Nghiệm tối ưu và nghiệm tối ưu xấp xỉ của bài toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc (tt)

• Giới thiệu một lược đồ đối ngẫu cho bài toán tối ưu không lồi cóvô hạn ràng buộc để từ đó nhận được các kết quả của các kiểuđối ngẫu Mond-Weir và Wolfe.. Kết quả nghiên cứu • Hai định

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

NGHIỆM TỐI ƯU VÀ NGHIỆM TỐI ƯU XẤP XỈ

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI

CÓ VÔ HẠN RÀNG BUỘC

Mã số: CS2014-38

Xác nhận của Chủ tịch HĐ Nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài

TP HỒ CHÍ MINH - 6/2015

THÔNG TIN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thông tin chung

• Tên đề tài: Nghiệm tối ưu và nghiệm tối ưu xấp xỉ của bài toánkhông lồi có vô hạn ràng buộc

• Mã số: CS2014-38

• Chủ nhiệm: TS Tạ Quang Sơn

• Thời gian thực hiện: 06/2014 – 06/2015

Mục tiêu của đề tài

• Cải tiến một số điều kiện tối ưu đã công bố trong bài báo số [13]

để nhận được nghiệm xấp xỉ cho một lớp các bài toán không lồi

Tính mới của đề tài

• Nới lỏng điều kiện để thu được một số kết quả về điều kiện tối ưuxấp xỉ đã được công bố trước đây

• Giới thiệu một lược đồ đối ngẫu cho bài toán tối ưu không lồi có

vô hạn ràng buộc để từ đó nhận được các kết quả của các kiểuđối ngẫu Mond-Weir và Wolfe

Kết quả nghiên cứu

• Hai định lý về điều kiện tối ưu xấp xỉ

• Sáu định lý liên quan về đối ngẫu dạng xấp xỉ

Sản phẩm

Bài báo khoa học quốc tế:

Ta Quang Sơn, Refinements of ε-Duality Theorems for a vex Problem with an Infinite Number of Constraints, Journal of Non-linear Analysis and Optimization, Vol 4, No 2, (2013), 61-70

Noncon-Mục lục

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 71.2 Danh mục một số công trình đã công bố thuộc lĩnh

vực của đề tài 91.3 Mục tiêu của đề tài 101.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận, phương

pháp nghiên cứu 111.5 Nội dung nghiên cứu 11

II Nội dung nghiên cứu 13

1 Bài toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc 141.1 Giới thiệu bài toán 141.2 Các kiến thức chuẩn bị 16

2.1 Điểm lại một số kết quả đã biết 212.2 Một số kết quả về điều kiện tối ưu xấp xỉ có cải tiến 23

3.1 Các định lý 273.2 Mối quan hệ xấp xỉ giữa các giá trị tối ưu của bài toán

gốc và bài toán đối ngẫu 32

MỘT SỐ KÝ HIỆU

X Không gian Banach

X∗ Không gian đối ngẫu của X

R Không gian các số thực

T Tập các chỉ số, có thể vô hạn

R(T ) Không gian các dãy suy rộng

kxk Chuẩn của véc-tơ x

|x| Giá trị tuyệt đối của véc-tơ x

D Tập đóng trong không gian X

TD(x) Nón tiếp xúc của D tại x

ND(x) Nón chuẩn của D tại x

f0(z; d) Đạo hàm theo hướng d của hàm f tại z

fc(z; d) Đạo hàm Clarke theo hướng d của hàm f tại z

∂fc(z) Dưới vi phân Clarke của hàm f tại z

{zn} Dãy số hoặc dãy véc-tơ

F, A Tập chấp nhận được

Phần I

Giới thiệu về đề tài

nghiên cứu

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu

Tối ưu hóa là một trong những chuyên ngành toán học rất đượcquan tâm trong nhiều thập kỷ vừa qua Các bài toán tối ưu thườngxuất hiện trong các bài toán kinh tế, kỹ thuật, truyền thông, nhậndạng, bởi các nhu cầu như nhanh nhất, rẻ nhất, nhiều nhất, tốtnhất, ngắn nhất, ít nhất, là các vấn đề thường đặt ra trong các bàitoán thực tế Từ việc nghiên cứu về nghiệm chính xác của bài toán tối

ưu, người ta còn quan tâm đến nghiệm xấp xỉ bởi ý nghĩa thực tiễncủa nó trong các thuật toán

