Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t1

LỜI NÓI ĐẦUCác em học sinh thân m êhỉ Để g iú p các om học sinh cũng như quý thầy cô giáo có lài liệu hộ thôhg đẩy đú kiêh thức cần nắm vững kèm đề thi mẫu để rèn luyện nâng cao kỹ năng

o m

ĐẶNG TH ÀN H NAM

T À I T I Ệ U Ô»T T l l l

THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TỪ NĂM 2015

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Bản quyền thuộc Công ty TNHH Sách Sư Phạm

M ã S Ố 1 L -1 4 0 Đ H 2 0 1 5

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân m êhỉ

Để g iú p các om học sinh cũng như quý thầy cô giáo có lài liệu hộ thôhg đẩy đú kiêh thức cần nắm vững kèm đề thi mẫu để rèn luyện nâng cao kỹ năng làm bài cũng như phản xạ yới các câu hỏi khó chuẩn bị tốt nhâì cho kỳ thi l ’H P 'r Quốc Gia tác giả

đã viê't cuốn "Tài liệu ôn thi TH PT Quô'c G ia m ôn T oán từ năm 2015" Nội dung cuốn

sách gồm 2 nội dung chính: N ội dung thứ nhâ't để cập đến 12 chuyên dê' kiến thức kèm phương pháp giải với đầy đủ ví dụ và phương pháp giái nhanh, hiệu quà đi song song là hệ thống bài tập ròn luyện có đáp số để học sinh tiện đối chiếu kê't quả Nội dung thứ 2 gồm 38 đề thi thử để học sinh rèn luyện kèm đáp án chi tiết

Cụ thế cuốn sách chia làm bốn chương

C H Ư Ơ N G 1 Đ Ạ I SỐ V Ả Ĩ.Ư Ợ NG G IẤ C

C H Ư Ơ N G 2 G IẢ I T ÍC H

C H Ư Ơ N G 3 H ÌN H H Ọ C

C H Ư Ơ N G 4 ĐỂ T H I T H Ử Q UỐC G IA V À DẤP Á N

Mặc dù râ't cố gắng nhưng chắc chắn cuốn sách sẽ khó tránh khói các thicli sót

Vì vậy rât mong nhận được những ý kiến phán hổi cũng như đóng góp dô cuốn sách hoàn thiện hơn

M ọi góp ý xin gửi theo hòm thư điện tử: dangnamneu@ gmail.com

Hà Nội, n^àỵ 15 thán<ị 1 năm 2015

Tác g iả

Đ Ă N G T H Ả N H N A M

Loại IU : n/a ± Vb 7c ị J d .

Sử dụng phép cluiyển vế bình phương (ưu tiên khử phần chung trong các căn thức và đưa được về hai

vế không âm) đưa về định lý CO' bản

Chú ý: Uu tiên phép khử căn đưa về phương trình đa thức bậc 4 trờ xuống Có nghiệm đẹp bậc 5, 6 có

Cách 2: Phương trình tương đương với: ị^síỸK - I - I j + X'’ - 3x + 2 = 0

Bài tâp tươnợ tư

Ví dụ Giải phương trinh \Tx - \ + x ’ - 4x - 1 = 0 Đáp số: X = 2

Nếu binh phương sẽ đưa về phưong trinh: x'’ - Sx'* - 2x' t 16 x’ 4 7x + 2 - 0

Vậy phương trinh có nghiệm dưy nhất X .

Bài tâp tương tư

<-> 27x' + 162x’ f2 7 x - = 0 c > 2 7 x '’ (x - +6x + l)=:0c:>

x = 0

x = -3 -2 x /2

X = -3 +■ 2V2

Thứ lại chí nhận hai nghiệm X -3 - 2s/2\ \ = -3 + 2^/2 .

Bài tảo tương tư

Bài tâo tương tư

Giài phương trinh \/2x + I I : v ^x - \/lOx + 24 Đáp sổ; x = 4

-3 x + 4x -1

<> 2x - 3 ^ 0 <-> /3 - 2x- 2x'’ ( 6x 5 - 0 /3 '2 x ^ 2 x’ - 6x t 5

I XNhẩm được nghiệm x,| - 1 nên ta cứ binh phương phương trình một cách bình thường

Í 2 x - - 6 x + 5 > 0 Í 2 x - - 6 x + 5 > 0

<r><^ • > / , , < r > x - l [ 4x' - 24x' + 58x- - 60x + 22 - 0 [(x - 1) (4 x“ - 16x + 22) - 0

Dối chiếu thấy nghiệm thoả mãn Vậy phưong trinh có nghiệm duy nhất X = I

c/íú ự Ta có thể quy đồng rút gọn ngay đưa về phương trình: (2x - 3 )x Í3 - 2 x' = 2x" - lOx r 7.

