Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số lượng giác t1

N hận xét: Các biê'n X, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau... Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụCác ví d ụ Ví dụ 1... N hưng ta chưa thể giải ngay khi dựa vào tính

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình [ x^+2xy^ =2x^y + 4

Ix^ +2y^ =xy + x + 2y

Lời giải.

Nhân phương trình thứ hai với -2 rổi cộng v ế với vê'với phương trình đầu ta được

Ịx^ + 2xy^ ] - 2 (x^ + 2y^ Ị = (2x^y + 4) - 2 (xy + X + 2 y)

<=> (x^ - 2x^ ) + (2xy^ - 4y^) = (2x^y - 2xy - 4y) + (4 - 2x)

<=> x^ (x - 2) + 2y^ (x - 2) = y (x - 2)(2x + 2) - 2 (x - 2)

< » ( x - 2 ) ( x ^ - 2 x y + 2 y ^ - 2 y + 2) = 0<=>(x-2) ( x - y f + ( y - l f +1 =0

o x = 2 (vì ( x - y f + ( y - l f + 1 > 0 )

Thay X = 2 vào phương trình thứ hai ta có

4 + 2y^ = 2y + 2 + 2y o 2y^ - 4 y + 2 = 0<=>y = l

Vậy phương trình có nghiệm là (x;y) = (2;l)

N hận xét: Việc nhân vào với -2 được "mò mẫm" như sau: N hận thâ'y rằng đôì với biến y thâ'y có sự tương đổng về bậc trong hai phương trình có ở hệ, do đó ta nhân với phương trình hai một sô' thực a khác không rồi cộng vê' với vê' với phương trình đầu ta được

ị x ^ +2xy^ j + aỊx^ + 2y^ j = Ị2x^y + 4Ị + a ( x y + x + 2y)

<=>(2x + 2a)y^ + a x + 2 a j y + x^ +ax^ - a x - 4 = 0

Ta sẽ chọn a sao cho đúng với mọi y , suy ra

2x + 2a = 2x^ + ax + 2a = x^ + ax^ - ax - 4 = 0 (*)

Ta có 2x^ + ax + 2 a = 0<=> 2x(x + a ) - a x + 2a = 0 => - a x + 2 a = 0 => X = 2 => a = -2

Dễ thâý X = 2, a = -2 thỏa mãn (*), do đó ta có lòi giải như trên

Ví dụ 12 Giải các hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (l;2)

2 Phương trìrủi thứ hai nhân với -3 rồi cộng v ế với v ế với phương trình thứ nhâ't ta đượcx^ - sỊx^ + y) = 8y^ + 3y - 3(4y2 + xỊ

<íí x^ - 3x^ + 3x - 1 - 8y^ - 12y^ + 3y - 1

< r > ( x - lf - ( 2 y - l f <=>x = 2y

Thay vào phương trình thứ hai ta được (2y)^ + y =" 4y^ +2y<=>y = 0=>x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y) = (0;0)

N hận xét: Các biê'n X, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau Do đó ta sẽ chọn

a bằng cách lâ'y phương trình thứ nhâ't (hoặc phương trình thứ hai) nhân với a

rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho đưa về dạng phương trình(ax + b)" = ± ( a ' y + b ')"

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau;

[ựx + y = ^ x + y

[V ^ -y = ^ x - y - 1 2

(x + y ) Ịsxy - 4 Vx j = -2 (x + y)(3xy + 4 V ỹ ) - 2

Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ

Các ví d ụ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau: [272x + y = 3 - 2 x - y (l)

x ^ - 2 x y - y ^ = 2 (2)

Lời giải.

Phương trình (1) viết lại: 2x + y + 2yj2x + y - 3 = 0 (3)

Đặt t = yj2\ + y (t > 0), khi đó (3) trở thành: t ^ + 2 t - 3 = 0<=>t = l thỏa mãn (t > 0)Với t = 1 thì ^2x + y = l<=>2x + y = l<=>y = l - 2 x

Thay vào phương trình (2) ta được x^ - 2x(l - 2x) - (1 - 2x)^ = 2

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau;

Trường hợp 2: p = 18,s = 3 không thỏa mãn vì - 4P < 0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x;y) = Ịo ;^ 8 2 Ị,(9 ;l)

2 Điều kiện: xy > 0.

Đây là hệ phương trình đô'i xiíng với X và y N hưng ta chưa thể giải ngay khi dựa

vào tính châ't của nó Do đó, ta phải tìm đại lượng bâ't biên khác của hệ phương trình Với điều kiện xy > 0 ta xét hai trường hợp:

Trường hợp T X > 0,y > 0 Ta đặt u = Vx,v = yịỹ

Trường hợp 2: X < 0,y < 0 Ta đặt u = \ f ^ , v =

u V _ 7 ^

Cả hai trường hợp đều đưa hệ về hệ phương trình: V u uv

u^v +v^u =78Tương tự trên, ta được kết quả: (x;y) = (-9 ;-4 ), ( - 4 ;-9 ), (4; 9), (9; 4)

Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau;

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm; (x; y) = (5 ;3 ),(5 ;4 )

2 Điều kiện: X íi 0, y 0, x^ + y^ - 1 ìí 0

Đặt u = x^ + y^ - l ; v = —

y

X = 1

y = l_y = 3

y'> -x'‘ =15(3x^ + y) Ịy'* - x“ =15y^

Với yitO ta có hệ phương trình (*) tương đương với

y - — = 1

y

2 _ ^ _ 1 C

y " 2 =^^ y

y = '17

7

z =4

4

> ^ = 4suy ra ■

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (2 ;4 ),(-2 ;4 ),

•JĨĨ9

4 ' 4

VĨĨ9 _17

4 ' 4 và

Nếu uv = 0 = > u = v = 0=> x = y = 0 Thừ lại thây thỏa mãn.

Nếu u ^ -v "^ = — thay vào ^1^ ta có: 2 ( u v ) —2 7 — = 0<=>

uv = 13

uv = —4

Hệ phương trình 27x^y^+125 = 9y^(l)

y )

/ x U ^ + v ^ = 9 [u = 2 Íu = lĐặt 5 Hê (*)<=> -^ <=> -^ hoăc <

9y3 (3x3 _i25 |27x3y3 +125 = 9y3 (l)^^

45x3y + 75x = 6y3 1 45x3y + 75x = 6y3

Từ phương trình (l) => y ÍÉ 0

Hệ(»*)<=><^ ^ =>54x3y3-135x3y2-225xy + 250 = 0 ,

[45x3y2 +75xy = 6y3

ta đặt t = x y , ta được phương trình: 54t3 - ISSt^ - 225t + 250 = 0

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (x; y) =(2 ] f l

a = bb^ - a^ = 3(a - b) <=> (a - b)(3 + a + b) = 0 <=>

Với a = b thay vào phương trìrửi (1) suy ra 3a^ = 3a <=>

a = - b - 3

a = 0=> b = 0

a = l= > b = lVói a = - b - 3 thay vào phương trình (1) suy ra

x^ + l + y (y + x) = 4y : dụ 8 Giải hệ phương trình sau: <,

Ví dụ 9 Giải các hệ phương trình sau:

sỊx^ + y ^ j = 6 x y + 2

2x^ +3x = 2y^ + y + 3

2.5(x2+ y2Ị = y - 2 x sỊx^ + y^ j + 2x = y + 8xy

1 Hệ phương trình tương đương với

Ị a 2 + b 2 = 2 ^ |( a + b f - 2 a b = 2]a + b + ab = 3 ] a + b + ab = 3

Ví dụ 10 Giải hệ bâ't phương trình sau: ị 3

Ví dụ 10 Giải hệ bâ't phương trình sau: •

Lèn giải.