Gần đây, một dạng của bài toán tối ưu nửa vô hạn (semi infiniteoptimization problem) được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đó làbài toán tối ưu có vô hạn ràng buộc Nhiều tài liệu đã đề cập đếnnhững ứng dụng quan trọng của bài toán này kể cả bài toán lồi vàkhông lồi [2], [3], [4], [5] Trong đề tài nghiên cứu này, từ việc tìmhiểu về nghiệm tối ưu chúng tôi quan tâm tìm kiếm một số kết quả

về nghiệm tối ưu xấp xỉ của một lớp bài toán tối ưu không lồi có vôhạn ràng buộc

Cần phải nhắc lại rằng, đối với lớp bài toán này, một số vấn đềnhư nghiên cứu về điều kiện tối ưu, điều kiện tối ưu xấp xỉ, đặc trưngtập nghiệm,vv, gần đây đã được một số tác giả nghiên cứu thiếtlập trong bài báo số [14], [13], [6] và nhiều nghiên cứu tiếp sau khác

Về vấn đề nghiệm tối ưu, trong bài báo [13], điều kiện cần và đủ đểnhận được nghiệm tối ưu đã được giới thiệu Năm 2011, vấn đề nàyđược phát triển sâu hơn bằng cách dựa vào điều kiện cần và đủ tối ưu

để đưa một số đặc trưng tập nghiệm cho lớp bài toán không lồi có vô

hạn ràng buộc nói trên Song song với việc quan tâm về nghiệm tối ưu,các vấn đề về nghiệm tối ưu xấp xỉ của lớp bài toán này cũng đượcquan tâm khảo sát Năm 2008, dựa vào khái niệm hầu tựa nghiệmxấp xỉ (almost approximate solution) đề xuất bởi Loridan, các tác giảT.Q Son, J.J Strodiot, V.H Nguyen đã thiết lập các điều kiện cần

và đủ tối ưu về hầu tựa nghiệm xấp xỉ và các định lý về đối ngẫuxấp xỉ dạng Wolfe cho một dạng bài toán tối ưu không lồi đơn mụctiêu có vô hạn ràng buộc Kết quả này được đăng tải trong tạp chíJournal of Optimization Theory and Applications năm 2009 với bàibáo có tên: “ε-Optimality and ε-Lagrangian Duality for a NonconvexProgramming Problem with an Infinite Number of Constraints” Gầnđây, hầu tựa nghiệm xấp xỉ Pareto của bài toán tối ưu không lồi đamục tiêu đã được các tác giả T.Q Sơn và D.S.Kim quan tâm nghiêncứu Các điều kiện cần và đủ tối ưu xấp xỉ cho hầu tựa nghiệm Paretocũng như các định lý đối ngẫu xấp xỉ cho bài toán đa mục tiêu có vôhạn ràng buộc đã được giới thiệu trong bài báo “ε-Optimality and ε-Duality theorems of a Multiobjective Nonconvex Program with infiniteconstraints” đăng trong tạp chí Journal of Global Optimzation năm2013

Với các nghiên cứu đạt được trong mô tả nêu trên, một loạt cácvấn đề còn có thể tiếp tục nghiên cứu để bổ sung cho bài toán khônglồi có vô hạn ràng buộc nói trên chẳng hạn như: nới lỏng các điều kiệncài đặt cho bài toán, tìm hiểu về mối liên quan giữa giá trị tối ưu xấp

xỉ của bài toán tối ưu và đối ngẫu, vai trò của hàm Lagrange xấp xỉ,đặc trưng tập nghiệm thông qua bài toán đối ngẫu

1.2 Danh mục một số công trình đã công

bố thuộc lĩnh vực của đề tài

Danh mục các công trình đã công bố thuộc lĩnh vực của đề tài củachủ nhiệm và những thành viên tham gia nghiên cứu (họ và tên tácgiả, bài báo, ấn phẩm, các yếu tố về xuất bản)

• T.Q Son and D.S Kim, ε-Mixed type duality for nonconvex objective programs with an infinite number of constraints, Journal

multi-of Global Optimization (2013), Vol 57, Issue 2, 447-465

• T.Q Son, D.S Kim and P.N Nam Duality theorems of a convex program with infinite constraints, Proceedings of the 7thInternational Conference on Nonlinear Analysis and Convex Anal-ysis, Yokohama Publishers (2013), 181-196

non-• T.Q Son and D.S Kim, Some new properties of Lagrange functionand its applications, Fixed Point Theory and Applications (2012),2012:192, DOI: 10.1186/1687-1812-2012-192