Thực hiện binh phương hai vế ta có kết quả tương tự

Ví du 6 Giải phương irinh -= 2x 3

Chi/ ý Đc giải phưong trinh đa thức trên chứ ý làm nhanh như sau: í o J ì2x f - -

Bài tâp tương tư

Gicái các phưong trình sau

1) \/4x + 15 l 2 \ - i l 4 D á p s ố : > l i^ v r í + J l6 f 27ĩ3

2) J 3 \ - - + 6 - 1 = - — + 5 Dáp số: X = 1 + n/2Ị_± x/30 ■+■ 2721

4

Lời íỉiải:

Điều kiện: X > 0 Phương trinh tương đương với: ^ 2 ^ x ’ •- X + l )

Ví dụ 8 Giải phưoim trinh X J \ ■=]- ^ 2 ( x ’ -■ X t l)

Vậy phương trinh có nghiệm duy nhât X - - — - - .

Ví dụ 9 Giải phương trình - X + 2 ■yílx" (- 4x = X - 2

L<yì íỉìdi:

Diều kiện: X > 0 hơặc x < 2

Phương trình đă cho tương đương vói: 2 ^ \ ' - X + 2 - (x - 2) + \/2x + 4x

Binh phương 2 vế ta được: (x 2)' - 2(x • 2)\/2x" + 4x

X ^2Ị> ^^2 o x = 2

| ( x - 2 ) ' -4 (2 x -' + 4x)Vậy phương trình có ngliiệm duy nhất X = 2

Nhận thấy X - không ihoả mãn phương trinh

Phương trình tương đương vói: 5 \ ls \ ' - 3x - 1 - X + 2 \l3 \ + 1

Đối chiếu điều kiện hai nghiệm đều thoả mãn

Vậy phirong trinh có hai nghiệm là X = l;x = ■

29(^/229'15 - 8 7 )7688

=0

4(x 4 2) = 3>/x"

-X = ± 1

3 n / 5 7 - 3 2

Vậy phương trình có ba nghiệm là X- l ; x - h x - ì S i -2 1

Ví dụ 12 Giải phương trình X 4 v/x ■ - 3 - yỊlx' - 1 4 v/2x’ 4

Lời íỉiâì:

Điều kiện: Phương trình tương đương với: \ - \ f l \ ' - 7 - \ l l \ ' - 4 - \ f x ' - 3 .

Binh phương hai vế của phương trình ta được:

x ' - 2xa/2x' - 7 4 2 x' - 7 - 2x- - 4 - l Ặ l x - - 4) ( x' - 3] 4 X" - 3

o X = 2 (thoả m ã n )

, - I - íx > 0

« - 4 )(x -' - 3 ) « - 4 ) ( x ^ - 3)

Vậy phương trinlt đã cho có nghiệm duy nhất X = 2

Ví dụ 13 Giải phương trình Ậ x ~\)[2x ị 7) ị yj3[x ])[x - 6) = Ậ x l)(7x 4 1)

X <

-2

Nhận thấy X = I là nghiệm của phương trinh.

Nếu X > 6 phương trình Urong đương vói: s j 2 \ f 7 + ^ 3 ( x 6) - s / l\ f 1

Nốii X < — - phương trình lương đươnư vói: + 7) + y j - 3 [ \ - 6) ■y/-(7x + 1)

Giải tương tự trên có kết luận phươnư trình này vô nghiệm

Vậy phương trinh có hai nghiệm là X ^ 1; X = 9

Cách 2: Đăt a = Vl ) x b = \ A^+3x, (a, b>0) Suy ra 4x t I =

Khi đó phương trình trỏ' thành: (a t h) = 2 ^ ^

-o (a + b)" (a ' + b’ ) = 4^3b“ - a") Cí> (a + b)" (a‘ + b") = 2(3a" - b")(3b" - a " )

o (a - b)“ (7a~ f 16ab r 7b") = 0 ct> a = b <=i> \/l + X = ^/ỉ + 3x <=> X = 0

Bài tâp tương tư

Giải các phương trinh

1) ị\[\ 4 2x -t \ỉ\ ^ 4x Ị \ / l t- 3x -■ 2V1 + 6x Dáp số: X = 0

2) Ị\/r~( X t \/ỉt~ 5 x j \ / l + 3 x = 2 V l r6 x Đáp số: x = 0

Ví dụ 14 (ìiái phưong trinh <Jl\ 1 \<f\ố - ị / l x f I

CÍIÚ ý Vì phép thế trên đưa vồ phương trình hộ quả nên cần thừ lại nghiệm, thử lại đều thơả mãn.

