Tìm trên đồ thị những điểm cĩ tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị một trong hai đồ thị là đường thẳng… Câu II 3 điểm: - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit..
Trang 1HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN GIẢI TÍCHA/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm cĩ tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân
- Bài tốn tổng hợp
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chĩp, khối nĩn trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ
- Mặt cầu
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
- Tính gĩc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức Căn bậc hai của số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực cĩ biệt thức ∆ âm
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG
Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của
hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực
trị bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trị bên phải.
B7:Vẽ đồ thị
Các dạng đồ thị hàm bậc 3:
y y y y
Trang 2Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương:
y ′′ = x + cho y ′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thị hàm số:
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4
x
y
1
4 -2
Trang 33/ Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:
II/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm ax b
y
cx d
+
= + :
B4: Lập bảng biến thiên.
B5:Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm
một số điểm khác để dễ vẽ.
1
Trang 4TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2
Lập bảng biến thiên.
Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)
Đồ thị:
Bài tập đề nghị:
Bài 1: khảo sát các hàm số sau:
x
x
− +
+ b/ y =
1 1
x x
− + c/y =
4 4
x −
Bài 2:
x m
− +
Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT
HÀM SỐ I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường:
Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’) Tìm giao
điểm của (C) và (C’).
B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x0,x1,x2 thì các giao
điểm của (C) và (C’) là :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2))
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’) Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số giao điểm của (C) và d Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + 1 (1) ⇔ x3-(3+k)x = 0 ⇔ x(x2-3-k) = 0 ⇔ 0 2 ( ) 3 0 (2) x g x x k = = − − = ta có ∆/ (2)= 3+k Nếu 3+k < 0 ⇔ k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ (C) và d có 1 giao điểm Nếu 3+k = 0 ⇔ k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0 ⇒ (1) có 1 nghiệm bội ⇒ (C) và d có 1 giao điểm Nếu 3+k > 0 ⇔ k> -3 Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác không ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ (C) và d có 3 giao điểm x - ∞ -1 + ∞
y/ + +
y + ∞ 2
2 - ∞
2 4 6 8 -2
-4 -6 -8
2 4 6 8
-2 -4 -6 -8
x y
Trang 51 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt, khác 1
2 2
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho đường cong (C): y= 2 2
1
x
+ −
độ có hệ số góc k biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
Bài 2: Cho đường cong (C): y= 4
2
x − Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo
k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k.
II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ( ) ϕ m
B1: Vẽ đồ thị (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo
sát hàm số )
B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng y= ( ) ϕ m Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
dựa vào đồ thị ta có:
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5.
b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x4 – 4 x2 + 5=m.
Trang 6Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thị (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt.
III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị(C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = f (x )/ 0 (x–x0) + f(x0)
2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :
B2:Do tung độ là y0⇔f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0⇒ f /(x0)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f ′ ( x0)=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1
)
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)
⇒ phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyếnbằng 3
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Trang 7d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔f’(x0)=3 ⇔ 3.x02=3 ⇔ x0= ±1
với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2
với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8
d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :
=
= −
Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16
Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với(C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 4
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song vớiđường thẳng y= 9x + 2005
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1
3x + 2006 f/Biết tiếp
tuyến đi qua A(1;-2)
Bài 2: Cho hàm số y=
a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 2
c/ Tại điểm có tung độ y=-3
2 d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1 e/Biết
tiếp tuyến đi qua A(2;0)
IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
Chú ý: y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm gía trị m):
a) f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) tăng trong khoảng (a;b)
b) f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) giảm trong khoảng (a;b)
V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0)=0
1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0
3) x0 là cực trị của hàm số /( 0) 0
/ ( )
Trang 8cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 … ( nếu có )
+ Tính y//(x1); y//(x2)……
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) = u (x )0
v (x )0
′
′
* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có
hai nghiệm phân biệt ⇔ a 0
*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’=
0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Một số ví dụ:
1/Xác định m để hàm số:y x2 mx 1
x m
= + đạt cực đại tại x=2.
Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là: f ' 2 ( ) = Û 0 m2+ 4 m + = 3 0⇔ 1
3
m m
é ê
ê ë
=-Đ/k đủ: Với m= -1 thì f//(2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trị cần tìm
Với m= -3 thì f//(2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trị cần tìm
D = - + > " ⇒y/=0 luôn luôn có
2 nghiệm phân biệt Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.3/Định m để hàm số y=x3− 3 mx2+ 3 ( m m x2− ) + 1 có cực đại, cực tiểu
Giải
Txđ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y/=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >/ 0 ⇔ 9m2 -9m2 +9m >0 ⇔ m>0 vậy m>0 là giá trị cần tìm
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Định m để y=x3 − 3 mx2 + 3 ( m2 − 1 ) ( x − m2 − 1 ) đạt cực đại tại x=1 ĐS:m=2
Bài 2: Cho hàm số y= x4 − ax2 + b
2 Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại
x=1
Trang 9Bài 3 : Cho hàm số y=
x Định m để hàm số có cực trị và 2 giá trị
cực trị cùng dấu
Bài 4: Cho hàm số y=x3 + ( m − 1 ) x2 − ( m + 3 ) x − 1.CMR đồ thị hàm số lu6n có cựcđại và cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàmsố
Ch
ủ đề III:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHOû NHẤT CUûA HAøM SỐ
Phương pháp giải:
*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một khoảng :
-Tìm tập xác định
-Tính y’, tìm các điểm tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm số liên tục , tính giá trị của hàm số tại các điểm đĩ.
*Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm số liên tục Giả sử các điểm đĩ là x1, x2,…, xn
- Tính các giá trị f(a), f(x1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x x − 2 .
b)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số b/ y =
x
x
x2 + + 1 trên [ 1
2
x x
Trang 10Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y= x2 + 2
x (x > 0) b) y = x3− 3 x + 2 trên [ − 10,10 ]
c) y = 5 4x − trên đoạn [ − 1,1 ] d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2]
Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
logu(x)v(x) = b ⇔
[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b v(x) u(x)
÷
• Logarit hoá hai vế :
2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
20 af (x) > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1
30 af (x) < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1
Trang 11* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b
•( )v(x)
u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
• (u(x))v(x)< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số
Bài tập đề nghị:
Phương trình mũ:
Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 17 : Giải các phương trình sau
a) 2x− 4 =3 4 b) 2 5
6 2
Dạng 2 đặt ẩn phụ
Bài 18 : Giải các phương trình
Dạng 3 Logarit hóạ
Bài 19 Giải các phương trình
Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu
Bài 20: giải các phương trình
a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x
Phương trình logarit
Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 21: giải các phương trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h) log3( x + + 2 ) log3( x − = 2 ) log 53
Dạng 2 đặt ẩn phụ
Bài 22: giải phương trình
Trang 12e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
2
log x + 3log x + log x = 2 h) lg 16 l g 64 3x2 + o 2x =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 23: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ
Bài 24: Giải các bất phương trình
a) 16x – 4 ≥ 8 b)
2 5
1
9 3
9x≤ 3x+d) 4x2 − +x 6 > 1 e)
Bất phương trình logarit
Bài 27: Giải các bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
c) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2
Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Các định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm
Bảng nguyên hàm thường dùng
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và
tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sauđó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 3x +
x
1
b) f(x) = 2x+ 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Trang 13Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ
nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π)= 0
Bài tập đề nghị:
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng − 3
=
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng
Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân
Các phương pháp tính tích phân
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau: