Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua các bài toán tính khoảng cách.

Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành những con nRèngười lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu hóa. Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học toán. Trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các tài liệu tham khảo, loại bài tập về chủ đề khoảng cách này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.Đối với các giáo viên , thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khănTrước các lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh khong phải e sợ phần này và quan trọng, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.

MỤC L C Ụ

MỞ ĐẦU 3

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Đối tượng nghiên cứu 4

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 5

1.1 Tư duy là gì? 5

1.2 Tư duy sáng tạo 5

1.3 Các thành phần của tư duy sáng tạo 6

1.3.1 Tính mềm dẻo 6

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 6

1.3.3 Tính độc đáo 7

1.3.4 Tính hoàn thiện 7

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 7

1.4 Một số hạn chế, khó khăn mà học sinh và giáo viên thường gặp khi giải một bài toán khoảng cách trong không gian 8

1.4.1 Thực trạng chung 8

1.4.2 Thực trạng đối với giáo viên 8

1.4.3 Thực trạng đối với học sinh 9

1.5 Phương pháp chung để giải một bài toán tính khoảng cách trong không gian 10

1.6 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian13 1.6.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó 13

1

1.6.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 13

1.6.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 14

1.6.4 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song 14

1.6.5 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 15

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 24

2 BIỆN PHÁP 24

2.1 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài toán tính khoảng cách 24

2.1.1 Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 25

2.1.2 Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 27

2.1.3 Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 28

2.2 Rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài toán tính khoảng cách 32

2.2.1 Mềm dẻo trong việc tính khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng 33

2.2.2 Mềm dẻo trong việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 36

2.3 Rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài toán tính khoảng cách 39

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50

1 Kết luận 50

2 Kiến nghị 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

2

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mụctiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổimới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thànhnhững con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xuthế phát triển của toàn cầu hóa Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiệnthông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của họcsinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảođồng thời rèn luyện trí tuệ Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạyhọc Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể vàchú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khókhăn, vướng mắc cho những người học toán Trong sách giáo khoa,sách bài tập, và các tài liệu tham khảo, loại bài tập về chủ đề khoảngcách này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải,chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tínhkhoảng cách trong không gian

Đối với các giáo viên , thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cậncác phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạnmột chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn

Trước các lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh

một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cáchtrong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cáchtương đối tốt, qua đó giúp học sinh khong phải e sợ phần này và quantrọng, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách

3

giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu chomỗi bài toán.

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống,thông qua đó để góp phần phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo chohọc sinh THPT trong việc dạy học các bài toán tính khoảng cách trongkhông gian

3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình và cách tổ chức dạy học các bài toán tính khoảng cáchtrong không gian ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu, nghiên cứu một số yếu tố của tư duy sáng tạo qua đó

đề xuất một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trongdạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian

+Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sángtạo

+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi

và tính thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp điều tra, khảo sát

7 Dàn ý nội dung công trình

4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN (sai cách đánh mục: 1.1 Cơ sở lí luận/ 1.2 Cở thực tiễn/…)

1.1 Tư duy là gì?

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vậtchất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan trong các khả năng, phán đoán, lý luận …

Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người vàbảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mốiliên hệ hợp quy luật của thực tại”

1.2 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thề hiện ởchỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quenthuộc hoặc duy nhất

5

Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo làngười có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặtra”.

Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình:

Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đitrước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:

Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.A Krutexcki

Như vậy có thể hiểu tư duy sáng tạo là sự kết hợp cao nhất của tưduy độc lập và tư duy tích cực, tạo ra cái mới độc đáo và có hiệu quảgiải quyết vấn đề cao

1.3 Các thành phần của tư duy sáng tạo

Nhiều nhà nghiên cứu về tâm lý học, giáo dục học đã đưa ra cáccấu trúc khác nhau của tư duy sáng tạo Tuy nhiên theo các tác giảNguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân thì tư duy sáng tạo cónhững thành phần cơ bản sau đây

1.3.1 Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trítuệ này sang hoạt động trí tuệ khác , từ thao tác tư duy này sáng thaotác tư duy khác, vận dụng các hoạt động phân tích, suy diễn , tương tự,

dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịpthời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

6

Tư duy sáng tạo tạo tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanhchóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan điểm nàysang góc độ quan điểm khác, định nghĩa là sự vật hiện tượng , gạt bỏ

sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới , tạo ra sựvật mới trong những quan hệ mới , hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận

ra bản chất sự vật và điều chỉnh phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵnvào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố thay đổi ,

có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm những kinh nhiệm, nhữngphương pháp , những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận ra vấn

đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thây chức năng mới của đốitượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của

tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta cóthể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tínhmềm dẻo của tư duy

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa cácyếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ýtưởng mới Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ vàtình huống khác nhau Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năngtạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng càng nhiều thìcàng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợpnày có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đắc trưng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sựu kiện mà bênngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau

7

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ lụy đã biết những giải phápkhác.