í l - x ^ > 0 í|x |< l

Điêu kiện: < <=> i

h - y ^ ì O l | y | s i

Đặt: X = cosa; y=cos|3 với a,p e [O; 7i]

Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành: <=>[ cosa.sinp + cosp.sina=l

1^(1 - co sa)(l + cosp) = 2

<=> a + ạ = -

2

sina - cosa - sina.cosa • 1 = 0( * )

Với t = sina - cosa, |t| < >/2 => sina.cosa =1 - r

Xét hệ phương trình: (x + 3 y f =0

3x^ + 1 0 x y -5 y 2 = - 2

tức [x = -3y[S x^+ lO xy-Sy^ = - 2

N hận xét: Qua bài toán trên, ta đúc kê't: "hễ " gặp phương trình có dạng:

fj(x,y) = 3jX^+bjXy + Cjy^ >0

Từ (ì-j suy ra điều kiện cần đ ể hệ có nghiệm là I j '

Gọi D là tập nghiệm của hệ này với ẩn m thì m £ D là điều kiện cần của bài toán Vói m £ D , ta có: I ^ ^ , suy ra nêu (xq ; yQ j là nghiệm của hệ;

[fl(x,y) = a i

(♦ *) thì (xQ;yQ) cũng là nghiệm của hệ (*) với mọi m £ D [f3(x,y) = 0

Giải hệ (* chứng tỏ hệ có nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 8: Giải hệ phương trình

Bài 9: Giải hệ phương trình:

[v5x + 3 + yj5y + 3 = 4

1 Ta có y = 5 - 2x th ế vào phương trình hai ta được;

’x = 2=>y = l

x = ^=> y = 4

2 ^

4x^ + (5 -2 x )^ =17<=>2x^ - 5 x + 2 = 0<^

Vậy nghiệm của hệ là: (x;y) = (2;1),(—;4 )

2 Ta có y = 8 - 3x thay vào phương trình đầu ta được:

x^(8 - 3x) = 16 <=> 3x^ - 8x^ +16 = 0 (x - 2)^(3x^ +4x + 4) = 0 « x = 2

Vậy hệ có nghiệm là X = y = 2

3 Từ phương trình 2 => x^ = 3(y^ + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được:

'x = 02

Vậy hệ có bôh nghiệm: (x;y) = (±3;±1), /% _ Vt8^

Bài 2: Ta có X = m - y thay vào phương trình hai ta được; 2(m - y) - 3y =1

<=> y^ + 4my +1 - 2m^ =0 (*) Hệ có nghiệm <=> {*) có nghiệm

<=> A' = 4m"^ -(1 - 2m'^) > 0 <=> m > Vậy m > - p là những giá trị cần tìm

r e

17Thay x = -ấv'ay= — vào (1), ta thây (1) được thoả mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là - 4 ; ^

D ạn g 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

<=>í " " ’! ; ' ' ’ [2x + y - 3 = l [2x + y = 4 « 1 " ° '[y = 0

TH I: x - y - 1 = 0, ta có hệ: ị ^ => (x;y) = ( l;0 ) ,( - l;- 2 )

r V — \r — —ATHI: X - y = - 4 , ta có hệ:

Bài 2;

1 x^ - 3 x ( y - l ) + y^ + y ( x - 3 ) = 4 < = > ( x - y - l) ( x - y + 4) = 0

f x - y = l [ x - x y[ x - y = -4 [ x - x y - 2 y = 1

2 Dùng phương pháp cộng hoặc th ế ta được 2xy + 2 y - x - l = 0

1

<=> (x + l)(2y -1 ) = 0 <=> X = -1 hoặc y = —

THI: Với X = -1 , ta được y ^ - y - 2 = 0<=>y = - l hoặc y = 2

Ta được hai nghiệm và (-1;2)

2 Phương trình đầu suy ra;

1 0 - y)2 , i ĩ L , (X^ y ) ! - = (X - y)^ (X y ) - - y>

=i> M, y là nghiệm của phương trình: f i - 5 t + 8 = m (1)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm t j , tj với It^l > 2, |t2| à 2 ( t ^ , t2 không nhâ't thiê't phân biệt)

o u, V là nghiệm của phương trình bậc hai f (t) = t^ - 5t + 8 = m

Hệ có nghiệm <=> f (t) = m có hai nghiệm t j ,Í2 thỏa mãn I tj| > 2;| t2| s 2

Lập bảng biên thiên của hàm sô' f (t) với 11| > 2

Cộng hai phương trình của hệ ta được:

ỊVx + a +-Jy + a+ Vz + aj + (Va - X + , J a - y + V a - z j =18a

Tức là dâu đẳng thức phải xảy ra trong các bâl đẳng thức (1) và (2), hay:

( x - l ) Ị y 2 + 6 Ị = y Ị x 2 + l ]

(y - l)Ịx^ + 6j = xỊy^ + lỊ Ịyx^ + 6y - x^ - 6 = xy^ + X

Trừ v ế theo vê'ta được: 2xy(y - x) + 7(x - y) + (x - y)(x + yj = 0

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (2;2), (2;3), (3;2), (3;3).

Bài 2: Nếu (xQ;yo) là nghiệm của hệ thì các cặp sô' sau cũng là nghiệm của hệ

(yo'^o)-Đê’hệ có nghiệm duy nhâ't khi (xQ;yQ) = (yo'^o) ^0 = yo •

Khi đó, hệ trờ thành; Xg = Xg - 4xg + axg o Xg Ịxg - 5xg + a j = 0

<:í> Xg = 0 hoặc Xg - 5xg + a = 0 Với X g = 0 thì y g = 0 suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhâ't Va e ^

Vậy đ ể hệ luôn có nghiệm duy nhâ't khi và chi khi X q - 5xq + a = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

Dễ thây X q - 5xq + a = 0 không thể có nghiệm kép

x^ = x^ - 4x^ + ax

<=> X = y = 0

25

Vậy a > — là điều kiện cẩn và đủ đê’hệ có nghiệm duy nhâìt

Bài 3: Nêu (xQ;yo) là nghiệm của hệ thì các cặp sô'sau cũng là nghiệm của hệ (yo;’^ o ) '( 4 - x o ;4 - y o ) ( 4 - y o ;4 - x o )

Vì hệ có nghiệm duy nhâ't, nên xảy ra khả năng (xo;yo) - (yo'^o) thê'ta tìm được Xq= 2

Với X q = 2 thay vào hệ ta được a - 2 = -\/4 3 V lO ^ ^, 2 < a < —

Đặt V l0 -3 a = t, t > 2, khi đó ta có: <a - 2 = V 4 -3 V lO -3 a

t - l = 4 - V 4 - 3 V lO - 3 a

( 3 ) = > ( a - t) ( a + t - 4 ) = 3 ( a - t ) tức ( a - t)(a + 1 - l ) = 0<=>a = t( t- 2 ) ^ = 1 0 - 3 a

vì a + 1 - 1 > 1

Khi đó (3) suy r a ( a - 2 ) = 1 0 - 3 < = > a ^ - a - 6 = 0<=>a = 3

[V7 + x + J l l - y =10Với a = 3, hệ cho trở thành: < , giải tương tự trên

[77 + y + V1 1-X =10Vậy a = 3 thỏa m ãn đề bài

D ạn g 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

Bài 1: Ta thây X = 0 không thoả mãn hệ phương trình

+5tx^ -4t^x^ =38Xét X ÍÉ 0 Đăt y = tx và thay vào hê ta được: <

í X = 3 , í X = -3

' ' w | y = l''= y Ị y Ị - l '

Bài 2: Dễ thấy X = 0 không thoả mãn hệ

Với X ^ 0, đặt y = k x , thay vào hệ ta được

: Phương trình vô nghiệm

x^(3 + 2k + k^) = l ĩ n

I x^(l + 2k + 3k^) = 17

k = 2 Suy ral7Ị3 + 2k + k^Ị = l l Ị l + 2k + 3k^Ị <=>16k^ - 1 2 k - 4 0 = 0 <=>

Thay vào (*) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là

Bài 3: Dễ thây y = 0 không phải là nghiệm của hệ

Đặt X = ty , ta có:

Í - A A Ì ' 4 5 '

