Rèn luyện tư duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vec tơ

Từ thực tế giảng dạy và qua việc hớng dẫn các chuyên đề “ Đổi mới chơng trình và SGK bậc học THPT” của Sở GD&ĐT Thanh Hoá trong những năm qua tôi thực hành đề tài “ Rèn luyện t duy lô gi

giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

A.Đặt vấn đề

I Lời nói đầu:

Trong chơng trình môn Toán nói chung và bậc THPT nói riêng đa phần học sinh ngại học phân môn hình học, ít hứng thú và say mê phần này vì nhiều lý do: ngại vẽ hình, không chịu phát huy trí tởng tợng không gian,…v…v….Đội …v…v….Đội …v…v….Đội v v Đội ngũ các thầy cô giảng dạy cũng cha tập trung cao độ cải tiến cách dạy sao cho tránh khô khan, nhàm chán

Từ thực tế giảng dạy và qua việc hớng dẫn các chuyên đề “ Đổi mới chơng trình và SGK bậc học THPT” của Sở GD&ĐT Thanh Hoá trong những năm qua tôi thực hành đề tài “ Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ

động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ”

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng: Từ trớc đến nay việc học phân môn hình học thì t duy của học sinh thờng chỉ dừng ở mức tơng tự hoá, cha có khả năng sáng tạo dựa trên lôgic của Toán học

Bắt đầu vào lớp 10 THPT học sinh đợc học một đại lợng hình học mới là”Vec tơ”, đây là một công cụ mạnh để sử dụng trong nghiên cứu và giải quyết các vấn

đề của Hình học Nó giúp chúng ta chọn phơng pháp mới, con đờng mới giải một

số bài toàn hình học phẳng và không gian Nó tạo nên tính đa dạng trong nhìn nhận các bài toán, là công cụ mạnh giúp chúng ta giải quyết nhiều lĩnh vực trong

đó có hình học

2 Kết quả của thực trạng:

Nhiều học sinh lúng túng trong việc sử dụng công cụ mới này dẫn đến không có kết quả cao khi học phần phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

3 Phạm vi nghiên cứu:

Tôi áp dụng đề tài này cho học sinh khối 10 và khối 12 của trờng THPT Yên

Định 2 Khối 12 cho các lớp 12B1, 12B2, 12B4 năm học 2009-2010 Khối 10 cho các lớp 10 B1, 10B3 năm học 2010-2011

B.Giải quyết vấn đề

I Các giải pháp thực hiện:

1.1.Trang bị những kiến thức cơ bản về vec tơ:

Học sinh phải đợc trang bị những kiến thức cơ bản nhất về vectơ: Các định nghĩa, quy tắc, các phép toán, các tính chất

1 Quy tắc 3 điểm: A, B, C là ba điểm bất kỳ trong không gian ta luôn có:

ABBCAC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

.

2 Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì ta có:

OA OC                OB

  

  

  

  

  

  

  

  

  

3.Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng

AB thì  MAMB O và với mọi điểm O luôn có: OA OB  2OM

4 Tính chất trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

GAGBGCO

   

và với mọi điểm O ta có OA OB   OC 3OG

5 Tích vô hớng của hai vec tơ: AB CD AB CD cosAB CD; 

.

6 Điều kiện để hai vectơ cùng phơng: vectơ a cùng phơng với vectơ b b ( o)

khi và chỉ khi  k R a:k b..

7 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cần và đủ để ba điểmphân biệt A, B,

C thẳng hàng là: k R k, 0,AB k AC. .

Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

8 Điều kiện để hai vectơ vuông góc:ABCD  AB CD. 0.

9 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng: Cho hai vectơ a b ; không cùng phơng và một vectơ c bất kỳ Khi đó điều kiện cần và đủ để ba vectơ a b c  ; ; đồng phẳng là tồn tại các số thực m; n sao cho: cma nb ( các số m, n là duy nhất).

1.2 Trang bị cho học sinh quy trình giải toán hình học băng phơng pháp vectơ

Bớc 2: Giải bài toán bằng biến đổi các hệ thức vectơ, tính toán, chứng minh ,

…v…v…dựa trên các tính chất, hệ thức vectơ …v…v…dựa trên các tính chất, hệ thức vectơ …v…v…dựa trên các tính chất, hệ thức vectơ.

tơng ứng.

Việc thực hiện quy trình trên thờng qua hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chuẩn bị một số yếu tố cần thiết cho việc thực hiện quy trình, gồm một số việc sau:

1 Dạy học sinh biết thành lập “từ điển véctơ” trong đó mỗi từ của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa sự kiện hình học và các hệ thức véctơ

Ví dụ: sau đây là một số “từ” của “từ điển véctơ”.

+ Điểm a trùng với điểm B khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây

đợc thực hiện:

a/ AB 0

 b/ Với điểm 0 tuỳ ý OA OB + Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của AB khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây đợc thực hiện:

a/ AMBM

b/  MAMB0



c/Với điểm O tuỳ ý 1( )

2

OM OA OB

“Từ điển véctơ” giúp cho việc chuyển đổi các dữ kiện hình học sang

“ngôn ngữ” véctơ và chuyển các kết luận véctơ thu đợc sang ngôn ngữ hình học tơng ứng

Kinh nghiệm cho thấy rằng, học sinh chuyển các sự kiện hình học “ngôn ngữ véctơ” tốt hơn là sự giải thích hình học ý nghĩa của các hệ thức véctơ

Vì vậy trong quá trình dạy học cần hớng dẫn học sinh rằng: Các ký hiệu véctơ cùng một sự kiện hình học không là duy nhất Việc dạy học sinh trình bày cách phát biểu hình học của các hệ thức véctơ còn có tác dụng bồi dỡng trí tởng tợng không gian cho học sinh

2 Dạy cho học sinh biết sử dụng một cách có ý thức phép biến đổi hai chiều của các hệ thức véctơ

Ví dụ: Sau khi giới thiệu cho học sinh “quy tắc gốc” (đối với phép trừ) cần

luyện cho học sinh biết sử dụng thành thạo quy tắc này thông qua một số dạng bài tập thực hiện phép biến đổi hai chiều hệ thức véctơ, giúp học sinh khắc phục một số nhợc điểm trong học tập về kiến thức véctơ là: khi khai triển mọt véctơ theo một số véctơ học sinh thờng dùng quy tắc tam giác (đối với phép cộng) mà không quen dùng quy tắc tam giác (cho phép trừ), còn khi thực hiện phép biến

đổi véctơ học sinh thờng chuyển phép trừ một véctơ sang phép cộng véctơ ngay cả trờng hợp có thể áp dụng quy tắc tam giác đối với phép trừ Một số dạng bài tập cần rèn luyện cho học sinh:

Dạng 1: Khai triển một véctơ thành hiệu hai véctơ chung gốc

Dạng 2: Thay hiệu hai véctơ chung gốc bởi một véctơ

3.Dạy cho học sinh chọn “hệ véctơ gốc” thông qua việc phân tích đặc điểm các dữ kiện của bài toán dựa vào trực giác của học sinh.Gốc của “hệ véctơ gốc”có thể là một điểm đặc biệt hoặc một điểm chọn tuỳ ý, các điểm ngọn của các véctơ nền thông thờng là các điểm đã biết “Hệ véctơ gốc” không nhất thiết phải là hai

giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

véctơ cộng tuyến trong mặt phẳng hoặc ba véctơ không đồng phẳng trng không gian, mà có thể là một số véctơ tuỳ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta đang xét

Nh vậy: các véctơ cơ sở có thể trùng hoặc là bộ phận của “hệ véctơ gốc” Việc dạy học sinh “trực giác” phát hiện đợc hệ véctơ gốc cần đợc tiến hành một cách có chủ định ngay khi học sinh tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véctơ

Ví dụ: Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý Chứng minh:

AB



.CD +                 BC BD CA BD          .                              . 0

Việc chứng minh hệ thức trên dựa trên ý tởng: khi biểu diễn các véctơ ở vế trái theo cùng hệ véctơ gốc, việc biến đổi vế trái chuyển về biến đổi biểu thức vế trái theo hệ véctơ gốc thì có thể đi đến điều cần phải chứng minh Hệ véctơ gốc không thể chọn là OA OB OC OD; ; ; 

   

với O tuỳ ý Trong dạy học cần lu ý cho học sinh chọn gốc là một trong các điểm A, B,C,D và tìm hệ véctơ gốc tơng ứng