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng cóquan hệ mật thiết với nhau , hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễdàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác ( tínhmềm dẻo ) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiềugóc độ và tình huống khác nhau

Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khácnhư: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khảnăng phán đoán

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng

có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễdàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tínhmềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ

và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất đượcnhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, đặc sắc(tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít vớicác yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảmvấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tưduy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.Hoạt động giải toán là một hoạt động đặc biệt kích thích học sinhtìm tòi, khám phá, giải những bài toán khó thông qua việc huy độngcác tri thức của mình đã có với mong muốn tiếp thu tri thức mới, qua

8

đó giúp HS rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, bởi mỗi dạng bài tậpđều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tư duysáng tạo.

Để thực hiện tốt các biện pháp trên, mỗi giáo viên cần thườngxuyên trau dồi kiến thức toán học phổ thông, trên cơ sở kiến thức toánhọc hiện đại có liên quan và đầu tư phương pháp dạy học tốt

1.4 Một số hạn chế, khó khăn mà học sinh và giáo viên thường gặp khi giải một bài toán khoảng cách trong không gian.

1.4.1 Thực trạng chung

Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dungphong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tính trừu tượng, trí tưởngtượng không gian, đòi hỏi tính sáng tạo cao Phương pháp dạy họcchưa phù hợp với từng nội dung và năng lực học sinh Giáo viên cònhạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện, chất lượngcông cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn… Từ các nguyên nhân trêndẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kếtquả học tập của học sinh còn hạn chế

1.4.2 Thực trạng đối với giáo viên

Qua thời gian ngồi trên ghế nhà trường năm cấp 3, cùng trao đổivới bạn bè và thầy cô về dạy học bộ môn hình học không gian vớinhững nội dung cơ bản để vận dụng giải toán, cho thấy trong quá trìnhdạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lýthuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể màchưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau Do khả năng giáoviên còn có phần hạn chế về bộ môn dẫn tới chưa thu hút được họcsinh say mê học tập, chất lượng dạy và học bộ môn còn có những hạnchế nhất định: Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi

mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trungđọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện vàgiải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi

9

Tuy kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiếnthức, kĩ năng vận dụng vào thực tế chưa cao, đặc biệt sau một thờigian không thường xuyên ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nộidung tiếp theo thì học sinh không còn nắm vững được các kiến thức đãhọc trước đó.

1.4.3 Thực trạng đối với học sinh

Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá

trình học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt Đặc

điểm cơ bản của môn học là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượngphong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hìnhhọc làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian

Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài

tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học sinh Nhiều em không biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình Cá biệt có một vài em vẽ hình quá xấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài giải hình học.Vậy

thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh? Khi giảicác bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặpmột số khó khăn với nguyên nhân như là :

+ Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp mộtbài toán hình không gian

+ Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc

tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với

học sinh

+ Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái

niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian

10

+ Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và

kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định

hướng cách

+ Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định

đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm

giảm nhận thức của học sinh

1.5 Phương pháp chung để giải một bài toán tính khoảng cách trong không gian

Ta đã biết dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó giải toán

là hoạt động chủ yếu Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hìnhthành kỹ năng kỹ xảo, phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.Nghiên cứu hoạt động của sự phát triển trí tuệ con người, người ta

đã rút ra nhận xét: Có hai phạm trù khác nhau của ý nghĩ:

Phạm trù thứ nhất bao gồm những cái do chúng ta sản sinh ra mộtcách tích cực bằng hành vi, tư duy, bằng sự suy ngẫm

Phạm trù thứ hai gồm những cái tự phát lóe lên trong ý thức củachúng ta”

Vì vậy việc giải toán nói chung, dạy bài tập tìm khoảng cách nóiriêng đều phải cung cấp hệ thống tri thức, những kỹ năng giải bài tập

từ đó kích thích hoạt động tích cực của học sinh Đồng thời thông quahoạt động hướng dẫn làm lóe lên những ý tưởng mới khi giải toán, đó

là cơ sở để học sinh có được những phát kiến mới, nói cách khác tư duysáng tạo của học sinh có điều kiện phát triển lên cao

Theo “sáng tạo toán học” của PÔLIA(1975) phương pháp chung đểgiải một bài tập toán gồm 4 bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

11

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để hiểu được nội dung đề bài ta sẽ phát biểu bài toán một cách cụthể: “Cho tam giác đều ABC, gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác đó.Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K.Chứng minh rằng MH + MI + MK không đổi khi M di chuyển trong tamgiác ABC”

đổi khác như S(diện tích), cạnh của tam giác đều,…Ta nghĩ đến biểuthức:

SΔ MAB+ SΔ MBC+ SΔ MCA= SΔ ABC

Bước 3: Trình bày lời giải

Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M lên

AB, BC, CA lần lượt là H, I, K Cạnh và đường cao của tam giác đó lầnlượt là a và h Ta có:

SΔ MAB+ SΔ MBC+ SΔ MCA= SΔ ABC

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải những bài toán kháiquát hoặc mở rộng sau đây:

13

1 Mở rộng bài toán ra trường hợp đa giác đều: “ Chứng minh rằngtổng các khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong 1 đa giác đều tới các cạnhcủa đa giác đó là hằng số”.

2 Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh rằngtổng các khoảng cách từ 1 điểm bất kì nằm trong tứ diện đều tới cácmặt của tứ diện đó là 1 hằng số”

Như vậy quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán làmột quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinhnghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt cácbài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải mộtbài toán cụ thể, áp dụng vào từng trường hợp nhất định là cả mộtchặng đường đòi hỏi phải có lao động tích cực của người

Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm năng tolớn trong việc phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh Bêncạnh giúp các em giải quyết các bài toán cơ bản về khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng, khoảng học sinh trong đó có nhiều yếu

tố sáng tạo Theo PÔLIA thì “tìm được cách giải một bài toán là mộtphát minh”.cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, haimặt phẳng song song, khoảng cách mới trên cơ sở những bài tập cơbản, tạo cơ hội cho học sinh phát giữa hai đường thẳng chéo nhau thìngười giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập triển năng lực sáng tạocủa mình Phục vụ mục đích đó, khóa luận đưa ra một số bài tập vềtính khoảng cách nhằm phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo chohọc sinh

1.6 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian

1.6.1 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α),),

khoảng cách giữa đường thẳng a và

14

mặt phẳng (α),) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp(α), ), kí

1.6.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định nghĩa: Cho điểm O và đường

thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình

chiếu vuông góc của O trên a Khi đó khoảng

cách giữa hai điểm O và H được gọi là

khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a,

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên a và tính OH

Định nghĩa: Cho điểm O và mặt

phẳng (α),) Gọi H là hình chiếu vuông

góc của O lên mặt phẳng (α¿ Khi đó

khoảng cách giữa 2 điểm O và H được

gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt

phẳng song song là khoảng cách từ một điểm

bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia,

ịnh nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường thẳng  cắt 2 đường

thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi làđường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b

a' b a

M

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vuông gócchung  cắt 2 đường thẳng chéo

nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ

dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng

cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên (α)α))

và tính OH

* Phương pháp chung

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α),)

- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α),)

- Kẻ OH ⊥ Δ(H ϵ Δ) Khi đó d(O, (α),))=OH Đặc biệt :

+ Trong hình chóp đều , thì chân

đường cao trùng với đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông

goc với đấy thì chân đường cao chính là

giao tuyến của hai mặt bên này

18

Cách 3 Sử dụng phép trượt đỉnh

Ý tưởng của phương pháp này là : bằng cách trượt đỉnh O trênđường thẳng đến 1 vị trí thuận lợi O’, ta quy việc tính d (O , (α )) về việctính d (O ' , (α )) Ta thường sử dụng những kết quả sau :

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng (α) và M,

N thuộc đường thẳng  (không trùng với I)

 Nếu I là trung điểm của MN thì d(M ;( α))=d (N ;(α ))

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau : Giả sử OABC là tứdiện vuông tại ¿ và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đóđường cao OH được tính bằng công thức :

Cách 6 sử dụng phương pháp tọa độ vectơ trong không gian

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho :

 ⃗ a⊥⃗b⇔ ⃗a ⃗b=0 ⇔a1b1+ a2b2+ a3b3=0

Tích có hướng của hai vectơ

 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật

i=(1;0;0)

j =(0;1;0) k=(0;0;1)

M 1 M(x;y;z) z

y

x k

O

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai

đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Hình 11

 Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

D'

B

C A'

x

y z

O C

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)

ABCD là hình thoi cạnh a, chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

O C

S

D B

A

x y z

I A

B

C S

H

x

y z

O

D S

C B

A

 Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có AB a AC b ;  đường cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Tam giác ABC vuông tại B có BA a BC b ;  đường cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)

Khi đó : A a ;0;0 ; C 0; ;0  b 

Hình 17

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C, CA a CB b ;  , chiều cao bằng h H là trung điểmcủa AB

z

y x

B S

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A AB a AC b ;  , chiều cao bằng h.H là trung điểmcủa AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0  b  (0; ; )2

a

Hình 19

 Với hình chóp S.ABC có (SAB)(ABC),SAB cân tại S

và ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a  đường cao bằng h H

là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

2.1.1 Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O

cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Gọi I làtrung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB

a) Chứng minh rằng đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng(ABCD)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM

Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD Hình 21

Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên

5 2 52

B

C S

H

Vậy  

3 30,

1010

hay  

2,

2

a

d O SC 

.b) Trong mp (ABCD) kẻ OJ  AB

Vì SA  OJ nên OJ  (SAB) hay OJ  SB

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ JH  SB Khi đó ta có SB  (OJH), suy ra

SB OH tại H Vậy d O SB ,  OH

Trong mp (ABCD) kẻ CK  AB Ta có:

3.2