[ ấ ' ~ S Ì

1 Với m = 1 ta có hệ phương trình

Ta có nghiệm là (l ;4), (-1 ;-4 )

t^ - 4 t + ĩ _ ĩ

1 - 3t " 4 [y 2 (l-3 t) = 4

Hê có nghiêm <=> (’*■) có nghiêm thoả mãn t < — <=> Đổ thị hàm sô'

f(t)= 4 t ^ - ( l 6 - 3 m ) t + 4 - m vói t e -oo;— cắt trục hoành (Bạn đọc íự giải tiễpl

Thay X = - y vào yJx-Ỵ = ^ x - y - 1 2 <=>yj-2y - Ịị-2y -1 2 (ĐK: y < -6) ta được

y = -2 => Hệ này vô nghiệm

2 Điều kiện: X > 0; y > 0 N hận xét X = y = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên X >0 và y > 0

Từ (1) và (2) suy ra: 2x^ - 2y^ = 3xy <í:> (x - 2y)(2x + y) = 0 => X = 2y do X > 0 và

a + b = l

4 > a = 2

„ và

b = ? 1 '’ = '4

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là ( l;0 )

u + v = - —

4tức

-hệ này tương đương với

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là

Suy ra X, y là nghiệm của phương trình: u ^ - 1 3 u + 36 = 0<=>

Vậy hệ phương trìiứi có nghiệm là (4,9) ,(9,4)

2 Điều kiện: X > 0, y > 0

u = 4

u = 9<=>

[x = 4 [y = 9 [x = 9 [y = 4

Hệ phương trình o + 2y^ + yjAxy = 16

x + y + yỊịxy =16 <=> <

y ị l x ^ + 2y^ = X + y

V x + ự ỹ = 4Í2x^+2y^ = x ^ + y ^ + 2 x y í( x - y ) ^ = 0

Đặt a = x^ + y; b = xy Ta có:

a + ab + b :a^ + b =

<=>

a = 0

s hoặc

b = - - 4

hoăc \

b = 3 |b = 12

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = ( l;- ), (3;1).

2 Ta thây X = 0 không là nghiệm của hệ nên ta biêh đổi hệ trở thành

* y = — =>(l)cí>x + — = 0 phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có ba cặp nghiệm: (x;y) = (0;0), (1;2), (2; 2)

Do x^ + 2x + 3y^ - 30y + 76 = (x + \Ý + 3(y - 5)^ > 0 và không có đẳng thức xảy ra nên

(*) tương đương với X = -1 Thay vào hệ ta tìm được y = -3, y = 5

2 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

(6x^ - 12x + 8) + (9y^ + 27y + 27) = 35

Thay vào phương trình thứ nhâ't của hệ, ta được:

_ y3 = (6x^ - 12x + 8) + (9y^ + 27y + 27) <=> (x - 2)^ = (y + 3)^ o X = y + 5

Lại thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được;

2(y + 5)^ + 3y^ = 4(y + 5) - 9y <íí> 5y^ + 25y + 30 = 0

<=> (y + 2)(y + 3) = 0 <=> y = -2 V y = -3

Với y = - 2 , ta có X = 3, với y = - 3 , ta có X = 2

Thử lại ta thâ'y thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x,y) = (3 ;-2 ),(2 ;-3 )

[x ,y > 0 [x + y 5^0

Ta thâ'y X = 0 (y = 0) không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với

Bài 8: Điều kiện:

1 2x^ - y^ =(2y^ -x ^ )(2 y - x ) o x^ + 2x^y + 2xy^ -5 y ^ = 0

Khi y = 0 thì hệ vô nghiệm

Khi y 0, chia 2 v ế cho y^ ít 0 ta được:

a =

— -b + 419- 4 b \2

+ b^ = 10 o (19 - 4b)2 + b^(b + 4)2 = 10(b + 4)2

V b + 4 y

o b'^ + 8b^ + 22b2 - 232b + 201 = 0 o (b2 - 4b + 3)(b2 + 12b + 67) = 0

ỊVSx + 3 - 2 ) ^ +(75x + 3 - 2 ] % ( ^ / x - 7 ỹ ) ^ =0

<=> <VSx + 3 = 2 VSy + 3 = 2N/x=Vỹ

1 c ? x = y:

^ 25

• Phương trình có dạng ax^ + bx + c = yja'x + h' ta đặt

Khi gặp phương trình có dạng: a.A(x) + b.B(x) = c-^A(x)B(x).

N hư vậy phương trình Q(x) = a^P (x) có thê’ giải bằng phương pháp trên nêb

jP(x) = A(x).B(x)

[Q(x) = a.A(x) + b.B(x)

Chú ý: H ằng đẳng thức thường dùng:

a^ + b^ = (a + b)(a^ - ab + b^)

Khi gặp phương trình có dạng a u + Ịỉv = Vmu^ + nv^

Phương trình có ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưng nêu ta bình phương hai v ế thì đưa được về phương trình dạng trên

Khi gặp phương trình có dạng\lax + b = c(dx + e)^ + ax + p với

Cách giải: Đặt dy + e = yjax + b khi đó phương trình được chuyê

I d = ac + a [e = bc + p

Cách giải: Đặt dy + e = yjax + b khi đó phương trình được chuyển thành hệ

|d y + e = Vax + b |(d y + e)^ = ax + b

[dy + e = c(dx + e)^ + ax + p [c(dx + e)^ = - a x + dy + e - p

Khi gặp phương trình có dạng ^ax + b = c(dx + e)^ + ax + p với J “

aa

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: Vx + 9 + 2013Vx + 6 = 2013 + ^(x + 9)(x + ó)

Lời giải.

Đặt \lx + 9 = a > 0, Vx + 6 = b > 0.

Phương trình cho trở thành: a + 2013b = 2013 + ab <=> (a - 2013)(b -1 ) = 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

(u + v f - 2uv ^ - 2u^v^ = 4 1(2 - 2uv)^ - 2u^v^ = 4

, hệ phương ưình này

íu + v = V2 ịu = yỊ2 , „ íu = 0

Với < suy ra < hoặc <

Vậy phương trình đã cho có nghiệm X = 1, X = 5

N hận xét: Qua bài toán trên, ta đúc kêì: "hễ" gặp phưcmg trình có dạng:

u = » Ịa -f{x ) tỉja- f ị x ) + 'Ựi7 + / ( x ) = c thì đặt

Đặt V>rr6 ^ pỊ^y,o^g j

v = x + 2

401

Vậy nghiệm cua phưcmg trình là X = —— , X = -

N hận xét: Qua bài toán trên, ta đúc kêì: " hễ "gặp phưcmg trình có dạng:

[y^ - 3 x - 2( x - y ) ( x ^ + x y + y^+3)==0 (*)

Dễ thâ'y x ^ + x y + y^+ 3 = Ị^x + —j + - ^ ^ + 3 > 0 (V x,yeiS ’)

Do vậy phương trình (*)<=> X = y

Thay X = y vào phương trình y^ = 3x - 2 ta được x^ - 3x + 2 = 0 , phương trìnhtương đương với (x - 1)^ (x + 2) = 0 <=> X = -2 hoặc X = 1

N hận xét: Qua bài toán trên, ta đúc kêì: " hễ “gặp phương trình có dạng:

^b + ay = c[dy + e)^ + ay + p, d = ac + a, e = Ỉ7C + p thì đặt dx + e = ^ay + b

Tương tự, giải phương trình: {ax + p)” = p^a'x + b' +y tađặt ay + ^ = ^ax + b để đưa về

hệ, chú ý vê'dấu của a Việc chọn a; p chúng ta chỉ cân viêl dưới dạng:

(ax + p)” = p ^a'x + b' + y

2 Đặt y = ^ 3 5 -x ^ => x^ + y^ = 35

[xy(x + y) = 30Khi đó, phương trình đã cho trở thành: , giải hệ này ta tìm được

[x^ + y^ = 35(x; y) = (2; 3) = (3; 2) Tức là nghiệm của phương trình là X e (2; 3}