3 Việc học sinh lựa chọn “hệ véctơ gốc” cần kết hợp chặt chẽ với việc dạy học sinh cách khai triển các véctơ càn xét theo hệ véctơ gốc thông qua việc biểu diễn một véctơ theo một véctơ cộng tuyến, sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và các phép biến đổi véctơ

Thực tế học cho thấy, nhiều học sinh gặp khó khăn ngay cả khi cần biểu diễn một véctơ theo véctơ cộng tuyến

Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên DC, BB’ lần lợt lấy các điểm M, N sao cho DN = BM = x (với 0 x a) Chứng minh AC’  MN

Thông qua việc theo dõi bài làm của học sinh và các câu trả lời của họ, ta thấy rằng khó khăn đầu tiên mà học sinh gặp phải là các em không biết biểu diễn

.

x

a



Để giúp học sinh khắc phục khó khăn trên, giao viên cần dạy học sinh một

số dạng bài tập đơn giản trong đó hệ véctơ gốc chỉ gồm một véctơ hoặc hai véctơ Đồng thời làm cho học sinh nhận thức đợc sự hiện diện của những bài toán đơn giản đó trong những lời giải của một số bài tập phức tạp

Ví dụ: Một số dạng bài tập sau:

Dạng 1: Biểu diễn một véctơ theo véctơ cộng tuyến

Bài 1: Cho AB = a; điểm M thuộc đoạn thẳng AB Đặt AM = x Hãy biểu diễn AM theo a, x,AB

Bài 2: Cho ba điểm A, B, M thẳng hàng; A năm giữa M và B Hãy biểu diễn AM theo a, x,AB

Sau khi dạy học sinh bài tập này, cần hớng dẫn để học sinh nhận thấy sự hiện diện của nó trong lời giải của bài toán trên

Dạng 2: Khai triển một véctơ theo 2 véctơ không cộng tuyến

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, hãy biểu diễn AB AD ; theo  AC BD; Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = k.IC Tính AI theo hai véctơ AB AC;

Sự tổ chức học sinh thch hiện một số hoạnt động nêu trên thông qua việc giải các bài toán nâng dần mức độ khó khăn là sự chuẩn bị cần thiết cho việc thực hiện giai đoạn tiếp theo

Giai đoạn 2: Dạy học sinh theo quy trình trên thông qua việc giải quyết một số bài tập trọng tâm trong chơng trình học ở trờng THPT

Việc phân chia các dạng bài tập dựa trên hai cơ sở: dựa vào tính chất của bài tập

và dựa vào công cụ để giải quyết bài tập

Việc thiết kế các chuỗi bài tập theo chủ đề, việc bổ sung bài tập mới dựa vào sự phân tích cấu trúc hệ thống bài tập đã đợc trình bày trong sách giáo khoa và sách bài tập

Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

II Một số ví dụ

1.Hớng dẫn học sinh chứng minh một số định lý bằng phơng pháp véctơ

Nhìn lại sách giáo khoa đợc xây dựng bằng con đờng hình học tổng hợp, việc chứng minh các định lý có phần khá phức tạp và cồng kềnh Sử dụng phơng pháp véctơ cho phép chúng ta trình bày cách chứng minh một số định lý ngắn gọn, dễ hiểu, giúp học sinh tiếp thu và củng cố kiến thức dễ dàng hơn

1.1 Hớng dẫn học sinh chứng minh định lý cosin.

Việc chứng minh định lý này đã đợc trình bày khá rõ trong sách giáo khoa, ở đây tôi xin hớng dẫn học sinh để đi đến cách chứng minh nh vậy

Định lý: Trong tam giác ABC ta luôn có:

a b c - 2bc cos A; 2 2 2

b a c - 2ac cos B; 2 2 2

c a b - 2ab cos C Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh nh sau:

- Giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhắc lại định lý Pitago (tam giác ABC vuông

ở A thì 2 2 2

a b c )

- Hớng dẫn học sinh chứng minh định lý Pitago bằng cánh sử dung những kiến thức về véctơ nh sau:

+GV: Hệ thức Pitago viết dới dạng véctơ nh thế nào? ( 2 2 2

BC AC AB

  

) + Hãy chứng minh hệ thức đó (Học sinh suy nghĩ và tìm tòi hớng giải quyết)

Nếu học sinh không trả lời đợc, giáo viên hớng dẫn tiếp:

+ Hãy biến đổi một vế thành vế kia, chẳng hạn vế trái thành vế phải Chú ý: hãy nhìn vào kết luận để biến đổi (kết luận phải xuất hiện các véctơ AC AB ; ) Khi đó học sinh sẽ biến đổi nh sau:

BC  AC AB AC  AC ABAB AC AB

- Nh vậy định lý Pitago đã đợc chứng minh bằng công cụ véctơ Bây giờ ta sẽ nghiên cứu quá trình chứng minh để tìm ra hệ thức mở rộng Giả thiết ABC vuông đợc sử dụng ở chỗ nào trong quá trình chứng minh? (ABC vuông

AC AB AC AB

   

- Nếu ABC bất kì thì sao? (AC AB AC AB cos AC AB ( ; ) 

bc cosA

- Vậy ta đợc hệ thức mở rộng là gì? ( 2 2 2

BC AC AB

  

- 2AB.AC cosA hay

a b c - 2bc cosA)

- Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định lý mở rộng của định lý Pitago và tự trình bày lại cách chứng minh

Tất nhiên với định lý trên, giáo viên có nhiều cách khác nhau để dẫn dắt học sinh chứng minh Chẳng hạn: Giáo viên nêu nội dung định lý, sau đó hớng dẫn để học sinh chứng minh trực tiếp nh sách giáo khoa đã trình bày Song có thể thấy rằng, với cách dạy theo con đờng quy nạp (mở rộng định lý Pitago) có

vẻ hấp dẫn học sinh hơn vì qua sự hớng dẫn của giáo viên học sinh đợc hoạt

động một cách tích cua cực, chủ động phát hiện cũng nh chứng minh định lý

Đây là định lý quen thuộc đối với học sinh từ THCS Việc chứng minh bằng phơng pháp vectơ là phơng pháp hoàn toàn mới( ở cấp THCS học sinh cha

đợc học khái niệm vectơ)

Nội dung nh sau Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ Chứng minh rằng:“

DA BCDB CADC AB

     

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý Ba đ“ -ờng cao trong một tam giác đồng quy ”

Việc chứng minh hệ thức (*) có nhiều cách và không khó.Tuy nhiên, từ kết quả

đó để chứng minh định lý “ Ba đờng cao trong tam giác đồng quy” không dễ đối với một số học sinh Sau đây là gợi ý về hớng dẫn chứng minh :

+H1 :Gọi H là giao điểm của hai đờng cao AM và BN của ABC khi đó yêu cầu bài toán đợc phát biểu lại là gì? ( Cần chứng minh CH  AB hay CH AB  . 0)

giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

+H2 :Từ giả thiết bài toán ( AH  BC; BH  AC ) ta suy ra đợc những hệ thức vec tơ nào? Vì sao? ( AH BC .  0;BH AC. 0 )

+H3: Đẳng thức (*) tìm sự liên hệ giữa D và H? Viết hệ thức liên hệ mới?

( HA BC HB CA HC AB  0 (**)

     

) +H4: Từ hệ thức (**) suy ra định lý phải chứng minh?

+H5: Định lý đã cho còn đúng không khi ta thay “ Đờng cao” bằng các đờng khác trong tam giác nh: “ Trung tuyến”; “ Phân giác”,…v…v….Đội …v…v….Đội …v…v….Đội v v ?

Đây là loạt bài toán ứng dụng tính chất “Tơng tự hoá” trong toán học Sau đây là việc chứng minh “ Ba đờng trung tuyến trong tam giác đồng quy”; các chứng minh khác xem nh bài tập áp dụng

Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AM; BN trong tam giác ABC; E là trung

điểm của AB, ta cần chứng minh cho C; G; E thẳng hàng

MN AB GN GM GA GB  GM GAGN GB

A, G, M thẳng hàng  GMk GA (2)

B, G, N thẳng hàng  GNn GB (3)

Thay (2) , (3) vào (1) ta có:

 

k GA GAnGB GB k GAn GB

2

k  thì  

1 2 4

1 2

n

k





A, G, B thẳng hàng ( vô lí )

2

k  Từ  

4

n







Vì E là trung điểmcủa AB nên ta có:

2

GE GAGB MGNG MC CG NC CG  CG CA CB

Vậy GE  CG GE2GECG, hay ba điểm C, G, E thẳng hàng.(Đpcm)

A

B

C M

G

N E

Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

Việc vận dụng này còn có thể chứng minh nhiều định lý khác nh : Định lý Ta let,

định lý về sự liên hệ giữa độ dài trung tuyến và độ dài các cạnh trong tam giác,

v v

…v…v….Đội …v…v….Đội …v…v….Đội

2 Rèn luyện tính chủ động, t duy sáng tạo, linh hoạt cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vectơ.

Cũng nh việc giải một số bài toán bằng phơng pháp toạ độ trong đề tài trớc tôi đã trình bày.Một vấn đề đợc đặt ra hiển nhiên cho các em là: Những bài toán hình học có dạng thế nào thì giải đợc bằng phơng pháp vectơ? Dạng toán nào thì giải bằng phơng pháp vectơ sẽ có lợi hơn: ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn, lời giải

đẹp hơn,…v…v….Đội …v…v….Đội …v…v….Đội ờng lối giải nh thế nào ? Trong thực tế vấn đề này là rất khó v v Đ vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học nói riêng không thể có phơng pháp toàn năng cho mọi bài toán Tuy nhiên đối với một số bài tập trong chơng trình hình học cấp THPT ở dạng trung bình, các yêu cầu không quá phức tạp nh: chứng minh một số yếu tố, tính chất hình học, tính toán giá trị một số biểu thức,

v v Những đối t

…v…v….Đội …v…v….Đội …v…v….Đội ợng học sinh khá, giỏi các thầy cô giáo có thể yêu cầu các vấn đề phức tạp hơn, khó hơn nh: chuyển dịch ngôn ngữ, thiết lập giả thiết, kết luận mới,…v…v….Đội Sau đây là một số dạng và ví dụ kèm theo

2.1 Dạng 1: Chứng minh các điểm trùng nhau

Ví dụ: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tuỳ ý, không có ba điểm nào thẳng hàng

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE,

EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Quy trình giải bài toán này nh sau:

Bớc 1: Chuyển đổi các dữ kiện, điều kiện đã cho của bài toán từ ngôn ngữ hình

học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ

Chọn “Hệ vectơ gốc” là OA OB OC OD OE OF      ; ; ; ; ; 

với gốc O tuỳ ý Gọi G1; G2 lần lợt là trọng tâm của hai tam giác MPR và NQS

G1 là trọng tâm tam giác MPR 1

3

OM OP OR

  



(1)

G2 là trọng tâm tam giác MPR 2

3

ON OQ OS

  



(2)

M là trung điểm của AB

2

OA OB

 



(3)

N là trung điểm của BC

2

OB OC

 



(4)

P là trung điểm của CD

2

 



(5)

Q là trung điểm của DE

2

OD OE

 



(6)

R là trung điểm của EF

2

OE OF

 



(7)

S là trung điểm của FA

2

OA OF

 



(8)

G 1G2  OG1 OG2

 

(9)

Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán Chứng minh hệ thức (9) bằng cách

biểu diễn các vectơ OG OG1; 2

 

theo hệ các vectơ gốc để so sánh các vectơ này

1 6

OG  OA OB OC OD OE  OF

(10)

giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

1 6

OG  OA OB OC OD OE  OF

(11)

Từ (10) và (11)  OG1 OG2

 

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng:

OG1 OG2  G1 G2

 

2.2 Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một Biết

AB = 1; BC = BD; CD = 2 2 Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và CD Tính khoảng cách giữa AM và BN

Bớc 1: Chuyển các giả thiết, kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ vec tơ

Kí hiệu EF là đờng vuông góc chung của AM và BN

Chọ B là gốc, hệ vectơ gốc là BC BD BA   ; ; 

Đặt BCa BD; b BA; c

     

a b c a b b c c a

         

M là trung điểm của BC 1

2

N là trung điểm của CD  BN12BCBD

E thuộc đờng thẳng AM  x AE; x AM

F thuộc đờng thẳng BN  y AE; y AM.

