SKKN rèn luyện cho học sinh lớp 12 phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở cuối năm lớp 11 và lại được luyện tập rất ít.. Hơn nữa các em

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng

và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Cao đẳng – Đại họctrong những năm gần đây Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT cũng như giảngdạy ở một số lớp luyện thi đại học tôi nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương phápgiải quyết bài toán này, nhiều em còn mơ hồ và lúng túng hoặc giải sai với yêu cầu đề

ra Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thườngmắc sai lầm giữa bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phươngtrình tiếp tuyến tại một điểm Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở cuối năm lớp

11 và lại được luyện tập rất ít Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cáchgiải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trườnghợp như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…

Mặt khác, do trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 họcsinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thịhàm số ở mức độ cơ bản; chưa hiểu sâu về lý thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ

năng Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số”, với mong

muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vậndụng vào giải toán thành thạo hơn, giải quyết bài toán một cách tốt nhất

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Rèn luyện cho học sinh có được năng lực giải các bài toán tiếp tuyến với đườngcong, qua đó nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo,rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức

vào những tình huống khác nhau để có thể chủ động giải quyết các bài toán về tiếptuyến với đường cong một cách tốt nhất.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Về phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường THCS & THPT Trần Ngọc

Hoằng, xã Thới Hưng, huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ

- Về đối tượng nghiên cứu:

+ Nghiên cứu các dạng toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu SGK, sách tham khảo và các tài liệu có liên quantrực tiếp đến đề tài

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học

NỘI DUNG

1 Thực trạng vấn đề:

Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy khó khăntrong việc khảo sát hàm số Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi làm bài tập vềtiếp tuyến của đồ thị hàm số, thường mắc phải những khó khăn và sai lầm sau:

- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài

- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại mộtđiểm thuộc đồ thị của hàm số

- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổi…trong bước trung gian Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…Chẳng hạn, khi gặpbài toán sau: Cho hàm số y x  3  3 x2  2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)

Các em thường giải như sau:

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng y kx 3

d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  3 x  3

Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp tuyến

Như vậy lời giải đúng là

x x

k k

y  x 

Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại điểm A(0;3)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y y  0  f x x x '( )(0  0)

Theo đầu bài ta có x0  0, y0  3

y x  f x = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 3

Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…

2 Giải quyết vấn đề:

Để giúp học sinh tránh được những khó khăn, sai lầm, thiếu sót nêu trên khigiải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Tôi nhận thấy rằng, việc làm đầu tiên làphải trang bị cho các em nắm vững cơ sở lý thuyết Tiếp theo đó, đưa các dạng bàitoán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài đểcác em rèn luyện , với mức độ bài tập từ dễ đến khó dần Từ đó, các em không cònphải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính xác khi đãxác định được yêu cầu bài toán

Kinh nghiệm hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thịhàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập, chỉ ra phương phápgiải từng dạng Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập hơn khi gặp dạng toán này

2.1 Cơ sở lý thuyết

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) và M0(x 0 ; f (x0)))

(C



Kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)

Đường thẳng M0M là một cát tuyến của ( C)

Khix x0thì M(x; f(x)) di chuyển

trên ( C) tới M0(x 0 ; f (x 0 )) và

ngược lại

Giả sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là

M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của

( C) tại M0 Điểm M0 được gọi là tiếp điểm

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp

tuyến song song hoặc trùng với Oy.

Cho hàm số (C) y = f(x) và đường thẳng (d) có phương trình: y = kx + b

Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( )

M0y

xx

xo

O

Tf(xo)

Ta cũng có thể định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị như sau:

Đường thẳng ( ) :d y kx m  được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( )nếu (d) tiếp xúc với đồ thị yf x( ) tại điểm x o

Khi đó:

+ (d) được gọi là tiếp tuyến

+ x o gọi là tiếp điểm

+ k là hệ số góc của tiếp tuyến

α

Vì (C1) và C2) có đạo hàm tại M(x, y) nên (C1) và (C2) được gọi là tiếp xúc với nhautại M0 nếu M là một điểm chung của chúng và chúng có chung một tiếp tuyến (d) tạiđiểm M

Điểm M được gọi là tiếp điểm của (C1) và C2)

Điều kiện cần và đủ để (C1), (C2) tiếp xúc nhau tại điểm M(x; y) khi và chỉ khi hệ:

có nghiệm

2.2 Rèn luyện cho học sinh các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.2.1 Dạng 1: Bài toán tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Phương trình đường thẳng đi qua M x y o( ; )o o :( ) :d y k x x (  o)y o

- Nếu (d) là tiếp tuyến tại M x y o( ; ) ( )o o  C thì k f x'( )o

- Phương trình tiếp tuyến tại M x y o( ; ) ( )o o  C là ( ) :d yf x x x'( )(o  o)y o

Vì điểm A(2;4) nằm trên đồ thị hàm số ( C): yf x( )x3 3x2

Suy ra: Phương trình tiếp tuyến ( ) :d yf '(2)(x 2) 4

( ) ( )( ) ( )

Với f x'( ) 3 x2 3 f '(2) 9

Vậy tiếp tuyến: ( ) :d y9(x 2) 4 hay ( ) :d y9x14

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x( )x4 3x2 4 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếptuyến của (C) tại M(0; 4).