• T.V Thach and T.Q Son, Almost ε-quasisolutions of a vex programming problem with an infinite number of constraints,Journal of Science and Technology Development (VNU), 2 (2012),57-68

noncon-• T.Q Son, D.S Kim and N.N Tam, Weak stability and strong ality of a class of nonconvex programs via augmented Lagrangian,Journal of Global Optimization, Volume 53, Number 2 (2012),165-184

du-• D S Kim and T.Q Son, Characterizations of solution sets of a

class of nonconvex semi-infinite programming problem, Journal of

Nonlinear Analysis and Convex Analysis,12 (2011), 429-440

• D.S Kim and T.Q Son, ε-Optimality conditions for nonconvex

semi-infinite programs involving support functions, Fixed Point

Theory and Applications (2011), 2011:175327, doi:10.1155/2011/175327

• T.Q Son, J.J Strodiot, and V.H Nguyen, Optimality and

ε-Lagrangian duality for a nonconvex programming problem with

an infinite number of constraints, Journal of Optimization Theory

and Applications, 141 (2009) , 389-409

1.3 Mục tiêu của đề tài

Đề tài hướng đến các mục tiêu sau đây:

• Cải tiến một số điều kiện tối ưu đã công bố trong bài báo số [13]

để nhận được nghiệm xấp xỉ cho một lớp các bài toán không lồi

có vô hạn ràng buộc

• Từ các kết quả nêu trên áp dụng một lược đồ đối ngẫu hỗn hợp

để thiết lập các định lý dối ngẫu xấp xỉ liên quan bài toán

• Khảo sát việc xấp xỉ giá trị tối ưu giữa bài toán gốc và các bài

toán đối ngẫu của lớp bài toán nêu trên

1.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách

tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Tối ưu không lồi

• Phạm vi nghiên cứu: Các điều kiện tối ưu, hàm Lagrange, bài toánđối ngẫu

• Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu: Khảo sát lại bài toán

đã được quan tâm trong bài báo số [13] Trên cơ sở đó phân tíchcác kết quả đạt được Dựa trên nguyên lý xấp xỉ của Eukerland,tính chất dưới vi phân Clarke, tính chất hàm Lipschitz, tính chấtchính qui xấp xỉ của hàm Lipschitz để cải tiến các kết quả vềnghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu không lồi đơn mục tiêu, kể cảcác kết quả về nghiệm xấp xỉ tìm kiếm từ hướng đối ngẫu Cácvấn đề này có thể mở rộng kết quả cho tối ưu đa mục tiêu theocác phương pháp vô hướng hóa

1.5 Nội dung nghiên cứu

• Chương 1: Các khái niệm cơ bản, giới thiệu bài toán

• Chương 2: Nghiên cứu về các điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ Cụ thểcải tiến, mở rộng một số điều kiện tối ưu xấp xỉ cho lớp bài toántối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc

• Chương 3: Đề xuất kiểu đối ngẫu dạng hỗn hợp cho lớp bài toánđang khảo sát Thiết lập các định lý đối ngẫu xấp xỉ theo mộtkiểu hỗn hợp Từ đó suy ra được các kết quả về đối ngẫu xấp xỉ

dạng Mond-Weir và Wolfe Nghiên cứu đề xuất một kiểu đánh giáxấp xỉ các giá trị tối ưu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.

Phần II

Nội dung nghiên cứu

Chương 1

Bài toán tối ưu không

lồi có vô hạn ràng buộc

1.1 Giới thiệu bài toán

Chúng ta biết rằng một trong những kết quả đầu tiên liên quanđến nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu được khảo sát trong bài báocủa P Loridan [9] năm 1982: “Necessary condition for ε-optimality”.Sớm hơn một chút có thể kể đến các kết quả trong tài liệu của Laurent[8] và trong một bài báo của S.S Kutateladze [7]

Kể từ khi các kết quả này được công bố, đã có nhiều công trìnhquan tâm đến điều kiện cần và đủ tối ưu xấp xỉ đối với các bài toánkhông lồi như [15], [10], [16], [4], [12], [2], [3], [13], [5]

Ngoài khái niệm ε-nghiệm của bài toán tối ưu có tính toán cụcthường thích hợp với bài toán lồi, các khái niệm như ε-nghiệm, hầutựa ε-nghiệm lại có tính địa phương và phù hợp với các bài toán khônglồi

Gần đây, trong bài báo [13], một số kết quả về điều kiện tối ưu xấp

xỉ và các định lý về đối ngẫu xấp xỉ của bài toán tối ưu dạng không

lồi có vô hạn ràng buộc đã được thiết lập không có điều kiện chínhqui Qua khảo sát lại bài báo này, các điều kiện cho các kết quả nàycòn có thể nới lỏng.

Trước hết chúng ta nhắc lại bài toán không lồi có vô hạn ràng buộcsau đây

(P) Minimize f (x)s.t ft(x) ≤ 0, t ∈ T,

x ∈ C,

ở đây f, ft : X → R, t ∈ T là các hàm Lipschitz địa phương trênkhông gian Banach X, T là tập các chỉ số có thể vô hạn, C là tập conlồi đóng trong X

Bài toán trên với các giả thiết hàm mục tiêu và hàm ràng buộc làcác hàm lồi đã được khảo sát năm 2006 trong bài báo [20] và năm 2007được nghiên cứu sâu hơn trong bài báo [21] Năm 2009, bài toán trênđược khảo sát với các hàm lồi suy rộng và quan tâm đến nghiệm tối

ưu xấp xỉ [13] Năm 2011, bài toán trên với giả thiết hàm mục tiêu vàhàm ràng buộc là các hàm lồi suy rộng lại được quan tâm để xác lậpcác điều kiện đặc trưng tập nghiệm [6] và các kết quả về nghiệm chínhxác đã được khảo sát trong bài báo nêu trên Các kết quả về nghiệmxấp xỉ được quan tâm khảo sát trong bài báo [13] Để giới thiệu cáckết quả mới, chúng ta xem lại bài toán được xét trong bài báo [13].Cần chú ý rằng trong bài báo này, các điều kiện tối ưu xấp xỉ đượcthiết lập dựa trên điều kiện Karush-Kuhn-Tucker suy rộng chính xácđến ε và các tính chất chính qui hay tính ε-nửa lồi được áp dụng chocác hàm Lipschitz có trong bài toán Các kết quả về đối ngẫu theokiểu Wolfe cũng được giới thiệu

Trong đề tài này chúng tôi thực hiện các nội dung sau:

- Khảo sát lại bài toán và phân tích các kết quả đạt được về nghiệmxấp xỉ, để từ đó giới thiệu các kết quả mới về điều kiện tối ưu tối ưuxấp xỉ với các điều kiện nới lỏng.

- Các kết quả về đối ngẫu dạng xấp xỉ cũng được cải tiến thôngqua kiểu đối ngẫu dạng hỗn hợp được giới thiệu trong bài báo [14]

1.2 Các kiến thức chuẩn bị

Để thiết lập các kết quả, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức vàkhái niệm cơ bản như sau: Trong toàn bộ đề tài này, X là không gianBanach, T là không gian topo compact, C là tập lồi đóng trong X,hàm f : X → R là Lipshitz địa phương trên X Chúng ta cũng giả sửrằng ft : X → R, t ∈ T, là các hàm Lipshitz địa phương theo x và đềuvới theo t Tức là với mỗi x ∈ X, luôn tồn tại lân cận U của x và hằng

số K sao cho |ft(z) − ft(z0)| ≤ K kz − z0k ∀ z, z0 ∈ U and ∀ t ∈ T.Cho g : X → R là hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm theo hướngcủa g tại z ∈ X theo hướng d ∈ X được ký hiệu và định nghĩa bởi

g0(z; d) := lim

t→0 +

g(z + td) − g(z)

tnếu giới hạn ở vế phải của công thức nêu trên tồn tại

Đạo hàm Clarke tại z theo hướng d được ký hiệu và định nghĩabởi:

gc(z; d) := lim sup

x→z t→0+

g(x + td) − g(x)

tDưới vi phân Clarke tại z được ký hiệu và định nghĩa bởi:

∂cg(z) := {v ∈ X∗ | v(d) ≤ gc(z; d), ∀d ∈ X} ,

Hàm Lipshitz địa phương g được gọi là tựa khả vi (hay chính quitheo nghĩa của Clarke) tại z ∈ X nếu đạo hàm g0(z; d) tồn tại và

gc(z; d) = g0(z; d), ∀d ∈ X

Với tập con D đóng trong X, nón tiếp xúc của D tại x được ký hiệu

và định nghĩa bởi

TD(x) = {v ∈ X | d◦D(x; v) = 0},

ở đây dD ký hiệu hàm khoảng cách tương ứng với D Nón chuẩn của

D tại x được định nghĩa bởi

ND(x) = {x∗ ∈ X∗ | hx∗, vi ≤ 0, ∀v ∈ TD(x)}

Nêu D là tập lồi thì nón chuẩn của D tại x trùng với nón chuẩn theonghĩa giải tích lồi như sau

ND(x) = {x∗ ∈ X∗ | hx∗, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ D}

Chúng ta nhắc lại một định nghĩa trong [13]

Định nghĩa 1.2.1 [13] Cho C là tập con của X và cho sô thực α ≥ 0.Hàm Lipschitz địa phương g : X → R được gọi là α-nửa lồi tại z ∈ Cnêu g là chính qui z, đồng thời điều kiện sau đây được thỏa mãn:

g0(z; x − z) +√

αkx − zk ≥ 0 =⇒ g(x) +√

αkx − zk ≥ g(z), ∀x ∈ C

(1.1)Hàm g được gọi là α-nửa lồi trên C nếu g là α-nửa lồi tại mỗi z ∈ C.Với α = 0, chúng ta nhận được khái niệm nửa lồi, được giới thiệutrong tài liêu [11]

Bổ đề 1.2.1 [11] Nếu g : X → R là hàm nửa lồi trên tập lồi C ⊂ X,

z ∈ C, z + d ∈ C thì g(z + d) ≤ g(z) kéo theo g0(z; d) ≤ 0

Định nghĩa 1.2.2 [9] Cho ε ≥ 0 Hàm Lipschitz địa phương g : X →

R được gọi là ε-chính qui tại z ∈ X nếu

0 ≤ gc(z; d) − g0(z; d) ≤ √

εkdk, ∀d ∈ X

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng một không gian tuyến

tính các dãy hữu hạn suy rộng sau đây:

R(T ) := {(λt)t∈T | λt = 0 với mọi t ∈ T nhưng nhiều lắm là có hữu hạn λt 6= 0}.Với λ = (λt) ∈ R(T ), tập tựa tương ứng với λ là tập

T (λ) := {t ∈ T | λt 6= 0}

Rõ ràng rằng tập này là một tập con hữu hạn của T Chúng ta cũng

định nghĩa R(T )+ là nón không âm của R(T ), tức là

R(T )+ := {λ = (λt) ∈ R(T ) | λt ≥ 0, t ∈ T }

Hoàn toàn có thể chứng minh được R(T )+ là nón lồi

Với mỗi λ ∈ R(T ), ta định nghĩa

Với λ ∈ R(T ) và {zt}t∈T ⊂ Z, Z là không gian tuyến tính thực, ta địnhnghĩa

Đối với bài toán (P) nêu trên, tập ε-chấp nhận được của (P) đượcđịnh nghĩa bởi:

Aε := {x ∈ C | ft(x) ≤ √

ε, ∀t ∈ T }

Định nghĩa 1.2.4 Cho ε ≥ 0 Điểm zε ∈ X được gọi là

(i) một hầu ε-nghiệm của (P) nếu

Chương 2

Điều kiện tối ưu xấp xỉ

2.1 Điểm lại một số kết quả đã biết

Để đưa ra các nhận định về kết quả trong bài báo [13], chúng tanhắc lại một số định lý sau đây Trước hết, ta lưu ý rằng các điều kiệnsau đây sẽ được sử dụng:

(A)

(a1) X là tách được, hay

(a2) T meetric hóa đươc và dưới vi phân Clarke ∂cft(x) là nửaliên tục trên (w∗) in t với mỗi x ∈ X

(B) ∃d ∈ TC(z), ftc(z; d) < 0, ∀t ∈ I(z), ở đây z ∈ A, I(z) = {t ∈

T | ft(z) = 0}

Định lý 2.1.1 [13] Cho ε ≥ 0 và z là một tựa ε-nghiệm của (P) Nếucác điều kiện (A) và (B) được thỏa mãn và bao lồi của {∪∂cft(z), t ∈I(z)} là đóng yếu∗ thì tồn tại λ ∈ R(T )+ sao cho

0 ∈ ∂cf (z)+X

t∈T

λt∂cft(z)+NC(z)+√

εB∗, ft(z) = 0, ∀t ∈ T (λ), (2.1)

ở đây B∗ là quả cầu đơn vị đóng trong X∗

Nhận xét: Khi ε = 0, ta thu được một định lý về điều kiện cần

về nghiệm tối ưu cho bài toán nói trên