EFAM EF AM EFBN EF BN

Tính EFEF  EF2

Bớc 2: Biểu diễn các vectơ cần xét theo hệ vectơ gốc, biến đổi các hệ thức vectơ

theo yêu cầu bài toán

 

AMBM BA a c  AEx AM x a xc

 

BN a b BFy BN y a y b

Từ giả thiết: . 0

EF AM

EF BN









 

  ta tính đợc:

2 3 1 3

x

y









 



2

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng

EF   EF



2.3 Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đẳng thức hình học hoặc đẳng thức vectơ

Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD và G là

trung điểm của MN

a) Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD Phát biểu kết luận tơng tự đối với các đờng thẳng BG, CG và DG

b) Chứng minh GA = 3 GA’

Đây là bài toán hình không gian, nếu giải bằng phơng pháp thông thờng học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh phải vẽ đờng phụ, hình vẽ phức tạp, lập

đợc chơng trình giải rất phức tạp Tuy nhiên nếu biết vận dụng phơng pháp vec tơ thì bài toán sẽ không còn quá khó nữa

Quy trình giải bài toán này nh sau:

Bớc 1: Chuyển đổi các giả thiết, kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ vectơ

Chọ hệ A AB AC AD; ; ; 

  

làm cơ sở Ta có

M là trung điểm của AB 1

2

N là trung điểm của CD  AN12ACAD

A’ là trọng tâm của tam giác BCD ' 1( )  2

3

AG đi qua A’  A; G; A’ thẳng hàng  AGk AA. '

Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu bài toán:

Từ (1) và (2) suy ra: 3 '

4

AG AA

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng.

3

'

4

AG AA 

A; G; A’ thẳng hàng và 3 '

4

AG AA hay GA = 3 GA’ (đpcm).

2.4.Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng song song

Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác ABCDA1B1C1D1 Gọi M; N; E; F lần lợt là trọng tâm của các tam giác AA1B1; A1B1C1; ABC; BCC1 Chứng minh NM // EF

Quy trình giải bài toán:

Bớc 1: Chuyển các giả thiết, kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ vectơ

Chọn hệ A AA; 1 a AB; b AC; c

     

A

B C

D

G N

M

giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

M là trọng tâm tam giác AA1B1 1 1

N là trọng tâm của tam giác 1 1 1  1 1 1  

A B C  AN AA AB AC  a b c

E là trọng tâm của tam giác ABC 1  1 .

2

BCC  AF ABACAC  a b c

MN // EF  k MN: k EF.

Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu bài toán:

MNAN AM a c EF AF AE a c  MNEF

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng:

//

MNEF MN EF

 

2.5 Dạng 5: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoitâm O Biết rằng

SA = SC; SB = SD Chứng minh rằng:

a) SO  OA

b) AC  SD

Bớc 1: Chuyển đổi các dữ kiện, điều kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học

tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ

Chọn hệ vectơ cơ sở O OA OB OS; ; ; 

  

Ta có: SAOA OS SC ; OC OS  OA OS 

Từ giả thiết của bài toán SA = SC 2 2 2 2  

1

OAOS OA OS

 

 

ACSD AC SD

 

Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán:

Ta chứng minh (2) bằng cách biến đổi (1) để xuất hiện tích OA OS .

A

C B

B1

A

1

E F M

N

Rèn luyện t duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phơng pháp vec tơ

SASC SA SC  OA OS  OA OS  OA OS

Chứng minh (3) bằng cách biểu diễn các vectơ AC SD ; qua hệ vectơ cơ sở, sau đó

ta tính tích AC SD .

Ta có AC 2OA SD; OD OS  AC SD  2OA OD OS   0

Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng:

a) OA OS .  0 OAOS

b)  AC SD.  0 ACSD

3 Một số bài tập đề nghị:

3.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết rằng :

SA = SC; SB = SD Chứng minh rằng:SO (ABCD AC); CD

3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA, SD

a) Chứng minh rằng mp( OMN) // mp( SBC)

b) Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của AB và ON Chứng minh:

PQ // mp(SBC)

3.3 Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó

3.4 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b; AD = BC = c

a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện

là đoạn vuông góc chung của hai cạnh ấy Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó

b) Tính cosin của góc hợp bởi hai đờng thẳng AC và BD

3.5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đ-ờng tròn đđ-ờng kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với đáy (ABCD);

6

SAa

a) Tính khoảng cách từ A và B đến mp(SCD)

b) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mp(SBC)

II Biện pháp thực hiện và kết quả:

Đề tài này đợc thực hiện trong hai năm học Năm học 2009-2010 cho các lớp 12B1; 12B2; 12B4 của trờng THPT Yên Định 2 Năm học 2010-2011 cho các lớp 10B1, 10B3 của trờng THPT Yên Định 2 Qua khảo sát thu đợc kết quả

nh sau:

S

A

D O