Vậy phương trinh có 5 nghiệm là X - 0;x - :4; * ;x L=

Dạng tống quát cùa phương trình trên có dạng: Va 4- Vb V c

Ví dụ 16 Giãi phương trinh 2 ^ [ 2 - x ) [ 5 - x ) - x + Ậ l x ) ( l 0 - x )

Thứ lại chí có duy nhất một nghiệm X - I + V.5 thoà mãn

Vậy phương trinh có nghiệm duy nhất X = 1 + n/s

(vi 4(x^ t x ' 4 x ’ X I 7 ) - ( 2x ’ t X 5)' t 3(x I ])■’ > 0 ) <■> X * (thứ lại thấy thơá mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm là X ±ự5

Phirơng trình đã cho tương đương với: - — - y= - \ l x <-> — 7— -— =: Vx

Bài tâp rèn ỉ uyên

Bài 1 Giải các phương trình

7) Vx 4 7 4 \A x 4-1 = y/sx - 6 4 2V2X - 3 Dáp số: X -

4

8) V x “ - 3 x 4 2 4 yfx'' ~ 4x 4-3 = 2^Jx~ - 5x4-4 Đáp số: X = I 9) Ị V x T Ĩ 4 V3x 4 1 jV 2 x 4 1 = 2V^x 4 1 Đáp số: X = 0

Bài 7 Giải các phương trình

Ví dụ 2 Giải bất phương trinh y ịịx + 3)(x - 8 ) > X + 2

Lời siăi:

Bất phương trinh tương đương vói:

[x + 2 < 0[(x + 3 ) ( x - 8 ) > 0

í x + 2 > 0Ị(x + 3)(x - 8 ) > (x ■+ 2)"

- 5 - / 3 4

-5 f V 3 4 ^ ^ -3 + >/41Kêt hợp với điêii kiện suy ra - < X < - —

, , , , - 5 + 734 -3 + V 4 Ĩ

Vây tâp nghiêm cùa bát phương trình là - — -— < X < - ^—

Bài tâp rèn luvên

Bài 1 Giải các bất phương trinh sau

-3 < X < 0

2 < X < 4

< X <3Bất phương trình tương đương với:

( x - 4 ) ( 2 x + l) 7 ( 3 '- xy ( 3 x - l)

2 x - 5 >0 o

( 3 - x ) ( 3 x - l ) = 0 [ ( 3 - x ) ( 3 x - l ) > 0 ^ ( x - 4 ) ( 2 x + l)

Phương trình tương đương với: y f x - 1 = Ậ \ /x - 8 + 1 j

c=> ỷ/x- 1 = V x - 8 + 1 o u -1 = Vu’ - 7 , Ịu = ỷ /x-ì'j <=> (u - ] ) ’ = u’ - 7 <=> u’ - u’ + 2u - 8 = 0

Ví dụ 6 Giải phương trinh Vx + \fx'' - 1 = 32(x - !)■ V2x - 2

có tối đa môt nghiêm, dễ tìm đươc nghiêm X - — bàng máy tính bỏ túi.

Bài tâp rèn luyén

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) ^/^ + 4 + 2\J\ + 3 - \ỉx + 3 = I Đáp số: X = 6

2) v/x + 2 4 2 \ỉx + \ + y[x^¥ 2 - 2\/x -+ 1 = 3 Đáp sổ: X = —

4

3) ' Ị x - \ lx ' - \ + yfx + yjx~ - \ = -y2Õ<^'^t~í) Đáp sổ: X = 1

4) y[x~ yfx' - 1 + ■\[x^+ yf>c - 1 = 3 Đáp số: X = —

Bài 3 Giải các phương trình sau

Bài 5 Giải các pliưong trinh

1) 2\ J x +J 2x - 1 - ^ 2 ( x - l ) - 2.^(x - 3 ) Đáp số: X - 5

2) \Ị\ + yj2x-x~ +\j\-\Ỉ2x-x^ - ij6x 4 4 Đáp số: x = 2;x = -*-ỉ—

3) -\/2x -2\Ĩ2x- I - 2\/2x 4 3 - 4 \ / 2 x - 1 +3yj2x + 8 -6 \ ỉĩx - 1 = 4 Đáp số: X = I;x = 2;x = 13

* Một số bài toán chon ioc

Bài 1 Giải bất phương trình /x - — 4 — > I 4 /l - —

>1 + 4, X - - < = > 1 + J l - - > , / x - -

Bất phương trinh tương đương với: 1 + 4 y l - — + 4

TH I: Nẻu -1 < x <0=> 1 - —> 1;,/1 > X - — bất phương trình luôn đúng.

Vi vậy đế bất phương trinh có nghiệm ta phải có X - ^Ịx - — > 0 => X > 3

Kết hợp với điều kiện suy ra 3 < X Ị + y/37

Vậy tập nghiệm của bất phương trinh ià 3 < X ì + ^/37

9 r 9 I iBài 4 Giải bât phưo'ng trình —I- X - ■— < 1 •+ 3.11 - —

9

x - - ^ > 0X

l - - > 0X

<=> x > 3-3 < X < 0 '

Giải (1): Với X > 9 => 3Vx - 1 + v/x" - 9 < 3sfx + yf>c <2x < x-v/x nên (I) vô nghiệm

Giải (II) Với X <9 khi đó (II) tương đương vói: v/x ' - 9 <xVx- 3n/ ^

(II)

THI: Nếu -1 < X < 0 bất phirong trình luôn đúng.

TH2: Nếu X > 1 : X > I > ^1 — - bất phương trình tương đương với: ^ ^

< :> x - —> x " - 2 x ^ l - — + 1 - — C:í>X'-X + l - 2 J x ( x - l ) < 0 o Ị i j x ( x - l) - 1 j' < 0.

<=> - l) - l = 0 c í > x " - x - l - 0 < — ■ > X = 1 + V5

Vậy bất phương trinh có tập nghiệm là X :

Bài tâo tương tư

Giải các phương trinh

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm bất phương trình đã cho là s = [- 2 ;0 ) U |l + n/sỊ

Cách 2: Với X > 2 o X > 2 ^1 ^ — bất phương trinh tương đương với; Ậ lx - — > X - 2 ^ ^ - —

o 2 x - - > x ' - 4 x ^ - - - r 4 ị ^ l - - ^ ' o x' - 2x + 4 - 4 ^ ( x - 2) <0

- 2

■ >1

<^í> x ( x - 2 ) - 4 y ^ ( x - 2 ) + 4 < 0 o ( y p Ẹ - - ĩ ) - 2) ' < 0 c:> ự xÕ T - 2) = 2

o - 2x - 4 = 0<— x= \ +yỈ5

l x - 2 Í2(x - 2 ) , ~Các7t J: Bât phương trình tương đương với; 2 J - + - - ( x + 2) > X

2 < X < 0

x > 22(t + l ) ' > x + 2 = — y + 2

(không thoả mãn điều kiện)

T1Ỉ2: Với -3 < X < 0 khi đó ~ Vx + 4 > 0 bất phương trinh tương đương vó'i:

N-o ^ x - — + \/x f 4 > 2y/x + 4 N-o — > \Ax + 4 (luôn đúng).

> 4(x + 4)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -3 < X < 0

> Vấn đề 2 Đặt ẩn phụ

* Đăt ấn phu CO' bán

Có thể nói ngoài nâng luỹ thừa thì đặt ẩn phụ là cách thoát căn thức tự nhiên nhất Đe đặt được ẩn phụ ta cần phát hiện nhân tử chung đưa về ẩn mới thông thưòng đưa về phương trinh-bất phương trinh

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = -2

Chú ý Ta có thổ đặt hai ấn phụ đưa về hệ phương trình

B à i tâp tương tư

Giải các phương trinh

1 1) 2 ĩ f ^ 4x + 3y/3 - 2x =10 Đáp số: X

Ví du 6 Giải phương trinh — = -.

Phương trinh trỏ' thành:

2 ( t - f l ) _

l _t= I , í 4t- t-+ 2t2(t- + l ) _ ( U l ) - V3t- + 1 ( t f l ) ' -

Đặt t = x" + 1 > 0 , phưong trình trở thành: t - — = l c > t " - - t - 2 = 0 = > t = 2cí> 1 X“ +1

c > ( \ - + \ f = 4 x (l - X -) o (x - + 2x - 1)~ = 0 < > x = - I + 72

Vậy phưong trinh có nghiệm duy nhất X = -1 + ' J ĩ .

Ví dụ 12 Giai phưang trinh , , í I +

Bài tâp rèn Ị uyên

Bài 1 Giải các phương trình

4) 3 n//X -fí 1

Ĩ Ị >X ; 2x +

-7 Đáp số; X = 4 ±2x

1) -f- —

Ị \/x + 3 + \/x - 1 j

— I Đáp số: X = 1

Vậy phương trinh có nghiệm duy nhât X =

-Ví dụ 2 Giải phương trinh X" + 7l + 2x 4- Vl - 2x = 2

Lời íiiải:

Điều kiện: —í- < X < — .

<=> (l - 2)" ( t ‘ + 4t + s j = 0 t = 2 <=> X = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 0

Ví dụ 2 Giai phưong trinh 2\/x ’ - f 8 = - X ’ + 5xí

Điều kiện: X > I Nhận thấy X = 1 là nghiệm cùa bất phương trình

Xét vó'i X > 1 chia hai vế bất phương trình cho ^2 x" - 3 x I 1 la được:

V2 V X - I V 2 x - 1 4Vậy tập nghiệm của bất phương trinh là 1 < X < 5

Ví dụ 5 Giải phương trình x^ (- yj(j~- X") = x ^ 2 ( l - X " )

\ /4 x - 3 v 5 - x 2

<=> V4x - 3 + l4 ỹ ~ X 2 1 ì 15 r — ^ 2 V 5 ^ + V 4 x -3 15

|< _ < z > V 4 x -3 + 2 V 5 -X + —7============-< —

Ặ Ĩ T - 3 ) ( ì - x ) 2 ' j 4 \ - 3 \/5 - X J 2

Bài tâp rèn luyên

Bài 1 Giải các phương trinh

4) •^3(x' I X" ) l) = 3(x" X f l ) Đáp số: X = 1

/x ’ + 3x" -t 4x + 25) 3 x '- 2 x + 2 = 6

* Phát hiên tính chất đẳng cán của nhưong trình

Môt phương trình, bất phương trinh dang đẳng cấp với a,b ta có thể đăt t = —

<-> CI> X Vây phương trinh có hai nghiệm là X =-í— —

_ , [ X > 0

Điều kiện: < , C->

X 4x ■+ 1 > 0

Xét X > 0, viết lại bất phương trinh dưới dạng; \ f \ + -|=- + íx - 4 + — > 3

Phương trinh đã cho tương đương vó'i: x ’ - 3x(x f 2) + 2(x + 2)Vx + 2 = 0

Nhận thấy X = -2 không là nghiệm của phương trinh

Xét X > -2 viết lại phương trình dưới dạng:

Phương trình tương đương vó'i: x ' - 2x + /ị\~ ị x ' - 2) - 2 = 0

Nhận thấy X = 0 không thoả mãn phương trinh

O X - — = l o x ' - x - 2 = 0<=> X =

-X = 2 (thoả mãn).

Vậy phương trình có 2 nghiệm là X = - I hoặc X = 2

Ví dụ 5 Giải phương trình yj{3 - x)(x + 2)

Vậy phương trình có ba nghiệm là X = - l;x = ^—^ ; x = 2

Chú ý Phương trinh trên có dạng: a [f(x )]' + b.f(x)g(x) + c.[g(x)]‘ = 0.

Bài tâp tương tư

Bài 1 Giải phương trinh 2x^ 1 X - 3 1 -t V3 Ix" + 32x + 1 = — Đáp số: X = - l -• = 0;x = 4,

Bài 2 Tìm nghiệm dương của phương trình 4-\/-x‘ + X + 6 + — = -4 x " + 8x 4 9

x + 1Đáp số: X = — ;x = 2

Ví dụ 7 Giải bất phương trình X" > Ị l - \/x j^2x -3 ^ /x + 3 j

L('yị ỉiixii:

Điều kiện: X > 0

Nếu x > l = ^ x “ > l > 0 > Ị l \/x | Ị 2x - 3 \ /x + 3 j , bất phương trình luôn đúng

Xét với 0 < X < 1, viết lại bất phương trinh dưới dạng: — > 2x - 3>/x +3 = 3(1- ^/x ] + 2x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s = -00; - -9 + 4^/2 U{1}

Ví dụ 9 Giải bất phương trinh 2[ ^ x ’ + ^(1 - x ' ỳ '

Bài tâp rèn luyện

Bài 1 Giải các phương trinh

3) X + 2-f 2^2\ ~ - 6 x t - 8 = l\ í x Dáp số: X = l;x = 4 ,

4) X f 1 + 2/ x " - 9x t 1 = 4 \ f\ .Dáp sổ: X = — ; X = 9 .

95) Giải phương trình X + / x " - X f 4 = 3/ < + 2 Đáp số: X = 0;X = 4

Bài 3 Giải các phương trình