Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số lượng giác t2

khám phá, bạn đọc sẽ ngạc nhiên với con đư ờng tìm tòi của m ình và đư a ra phưcmg p h áp giải đầy thú vị, sau m ỗi lời giải chúng tôi đều có các lời bình, đúc kết kũứi nghiệm .N hữ ng c

N G U Y Ê N P H Ú K H Á N H

TRỌNG TÂM

(Tái bản Ịần thứ nhâU

PHƯƠNG PHÁP

NHÀ XUẤT BẢN

N G U Y Ễ N P H Ú K H Á N H

(Tái bản lần thứ nhẩt)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011

SÁCH LIÊN KÊT

TRONG TÂM KlẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

ĐẠI SỐ LƯỢNG GIÁC

Mã số: 1L - 68ĐH2015

In 1.000 cuô'n, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang

Địa chỉ: số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q Bình Thạnh - TP, Hồ Chí Minh

Sô xuất bản: 268- 2016/CXB,IPH/30 - 53/ĐHQGHn’

Quyêt định xuất bản số; 144 LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN,

In xong và nộp lưu chiểu quý I năm 2016

n â ẻ ã íầ c ù

người thầy giỏi biết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, còn người thầy v ĩ đại biết cách truyên cảm hứng”.

Và tác giả thự c sự hi vọng cuốn sách này sẽ trở th àn h n g u ồ n cảm h ứ n g cũng

n h ư tư liệu b ổ ích cho các bạn thí sinh trong kì thi Đ ại học sắp tới N ội d u n g cuốn sách đư ợc trìn h bày theo từ n g vấn đề, tư ơ ng ứ n g từ n g chương, bài gần giống sách giáo khoa và câu trúc đ ề thi Đ ại học của Bộ G iáo dục và Đ ào tạo

(theo chương trình giảm tải hiện hành).

"T rọng tâm k iế n th ứ c và p h ư ơ n g p h á p giải toán: Đ ại số và L ư ợng giác" là

toán", do tác giả biên soạn

Bộ sách gồm 6 tập:

Tập I: K hảo sát hàm số và ứ n g d ụ n g đạo hàm

T ập III: Đ ại số và Lượng giác

Tập IV: H ìn h học tro n g k h ô n g gian

Tập V: H ìn h học tro n g tọa độ

T ập VI: Bất đ ẳn g th ứ c và b à i toán m ax - m in tro n g các b ài kiểm tra, th i

học k ì và tro n g kì th i tu y ển sin h Đ ại học

Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với m ôn Toán m ột cách tự nhiên, không áp lực, bạn đọc trở nên tự tm và năng động hơn; hiểu rõ bản châ't, biết cách p h ân tích đ ể tìm ra trọng tâm của vâh đ ề và biết giải thích, lập luận cho từ ng bài toán Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình h u ô h g giúp bạn đọc luôn hứ n g thú khi giải toán

Trong sách, các ví d ụ m inh họa được chọn lọc, sắp xếp từ dễ đ ến khó và dẫn

khám phá, bạn đọc sẽ ngạc nhiên với con đư ờng tìm tòi của m ình và đư a ra phưcmg p h áp giải đầy thú vị, sau m ỗi lời giải chúng tôi đều có các lời bình, đúc kết kũứi nghiệm

N hữ ng câu hỏi m ở trong sách có nội d u n g cơ bản bám sát sách giáo khoa và câu trúc đ ề thi Đại học, đổng thời ph ân chia bài tập thàrửi các dạng toán có lời giải chi tiết H iện nay đ ề thi Đại học không khó, tổ hợ p của nhiều vân đ ề đơn giản, n h ư ng chứa nhiều câu hỏi m ở nếu không nắm chắc lý th u y ết sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải bài toán Với m ột bài toán, không nên thỏa m ãn ngay với

toán đó, m ỗi m ột cách giải sẽ có thêm ph ần kiến thức mới ôn tập

Khi giải m ột bài toán, thay vì d ù n g thời gian đ ể lục lọi trí nhó, thì ta cần phải suy n ghĩ ph ân tích đ ể tìm ra p hư ơ ng pháp giải quyết bài toán đó Đối với Toán học, không có h a n g sách nào là thừa Từng trang, từ ng dòng đều phải hiểu Môn Toán đòi hỏi phải kiên nh ẫn và bền bỉ ngay từ lứiững bài tập đơ n giản nhâ't,

nh ữ n g kiến thức cơ bản nhâ't, vì chúih n h ữ n g kiến thức cơ bản m ới giúp bạn đọc hiểu được n h ữ n g kiến thức nâng cao sau này

nước có th ể làm mòn tảng đá, không phải vì giọt nước có sức mạnh, mà do nước chảy liên tục ngày đêm Chi có sự phấn đâu không m ệt mỏi mới đem lại tài năng

Do đó ta có thê’khẳng định, không nhích từng bước thì không bao giờ có th ể di xa ngàn dặm".

Mặc dù tác giả đã d àn h nhiều tâm h uyết cho cuôh sách, song sự sai sót là điều khó ữ á n h khỏi C húng tôi rất m ong nhận được sự ph ản biện và góp ý quý báu của quý độc giả đ ể n h ữ n g lần tái bản sau cuôh sách được hoàn thiện hơn

Tác giả

CHỦ ĐÊ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A CHUẨN KIẾN THỨC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt

Xq e D gọi là m ộ t n g h i ệ m của p h ư o T i g t r ì n h f(x) = g ( x ) n ế u "f(xg) = g(xQ)" là m ệ n h

đề đúng

Chú ý: Các nghiệm của phưong trình f (x) = g(x) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g (x )

2 PhưoTig trình tương đương, phương trình hệ quả

được gọi là tưong đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Kí hiệu là (x) = g, (x) <=> (x) = g2 (x)

đôi tương đương.

(x) = g^ (x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phưong trình

2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi X e D

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả cùa phương trình đã cho

f(x) = g ( x ) ^ f ^ ( x ) = g^(x)

Lưu ý: Khi giải phương trình, ta cần chú ý:

phương trình phải đôì chiếu với điều kiện xác định

thu được phương trình tương đương

nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu đê’ loại

bỏ nghiệm ngoại lai

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gổm các điều kiện đê giá trị của

f (x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện đ ể biểu thức

7 f ũ ) xác định là f (x) > 0

f(x)

7 f(x )xác định là f (x) > 0Các ví dụ

Ví dụ 1 Tim điều kiện xác địiứi của phương trình sau:

-Í 4 - 2 x > 0 x < 2 [ x < 2

[x ^ -3 x + 2?t0 Ị ( x - l ) Ị x ^ + x - 2 j 7 t O Ị ( x - l ) ^ ( x - 2 ) ĩ i t 0

x < 2Xíti <=>

-Vậy tập nghiệp của phương trình là s =

2 Điều kiện xác định của phương trình là -X^ + 6 x - 9 > 0 < = > - ( x - 3)^ > 0 <=> X = 3.Thay X = 3 vào thây thỏa m ãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là s = Ị s Ị

3 Điều kiện xác định của phương trình là

3Vậy điều kiện xác định của phương ữình là X = 3 hoặc X:

Thay X = 3 và X = — vào phương trinh thây chỉ có X = 3 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là s = Ị s Ị

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tim điều kiện xác định của phương trình sau:

định của phương trình, ta thu được phương trình tương đương phương trình

đã cho

điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trìiứi tương đương với phương trình đã cho

phương trình đã cho

phương trình tương đương với phương trình đã cho

Đôì chiêh với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhâ't X = 2

2 ĐKXĐ: - 3x + 4 > 0 o ^ X - — 3 Ý 71 + — > 0 (luôn đúng với mọi X)

Bình phương hai vê' của phương trình ta được

Đô'i chiếu vối điều kiện (*) ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

V2 0 - 8X + - y2 = y n /7 - 4x

Lời giải.

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y^ > 0

{ * ) => - y^ = x/3(y - 2) => 6 - y^ = 3(y - 2)^ => 4y^ - 1 2 y + 6 = 0 => y =

Ví dụ 4.Tim m để cặp phương trình sau tương đưcmg;

Suy ra hai phương trình tương đưong

Vậy m = 4 thì hai phương trình tưong đưong

2 Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

Ta có 2x^ + (m +4)x^ + 2(m - l)x - 4 = 0 o (x + 2)Ị2x^ + mx - 2j = 0

Với m = 3 phư ơ ng trình (3) trờ thành 2x + 3 x - 2 = 0 o x = -2 hoặc X = -

Phương trình (4) trở thành 2x^ + 7x^ + 4 x - 4 = 0<=>(x + 2)^ (2x + 1) = ũ

Vậy m = 3 thì hai phương trình tương đương

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình sau:

D ạ n g 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNHBàil:

Với m = 0 thay vào hai phương trinh ta thấy không tương đương.

Vậy không có giá trị nào của m thòa mãn

2 Cộng vế với vế để khử m^ ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm

Th2; Với b 0 phương trình vô nghiệm

3 Giải và biện luận phư ơng trình ax^ + bx + c = 0

• Nếu a^O : A = b^ - 4ac

2aTh3: A < 0 phương trình vô nghiệm

p thì chúng là nghiệm của phương trình x^ - Sx + p = 0

Cho phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 (* *), kí hiệu s = , p = — Khi đó:

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 I

Suy ra phương trình vô nghiệm

m - 1Kê't luận:

m = 1; Phương trình vô nghiệm

m - 1

2 Tacó m (mx - 1) = 9x + 3 o Ịm ^ -9 jx = m + 3

+ Với m ^ -9 = 0<=>m = ±3:

• Khi m = 3: Phương trình trở thành Ox = 6 suy ra phương trình vô nghiệm

đúng với mọi X e R

Kết luận:

m = 3: Phương trình vô nghiệm

m = 3: Phương trình vô nghiệm

Kết luận:

a = - b và b ?!= 0 : Phương trình vô nghiệm

b^ - 2b + 2 = (b - 1)^ +1 > 0 nên phương trình vô nghiệm

Đổ thị hai hàm sô' không cắt nhau khi và chi khi phương trình

c Ằ c BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham sô':

Th3: A < 0 phương trình vô nghiệm

Các ví dụ

2a

Lời giải.

1 Ta có A = 1 - 4m

Với A > 0 C5> 1 - 4m > 0 o m < — : Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với A = 0 o 1 - 4m = 0 <=> m = —: Phương trình có nghiệm kép X = —

Với A < 0 <=> 1 - 4m < 0 <=> m > - : Phương trình vô nghiệm

Kết luận

m > — : PhưoTig trình vô nghiệm

2 + THI :Với m + l = 0<=>m = - l khi đó phương trình trở thành 2 x - 3 = 0<=>x = ;

+ TH2: Với m + l7t 0<=>m#-l khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai

Khi A<0<=>m + 2 < 0 c í > m< - 2 khi đó phương trình vô nghiệm

Kết luận:

3

m < -2 : Phưcmg trình vô nghiệm

Khi m = - — phương trình trờ thành 2x + 2 = 0<=>x = - l

Ta có A' = 4 m^ - 2 ( 2 m^ + 5 m + 2) = -2(5m + 2)

2

52m ± ự-2(5m + 2)

+ THI: Với a = 0 phương trình trớ thành -2bx + 2b = 0 o bx = b

+ TH2: Với a 0 phương trình là phương trình bậc hai

Ta có A’ = (a + b)^ - a ( a + 2b) = b^

Khi b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là

X = -a + b + b a + 2b

X =

a + b - b

Kết luận: a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi X.

a = 0 và b 0 phương trình có nghiệm duy nhất X = 1.

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 5É 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với m 6 ( -00;-2] u [6; +00) thì phương trình có nghiệm

cầu bài toán

Với m -1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A' > 0

<=> m^ - 2 m (l + m ) > 0 <=> m^ + 2m < 0 c : > - 2 < m < 0

Vậy với -2 < m < 0 thì phương trình có nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm m đ ể phương trình x^ -3 m x + (2m^ - m - l ) = 0 có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó

1 Giải phương trình đã cho khi m = -2

Bài 3: Giải và biện luận phương trình

Bài 8: Giải và biện luận các phương trình sau:

Bài 9: Tìm tâ't cả các giá trị của tham sô' m để:

, 3x + 2

4 Đường thắng y = X + m cắt (C): y = tại c , D sao cho ABCD là hình bình

hành Trong đó A, B là giao điểm của (C) với đường thẳng y = X

5 Đường thẳng d : y = mx + 2m +1 cắt đồ thị (C): y = ——— tại hai điểm phân biệt A,B cách đều hai trục tọa độ

1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình sau

vô nghiệm: a^x^ + Ịa^ + b^ -c ^ jx + b^ = 0

thì chúng là nghiệm của phương trình x^ - Sx + p = 0

Loại 1: N hẩm nghiệm phư ơng trình bậc hai, phân tích thành nhân tử

Vậy m = — và nghiệm còn lại là —

Vậy m = — và nghiệm còn lại là —

3 Xét phương trình 6x^ - 1 ĩxy + 3y^ = 0 ẩn X

4 Xét phương trình 2x^ - 2y^ - 3xy + X - 2y = 0 ( ẩn X)

Loại 2: Bài toán liên quan đến biếu thức d

trình bậc hai

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho phương trình x^ - 2(m + l)x + m^ + 2 = 0 với m là tham sô' Tìm m để

Vậy m = 4 ± Vĩõ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

y m = 4 ± Vĩõ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra min A = -12<=>m = 2, m = 2 thỏa mãn (*)

Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhâ't

^ ' Ị l ĩ l m + 2 ) ^ - 4 ( m^ +2)+ 16 - 3 ( m ^ +2) = V4m^ +16m + 16 - 3 ( m ^ +2)

1 Chứng m inh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

^ 1 2m + l 1 2(2m + l) + m 2 + 2 (m + 2) 1

Và A + ^ = —:r— + ^ = — 7— -7 -= —, - ^ > 0, Vm => A > , Vm

2 m 2 + 2 ^ 2

Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = -2

Vậy ma xA = l khi và chỉ khi m = 1, min A = - — khi và chi khi m = - 2

o 2A^ - A - 1 < 0 Cí> (2A-h 1)(A - 1) < 0 <=> < A < 1

maxA = l khi m = l , mi nA = - — khi m = -2

4 Trước hết ta kiểm tra phương trình cho có nghiệm hay không? Dê thây

2 Ta có phương trình (1) có ít nhâ't một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhâ't một nghiệm dương

m ãn yêu cầu bài toán

+ T H I; Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

l + 4(m + l ) > 0

1A>0

s > 0 <=> ‘

p > 0

m + 1 1

+ TH3: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

đặt y = X - a và quy về việc xét dâ'u nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ 4 Tim tâ't cả các giá trị của m đ ể phương trình sau có nghiệm nguyên:

2) Trong bài toán trên nêu yêu cầu tìm m nguyên thì ta chỉ chọn những giá trị X q

S5 = 384 f 2 S 3 = a Ịa'* + 8a^ + 8j + 2 Ịa^ + 6 a) = a^ + lOa^ + 20a

Mătkhác, Sc = 3 - — = - — =ĩ>3a^ +30a^+60a + 23 = 0

Vậy đa thức p(x) = 3x^ + 30x^ + 60x + 23 là đa thức cần tìm.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3 P(x; y) = 3x^ - 5xy - 2y^ 4 Q(x; y) = x^ - 2y^ - xy - 3y - 1

Bài 2: Phân tích đa thức f(x) = 2x^ +(m + l)x^ +2mx + m^ +m(biê'n X với tham sô' m) thành tích một đã thức bậc hai và một bậc nhâ't.

Bài 3: Gọi X 4 ,X 2 là hai nghiệm của phương trình: -x^ + 3x +1 = 0 Tính giá trị của các

biểu thức: A = Xj + X2; B = Xj (xj - 1) + X2 (x2 - 1 ) ; c = xị 12 Ị_xị2

Bài 4: Tìm m đ ể phương trình 3x^ + 4 ( m - l ) x + m^ - 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân

X2 2Bài 5: Cho phương trình x^ - 2(m - l)x + m^ - 3 = 0 với m là tham sô' Tim m đ ể

Bài 7: Tim điều kiện của m đ ể phương trình 2x^ + (2m - l ) x + m - l = 0

1 Có hai nghiệm khác dâu

2 Có hai nghiệm phân biệt đều âm

3 Có hai nghiệm phân biệt đều dương

4 Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đôi và trái dâu nhau

x^ — X +1

Bài 9: Tìm m đ ể phương trình sau có nghiệm: cos2x + 2m sin X + m^ - m +1 = 0 Bài 10:

1 Tìm điều kiện cần và đủ đ ể phương trình ax^ + bx + c = 0, a ÍẾ 0 có hai nghiệm và

2 Tìm m đ ể phương trình x ^ - 2 ( m + l)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm Xj, Xj thỏa mãn

Xj + 3x2 = 0

Bài ll:T ìm m đ ể phương trình: (m + 2)x^ - 2 ( m - l ) x + 4 = 0

1 Có hai nghiệm, khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 12: Tìm m đ ể phương trình 3x^ + 4(m - l)x + m^ - 4m + 1 = 0 có hai nghiệm

Bài 15: Cho phương trình x^ - 2mx + m ^ - m - 6 = 0, m là tham sô'

Dạng 4: MỘT số BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI

Phương pháp giải

• Bài toán 1: Tim điều kiện đ ể hai phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 và

a 'x ^ + b 'x + c' = 0 có nghiệm chung Chúng ta làm như sau:

3Xq + b x g + c = 0

[a 'x o + b 'x g + c ' = 0

Bước 2: Thế giá trị của tham sô'tìm được vào hai phương trình đ ể kiểm tra và kê't luận

Điều kiện đủ: Với a= -2 thì hai phương trình trờ thành x ^ - 2 x + l = 0 và x ^ + x - 2 = 0

Vậy a = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2 Tìm tâ't cả các giá trị cùa m đ ể phương trình

(x^ - 2mx + m - l)(x^ - 3x + 2m) = 0 có bô'n nghiệm phân biệt

Lời giải.

x^ - 2mx + m - l = 0 (l)

x ^ -3 x + 2m = 0 (2)

mồi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.Phương trình tương đương với

Giả sử hai phương trình (l) và (2) có nghiệm chung là X q thì

Ví dụ l.C ho các sô' dương a,b ,c thỏa mãn điều kiện a + 2b + 3c = l Chứng minh

rằng có ít nhâ't m ột trong hai phương trình sau có nghiệm:

4x^ - 4 ( 2 a + l)x + 4a^ +192abc + l = 0 và 4x^ - 4(2b + l)x -f 4b^ +96abc + l = 0

Lời giải.

Dẩn đến A'j, A'2 > 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên cỏ nghiệm.

Ví dụ 2 Cho các sô' a,b ,c thỏa mãn điều kiện a + b -f c = 6 Chứng minh rằng có ít

2 (b + c) 2 ( b - a )

2 ( 6 - a f 3 ( a - 2 f

Mặt khác dT + -—— 12 = — -— > 0 => Aị + A2 + A3 > 0

Vì ba tích các nghiệm của mỗi phương trình đều bằng 1 nên các phương trình có các

= 4

XjX2 XjX2;

+-CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1; Tim m đ ể hai phương trình sau có nghiệm chung x^ - 2mx - 4m + 1 = 0 (1) và x^ + (3m +1) X + 2m + 1 = 0 (2)

Bài 2; Chứng m inh rằng nếu hai phương trình x^ + ax + b = 0 và x^ + mx + n = 0 có nghiệm chung thì (n - b)^ = (m - a)(an - b m )

Bài 3: Cho a, b, c là các sô' thực không đổng thòi bằng 0 Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhâ't một phương trùih có nghiệm ax^ + 2bx + c = 0 (1);

a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0 (*■) luôn có nghiệm

4 Cho các sô' thực dương m ,n ,p khác nhau có tổng bằng 3 Chứng minh rằng trong

ba phương trình sau có ít nhất m ột phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhâ'tmột phương trình vô nghiệm x^ - 2mx + n = 0 (1);

5 Cho các sô' thực a, b, c thỏa mãn: 2a + 3b + 6c = 0

Chứng m inh rằng : ax^ + bx + c = 0 luôn có nghiệm trong đoạn [0 ;l]

Bài 6: Tìm m đ ể hai phương trlĩứi sau có nghiệm chung

x^ + (2 m - l)x + 2 - 3m = 0 và 2x^ + (m + l ) x - m - 3 = 0

- b ỉ)

Dạng 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 TRONG BÀI

' 2 2 với x , y e # v à x + y =1

Để tìm miền giá trị của hàm sô' ta tìm y đ ể phương trình f (x) = y có nghiệm trên D.

Ví đụ 2 Cho các sô' thực a ,b ,c ,d thỏa a^ + b^ > c^ + d^ Chứng minh bâ't đẳng thức

(ab + cd)^ >Ịa^ - c ^ jỊb^

Lời giải.

SÔ a - c

dương, không mâ't tính tổng quát ta giả sử SÔ' đó là a"^ - c"^ > 0 Xét phương trình

Vì a - c + b - d > 0 nên trong hai sô' a - c và b - d luôn tổn tại ít nhâ't một sô'■ u l i c i l U U l l ^ U c U & u ứ V d u — u l U U I l

nh tổng quát ta giả sử sô' đó là a^ - c^ > 0 X f(x) = Ịa^ -c ^ jx ^ - 2 ( a b + cd)x + b^ - d ^ =0

cho chúng ta chứng m inh phương trình f (x) = Ax^ - 2Bx + c = 0 luôn có nghiệm

Ví dụ 3 Tìm tâ't cả các giá trị của tham sô' m đê’ phương trình:

<=>m^-m + 4 > 0 bâ't phương trình nghiệm đúng với mọi m

Ví dụ 4 Giả sử phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0;3] Tim

9a^ - 3ab + ac