên f(t) đạt cực đại tại t = — hay

= 12.

P < f ( t ) < f ^ Ỷ

Vậy giá trị lớn nhất của p bằng 12 đạt tại a = 2, b = l,c = 0 hoặc các hoán vị

Cách 2: Thực hiện đánh giá như trên và sử dụng A M -G M ta có:

p < a’ b' (a" - ab + b ") = — ab.—ab(a" - ab + b ) <

p < x 'y - ( x ' - x y f y -) = x - ( 3 - x )'(x = - x ( 3 - x ) + (3 - x ) ' ) = 3x*’ - 27x' +90x-* - 135x'’ + 8lx= < 12

Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số thực không âm không có hai số nào đồng thòi bằng 0 thoá mãn

a + b + c = 2 Tìm giá trị nhò nhất cùa biểu thức p = ■■ -p : -

Dấu bằng xảy ra khi và chi khi x = y = l= > a = b = l,c = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất cùa p bằng 2 + đạt tại a = b = l,c = 0 hoặc các hoán vị

* M ôt số bài toán chon loc

Bài 1 (A, Al/2013) Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4 c ' Tỉm giá trị

u:í M 32a' 32b' x/a- + b=

nhó nhât cùa bieu thức p = - r- H -^ ^ -

3'rước tiên ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau đây:

Với mọi a,b dưong ta luôn có a’ 4- b^ > —(a + b)^

Thật vậy bất đẳng thức tưong đương với: 4(a 4 b)(a‘ - ab + b ') > (a 4- b ) '

o 4(a" -a b 4- b’ ) > a’ 4 2ab + b“ 3(a - b)" > 0

Bất đắng thức luôn đung và bài toán phụ được chứng minh Áp dụng ta có:

Vậy f(t) ià hàm đồng biến trên [2;4-oo) do đó f( t) > f(2 ) = 1 - \/2 => p > I - \/2

Vậy giá trị nhò nhất cúa p bằng I - ^/2 đạt tại a = b = c

Bài 2 Cho a,b.c là các số thực dương đôi một phân biệt thoả mãn b < 8a < 4c và ab + bc = 2c‘ Tìm giátrị lớn nhất và nhỏ nhất của biếu thức p = a - + —b + ■c

Ta có p = -í-t3 thấy đây là hàm nghịch biến với \ < t < ỉ f 4 suy ra p >

Vây giá tri nhỏ nhất của p bằng 2^ — đạt tại a = b,c = a\Í2

•v/4 -1

307

Bài 4 Cho a b, c là các số thực dưong thoả mãn điều kiện a > b > c

(a +c ÌVab + bc + caTìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức M = J -.

(s ' - 2 P)n/s + Pđiều kiện ta có ngay 0 < P < S - l T a c ó ; M = -

s = - l( S '- 2 S + 2 )V 2 S -I

Xét hàm số g(S) = ^: -— - -trên (l;+oo) tađưọc:

' '

Bình luận Neoài lời giải trên ta có thể xét hàm số trực tiếp bằng cách coi b là ẩn và a, c là tham số ta

, , ị , , , , , , b" + 2ac 4ac , , , , , (a + c)’ \íh ^ + 2ac 2

có kêt quả tương tự hoặc chứng minh -—ir khi đó M > -7—^ -— > — 1 =

(a + b + c)- 3(a + c)- ac(a + b f c ) 73Nhưng rỗ ràng vói dấu hiệu đang cấp từ điều kiện cho đến biểu thức M việc sử dụng kỹ thuật giảm về hai biến X, y tỏ ra hiệu quả Đây là một bài toán hay đòi hỏi phải tư duy logic khi gặp tổng và tích đối xứng cùa s = X + y, p = xy

Bài 5 Cho a.b.c là các sổ thực dưong thay đổi thoả mãn điều kiện (a + b + c)^ = 32abc Tim giá trị lón

a^ + b^+c"

nhất và nhỏ nhất của biểu thức p :

(a + b + c)4 ■

Khi đó p = x"* + y “* (-z‘* và ta có: p = ( x “ + y" + z") - 2^x“y" + y"z" + Z'X")

= (x + y + z ) ' - 2(xy + yz + zx) - 2|^(xy + yz + zx)" - 2xyz(x + y + z)

Trường họp này giá trị nhỏ nhất của p bằng 1 đạt tại a = b,c = 0

TH2: Nếu c > 0 = > a > b > c > 0 đ ặ t c = x.a,b = y.a,(0 < x,y < l)

Khi đó: p = 2 + 1- -■■■- - J 2 x + 2 y ~ ì .Ta chứng minh + /- y ■ > J x + y

Do đó p > f( l) = 1 Nhưng trường họp này dấu bằng không xảy ra

Ket họp hai trường họp suy ra giá trị nhỏ nhất của p bằng 1 đạt tại a = b,c = 0

Bài 7 (A/2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương X, y, z thoà mãn điều kiện x (x 4- y 4- z) = 3yz

ta luôn có (x 4- y )’ 4- (x 4 z)^ 4- 3(x 4- y )(y 4- z)(z4- x) < 5(y 4- zỳ

Lời siải

Đặt y = a.x,z = b.x,(a,b > 0) ta có a 4- b 4-1 = 3ab

Ta cần chứng minh (a 4-1)^ 4- (b 4-1) ’ 4- 3(a 4- l)(b 4- l)(a 4- b) < 5(a 4- b)^

«> (a 4- b + 2)^ -3 (a 4- l)(b + l)(a 4- b 4- 2) 4-3(a 4- l)(b + l)(a 4- b) < 5(a 4- b ) \

o (a 4- b 4- 2)^ - 6 ( a 4- l)(b 4-1) < 5(a 4- b)’ o (a 4- b 4- 2)’ -6 (a b 4- a 4- b 4-1) < 5(a 4- b ) \

Thay a 4- b + 1 = 3ab vào bất đẳng thức ta cần chứng minh

(3ab+ 1)’ - 6{ab f 3ab)< 5(3ab- 1)^ o ( 3 a b - l)(a b - l)(6 a b - 1)> 0 (luôn đúng)

Do 3ab = a + b + 1 > 2\fãh + I => ị^síah -1 jỊ3^/ab + I j > 0 <=> ab > 1

Bất đắng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chi khi X = y = z

Bài 8 Cho a,b.c là các số thục dương thoả mãn a + b t c - 6 và a" + b" f C' = 14

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức p =

L(ri siả i

íc (x + y + l) = 6Đãt a = x.c,b = y.c,(x,y > 0) theo giả thiết ta có: < ,

Í4 - 3 c > 0 6

^ [2 5 (-3 c' f l2 c - 8 ) = ( 4 - 3 c ) ' 7

Ta có f (c) đổi dấu từ dưong sang âm khi đi qua c = — nên f(c) đạt cực đại tại c = —

hay p < f(c) < f Ị —j = —- Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a = “ ,b = — ,c = —

Vậy giá trị lon nhât của p băng — đạt tại a = — ,b = — ,c = —

g'(c) = — ^ -^;g'(c) = 0 <=> 5 v 7 ? c ' + I 2 c- 8 - 3 c+ 4 = 0

C" v-3 c" + 12c - 8Í3 c - 4 > 0

, o c = 3

25(-3c' + 12c-8) = ( 3 c - 4 ) “

Ta có g'(c) đôi dấu từ âm sang dương khi đi qua c = 3 nên g(c) đạt cực tiểu tại c = 3 hay p > g(c) > g(3) = 2 Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi a = I, b = 2,c = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của p bàng 2 đạt tại a = l,b = 2,c = 3

Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện (3a + 2b + c) 1 2 3

r-> X < => p = 2x + 6 y - 2 l7 y ’ +8 < + 6 y - 2 \ J y ~ + 8 < -55

Đang thức xảy ra khi và chi khi 6a = 3b = 2 c

Cách 2: Triióc tiên ta biển đổi điều kiện bài toán (3a + 2b + c)

312

J

4ac 3a + c

=>p<

4ac

3a + c + 2 c - l- Ị l2 a - +c= 4c 2c

a4t

■ + — - 7 72+ - 3a + c a y \a J

Dưới đây tôi trinh bày một bài toán tưong tự nhưng đi theo một hưóng khác

Bài 10 Cho a, b, c là các số thực dưong thoả măn điều kiện (a + 5b + 3c)Ị^-!- + -*- + — j =

Tìm giá trị nhỏ nhất cỉia biếu thức p =2(a + 3c)(a + 3 c - 4 b ) - 7 c ' + 4cVa“ + 7c“

Ta có f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua X = 3 nên f(x ) > f(3) = 15

Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a - 4b = 3c Vậy giá trị nhò nhất cùa p bằng

Bài tâp tư ơ ng tư

Cho a, b, c là các số thực dưotig thoả mãn điều kiện (a + 3b + c)Ị^-!- + - '- + -

, , , a’ + (a + c)(a + c - 2b) + x/2a" + 2c“

C H U Y Ê N Đ Ể 4 P H Ư Ơ N G T R ÌN H L Ư Ợ N G G IÁ C

> Vấn đề 1 Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản:

cos X = cosa o X = ±a + 2k7i

X = a + 2k7isin X = sina o

X = 7T-a + 2k7t,k e z

tan X = tan a <=> X = a + kn cot X = cot a <=> X = a + krt

Lờ i sỉải:

Phương trình tương đương với 2cos" —cos'x = l + cos(7isin2x)

o I + cos(7rcos“x) = I + cos(7tsin 2x) <=> cos ( ticos ’ x ) = cos(7tsin 2x) o t : cos " x = ±7rsin 2x + k27t

o cos"x = ±sin 2x + 2k <=> cos2x ± 2sin 2x = 4k - 1 (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chi khi (4k - 1)" < ] ' + !'<=> ^ < k < => k = 0 e

Khi đó phương trình (*) trờ thành cos2x ± 2sin 2x = - I <=> 2cos' X ± 4sin xcosx = 0

cosx = 0

1 ^tan X = ± —

Vậy phương trình có nghiệm là | x = - + k7T,±a + kn,k e z ,ta n a = —I

Ví dụ 2 Tim tất cả các nghiệm nguycn của phương trình: cosỊ^—Ịsx - V9x“ +160x + 800 j

Vậy có hai nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán là Ịx = -7 ,x = -31}

<=> i

3 x - 1 6 k > 09x = 2 4 k - 4 0 - - 25

3k + 5

L ờ i ưiải:

Phương trinh tương đương với cosf í 1 ^ \

/7t X" + 2x - — ^sin ÍT ix") c=>cos

, k e Z

x = k

X =

1 ± y/Ãk + 3 ^ x > 0=>'i =i>k = 0=:> x„.„ = —^ > 0

Vậy nghiệm của phương trình là X =

k e Z

V3-Ví dụ 4 Tìm nghiệm X thuộc đoạn [0;I4] thoả mãn phương trình cos3x - 4cos2x+ 3cosx- 4 = 0

Lừi siải:

Phương trinh tương đương với 4cos^ X -3 c o s x -4 (co s2x + 1) + 3cosx = 0

o 4cos’ X - 8cos' x = 0<=> cosx = 0 <=> X = — + kri, k e Z ;0 < x < 1 4 = :> 0 < — + k7 i< I4 = :i> ke {0 ,1,2,3}

^ Íti 3ti 5rt 77tìVậy có 4 nghiệm thoa mãn yêu câu bài toán la X e < —;— — ■ >

B ài tâp rèn lu yên

Bài 1 Tìm tât cả các nghiệm thuộc đoạn [-l,10Jcủa phương trinh: sin xcos—+ cosxsin —= —

Bài 2 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trinh: cos^Ttx*) = cosỊ7t(x + 1)^) ■

Bài 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên cùa phương trình: cosỊ^— |3x - y j 9 x ' + 8 0 x - 4 o j

Bài 4 Giải phưoTig trình; V - x ” + 3 x ^ - 2 sin ^7t(l 6x‘ + 2x) j = 0.

= 1

cos3x+sin3x

Bài 5 Tìm các nghiêm thuôc đoan fO;27il của phương trình: 5 sin X +

> Vấn đề 2 Đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Phương trình có dạng: Asin X + Bcosx = C ,(A ‘ + > o Ị

Phưong trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm o

Phương trinh trờ thành: sin (x + a ) = sin p <=>

Các công thức cần vận dụng

_ B _ _+ B- AVÃ~- + B-’

x ± — | = 2cos 6

sin'* X f cos'*x = 1 - — sin" 2x

Hưó'ng 1: Nhóm các nhân tử cùng cung lượng giác vói nhau.

Hưó’ng 2: Chia hai vế phương trình cho 2 nhóm về các công thức lượng giác.

Hưó’ng 3: Chuyển vế bình phương hai vế, đưa về phương trình đa thức vói một hàm số lượng giác (vói

cách này tránh khẳc phục hạn chế các nghiệm đặt không tường minh)

Hưó’ng 4: Phương trinh dạng asin X + bcosy+c = 0 vói x,y là các cung lượng giác khác nhau các em nên lưu ý tim ra mối liên hệ giữa x y và đật ẩn phụ để giải

Vi dụ 1 Giải phương trinh V 2 C O S X = sinx-cosx 4 1.

Lời íỉicìỉ:

Phương trình đã cho tương đương với Ịl 4 V2Ịcosx = sin X + 1

(3f 2V2 )(1 - sin" X) = sin’ X 4-2sin X 4 1 / rr\ ^

r-' <=> ^4 42V2 jsin-X + 2sin X - 2 - 2V2 = 0 <=>

[cosx> 0

smx smx =

-V ỉ

Thử lại vói sin X = - I thoả mãn <=> X = + k l n

2

1 hử lai vói sin X -7= sin X “ cos X - - 7 = r o X =: — + k2Tc.

Vậy phưong trình đã cho có nghiêm là X G Ị - - + k27i; —+ k27i:;k e z |

Ví dụ 2 (A, A l/2012) Giải phương trinh ^/3 sin 2x + cos2x = 2cosx - 1.

Vậy phưong trình có ba nghiệm là X = < — + kĩi;—- + k27r;k27t,k e

Ví dụ 3 G iải phương trình (l + cosx)(l - 2cosx) = sin x ( l + 2 c o s x )

Lời siải:

Phương trinh tương đưong với: -2cos" X -c o s x + 1 = sin X + sin 2x

o -cos2x - cosx = sin X + sin 2x <=> sin 2x + cos2x + sin X + cosx = 0 cos 2x - — + cos X - —

Vậy phương trình có nghiêm là X = - —+ k27:;x = k — ,k e z

Ví dụ 5 G iải phương trình: cos2x - VI sin 2x - VI sin X - cos X + 4 = 0

Vậy phương trình có nghiệm là: | x = — + k27r,k e z |

Ví dụ 6 Giải phương trình: sin3x - VIcos3x = 2sin2x

3x - — = 71 - 2x + k27i 3

o siii3x + n / 3 c o s 3 x = 2cos4x C > cos 3x - —

Phưong trình tương đương với: \/3 (sin 2x + sin x) + cos2x -c o s x = 2

í s / 3 -— sin 2x + — cos2x , 1 , ' -t- í s / 3 - — sin X — cosx - 1 <=> cos 2 x -—1 ì sin( X -A

cosx - sin 2x = \Í3 ị \ + 2sin X - sin X - 2 sin’ x) <=> cosx - sin 2x = >/3 (cos2x + sin x)

<=> cosx - \Í3 sin X = \/3cos2x + sin 2x o -Ị-cosx sin X =: —-C O S 2 X + —sin 2x

319

So sánh vói điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: X = —— + k e z

Ví dụ 11 Giải phương trình: cos2x - V3 sin 2x - \/3 sin X -c o s x + 4 - 0

Vậy phuơng trình có nghiệm là: | x = —+ k27i, k e z |

Ví dụ 12 Giải phương trình: Ịsin X + V3 cosxjsin3x = 2

L ờ i sìảỉ:

Phương trinh tương đương với: — sin X + ^ c o s x

2 2 sin3x = 1 <=> sin X + — |sin 3x = I l 3,

Do -1 < sin V X + — 3 ) < 1nên phưong trình tương đương vói

- I <sin3x < 1

sin X + ■

3sin3x = 1

Ví dụ 13 Giải phưong trinh: 4(sin‘' X + cos‘'x ) + V3 sin 4x = 3 + (l + tan 2x tan x)sin 4 x

Lời íiiíii:

Điều kiện: cosxcos2x + 0 (*)

Phương trình đã cho tưong đưong vói:

- ls i , v 2x L V ĩsh, 4x - 3 + f

l 6 )

cos

l 6 j

= 0o

Vậy phương trinh có nghiệm là X 6 Ị —+ krr;—+ k27r;-— + k27ĩ,k e z Ị

Vậy phương trình có nghiệm X e | — + kri, k e z |

321

Khi đó phương trinh tương đương vói: 2 sin" X + sin X - 1 = >/3 sin2x + \Ỉ3cosx

0 sin X - V3 cosx = \Í3s'm 2x + cos2x <=> siníX = sin 2x + —

Bài tâp rèn luyên

Bài 1 Giải các phương trinh

1 ^/2 sin X = sin X - cosx - 1

2 \/3 sin 2x = 6sin'X - 4sin X + 2

3 \/2cosx > s in x - c o s x - 1

4 \/3sin 2x > 6sin" X -4 s in X + 2

5 \/3 sin X 4-2cosx - cos2x - 1 = 0

Bài 2 Giải các phương trinh

a) V3cos3x+ sin3x \/2

b) sin X+ sin 2x = >/3(cosx + co s2 x)

c) 3sin5x - 2cos5x = -3

d) cos7xcos5x - %/3 sin 2x = 1 - sin 7xsin 5x

e) sin 3x - V3 cos3x = 2sin 2x

f) sin X + cosxsin 2x + \/3 cos3x = 2(cos4x + sin^ x )

g) V3 cos5x - 2sin3xcos2x - sin X = 0

h) 2cos" X + 2V3 sin xcosx + 1 = 3^sin X + V ỉ c o s x Ị

> vấn đề 3 Phương trình đối xứng với sinx, cosx

a(sin X + cosx) + bsin xcosx + c = 0Phương trình có dạng:

a(sin X -c o s x ) + bsin xcosx + c = 0

Đưa về giải phương trinh với ẩn là t.

Ví dụ 1 Giải phương trinh 1 + siir’ X +cos’ x = —sin2x.

L ờ i í ỉ u i i :

Phương trình tương đương vói 1 f (sin X + cosx) - 3 sin xcosx(sin X + cosx) = 3sin X cosx

t^ -1Đặt t = sinx + cosxe -^/2;^A2 J => sin xcosx = ■

V 2 ,Khi đó phương trình trở thành 1 + t ’ - 3

Bài tâp rèn luyén

Bài 1 G iải phương trinh: sin X - cosX + 7sin 2x = I

Bài 2 Giải phương trình: Ịl + V2Ị(sin X -c o s x ) + 2sin xcosx = 1 + ^/ỉ.

Bài 3 Giải phương trình: sin 2 \ + y /ĩ sin X - — j = 1.

Bài 4 Giải phương trình: sin3x -cos3x + 2(sin X + cosx) = I

1

Bài 5 Giải phương trinh: 2 + (2 + sin 2 x)í ——

Vsin >X cosx• + tan X + cot X h= 0.

Bài 6 Giải phương trình: sin^ X + cos’ x + sin X -t cosx = 2 Í^ + 72

323

3Bài 7 Giải phương trinh: 1 + sin^ X + c o s \ = —sin 2x

sin xcos^x + cosxsin' X + V2(sin X + COSX - sin 2x) - y ỊĨ

sin X + cos X - sin X cos X

Bài 8 Giải phưoTig trinh:

Bài 9 Giải phương trình: (l + V2Ị(sin X -c o s x ) + 2sin xcosx = 1 + V2

= 0

Bài lO.Giải phương trinh: sin 2x + \/2sin X 1

Bài 11.Giải phương trình: Ịsin x -c o s x Ị + 4sin 2x = 1.

Bài 12 Giải phương trinh: 5(l - sin 2 x )-1 6 (s in X -c o s x ) + 3 = 0

Bài 13 Giải phương trình: (sin X + cosx - l)Ị2(sin^ X + c o s \) 2sin2x

Bài 14 G iải phương trình: 2(sin^ X + c o s \) -(s in X 4- cosx) + sin 2x = 0

Bài 15 G iải phương trinh: 2(sin’ X + C0S'\) + sin 2x(sin X + cosx) = 2V2

Bài 16 Giải phương trình: (sin X + cosx - l)(2 sin 2 x +1) = (sin X + cosx)(2sin 2x - 1)

> Vấn đề 4 Phương trình kết hợp tanx, cotx, sinx, cosx

Thông thường quy đồng nhóm thành nhân tử chung

Ví dụ 1 Giải phương trình, , cosx - s in “ X +1

sin X = 2tan — - X

Lời giái:

Điều kiện: sinx?i0;cos 3n■- X

, , , cos X + cos“ X _ cos X + cos" X _ cos X

Phưong trình tương đương với: - - = 2cotx <=> - : - =

cos X = 0 cosx = 1

Phương trinh đã cho tương đương với 2

<=> (sin x + cosx - sin X cosx)

sin X

+ I - sin X + 3vcosx

cosx

^ sin X+1 -c o s x = 0

cosx sinx = 0 o tan X = - ^ 2 = tan a <=>

sin X + cosx - sin xcosx = 0

X = - a + k7i

X = —± a + k 2 7 i 4

Đặt sinx + cosx = t => sinx.cosx -!- <=> !- = 0

Ví dụ 3 G iải phương trình: 3(cotx - cosx) - 5(tan X -s in x) = 2

Lời siải: Phương trinh tương đương với: 3 cosx

sm X+1 -c o s x ■-5

y

sin XVcosx +1 - sin X = 0

cosx + sinx -co sx.sin x = 0

Ví dụ 5 Giải phương trình: cot X - tan X = sin X + cos X

Lời siải: Điều kiện: sin X cos X 0 Khi đó phương trình tương đương vói:

— -—— sin X + cosx <=> (sin X + cosx)(sin X -c o s x + sin xco sxj = 0

Ví dụ 6 Giải phương trình: 3{tan X + cot x) = 2(2 + sin 2 x )