Giải

Vì điểm M(0; 4) nằm trên đồ thị hàm số (C):yf x( )x4 3x2 4

Suy ra: Phương trình tiếp tuyến ( ) :d yf '(0)(x 0) 4

Với f x'( ) 4 x3 6x2 suy ra f '(0) 0

Vậy tiếp tuyến: ( ) :d y 4

Ví dụ 3: Cho hàm số y x 4  2x2có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có hoành độ hoành độ x 2

Với N( 3 ; 5)  Tiếp tuyến là yf '( 3)(x 3) 5 6  x 6 3 5

Với P( 3; 5)  Tiếp tuyến là yf '( 3)(x 3) 5 6  x6 3 5

* Nhận xét: Qua ví dụ 5 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình

tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn họcsinh tìm tọa độ tiếp điểm A, B trước rồi mới viết phương trình tiếp tuyến theo công thức

Ví dụ 6: Cho hàm số

2 2 2

( )1

Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o suy ra hệ số góc k tan 45o 1

Ví dụ 6: Cho hàm số

2( )1

  tiệm cận đứng x  ; tiệm cận xiên 1 y x 1

 giao điểm hai tiệm cận là điểm (1;2)I

Giả sử M x y( ; ) ( )o o  C 

21

o o o

x y x

- Hệ số góc của tiếp tuyến là: '( )f x o  k x o  ? y o f x( ) ?o 

- Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số: yf x( ) có hệ số góc là k có dạng:

y k x x  y

* Chú ý:

- Số nghiệm x của pt '( ) o f x o k chính là số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y kx b   f x'( )o k

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y kx b f x'( )o 1

x

x x

+ Với x1 y3.Pttt của (C) tại x = - 1 là: y9(x1) 3 y9x6

+ Với x3 y1 Pttt của (C) tại x = 3 là: y9(x 3)1 y9x 26

Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x + 2014 là:

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến vuông góc với (d) là:

d y x   x ; d2:y4(x 3) 3 4  x 9

Ví dụ 4: Chứng minh rằng trên đường thẳng y  có 4 điểm mà tại mỗi điểm đó kẻ7

được 2 tiếp tiếp tuyến tạo với nhau góc 45o tới đồ thị hàm số

2

( )1

Nhận xét y  là 1 tiếp tuyến của hàm số7

Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm ( ;7) o M a thuộc đường thẳng7

2

2 2

Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k  thì : 1

2

2 2



Phương trình (2) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đường thẳng y  mà tại mỗi7điểm kẻ được thêm 1 tiếp tuyến tạo với y  góc 457 o

Kết luận: Trên y  có 4 điểm mà tại mỗi điểm kẻ được 2 tiếp tuyến với nhau góc7

45o (Trong đó có 1 tiếp tuyến chính là y  )7

Xét dấu y” tìm được điểm uốn U(-1; 14).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12

Bảng biến thiên của hàm số ' 3 2 6 9



  

-12

Từ bảng biến thiên suy ra k   12 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1(hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 6: Cho hàm số: ( 1) ( )

2 2

C m

x

m m x m mx y

, tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đường thẳng cố định.Tìm hệ số góc của đường thẳng đó

Giải

0 0 2 2 0 0

2

2 2

)(

22

)(')

(

22

'

m x

m x m mx x

y m

x

m x m mx y

)1(02

2

00

)2

()22(

)(

22

2 0

2 0 0 0

2 0

2 0 0

2 0

2 0 0 2 2 0

kx

x kx

k x

m kx

m x kx m

k x

m k m

x

m x m mx

+ Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn)

cố định

Chú ý: Đối với bài toán tiếp tuyến mà từ yêu vầu của đề bài ta xác định hệ số góc của

tiếp tuyến là k Khi đó trong lời giải chúng ta cần giả sử t x là hoành độ tiếp điểm và o

ta đi tìm hoành độ x bằng việc giải phương trình '( ) o f x o k t và từ đó suy ra tiếptuyến

2.2.3 Dạng 3: Bài toán tiếp tuyến đi qua điểm M 0 (x 0; y 0 ) cho trước

Phương pháp :

- Phương trình đường thẳng qua điểm M x y : ( ) :( ; )o o d y k x x (  o)y o

- (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau: ( ) ( )

Chú ý: Số tiếp tuyến qua điểm M x y bằng số nghiệm của hệ phương trình (*)( ; )o o

Ví dụ 1: Cho yx3 3x1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm

2

( ; 1)

3

- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:

yf x  x  x  C Lập phương trình tiếp tuyến với

đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua 0;3

Nhận xét: Đối với các bài toán trên học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi

qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C).

Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt.

x

b x

k x

x

x

912

3

)2(196

2

)2)(

9123

(196

2 3

2 2

x

b

b x

x x

x x

x x

y'6 2  24 246(  2)2 0 

Do đó hàm số đồng biến

Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :

172412

Ví dụ 5: Cho

1

x x y

(d) là tiếp tuyến 

2

2 2

2

(1)1

(2) ( 1)

x x

kx a x

f f

A  Oy từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Ví dụ 6: Cho yx33x2 2 (C) Tìm tập hợp các điểm M thuộc đường thẳng2

y  mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số.

Thế (2) vào (1)   x33x2 43 (x x 2)(x a )

2(x 2)(2x (3a 1)x 2) 0

Để từ M a( ;2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt

 phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2

2(3 1) 16 0

a a a

3

a     

  thì từ M a( ;2)y2 kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C)

x x y

1

11

1(

11

)1()1(1

11)

(

2 k x

x k x

Lấy (1) – (3) ta được: k

x11

k x

I

2

)1(

111

1)

51

)/(2

510

01

01

0

2

1 2

2

m t k

m t k

k

k k

k k k

Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

a kx

2(2)1()

1(

31

(**)2

10

)2(3

10

a a

Gọi x1; x2 là các tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nêny(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của phương trình (*))

1)(

4)(

20

1

2

1

2

2 1 2 1

2 1 2 1 2

2 1

x x x

x x

x x

a x x

t a

a x

x

1

2

21

)2(2

2 1

2 1

10

1

4501

t t

)1(5

695

41

25

1

111

)1()1(

11

2 2

x

x x

x x

x k

x

x k x

y (C) Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻđược 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải

Viết lại y dưới dạng

1

12

Gọi B(0;b)Oy, Phương trình đường thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

x

b kx x

x

k x

b kx x

x

1

11

1

12

)1(

1

1

1

12

2

2

31

11

2

x k b x

1(

11

)1(2

31

1

x

k b x

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)

3)

3

2 2

b k k k b

k

b

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phương trình (*) có hai nghiệm khác b + 3

)1(04)3()3)(

1(2)

b b

Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ được 2tiếp tuyến đến đồ thị (C)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

2.4.1 Khảo sát thực tế:

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm , trong năm học 2013 - 2014 tôi đãkhảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A2 mà tôi được phân công dạy, thông quakiểm tra viết gồm 3 bài toán viết phương trình tiếp tuyến như sau:

Bài toán 1: (4 điểm) Cho hàm số y x  3 3 x  2 có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

Bài toán 2: ( 3 điểm) Cho hàm số 2 1

2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị(C) của hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5

Bài toán 3: (3điểm) Cho hàm số y  4 x3  3 x có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).Kết quả như sau:

Không có học sinh đạt điểm giỏi; chỉ 2 em đạt điểm khá; điểm trung bình trở lênchưa đạt 50%, còn lại là yếu, kém

Cụ thể:

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán còn yếu

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 12A2 của trường THCS & THPT Trần NgọcHoằng năm học 2013 – 2014, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểmtra viết gồm 4 bài:

Bài toán 1: (3điểm) Cho hàm số y x  4  2 x2  3 có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài toán 2: ( 3 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  



x y x

 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

thị (C) đi qua điểm A (2; 0).

Bài toán 4: (2 điểm) Tìm m để từ điểm (0;1) A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt tới

đường cong (Cm):

2

.1

x mx m y

x



Kết quả như sau:

Đã có học sinh đạt điểm giỏi tuy còn ít Điểm khá và trung bình tăng lên ; điểmyếu đã giảm đi và không còn điểm kém

Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến sáng kiến kinhnghiệm và có sự tham gia đóng góp của đồng nghiệp, vận dụng sáng kiến kinh nghiệmvào giảng dạy đã thu được một số kết quả nhất định sau:

- Học sinh trung bình, yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phương pháp viếtphương trình tiếp tuyến ở hai dạng cơ bản ( dạng 1, dạng 2) Một vài em giải được mộtphần của dạng 3

- Học sinh khá trở lên nắm vững được phương pháp, biết vận dụng thành thạo

và linh hoạt hơn, giải tốt cả 3 dạng toán trên Đặc biệt, một số em còn giải được cả bàitoán ứng dụng nâng cao

- Chất lượng bài giải và kĩ năng giải toán của các em tốt hơn so với những nămtrước đây

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ3.1 Kết luận:

Thông qua hệ thống các ví dụ từ dễ đến khó trong đề tài trên đây đã giúp chohọc sinh nắm được phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thịhàm số thường gặp Tuy nhiên khi găp những bài toán về loại này học sinh cần phảibiết phân tích yêu cầu và đặc điểm của từng loại tiếp tuyến, ngoài ra học sinh cần phảinắm những kiến thức hình học các khái niệm, đặc điểm, tính chất như: song song,vuông góc, hình dạng …để vận dụng linh hoạt, và giải quyết các bài toán này mộtcách sáng tạo

Qua ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấyđối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến học sinh đã thông hiểu hơn rất nhiều Từ

đó , tôi đã rút ra được bài học kinh nghiệm là khi giảng dạy giáo viên phải giúp họcsinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải