Tổng hợp các chủ đề toán 12 ôn thi THPT quốc gia

Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn  Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận đứng và ngang của

Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng

của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều

biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp

tuyến; tiệm cận (đứng và ngang) của đồ

thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm

có tính chất cho trước; tương giao giữa

hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường

Câu III (1 điểm):

Hình học không gian (tổng hợp): Diện

tích xung quanh của hình nón tròn xoay,

hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối

lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay,

khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và

thể tích khối cầu

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được chọn một trong hai

phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn:

Câu IV.a (2 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

 Xác định tọa độ của điểm, vectơ

 Mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.a (1 điểm):

 Số phức: môđun của số phức, các phéptoán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực

Câu Vb(1 điểm)

Thêm các mục sau so với câu Va

 Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác của số phức

Bước 1: Tập xác định

Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0), y = ax  x=?  y=?)

Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn (hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +, − đồng thời chỉ ra tiệm cận (nếu có)

1

Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn

Hoàng

Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên

Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số

Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành (nếu có), tính điểm

3 Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = mx + n

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng

Chú ý :  Khi A có chứa tham số ta phải xét hai trường hợp A0), y = ax, A0), y = ax

Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn

1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

thị (C) tại điểm có hòanh độ x 0

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x)=

Cho (C): y = f(x) Gọi k là hệ số góc của

tiếp tuyến, A(x 1 ,y 1 ) là điểm mà tiếp tuyến

đi qua, thì phương trình có dạng

11: Cho (C): y = f(x) Viết phương trình

tiếp tuyến (d) của (C)

a/ song song với đường thẳng y = ax +

trình này chính là hoành độ tiếp điểm)

a ( x – x0 )

Chú ý: + Đường phân giác của góc phần

tư thứ nhất y = x; góc phần tư thứ hai y

= − x

12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = f(x) trên [a;b]

 f(x) là hàm số xác định nên liên tục /[a;b]

 Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc [a; b] tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)

Từ đó suy ra: max y = M; min y = ma;b a;b

Phương pháp chung ta thường lập BBT

13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m

Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn

Hoàng

Đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm

M(x;y) khi (1) hoặc (2) đúng m 

(x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

BÀI TẬP

4

thị hàm số cắt trục tung tại điểm có



2(4)3





1f(x)=x+2

2

 2  1   2   1 ( ( ) ;m ( )

−11

Bài 6.Trong các tam giác vuông mà

cạnh huyền có độ dài bằng 10), y = ax Hăy xác định tam giác có diện tích lớn nhất

(vuông cân có cạnh góc vuông=

5 2 )

Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến

với đồ thị hàm số :

a.Tại điểm A(0), y = ax;2) (đáp số : y=2 )

b.Tiếp tuyến đi qua A(0), y = ax;2)

hoành tại hai điểm phân biệt sao cho

là vuông góc với nhau (

Khảo sát hàm số Bài 1 Cho y = −1

a Khảo sát hàm số

b Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng y = −

(C ) tại 3 điểm phân biệt

e.Tính diện tích hình phẳng giới hạn

b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và đường thẳng y =3

a.Khảo sát hàm số.

b.Viết pttt với đồ thị (C ) biết tiếp

tuyến đi qua gốc toạ độ

c Biện luận theo m số nghiệm của

5(0), y = ax; )2

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số với m vừa tìm được

c.Tìm các điểm M trên đồ thị (C ) có toạ độ là các số nguyên

d.Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

a.m=2; b.(1;2)và (−3;1);d−2<m<1

Bài 9 a)KShàm số : 1

1

xyx

c)Tìm toạ độ điểm M(C):tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận nhỏ nhất

d)Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ),

Ox và đường thẳng x=3 quay quanh Ox

b.y= 1  17

8x 8 ;cM  1 2;  2;d.V=(3−4l n2)

c Gọi M là điểm thay đổi trên (C )

Chứng minh tích hai khoảng cách từ

M đến hai đường tiệm cận là nhỏ

c/ Với giá trị nào của m thì đường

điểm đoạn thẳng nối cực đại, cực tiểu

TN2004 Cho y= x3 −3mx2 + 4m3.a/ Khảo sát hàm số khi m=1 b/ Viết pttt tại điểm có hoành độ x=1

a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốb)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 3

TN 99 Cho y = x3 – (m + 2)x + ma)Tìm m để hàm số có cực đại tại x=1

b)Khảo sát hàm số với m = 1(C)c)Biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k

n n

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với 0), y = ax < a ≠ 1 và N > 0), y = ax có log a N = M  a M = N.

Điều kiện có nghĩa: logaN có nghĩa khi 0), y = ax 1

0), y = ax

aN

2 Các tính chất : log 1 0), y = axa  ;  logaa  ;  log1 aaM = M;  alogaN N ;

2

3 Công thức đổi cơ số :

log

a b

a

NN

Dạng a > b ( 0), y = ax < a ≠ 1 )

b≤0), y = ax : Bpt có tập nghiệm R

b>0), y = ax:a x > b  x > log a b khi a>1

a x > b  x < log a b khi 0), y = ax< a <1

xx

2)

1

33



e)

17 5

x x

 

 9 3x 2 24.3x  9 0), y = ax (*)Đặt t = 3x > 0), y = ax Pt (*)

2

3

( loai)3

tt

x 1 x

32 25 , 0

Dạng 2 đặt ẩn phụ

.ln

a

uu



Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.

2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – 1 = 0), y = ax

3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan

2

x = 0), y = ax

2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

3 Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm đă cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau

Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đă cho

B2: Thay điều kiện đă cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(

6

)= 0



Tự luyện

1 Tìm nguyên hàm của f(x)

3 Tính đạo hàm của F(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) (a là hằngsố)

II TÍCH PHÂN

1 0), y = ax

u b b

(hoặc x = acost, t[0), y = ax ;]), đổi cận

rồi thay vào tích phân ban đầu

thay vào tích phân ban đầu









2 0), y = ax

III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

 Bài toán diện tích hình phẳng:

tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

b a

2( )



b a

Chủ đề 4 SỐ PHỨCBài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

Bài 2: Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức

Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

c) −1 − 2 6.i ĐS: ( 2  3 )i d) −5 + 12.i ĐS: (2 + 3i)

Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.

ĐS:b) (2 – i; −1 – 3.i), (−1 – 3i; 2 – i), (−2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; −2 + i)

Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

Câu III (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp)

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Bài 1(2008 - lần 1): Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy

bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theoa

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Tính thể tích của khối chóp,

biết:

a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm

Bài 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Tính thể tích của khối chóp,

biết:

a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa

Bài 5: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết SA = BC = a

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên

là a 3 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Bài 7 (2006): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3

a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD

b) Cmr trung điểm cạnh bên SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD

Bài 8 (2007- lần 1): Hình chóp tam giác S ABC có đáy  ABC vuông

đỉnh B, SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích S ABC

Bài 9 (2007-lần 2): Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC Tính thể tích

S ABCD

Bài 10 (2008 - lần 2): Hình chóp S.ABC, ABC vuông đỉnh B, SA 

(ABC) Biết AB = a; BC = a 3 và SA = 3a Gọi I là trung điểm của cạnh SC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính độ dài đoạn thẳng BItheo a

Bài 11 (2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều

ABC theo a

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh

huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp, biết:

Bài 13 Hình chóp S.ABCD; ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Tính

góc 30), y = ax0), y = ax

Bài 14 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD), SA =2a

Bài 15 : Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy là ABC vuông cân tại

A có AB = a, cạnh bên của lăng trụ bằng a 3 Tính thể tích của khối lăng

Bài tập 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có cạnh bằng a

a) Tính thể tích khối lập phương theo a

b) Tính thể tích của khối chóp A A’B’C’D theo a

Bài 17 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng

a

a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích của khối chóp A' ABC theo

a

Bài 18 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB

chóp

Bài 19 Tứ diện ABCD, DBC cân tại D, ABC vuông cân, cạnh huyền BC =

theo a

Bài 20 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) và (SAD)

theo a

Bài 21 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O, AC = 2a, BD = 2b.

Hai mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Mặt bên (SBC)

ABCD

Bài 22 Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và có độ

dài lần lượt là a, b, c Tính thể tích khối tứ diện S ABC theo a, b, c

Bài 23 Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= 3 ; góc

Bài 24 Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 3a; AD =

4a Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc  Tính thể tích khối chóp theo a

và 

Bài 25 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng

đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khốicầu đó

Bài 26 Cho hình vuông ABCD cạnh 2a Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB

và CD Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụtròn xoay Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụnói trên

Bài 27 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20), y = ax,bán kính đáy r=25.

aTính diện tích xung quanh hình nón và khối nón

Bài 28 Hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng

a Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếphình lăng trụ

Chủ đề 7 Phương pháp tọa độ trong không gianCâu IV.a (2 điểm):

− Xác định tọa độ của điểm, vectơ.

− Mặt cầu.

− Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

− Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

1 Cho A(1;0), y = ax;0), y = ax), B(0), y = ax;2;0), y = ax), C(0), y = ax;0), y = ax;4) a Viết phương trình mp() qua 3

điểm A, B, C Chứng tỏ OABC là tứ

diện

b Viết phương trình mặt cầu (S)

ngoại tiếp tứ diện OABC

2 Cho A(2;0), y = ax;1), (P): 2x − y + z

+1=0), y = ax và (d): x = 1+ t ; y = 2t; z =

2+ t

a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc (P)

b Viết pt đ thẳng qua điểm A, vuông

góc và cắt đ thẳng (d)

3.Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ A(0), y = ax,0), y = ax,0), y = ax), B(1;0), y = ax;0), y = ax),

D(0), y = ax;2;0), y = ax), A’(0), y = ax;0), y = ax;3)

a Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của

hình hộp Tính thể tích hình hộp

b Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng

tâm của 2 tam giác A’BD và B’CD’

c Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của D lên đoạn A’C

4 Trong kg Oxyz cho điểm A(3;4;2),

b Viết phương trình tiếp diện của

mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song

(2)

7 Cho M(1;1;1) , hai đường thẳng

1

1( ) :

b Viết pt đường thẳng cắt cả hai

8 Cho điểm M (−1; 4; 2) và hai mặt

a Chứng minh rằng hai đường thẳng

đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm

b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua () và (’)

c Viết p trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường ()

và (’)