Lời siải: Điều kiện: sin xcosx ^ 0 Khi đó phương trình tương đương với:

( cin V' nc\c V A 3^sin*' X "I" cos” x^

vcosx sinx

+ —— | = 2(2 + s in 2 x ) o

-sin xcosx 2(2 + sin2x)

<=> — = 2(2 + sin 2x) o sin’ 2x + 2sin 2x - 3 = 0 o (siii2x - l)(sin 2x + 3) = 0 => sin 2x -1 = 0 thoả

<=> -^ - - 1- tan X = v3 + - <=> tan X = v3 o X = — + kn, k G z sin’ x + cos’ x rr 2 n n , ,

sm xcosx

Ví dụ 8 Giải phương trinh: 3 — 1 — 1 -V— “ ' 2 = 2V3 (tan X - cot x ) 1 ^

l^sin X cos xJ Lời siải:

Điều kiện: sin X cos X 0

Khi đó phương trinh tương đương với: 3(1 + tan’ X + I + co t’ x) - 12 = 2V3 (tan X - c o t x)

Cí> 3(tan’ X + cot’ X - 2 ) - 2 V 3 (tan X -c o t x) = 0

<=> 3(tan X -c o t x )‘ - 2>/3 (tan X -c o t x) = 0 o (tan X -c o tx )Ị3 (ta n X - c o tx ) - 2 N /3 j = 0

Bài 1 G iải phương trình: 4sin’ X + 3tan’ X = 1.

Bài 2 Giải phương trình: 1 + tan X = 2^/2 sin X

Bài 3 G íải phương trình: 1 + 3sin 2x = 2 tan X

Bài 4 Giải phương trình: tan’ x (l -sin^ x) + c o s \ -1 = 0

tan X

tan X = - 1

V ỉ

X = — + k7i3

X = — + k7i 6

Bài 6 Giải phương trình: sin 2x - 2cos" X + 4(sin X - cosx + tan X - 1) = 0

Bài 7 Giải phưong trình: cot'* X == cos'2x + I

Bài 8 Giải phương trình: sin" X tan X + cos'xcot X - sin 2x = 1 + cot X + tan X

1 - ta n x ,

Bài 9 Giải phương trình: -= I + sin 2x

1 + tan X3(sin X + tan x)

Bài 10 G iải phương trình; - — - ^ -2 c o s x = 2

tan X -sin X

Bài 11 Giải phương trình: (tan X -c o t X + 2 tan 2 x )(l + cos3x) = 4sin3x

1 + cos X

Bài 5 Giải phương trình: 2 sin X + cot X = 2sin 2x + 1

Bài 12 Giải phương trình: tan" X =

Bài 13 Giải phương trinh: tan" X =

Bài 16 Giải phương trình: tan 2x + cot X = 8cos" X

Bài 17 Giải phương trình: tan X = cot X + 2cot^ 2x

Bài 18 Giải phương trình: tan X + cot X = 2(sin2x + cos2x)

Bài 19 Giải phương trinh: cot X = tan X + 2 tan 2x

Bài 20 Giải phương trình: 6tanx + 5cot3x = taii2x

Bài 21 Giải phương trinh: 2(cot 2x - C0t3x) = tan 2x + cot 3x

2

Bài 22 Giải phương trình: 3 tan3x + cot 2x = 2 tan X + —

Bài 23 Giải phưong trình: 2 tan X + cot 2x = 2sin2x + —

sin 4x 1sin 2x

Bài 24 Giải phương trinh: c o tx -1 = n/2 (tan X + cot x)(cos X - sin x )

Bài 25 Giải phương trình: 2 + tan X

Bài 26 Giải phương trình: 3 tan" X +

sinl 3x + —

4

cos X + —7t

43(tan X +1)

vấn đề 5 Biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

1Các công thức biến đổi: sin‘' X + cos‘*x = 1 - —sin’ 2x; sin'’ X + cos^x = 1 - —sin" 2x

- 2tanx ^ l- t a n " x

sin 2x = — - - - ;cos2x - -— —

1 + tan X 1 + tan X

Thưòng găp các phương trình dang:

asin" X + bsin xcosx + ccos" X + d = 0

Hoặc asin^ X + bsin" xcosx + csin xcos^ X + dcos’ X + (msin X + n cosx) = 0

Phươns pháp siải:

(i) Xét trường hợp cosx = 0 có phải là nghiệm cùa phương trinh hay không.

(ii) Xét trường hợp cosx 0, khi đó chia cả hai vế cùa phương trinh thứ nhất và thứ hai lần lượt cho cos" X và cos^ X Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là tan X

Ci> I -cos4xcoss6x := s in ^ -^ s in — <=> 1 - —(coslOx + cos2x) = —(cosx -coslO x)

<n> cos2x + COSX - 2 - 0 <=> 2cos" X + COSX - 3 = 0 o (cosx - l)(2 co sx + 3) = 0

o cos X = 1 o X = k27i, k e z

Ví dụ 3 Giải phương trinh; 5sin X - 2 := 3(1-s in x)tan’ X.

L ờ i siảỉ:

Điều kiện cosx 0.

Khi đó phương trình tương đương với 5sin X - 2 = 3(l - sin x)tan^ X

• \S iir x - -s t /, X sin'x ^ 3sin^x

<=> 5sin X - 2 = 3(1 - sin X ) ■■■ - ■; o 5sin X - 2 = 3(1 - sin x )— — Ị— 5sin X - 2:

Nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét cos X ^ 0, khi đó chia cả hai vế của phương trình cho cos^ X ta được phương trình:

4 tan’ X + 3- 3 tan x (l + tan’ x ) - tan’ X = 0 o tan’ X - tan’ x -3 ta n x + 3 = 0

Phương trình tương đương với; 2sin’ xcosx + 3sin X -4 s in ’ X - 6cos’ X = 0

Nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phưoTig trình.

Xét cos X 0, khi đó chia hai vế cùa phương trình cho cos’ x ta được phương trình

2 tan’ X + 3 tan X( I + tan’ x) - 4 tan’ X - 6 = 0 o tan’ X - 2 tan’ X - 3 tan X + 6 = 0

B à i tâp rèn lu yê n

Bài 1 G iải phương trinh: c o s \ -4sin^ X - 3cosxsin' X + sin X - 0

Bài 2 Giải phương trình: siiv^ X ì + 3sin’ í X + —" ì

l 6 j k 3 j = cos

X f sin 2x

Bài 3 Giải phương trình : = cos2x

2 c o s x -s in xBài 4 Giải phương trình: sin xcos2x = 6cosx(l + 2cos2 x)

2ícos’ x + 2sin’ X1

Bài 5 Giải phương trinh: — - - = sin 2x

2sinx + 3cosxBài 6 Giải phương trình: sin X + cosx - 4 s iir X = 0

Bài 7 Giải phương trinh: sin" x(tan X + l) = 3sin x(cosx -s in x) + 3

Bài 8 Giải phương trinh: y /ls u r X + —

4y : 2 s i n X ScosN X + - -cos3x

Bài 9 Giải phương trình; - - = 0

Bài 11 G iải phương trinh: 6sin X - 2cos’ X =

Bài 12 Giải phương trình:

5sin4xcosx2cos2xsin I 3x + ^ j r cosí - 3x

/cos 2x - - : -1- sin 2x + 7Ĩ

= sin X + V3 cosx

^ vấn đề 6 SỪ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC

Khi bài toán xuất hiện các đại lượng sin x,cos’ x,sin’ x,cos’ x hoặc

sin‘' x.cos^^x.sin'’ x,cos'’x, ,sin’ '’ x.cos’ "x ta dùng chú ý đến công thức hạ bậc như sau:

sin'’ X + cos‘‘x = 1 - - ị s i i r 2x

2

sin’’ X + cos'’x = 1 - — sin’ 2x

4

Ví dụ 1 Giải phương trinh sin'* X + cos^x =cos4x

1 -cos2x 1 + cos2x

= 2cos’ 2x - 1

L('ri íỉiải:

Phương trình đã cho tương đương với:

o _ 2cos‘ 2x - 1 <=> cos’ 2x - 1 = 0 o cos2x = ±1 o sin 2x=0<=>x = k — k e Z

<=> — + (sin X - c o s x ) ( l +sin xcosx) - —^ - - (*)

Dấn đây ta đặt t = sin X -c o s x G -sỊ2\\Ỉ2 => sin xcosx =

4

331

1.3 4(sin'' X + cos‘* x) - 3 = sin2x +cos2x

1.4 ó^sin'* X + cos‘'x ) + 4(sin^ X + cos*x) = 3 - cos4x

1.5 sin* X+ c o s \ = 2(sin'“ X + cos'°x)+ —cos2x Đ/s: x = —+ — , k e Z

1.6 sin^ X+ cos'’x = 2(sin* X+ cos*x)

1.7 4(sin‘'X + cos‘‘x) + ^/3 sin4x = 2

7t 1 9

1.11 sin* X -f cos*x = •— cos’ 2x

161.12 sin‘'x + sin‘'Ị^x + —^ + sin‘'Ị^x J = —

1.13 sin' 3x -cos^4x = sin' 5x -c o s '6 x

31.14 sin'X + sin^ 2x + sin '3 x =

a + b a - b cosa - cos b = -2 sin —:— sin —:—

Lưu ý :Các thừa số ch u m

+) 1 + sin2x;cos2x;l + tan x ;l+ c o t X có thừa số chung là sinx + cosx

+) 1-s in 2 x ;c o s 2 x ;l-ta n x ;l- c o tx có thừa số chung là s in x -c o s x

+) sin' x,tan' X có thừa số chung là (1 - c o s x )( l + cosx)

+) cos'x,cot'x có thừa số chung là ( l- s in x ) ( l+ s in x )

Hay biến đổi

siir’ X = sin x.sin" X = sin x(l -c o s 'x ) = sin x (l -c o s x )(l + cosx)

cos^x = cosx.cos"x = cosx(l - sin" x) = cosx(l - sin x )(l + sin x)

để có các nhân tử chung 1 ± cos X hoặc 1 ± sin X

Một dạng hay được cho khi biến đổi về tích sổ

Thông thường loại toán này có dạng: (a + bsin x ).f (cosx) + f (sin x) = 0

Ta phân tích được f (sin x) = (a + bsin x)g(sin x)

Khi đó phương trình trở thành:

(a + bsin x ) ( f (cosx) + gisin x )) = 0 o X / X

Ví dụ: Giải phương trình 9 sin X + 6cosx(l - sin x ) - 2 sin" X - 7 = 0

o 6cosx(l - sin x) + (-2 s in " X + 9sin X - v ) = 0 o 6 cosx(l - sin x) + (1 - sin x ) (- 7 + 2sin x) == 0

(1-s in x)(6cosx + 2sin X - 7) = 0 <» <=>x = —+ k27t

[ócosx + 2 s in x - 7 = 0 (vô nghiệm) 2

Lưu ý; Nhóm các số hạng với nhau dùng công thức cộng, trừ lượng giác

Ví dụ 1 G iải phương trinh; sin X + sin 2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

Lời 2Ìải:

Phương trình tưong đương với: (sin X + sin 3x) + sin 2x = (cosx + cos3x) + cos2x

o 2sin2xcosx + sin 2x = 2cos2xcosx + cos2x <=> sin 2x(2cosx + l) = cos2x(2cosx + 1)

<=> (2cosx + l)(sin 2x -c o s 2 x ) = 0 o cos2x = -4-2 o

Vậy phưotig trình có nghiệm là: X = | ± — + k27i;—+ k —,k 6 z |

Ví dụ 2 Giái phưong trình; 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

c o s X = 0 o5x

c o s — = 0 2

X = 7t + k l n

x = -^ + k7i , k e Z 2

1cos X = —

Phương trình tương đương với; (cosl Ox - cosóx) + (l -cos8x) = 0 Ci> -2sin 8xsin 2x + 2sinM x = 0

<=> - 4 sin 4xsin 2x(cos4x - cos2x) = 0 Cí> sin 4xsin 2xsin 3xsin X = 0 o

sin 3x = 0 sin 4x = 0<=>

x = k - 3

k e z

x = k7T

Ví dụ 6 G iải phương trình: 1 + sin X + cos3x = cosx + sin 2x + cos2x

Lời siải:

Phương trình tương đương với: (l -c o s 2 x ) + (cos3x -c o s x ) + (sin X - sin 2x) = 0

o 2sin’ X -2 s in 2xsin X + sin x ( l -2 c o s x ) = 0 o sin X(2 sin X -2 s in 2x + 1 -2 c o s x ) = 0

o s in x (l -2 c o s x )(l - 2sinx) = 0 o

sin X = 0cosx =" — <=>

(2sin X t l)(2sin 2x + 1) = (2sin X - l)(2sin X f l) <i> (2sin X - l)(sin 2x - sin x) = 0

<=> sin x(2sin X - l)(2 co sx - l) = 0 o

sin X = 0sinx = — <=>

2cosx = -1

Ví dụ 8.G iải phương trình: (c o s x -s in x)cosxsin X = cosxcos2x

Lờìiiiái: Phương trình tương đương với: (cosx -s in x)cosxsin X = cosx(cos"x -s in " x)

<=> cosx(cosx - sin x)(sin X -(c o s x + sin x )) = 0

<=> -cos"x(cosx - sin x) = 0 Cí> cosx = 0 <=>

X = — + kn

4

, k e Z

Ví dụ 9 Giải phương trinh (1 + sin 2x)(cosx - sin x) = 1 - 2sin" X ,

Lò/ iỉiảì: Phương trinh tương đương vói: (sin X + cosx)" (cosx - sin x) = cos2x

o cos2x(sin X + cosx) = cos2x o cos2x(sin X + cosx - 1) = 0

<=> cos2x = 0

sin X 4 cosx - 1 = 0

cos2x = 0/cosV7T ì 1 <=>

Ví dụ 1 0 Giải phương trình: (2 sin X + l)(3cos4x + 2sin X - 4) + 4cos" X = 3

Lời ỉỉiả i: o (2 sin X + l)(3cos4x + 2 sin X - 4) + 4(1 - sin" x) - 3 = 0

o (2sin X + l)(3cos4x + 2 sin X - 4 ) + (1+ 2sin x ) (l - 2 sin x) = 0

0 ( 1 + 2sin x)(3cos4x - 3 ) = 0 o I + 2sin X = 0

0 (1+ cosx)(cosx + sin X - sin xcosx) = 0 <=> cosx = - 1

cos X + s inx - s inx.cos X = 0 X = — + a •+ k 2 7 t

4

335

Ví dụ 12 Giải phương trình sin Í 2 X - Ì Ì = siníX - —

<=> cos2x -3(1 + sin 2x) + 5(sin X + cosx) = 0

<=> (sinx + cosx)(cosx - s in x )-3 (s in x + C0SX)" + 5(sinx + cosx) = 0

<=> (sin X + cosx)(5 -3 (s in X + cosx) + (cosx - sin x)) = 0

o (sin X + cosx)(4sin X + 2cosx - 5) = 0 <=> sin X + C0SX = 0 <=> tan X = -1 <=> X =

tan ■ X + tan X sỊĨ

- —+ kn 4

Ví dụ 14 Giải phương trình: - ĩ— -= -— sin x + —

tan"x + l 2 I 4

Lời siải:

Điều kiện cosx ^ 0

Khi đó phương trình tương đương với

COS" x(tan" X + tan x) = —(sin X + cosx) <=> sin‘ X + cosxsin X = —(sin X + cosx)

<=> sin X (sin X + cosx) = —(sin X + cosx) o (sin X + cosx) sin X - — 1 = 0

(sin 3x + sin x) + sin 2x = (1 + cos2x) + cosx <=> 2sin 2xcosx + sin 2x = 2cos” X + cosx

<=> sin 2x(2cosx + 1) = cosx(2cosx + I) o cosx(2cosx f- l)(2sin X - l) = 0

Plnronu trình tưonu đươnu vói 9sin X t 6cosx 6sin xcosx 4 I 2sin ' X 8

<-> 9sin X r 6cosx(l sin x) 2sin" X - 7 0 Cr> 6cosx(l - sin x) + ( l- s in x)(2sin X 7) 0

o (1 - sin x)(6cosx 4 2sin X - 7) = 0 c> (1 - sin x) = 0 o X = — + k2n

pVí dụ 17 Giãi phưoim trình: sin X 4- sin 2x 4 sin 3x = cosX 4 cos2x 4 cos3x

Lòi iỉiiìì:

Phu'0'níi trinh tưong dương VÓT (sin X 4 sin 3x) -4 sin 2x = (cos X 4 cos3x) 4 cos2x

o 2sin 2xcosx 4 sin 2 x -■ 2cos2xcosx 4 cos2x o sin 2x(2cosx 4 1) = cos2x(2cosx t l)

o (2cosx 4 l)(sin 2x cos2x) 0 <■> cos2x = - 2 <>

sin 2x - cos2x

2tt ,

X 4-7 JL 4 k 2 7 t 3

Phương trỉnli tirơng đương vó'i: 2sin’’ X - (l - 2sin~ x) 4 cosx = 0 Cí> 2sin“ x (l 4 sin x )- ( 1 -c o s x ) = 0

o 2(1 - cos x)( 1 4 cosx)( 1 4 sin x) - (1 - cos x) = 0 <=>(!- c«sx)(2 (l 4 cos x )(l - sin x) l) - 0

<=> (I -c o s x )(l 4 2sin xcơsx 4 2(sin X 4 cơsx)) = 0

c> (l -cư sx )Ị(sin X I cos\Ỵ i 2 (sin X 4 cosx) j -■ 0 c> (1 - cosx)(sin X 4- cosx)(sin X 4 cos X 4 2) - 0

c> 2(1 - s in x ) ( l + sin x )(l + c o s x ) - ( l - s in x ) = 0 o (l - sin x )(2 (l +sin x )(l + c o s x )- 1] = 0

<-^ (1 sin x )(l + 2sin xcosx -t 2sin X + 2cos x) = 0 Cí> (I - sin x)(sin X + cosx)(sin x f cosx + 2) = 0

c> 1 - sin X = 0

sin X + cosx = 0<=>

sin X = 1 tan X = - 1o

X = -(7 + k27i 2_ ^ I _

X - + K7I4

t ) Xét cosx(3 - 4sin’ x) - cos2xsin X + 2cos’ X <=> cosx(3 - 4 sin’ X - 2cos’ x) = cos2xsin X

<í> cosxcos2x = cos2xsin X <=> cos2x(sin X - cosx) = 0 , đối chiếu với điều kiện thì phươna trinh nàytươna đương với: sin X - cosX = 0 <=> tan X = 1 <=> x = — + k rt

Vậy phương trình có nghiệm là: | x = — + kri, kn.k G z |

Ví dụ 21 Giãi phương trình: 2 sin 3 x - ^— = 2cos3x-t ^—

L ờ i í ỉ i í ỉ i :

Điều kiện: sinxcosx;Ế0

IKhi đó phương trinh tương đương vói: 2(sin 3x -cos3x) = - h ■

X = + k7I12

_ 7 ti

X = — + kTT 12

Vậv phương trình có nghiệm là: <! X =: — + k— , — ~ + k 7 T , ~ + k T i k e z

Ví dụ 22 Giái phương trình: cos■ X (cosx - 1)

L ờ i í ỉ i ả i :

Điều kiện: sin x + cos X 0 Khi đó phương trình tương đương vói

(1 - sin x ) (l + sin x)(cosx - l) = 2(sin X + cosx)(l + sin x)

<-> (1 + sin x)(sin X + cosx -t sin xcosx + l) = 0

<=> ^/2 COS' X + cos X - \/2 = 0 2cos' X + 3cosx - 2 = 0

Phương trình tương đương vói

2 \/2 (c o s x -s in x)(sin X + c o s x )- — sin 2x(sin x + cosx) - 2V2 (sin X + cosx) = 0

<=> (sin X + cosx)(4(cosx - sin x ) - s i ii 2 x - 4 ) = 0

339

7'a có 4(cosx sin x) - sin 2x - 4 - 4(cosx - sin x) -2 s in xcosx - 5 + siir’ X + COS' X

= (cos X - sin x )“ + 4(cos X - sin x) - 5 = (cos X - sin X - l)(cos X - sin X + 5)

Vậy phương trình tưong đưong vói (cosx + sin x)(cosx - sin X - l)(cosx - sin X + 5) = 0

o cosx + sin X - 0

cosx -s in X

tan X = -1sin X n/2 « •

X = - —• + kn4

X = —+ k27i,k gZ

X - 71 + k27i

Vậy phưong trinh có nghiệm là X G <Ị - —+ kri:; —+ k27r;7ĩ: + k27t,k e 7L

Ví dụ 25 Giãi phưong trình 2 s iir x(sin X + cosx) = 'J l sin 2 x -í-sin 4x

Lòi giải:

Phưong trình tương đương vói: 2 s iir x(sin X + cosx) = V2 sin 2x - ^ ^ 2 s in 2xcos2x

<=> 2 s iir x(sin X + cosx) = V2 sin 2 x (l -c o s 2 x )

2 s iir x(sin X + cosx) = 2\Í2 s iir xsin 2x o s iir xỊsin X + cosx - \ í ĩ sin 2x j = 0

Bài tâp rèn lu yé n

Bài 1 G iải phương trinh : c o s \ + sin’ X = sin X - cos X

Bài 2 Giải phương trình: cos' X 4- sin' X = sin 2x + sin X 4 cosx

Bài 3 Giải phương trình: cos’ X + cos‘ x 4 2sin X - 2 = 0

Bài 4 Giải phương trình: sin X 4 s iir X + cos’ x = 0

Bài 5 Giải phương trình: cos’ X -4 s in xcosx = 0

Bài 6 G iái phương trinh: 2siiv X - sin X = 2cos’ X -c o s x + Cơs2x

Bài 7 Giải phương trinh: 4cos’ X 4- 3V2 sin 2x - 8cos X

Bài 8 Giải phương trình: sin X -t sin’ X + sin ’ X + sin’ X = cos X 4 cos’ x t- cos’ x + cos’ x