Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân (tt)

Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN

VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy

Vào hồi giờ, ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tạ Quang Bửu – Trường ĐHBK Hà Nội

2 Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tạinghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theothời gian) Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuầnhoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương phápđiểm cố định của Tikhonov hoặc phương pháp hàm Lyapunov, còn có cácphương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là xét tính

bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua một sốphép nhúng compact Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng hạnnhư phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn hoặcphương trình vi phân có nghiệm không bị chặn, việc sử dụng các phép nhúngcompact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn là khó khăn vàkhông đúng nữa Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy đã

sử dụng phương pháp Ergodic được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 từ mốiliên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phânthường được Massera nghiên cứu vào năm 1950 chỉ ra nghiệm tuần hoàn củaphương trình Navier-Stokes Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ratính tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyếntính du

dt = A(t)u + f (t), t ∈ R+ với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bịchặn) sinh ra họ tiến hóa và trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nayvẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu

Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệmcũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu vềtồn tại đa tạp tích phân Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh

hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễuphi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xácđịnh Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm củanhững phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giảnhơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm củaphương trình đang xét Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại đatạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard, Perronđưa ra Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng các kết quả đó cho phươngtrình vi phân trong không gian Banach Năm 2009, N.T Huy cùng một sốcộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn, xâydựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùngđiều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển.

Cụ thể các tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khixét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ số Lipschitz của phần phituyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấpnhận được Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mangđến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bốtrong thời gian gần đây Tuy nhiên, các nghiên cứu này mới xét cho trườnghợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, một số dạng phương trình vi phân đạohàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu hạn

Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phươngpháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kếthợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nónchứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định có điều kiệncủa nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuầnhoàn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Mục đích nghiên cứu của Luận án:

* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng;

Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của cácphương trình trên

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh của các phương trình không ô-tô-nôm

và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng các họ tiến hóa biểu diễn nghiệmcủa phương trình vi phân

- Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tôpô *-yếu vàĐịnh lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động

- Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiếnhóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn hoặc vô hạn

4 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm

về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứudáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia

làm bốn chương:

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm liên tụcmạnh, một số tính chất của nửa nhóm, khái niệm về họ tiến hóa, khônggian hàm Banach chấp nhận được, không gian giảm nhớ, nhị phân mũcủa họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân

• Chương 2: Nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phươngtrình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và tồn tại duy nhất nghiệmtuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; tính tồn tại duynhất và ổn định điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóanửa tuyến tính trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

• Chương 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn củaphương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãnđiều kiện ϕ-Lipschitz địa phương; sự tồn tại duy nhất, ổn định có điềukiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xungquanh nghiệm tuần hoàn

• Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn củaphương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ hữu hạn hoặc vô hạn vớiphần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộckhông gian hàm chấp nhận được, sau đó với họ tiến hóa tuần hoàn cónhị phân mũ chúng tôi chứng minh tính ổn định có điều kiện và tồn tại

đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo, được liệt kê ở

"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài[1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạpchí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chuyên nghành trongdanh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được

1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được

Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận đượcnếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có

Tτ+ϕ(t) =

(ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0

Mệnh đề 1.1.3 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được Ta cócác khẳng định sau

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xácđịnh Λ0σϕ và Λ00σϕ như sau:

Λ0σϕ(t) =

Z t 0

e−σ(t−s)ϕ(s)ds, và Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

1.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Định nghĩa 1.2.1 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) tồn tại các hằng số K, α ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Keα(t−s)kxk với mọi

(d) kU (s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0

(2) Họ tiến hoá U được gọi là ổn định mũ trên [0, ∞) nếu U có nhị phân mũvới phép chiếu nhị phân P (t) = Id, t ≥ 0 Tức là, tồn tại các các hằng

số N, ν > 0 sao cho kU (t, s)k ≤ N e−ν(t−s) với t ≥ s ≥ 0

Bổ đề 1.2.3 Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với các toán tửchiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0 là bị chặn đều

và liên tục mạnh (H := supt≥0P (t))

Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu

P (t), t ≥ 0 Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau

G(t, τ ) =

(

P (t)U (t, τ ) nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )|(I − P (τ )) nếu 0 ≤ t < τ (1.8)Khi đó, chúng ta có đánh giá

kG(t, τ )k ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t 6= τ ≥ 0 (1.9)

Chương 2

SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến

hóa tuyến tính

Với X là không gian đối ngẫu của không gian khả ly Y (tức là, X = Y0

Y là không gian Banach khả ly), xét phương trình tiến hóa tuyến tính khôngthuần nhất

du

dt = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+ (2.1)trong đó họ các toán tử tuyến tính (A(t))t≥0 có thể không bị chặn sinh

ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 Nghiệm đủ tốt của (2.1) với điều kiện đầuu(0) = u0 ∈ X là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân

u(t) = U (t, 0)u0 +

Z t 0

U (t, τ )f (τ )dτ với mọi t ≥ 0 (2.3)

Giả thiết 2.1.1 Giả sử A(t) là tuần hoàn với chu kì T , tức là A(t+T ) = A(t)với hằng số T > 0 cố định và mọi t ∈ R+ Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 là hàm tuầnhoàn với chu kì T tức là U (t + T, s + T ) = U (t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0

Giả thiết 2.1.2 Giả sử không gian Y xem như là không gian con của khônggian Y00 (qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử

U0(T, 0), với toán tử U0(T, 0) là đối ngẫu của U (T, 0)

Định lý 2.1.3 Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y 0, f ∈

Cb(R+, X) Giả sử tồn tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u của (2.1) vớiu(0) = u0 thỏa mãn u ∈ Cb(R+, X) và kukCb(R+,X) 6 M kf kCb(R + ,X); các Giảthiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn và f là tuần hoàn với chu kì T Khi đóphương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn:

kˆukCb(R+,X) 6 (M + T )KeαTkf kCb(R+,X) (2.6)Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:

lim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+ (2.7)thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T của phương trình (2.1) là duy nhất

2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến

hóa nửa tuyến tính

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u(t) + g(u)(t), t ∈ R+ (2.17)trong đó toán tử A(t) thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và toán tửNemytskii g : Cb(R+, X) → Cb(R+, X) thỏa mãn:

(1) kg(0)kCb(R+,X) ≤ γ, γ là hằng số không âm;

(2) g là ánh xạ biến hàm tuần hoàn với chu kì T thành một hàm

tuần hoàn với chu kì T ;

(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho

kg(v1) − g(v2)kCb(R+,X) ≤ Lkv1 − v2kCb(R+,X)

với mọi v1, v2 ∈ Cb(R+, X) và kv1kCb(R+,X), kv2kCb(R+,X) ≤ ρ

(2.18)

Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.17) là hàm u liên tục thỏa mãn phươngtrình sau

u(t) = U (t, 0)u0 +

Z t 0

U (t, τ )g(u)(τ )dτ với mọi t ≥ 0 (2.19)Định lý 2.2.1 Với giả thiết của Định lý 2.1.3, và g thỏa mãn điều kiện(2.18) Khi đó, nếu L và γ là đủ nhỏ thì phương trình (2.17) có một và chỉ mộtnghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu kì T trong hình cầu nhỏ thuộc Cb(R+, X)

2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn

trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

Bổ đề 2.3.1 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếunhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử

f ∈ Cb(R+, X) và ánh xạ g thỏa mãn điều kiện (2.18) Khi đó, ta có cáckhẳng định sau:

(a) Nếu v ∈ Cb(R+, X) là nghiệm của phương trình (2.3) thì v có thể biểudiễn dưới dạng

v(t) = U (t, 0)ζ0 +

Z ∞ 0

G(t, τ )f (τ )dτ với ζ0 ∈ X0 := P (0)X, (2.22)

ở đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định trong (1.8)

(b) Nếu u ∈ Cb(R+, X) là nghiệm của phương trình (2.19) sao cho

sup

t≥0

ku(t)k ≤ ρvới ρ > 0 cố định thì với t ≥ 0 hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng

u(t) = U (t, 0)v0 +

Z ∞ 0

G(t, τ )g(u)(τ )dτ với v0 ∈ X0, (2.23)

ở đó G và X0 được xác định như trong (a)

Định lý 2.3.2 Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y 0, xét cácphương trình (2.3) và (2.19) Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏamãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị phân

P (t), t ≥ 0 và N, ν là các hằng số nhị phân; f ∈ Cb(R+, X) là hàm tuầnhoàn với chu kì T và g thỏa mãn điều kiện (2.18) với các hằng số ρ, L, γ.Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(a) Phương trình (2.3) có duy nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T

(b) Với các hằng số L, γ đủ nhỏ thì phương trình (2.19) có duy nhất mộtnghiệm tuần hoàn chu kì T trong hình cầu nhỏ thuộc Cb(R+, X)

kg(v1) − g(v2)kCb(R+,X) ≤ L1kv1− v2kCb(R+,X) với mọi v1, v2 ∈ B2ρ(0) (2.26)Định lý 2.4.1 Với các giả thiết của Định lý 2.3.2 và điều kiện (2.26); xét ˆu

là nghiệm tuần hoàn chu kì T của phương trình (2.19) đạt được trong phần(b) của Định lý 2.3.2; Bρ(0) là hình cầu chứa ˆu Khi đó, nếu L1 là đủ nhỏ thìtương ứng với mỗi v0 ∈ B ρ

2N(P (0)ˆu(0)) ∩ P (0)X có một và chỉ một nghiệmu(t) của phương trình (2.19) trên R+ thỏa mãn điều kiện P (0)u(0) = v0 và

u ∈ Bρ(ˆu) Hơn nữa với u(t) và ˆu(t) ta có ước lượng:

ku(t) − ˆu(t)k ≤ Ce−µtkP (0)u(0) − P (0)ˆu(0)k với t ≥ 0, (2.27)trong đó các hằng số dương C và µ là không phụ thuộc vào u và ˆu

Chú ý 2.4.2 Khẳng định của định lý trên chỉ ra tính ổn định có điềukiện nghiệm tuần hoàn ˆu, tức là, với bất kì nghiệm u sao cho P (0)u(0) ∈

là mọi nghiệm u ∈ Cb(R+, X) của phương trình (2.19) sao cho ku(0) − ˆu(0)k

bị chặn trên nửa trục thời gian và tồn tại nghiệm bị chặn trong trường hợp

họ tiến hóa có nhị phân mũ, từ đó kéo theo tồn tại nghiệm tuần hoàn và

mở rộng các kết quả của phương trình tuyến tính sang cho phương trình nửatuyến tính

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1], trong Danh mục côngtrình đã công bố của luận án

Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN

ϕ-LIPSCHITZ

3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến

hóa nửa tuyến tính

Định lý tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn 2.1.3 đối với phương trình

du

dt = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+ (3.1)trong trường hợp hàm đầu vào f thuộc không gian M := {f : R+ → X |

kf (·)k ∈ M} với chuẩn kf kM := kkf (·)kkM Với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈

X nghiệm đủ tốt của (3.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tíchphân

kˆukCb(R+,X) 6 (M + 1)Keαkf kM

Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:

lim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì 1 của phương trình (3.1) là duy nhất.Xét phương trình

du

dt = A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+ (3.3)trong đó toán tử A(t), t ≥ 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của Định

lý 3.1.1, và toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn:

U (t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với mọi t ≥ 0 (3.5)

Định lý 3.1.2 Với giả thiết của Định lý 3.1.1, và hàm g thỏa mãn điềukiện (3.4) Khi đó, nếu γ := kϕkM là đủ nhỏ thì phương trình (3.3) cómột và chỉ một nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu kì 1 trong hình cầu nhỏthuộc Cb(R+, X)

3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có