Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)

Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 2

0.2 Mục đích nghiên cứu 3

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

0.5 Phương pháp nghiên cứu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Sơ lược về hệ điều khiển 5

1.2 Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực 6

1.3 Tính đạt được và tính quan sát được 8

1.3.1 Tính đạt được 8

1.3.2 Tính quan sát được 10

1.4 Một số chuẩn của hệ động lực 12

1.4.1 Giá trị kỳ dị Hankel 12

1.4.2 Chuẩn trong không gian Hardy 13

2 Phương pháp chặt cân bằng 14 2.1 Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu 14

2.1.1 Ý tưởng của phương pháp 14

2.1.2 Cơ sở toán học xây dựng phương pháp 18

2.2 Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu 20

2.2.1 Xây dựng hệ giảm bậc 21

2.2.2 Định lý cơ bản 21

2.3 Thuật toán chặt cân bằng 23

2.3.1 Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu 23

2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu 24

3 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM 26

3.2 Hệ Eady 27

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn và các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 17 tháng 04 năm 2015

Học viên

Lê Thị Phương Giang

cỡ lớn bằng một hệ cỡ nhỏ hơn theo nghĩa nào đó.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp Chặt cân bằng, mộtphương pháp hữu hiệu để giảm bậc của hệ điều khiển Chúng tôi phân tích kỹ càng ýtưởng của phương pháp xuất phát từ ý nghĩa vật lý, cũng như việc trình bày nó dướingôn ngữ toán học Thêm vào đó, để thuận tiện cho việc lập trình, thuật toán củaphương pháp cũng được đưa ra Cuối cùng, để lấy minh họa cho phương pháp, chúngtôi lấy ví dụ với những dữ liệu thực tế

Lời cảm ơn

Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảngviên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đãhướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham giagiảng dạy tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Các thầy cô đã nhiệttình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường.Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và ngườithân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn

Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song bản luận văn khôngthể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận được nhữnggóp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, 2015 Lê Thị Phương Giang

Học viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Danh sách hình vẽ

3.1 Sai số tuyệt đối của mô hình FOM: ngưỡng sai số10−3(a) và ngưỡngsai số10−5(b) 273.2 Sai số tương đối của mô hình FOM: ngưỡng sai số10−3(a) và ngưỡngsai số10−5(b) 273.3 Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số10−3 (a) và ngưỡngsai số10−5(b) 283.4 Sai số tương đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số10−3(a) và ngưỡngsai số10−5(b) 28

Mở đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, mô phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sản xuất tạo ra sảnphẩm Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫu sản phẩm thỏa mãn các yêu cầu củanhà sản suất Ngoài ra, việc mô phỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắttiền và kéo dài sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian

Trong bước đầu tiên của một mô phỏng, người ta phải tìm một mô hình toán học

mô tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phần đơn lẻ của nó Việc hình thànhmột mô hình được dựa trên các quy luật trong vật lý, hóa học Quá trình này đượckết thúc bởi một tập hợp các phương trình vi phân đạo hàm riêng Để có dữ liêu môphỏng, người ta phải giải các phương trình đó trên máy tính Để làm được điều này,các phương trình vi phân đạo hàm riêng phải được rời rạc trong không gian bằngphương pháp số, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phươngpháp sai phân hữu hạn (FDM) Trong nhiều trường hợp, ta thu được hệ điều khiểntuyến tính không phụ thời gian như sau:

E ˙x(t) = Ax(t) + Bx(t), y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1)

trong đóE, A ∈ RN ×N, B ∈ RN ×m, C ∈ Rl×N là các ma trận thực hoặc phức; x(t)

là vectơ cỡN mô tả trạng thái của hệ phụ thuộc vào thời giant; u(t) là hàm đầu vàohoặc là hàm điều khiển, ảnh hưởng tới các hoạt động của hệ thống;y(t) là thông tinđầu ra có được từ trạng tháix(t)và đầu vàou(t)mà người dùng quan tâm đến

Hệ thống (1) là mô hình toán học cho tương ứng đầu vào - đầu ra Nhập một đầu

vào u(t) và quan sát các thông tin của đầu ray(t).Hành động này được lặp đi lặp lạinhiều lần trong quá trình thiết kế, mô phỏng.

Do đòi hỏi của tính chính xác trong quá trình mô phỏng, miền không gian đượcchia rất nhỏ Điều này dẫn đến một hệ quả là cỡ của vectơ trạng thái hay còn gọi làbậc của mô hình, rất lớn, thông thường là trên104 Như vậy, cứ mỗi lần thay đổi đầuvào, người ta phải giải một phương trình vi phân cỡ lớn để có vectơ trạng thái và tínhđầu ra Máy tính thông thường không thể thực hiện điều đó trong thời gian thực, nghĩa

là tốc độ tính toán tương ứng đầu vào - đầu ra rất chậm Từ đó người ta muốn xấp xỉ

hệ động lực bậcN ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, vớin  N Xấp xỉ được hiểutheo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệ động lực xấp xỉ bằng nhau.Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần, thời gian mô phỏng sẽ được rút ngắn rấtnhiều Công việc này gọi là giảm bậc của hệ động lực

Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng thực

tế Có rất nhiều công trình đã viết về vấn đề này và nhiều phương pháp đã được tìm

ra Nổi bật hơn cả là ba phương pháp: phân tích trực giao chính (Proper OrthogonalDecomposition), Chặt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp không giancon Krylov (Krylov Subspace Methods) Trong ba phương pháp giảm bậc ở trên thìphương pháp Chặt cân bằng là phương pháp hữu hiệu hơn cả Nó được thể hiện ở haikhía cạnh Thứ nhất, nó cho chúng ta một chặn trên sai số tiên nghiệm (a priori errorbound) Thứ hai, nó bảo toàn tính ổn định của hệ ban đầu nếu hệ ban đầu ổn định Dovậy chúng tôi quyết định chọn đề tài "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính khôngphụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng" để nghiên cứu

0.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệđiều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian Phương pháp được đề cập ở đây làphương pháp Chặt cân bằng

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau đây: Trình bày ý tưởng của phươngpháp chặt cân bằng, các khái niệm và tính chất liên quan đến phương pháp, nội dungphương pháp và cuối cùng là áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ thực tế

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm bậc của mô hình Chặt cân bằng

• Phạm vi nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian

0.5 Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và tìm hiểu một số tài liệu liên quan như sách, bài báo tạp chí, luận án tiến

sĩ, luận văn thạc sĩ

• Sử dụng nhiều kiến thức của đại số tuyến tính ứng dụng

• Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAB và các

dữ liệu đã được công nhận rộng rãi trong cộng đồng những nhà nghiên cứu về lýthuyết giảm bậc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Sơ lược về hệ điều khiển

Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính, liên tục theo thời gian

và ô-tô-nôm

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t).

(1.1)

Ý nghĩa của các đại lượng như sau:

• t ∈ (0, +∞): biến thời gian,

• u(t) ∈Rm: đầu vào hay hàm điều khiển,

• y(t) ∈Rl: đầu ra,

• x(t): vectơ trạng thái,

• A ∈RN ×N: ma trận động lực,

• B ∈RN ×m: ma trận đầu vào,

• C ∈Rl×N: ma trận đầu ra,

• D ∈Rl×m: ma trận ghép cặp đầu vào - đầu ra

Ở đâyA, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào thời gian

t

Khiu(t)vày(t)là các hàm vô hướng, haym = l = 1, thì hệ điều khiển được gọi là

một đầu vào - một đầu ravà ký hiệu là SISO (single - input - single - output), trườnghợp ngược lại nếum, l > 1 thì hệ được gọi là nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và ký hiệu

là MIMO (multiple - input - multiple - output)

Khi xét hệ điều khiển tổng quát người ta còn đưa vào một số khái niệm: tính chấtkhoảng, tính nhất quán, tính nhân quả, tính đối chu trình, tính ổn định, tính đạt được

và tính quan sát được, các khái niệm này có thể tìm thấy trong [3]

Hệ (1.1) được gọi là dạng của hệ động lực trong miền thời gian

1.2 Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực

Giả sử phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu x(t0) = x0, nghiệm của nó x(t)

được viết như sau

y(t) = Du(t) +

Z t 0

Dδ(t − τ )u(τ )dτ +

Z t 0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ

Z t 0

Dδ(τ − t)u(τ )dτ +

Z t 0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ

=

Z t 0

(Dδ(t − τ ) +

Z t 0

CeA(t−τ )Bu(τ )dτ,

trong đó Lq(R+ ,Rm) := {f :R+ −→Rn, (R

R + ||f (t)||qq dt)1q < ∞} L được gọi là ánh

xạ đầu vào - đầu ra của hệ điều khiển trong miền thời gian

Định nghĩa 1.1 Chof (t) ∈ L1(R+,Rl), biến đổi Laplace củaf (t)là

hệ điều khiển.G(s)ˆ được gọi là hàm truyền của hệ điều khiển

Có một cách khác, tự nhiên để xác định hàm truyền của hệ (1.1) là sử dụng trựctiếp biến đổi Laplace lên cả hai phương trình của hệ

sˆ x(s) = Aˆ x(s) + B ˆ u(s), ˆ

y(s) = C ˆ x(s) + Dˆ u(s),

do đó

ˆ y(s) = (D + C(sI − A)−1B)ˆ u(s) =: H(s)ˆ u(s). (1.5)

• Không gian đạt được là tập hợp các trạng thái đạt được, kí hiệu làXr

• Hệ điều khiển được gọi là đạt được nếuXr = X

• Ma trận có vô số cột

R(A, B) := [B AB A2B ]

được gọi là ma trận đạt được của hệ điều khiển (1.1)

Chú ý 1.1 Đối với trường hợp đang xét, khái niệm đạt được, không gian đạt được

trùng với khái niệm điều khiển được vốn rất thông dụng trong lý thuyết điều khiển

Ma trận đạt được có mối quan hệ chặt chẽ với các Gramian đạt được, nó đượcđịnh nghĩa như sau

Định nghĩa 1.3 Gramian hữu hạn đạt được tại t ∈ R của hệ điều khiển (1.1) là ma

trận

P(t) :=

Z t 0

eAτBBTeATτdτ.

Định lí 1.1. • P(t) = P T (t)và nửa xác định dương.

• ∀t ∈R+, ImP(t) = ImR(A, B).

Định lí 1.2. • Xr = ImR(A, B).

• AX r ⊂ X r

• Hệ điều khiển là đạt được nếurank(R(A, B)) = N.

• X r là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ.

Theo Định lý (1.1) và (1.2) ta có∀x ∈ Xr, ∀t ∈R+, ∃ξ ∈Rn sao cho

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình trạng thái

x =

Z t 0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ

=

Z t 0

eAsBBTeATsξds

= P(t)ξ.

Điều vừa chứng minh chỉ ra rằng muốn đạt đượcxtạitta cần biến điều khiển

u = BTeAT(t−τ )ξ.

Người ta đã chỉ ra, xem [1],ucó năng lượng nhỏ nhất trong các điều khiển đưa trạngthái0đếnx, tức là

||u||2 ≤ ||u||2, ∀u(t) ∈ L2(R+,Rm),

u(r)Tu(r)dr

= ξ

Z t 0

được gọi là ma trận quan sát được của hệ điều khiển

• Gramian quan sát được tạit ∈R+ là

Q(t) =

Z t 0

eATτCTCeAτdτ.

Định nghĩa 1.5. • ∀t ∈R+ , Xuo= KerO(A, C) = KerQ(t)

• Xuolà bất biến vớiA.

• Hệ điều khiển là quan sát được khi và chỉ khirank(O(A, C)) = N.

• Tính quan sát được là bất biến đối với phép đổi cơ sở

Tương tự như phần năng lượng của điều khiển, ta tính được năng lượng trong

L 2 (R+,Rl)của hàm đầu ray(t) = Cx(t)tạo ra bởi xtại thời điểm tlà

||y||2 = xTQ(t)x.

Nhận xét 1.1 Theo định nghĩa,P vàQlà không giảm trong R+ Nếu hệ điều khiển

là đạt được thìP(t)khả nghịch vàP−1(t)là không tăng Vì vậy

||u(t)||22 = xT(t)P−1(t)x(t)

là không tăng Từ đó, năng lượng đạt được nhỏ nhất của điều khiển từ 0đến x là tạithời điểmtkhit −→ ∞ Tương tự như vậy, năng lương quan sát lớn nhất sinh ra dox

là khit −→ ∞(khi thời gian lớn)

Định nghĩa 1.6 Nếu hệ ổn định ta gọi Gramian đạt được là

P :=

Z ∞ 0

eAτBBTeATτdτ. (1.8)Gramian quan sát được là

Q :=

Z ∞ 0

Nhận xét 1.2. P, Qlà các ma trận đối xứng, nửa xác định dương Nếu hệ điều khiển

là đạt được và quan sát được thìP, Qtương ứng là các ma trận xác định dương Trongthực tế tính toán, ta hay giải phương trình Lyapunov bằng phương pháp lặp và thu đượcnghiệm của nó dưới dạng phân tích hạng thấp nếu nghiệm là nửa xác định dương vàphân tích Cholesky nếu là xác định dương có dạng

1.4.2 Chuẩn trong không gian Hardy

Trước tiên ta định nghĩa chuẩn Schatten của ma trậnM ∈Cm×n, m ≥ nnhư sau

khip = 2chuẩn||.||S,2 còn được gọi là chuẩn Probenius hay chuẩn Hilbert- Schmidt

Định nghĩa 1.9 Cho F : C+ −→ Cl×m là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng C+,chuẩn Hardy củaF được định nghĩa và kí hiệu là

Chương 2

Phương pháp chặt cân bằng

2.1 Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu

2.1.1 Ý tưởng của phương pháp

Từ phân tích chương trước, ta đã biết, đối với một hệ ổn định, đạt được thì nănglượng nhỏ nhất để đạt được x ¯làx ¯TP−1x ¯ DoP đối xứng, xác định dương nên nó cóphân tích giá trị riêng

Tương tự như vậy, ta có năng lượng quan sát được tạix ¯làx ¯TQ¯ x Khi đó

Q = V ∆VT,

trong đóV là ma trận trực giao, các cộtV ilà những vectơ riêng củaQvà

∆ = diag(d 1 , , dN), d 1 ≥ ≥ dN > 0,

là ma trận chéo trong đó các phần tử chéo là giá trị riêng củaQ Năng lượng cần thiết

để quan sát được tạix ¯là

và ổn định, những trạng thái mà có thành phần chính nằm trong không gian con sinhbởi vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng lớn (nhỏ) củaQsẽ sinh ra năng lượng lớn(nhỏ) để quan sát Chính vì thế nên chúng dễ (khó) quan sát.

Những phân tích trên cung cấp một cách hiệu quả để định lượng mức độ đạt được

và mức độ quan sát được Không gian con gồm các trạng thái dễ dàng đạt được và dễdàng quan sát được đóng vai trò quan trọng trong các hoạt động của hệ, những khônggian con khác không có nhiều vai trò và ít quan trọng hơn Chúng là ứng cử viên tốt

để được cắt bỏ để làm cho bậc của hệ nhỏ hơn mà không ảnh hưởng đáng kể đến hoạtđộng của hệ

Tuy nhiên, vấn đề là mức độ đạt được, và mức độ quan sát được của không giancon là hai khái niệm độc lập Theo đó, hoàn toàn có thể xảy ra tình huống, một khônggian con khó để đạt được (thích hợp để cắt bỏ) nhưng lại dễ quan sát được (thích hợp

để được giữ lại) và ngược lại Ta có thể thấy nó qua ví dụ sau đây, xét hệ (1.1) với các

ma trận được cho bởi

V (:, 1)TQV (:, 1) = 2.8416vàV (:, 2)TQV (:, 2) = 0, 1584.

Nó chỉ ra rằngV (:, 1)dễ dàng quan sát trong khiV (:, 2)rất khó để quan sát

Để đối phó với điều này, người ta phải tìm một cơ sở, nếu nó tồn tại, cho khônggian trạng thái mà cân bằng giữa mức độ đạt được và mức độ quan sát được Chínhxác hơn là

P = Q = Λ = diag(σ1, , σN).

Định nghĩa 2.1 Một hệ đạt được, quan sát được và ổn định được gọi là cân bằng nếu

P = Q, và được gọi là cân bằng trục chínhP = Q = Λ = diag(σ1, , σN).

Những phép biến đổi tọa độ mà đưa một hệ đạt được, quan sát được và ổn định vềdạng cân bằng trục chính được gọi là phép biến đổi cân bằng

Bổ đề 2.1 Giả sửP, Q là Gramians đạt được và Gramians quan sát được của không gian con đạt được và quan sát được Khi đó, chuyển đổi cân bằng là