KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG 1.. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông
Trang 1KHOẢNG CÁCH
I KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a Kí hiệu d O,a OH
d O,a là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên a
2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên mặt phẳng Kí hiệu d O, OH
d O, là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên
mặt phẳng
II KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG –
GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng Khoảng cách từ đường thẳng
a đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm A trên đường thẳng a đến hình
chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng
Kí hiệu: d a, d A, AA ',A
d a, là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm M trên đường thẳng a đến
một điểm N nằm trên mặt phẳng
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng và song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và bằng khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông góc M’ của M
lên mặt phẳng
Kí hiệu: d , d M, MM',M
d , là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm A đến một điểm
B
Trang 23 Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng :
Bước 1: Tìm mặt phẳng chứa M và
Bước 2: Xác định giao tuyến d
Bước 3: Từ điểm M trong mặt phẳng , vẽ MM' d tại M’
Khi đó: MM' và suy ra M’ là hình chiếu vuông góc của M lên
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = 2a
a) Tính khoảng cách từ A đến SC, từ A đến mặt (SCD)
b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC)
III ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU
1 Định nghĩa:
Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc
với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b
Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại
M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
2 Cách tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Tìm mặt phẳng chứa b và a
Bước 2: Tìm a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng
Vì a nên a // a’
Bước 3: Gọi mặt phẳng chứa 2 đường thẳng a, a’
Bước 4: Gọi N a' b và là đường thẳng qua N và Đường thẳng
nên a M Đường thẳng cắt a, b và vuông góc với cả
a và b nên là đường vuông góc chung của a và b
3 Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung Khoảng cách bằng đoạn vuông góc chung
Cách 2: Tìm mặt phẳng chứa b và song song với a Khoảng cách giữa a và b
bằng khoảng cách từ a đến mặt phẳng song song
Cách 3: Tìm hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b Khoảng cách giữa
a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt song song
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = a
a) Chứng minh BD vuông góc (SAC)
b) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC