Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh phát huy tính tích cực thông qua phương pháp giải và sáng tác các bài tập toán THPT từ góc nhìn của bài toán gốc

Nhà sư phạm Đức – Diestsrwer nhấn mạnh: “ Người thầy giáo tồi là ngườithầy giáo mang chân lý đến sẵn , còn người thầy giáo giỏi là người thầy biết dạyhọc sinh đi tìm chân lý”.Luật Giáo d

Nhà sư phạm Đức – Diestsrwer nhấn mạnh: “ Người thầy giáo tồi là ngườithầy giáo mang chân lý đến sẵn , còn người thầy giáo giỏi là người thầy biết dạyhọc sinh đi tìm chân lý”.

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 2005) quyđịnh: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động , sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mônhọc, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho họcsinh.”

Tính tự giác, tích cực của người học từ lâu đã trở thành một nguyên tắc củagiáo dục Nguyên tắc này không mới nhưng vẫn chưa được thực hiện một cáchnghiêm túc ở trong các nhà trường Việc giảng dạy môn toán trong nhà trườngphải lấy phương châm biết “biến lạ thành quen” và tập dượt cho học sinh biết

“biến quen thành lạ “ Để rồi “biến lạ thành quen” trong quá trình giải toán.Từ

đó thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH Toán là tổ chức cho học sinh học tậptrong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo

Với những lý do trên đây tôi chọn nghiên cứu là: “ Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh phát huy tính tích cực thông qua phương pháp giải và sáng tác các bài tập toán THPT từ góc nhìn của bài toán gốc”

2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

Trên cơ sở lý luận về tính tích cực của hoạt động học tập và thực tiễn giảngdạy ở các lớp, thông qua rút kinh nghiệm của từng lớp dạy với tinh thần tíchcực hoá hoạt động học tập của học sinh trong dạy học môn Toán ở trườngTHPT Bản thân rút ra những kinh nghiệm về việc thực hiện các biện pháp sưphạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh Vậy nên đề tài có thểlàm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán ở trường THPT

II NỘI DUNG.

NHỮNG KINH NGHIỆM NHẰM TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG CỦA

HỌC SINH TRONG GIẢI VÀ SÁNG TÁC BÀI TẬP TOÁN.

2.1 Những định hướng.

2.1.1 Định hướng 1 Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng

tích cực hoá hoạt động của học sinh.

Quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dựatrên nguyên tắc phát huy tính tích cực , tự giác, sáng tạo của học sinh Thực chất

đó là quá trình tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở tự giác và được tạo khả năng và điều kiện chủ động trong học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ bốn yêu cầu:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực, sángtạo của hoạt động học tập

- Dạy học phải dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của người học, nhằm khai thác những mặt thuận lợi, hạn chế những mặt khó khăn, nghiên cứu những chướng ngại hoặc những sai lầm có thể

có của kiến thức đó trong quá trình học tập của học sinh

- Dạy học không chỉ là nhằm mục đích là dạy nhứng tri thức,kiến thức ,

kỹ năng bộ môn mà quan trọng hơn cả là dạy việc học, cách học cho học sinh

- Quá trình dạy học bao gồm cả việc dạy học cách tự học thông qua việc đểhọc sinh tự hoạt động nhằm đáp ứng các nhu cầu của bản thân và của xã hội

Nói cách khác, tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là quá trình làm chongười học trở thành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ.

2.1.2 Định hướng 2 Hệ thống các biện pháp mang tính khả thi, phù hợp

với điều kiện thực tiễn của nhà trường THPT.

Tính khả thi là yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn vàyêu cầu của dạy học

2.1.3 Định hướng 3 Hệ thống các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm

nhận thức của học sinh tức là phải đảm bảo tính vừa sứccủa học sinh.

“Sức” của học sinh, tức là trình độ năng lực của học sinh, nó không phải làcáci bất biến mà thay đổi trong quá trình học tập Việc dạy cho học sinh một mặtphải đảm bảo tính vừa sức để có thể chiếm lĩnh được tri thức, kỹ năng, kỹ xảonhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để phát triển năng lựchọc sinh Vì vậy, tính vừa sức ở những thời điểm khác nhau có nghĩa là sự khôngngừng nâng cao yêu cầu học tập

2.1.4 Định hướng 4 Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần đảm bảo

sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy với tính tự giác của trò.

Trong quá trình dạy học,thầy và trò cùng hoạt động, nhưng các hoạt độngnày có chức năng khác nhau Hoạt động của thầy là thiết kế, điều khiển Hoạtđộng của trò là học tập tự giác và tích cực Vì vậy, đảm bảo sự thống nhất giữahoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò chính là sự thốngnhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạohọc tập của trò

2.2 Những kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong dạy học giải bài tập toán THPT.

2.2.1 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề.

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinhnhu cầu tư duy, tcs là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắcphục, một tình huống có vấn đề , như Rubíntein nói:" Tư duy sáng tạo luôn bắtđầu bằng một tình huống gợi vấn đề."

Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục đíchlàm cho vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực củahọc sinh

Ví dụ 1 Sau khi học xong công thức cộng, yêu cầu học sinh tính các giá trị

các hàm số lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos150 Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 150 không phải số đocủa cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để giải trực tiếp bài toán đó Học sinhtích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình tìm ra lưòi giải trên bằngcách: Biểu thị 150 qua hai cung có số đo đặc biệt ( 150 = 600 - 450 = 450 - 300) ,

32

2.2

1





= ( 64

sin2

1



Ví dụ2 Dựa vào kết quả sau:

x2sin2

1xcosx

x4sin4

1x2cosx2sin2

1x2cosxcosx

x8sin8

1x4cosx4sin4

1x4cosx2cosxcosx

Hãy nêu bài toán tổng quát và tính

7

5cos7

3cos7cos

Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêu cầuhọc sinh tính giá trị của biểu thức A, bới nó không tạo điều kiện để học sinh cóthể vượt qua được sau khi đã tích cực suy nghĩ.

Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toántổng quát Chứng minh rằng:

x2sin2

1x2cos

x2cosxcosx

1 n

Có thể yêu cầu học sinh quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi để đưa

nó về bài toán tổng quát

2cos7

5cos

;7

4cos7

2cos.7

cos7

sin7

4cos.7

2cos.7

sin8

17

sin

)7

sin(

81

7sin7

8sin8

Hiển nhiên, bài tập này là một vấn đề vì học sinh chưa có một quy tắc nào

có tính chất thuật toán để giải phương trình trên

Bài tập tương tự

4

x3(cosx

xcos4xnsi

2xn

2 2

2







3) 2x

1x

22x2gtgx

2

sinsin

)x







2, Chứng minh rằng: Trong DABC ta luôn có:

Cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin 2

C3sin2

B3sin2

A3

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

C n B n A

n

2 2

2

2 2

2

co co

co

si si

Trong đó ABC là ba góc của một tam giác

2.2.2 Sử dụng dạy học phân hoá như là một điều kiện tiến hành đồng loạt.

Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng thống nhất và phân hoá từ yêucầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học với tất cả học sinh, đồng thờikhuyến khích phát triển tối đa những khả năng cá nhân.Là sự kết hợp giữa giáodục diện “đại trà” với giáo dục “mũi nhọn,” giữa “phổ cập” với “nâng cao”trong giảng dạy

Ví dụ 1 Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích

1) Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:

1)bacos(

bcosacosE

bsinacosD

x3sinx2sinxsinC

b4sina2sinB

xcosx2cosA

Ccos2

Bcos2

Acos4CcosB

cosA

7cos9

5cos9

cos

19

17cos

19

5cos19

3cos19

sin 

2x

15x2

2x5(n

2sin

1x

c) (m - 4) tg 2x - m= 0

2.2.3 Xây dựng hệ thống bài toán gốc như là một cơ sở của kiến thức và

kỹ năng để giải các bài toán.

Theo quan điểm của cá nhân, một bài toán dù khó đến đâu cũng bắt nguồn

từ bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc Vì vậy, hệ thống các bài toán gốc sẽgiúp cho học sinh tìm được chìa khoá để giải quyết vấn đề trong quá trình giảitoán Vậy bài toán gốc là bài toán thế nào? Bài toán gốc là bài toán thoả mãnmột trong ba điều kiện sau:

- Kết quả của bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm lời giải các bàitoán khác

- Phương pháp giải bài toán được sử dụng trong việc tìm lời giải cho bàitoán khác

- Nếu thay đổi giả thiết, kết luận thì được bài toán mới

2.2.3.1 Xây dựng các bài toán gốc nhờ khai thác đẳng thức:

sin2a + cos2a = 1 với "aBài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a = 4

3a4cos4

1



Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a = 8

5a4cos8

7a8cos64

nsi

6 6

a

a

a

a



b) B (2sin6 3sin4 4sin2 ) (2cos6 3cos4 4cos2 )

a

a

a

a

a

a

Gặp bài toán này, vận dụng kết quả bài toán 2 và bài toán 3 phương trình sẽđưa về dạng quen thuộc đã biết cách giải.

Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức:

x8cos128

5x4cos32

15128

63x

cosx

xcosx

1



b) Với giá trị nào của m thì phương trình(**) có nghiệm

Ví dụ 5: Cho phương trình sin6 x + cos6 x= m sin2x

a) Giải phương trình khi m =4

1

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 6: Giải phương trình : sin8x+ cos8x = 2x

16

cos

Ví dụ 7: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

sin6x + cos6x = m (sin4x + cos4x)

2.2.3.2 Hệ thống bài toán gốc để giải các bài toán về hệ thức lượng giác trong tam giác.

Bài toán 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

a) sinA + sinB + sinC = 2

C2

B2

A

4cos cos cos

b) cosA + cosB + cosC = 1 + 2

C2

B2

A

4sin sin sinc) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ( D ABC không vuông)

Bài toán 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

b) cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC

c) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC

d) cos2A + cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC

Bài toán 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

Cg2

Bg2

Ag2

Cg2

Cg2

Bg2

A

cotcot

cotcot

Ctg2

Ctg2

Btg2

Ví dụ 1: Chứng minh trong tam giác ABC có cos A + cosB + cosC > 1

Ví dụ 2: Chứng minh trong tam giác ABC ta có:

a) tgA + tgB + tgC ≥ 3 3

b) tg2A + tg2B + tg2 C ≥ 9 Xây dựng bài toán tổng quát

Ví dụ 3: Chứng minh trong tam giác ABC ta có:

Ví dụ4: Chứng minh tam giác ABC vuông khi và chỉ khi:

cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0

Ví dụ 5: Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

a) 9

3C

BA

CBA2

2 



sin sin )(sin

sinsinsin

(*) b) sin6A + sin6B + sin6C = 0

c) sin10A + sin10B + sin10C = 0

d) sin2A + sin2B + sin2C = 2

đ) sin2A + sin2B + sin2C > 2

e) sin2A + sin2B + sin2C < 2

f) cos2A + cos2B + cos2C = 1

2.2.3.3 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1 Xét hệ phương trình đối xứng loại hai

 

2

2 2

Ta có bài toán sau

Bài toán 1 Giải phương trình x 3 2 3  x22  2

Giải: Đặt y = 2 – 3x2 ta có hệ

2 2

x 1 3  x 2 9  x2  3x 5  0

.Vậy nếu khi xây dựng bài toán, ta cố ý làm cho phương trình không có nghiệm hữu tỷ thì phương pháp khai triển đưa về phương trình bậc cao, sau đó đưa về phương trình tích sẽ gặp khó khăn

Ví dụ 2 Xét một phương trình bậc hai có hai nghiệm là số vô tỷ

Ta có bài toán sau

Bài toán 2 Giải phương trình 8x 5 5 x2  12  8

Giải: Đặt 2y = 5x2 - 1 Khi đó ta có hệ phương trình

2 2

 .Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 3 Giải phương trình 162x 27 3 8x3  33

Giải Bằng cách đặt 6y8x3 3 ta có hệ trên và giải ra ta có nghiệm là

Ta có bài toán sau:

Bài toán 4: Giải phương trình 3 x 2 8 x3 60x2151x128

Giải

Cách 1: Tập xác định R Phương trình được viết lại là

 3

3 x 2  2x 5  x 3 (1)Bằng cách đặt 2y 53 x 2 Kết hợp với (1) ta có hệ phương trình

 

 

3 3

Do đó phương trình dã cho có nghiệm duy nhất x =3

Do phương trình dã cho có nghiệm duy nhất x = 3 nên ta nghĩ đến

phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số như sau:

2.2.3.4 Xây dựng một số bất đẳng thức từ bất đẳng thức cơ bản.

A Bài toán gốc thứ 1

" Với a, b là các số dương thì

a b a b Dấu bằng xảy ra khi a = b"

Từ bất đẳng thức này bằng cách hướng dẫn học sinh với cách nhìn với 3

số dương a,b,c ta có bất đẳng thức sau đây:

Bài toán 1.(Đề thi khối A năm 2004)

Cho a,b,c là các số dương và

Bài toán 2 (Đề thi khối A năm 2005)

Cho a,b,c là các số dương và

Cộng lại ta có điều phải chứng minh.

Chú ý: Nếu từ bài toán trên ta cho a + b + c = k > 0 thì có ngay bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài toán 8 Cho ba số dương x, y ,z Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài toán 10 Cho a,b là các số dương và a b  1 Chứng minh

Dấu = xảy ra khi a = b = c

Hay ta có bất đẳng thức tương đương

a b c  a b c 

Từ bài toán này với cách hướng dẫn học sinh đưa ra các bài toán sau

Bài toán 1.Cho a,b,c là các số dương thì

3 2

b c a c a b     

Bài toán 4 Chứng minh trong tam giác ABC ta luôn có ha + hb + hc 9r , ở

đây h a , h b , h c là các đường cao và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giácABC

Bài toán 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác.

Gọi chân các đường cao của tam giác kẻ từ A,B,C đến các cạnh là A1, B1, C1

Chứng minh 1 1 1

6

A H B H C H  Dấu “ = ” xảy ra khi nào?

Bài toán 6 Cho a, b, c là các số dương và a b c   1 Chứng minh

Bằng cách tương tự học sinh đưa rư bài toán sau

Bài toán 1 cho a,b,c,d là các số dương và a + b + c + d = 4 Chứng minh

Tương tự với các số hạng còn lại ta có đpcm

Bài toán 3 Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh bất đẳng thức

a b b c c a 

III.THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Thiên Lãng

Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy giáo Vũ Ngọc Minh

3.2 Kết quả thực nghiệm.

3.2.1 Đối với lớp thực nghiệm

Hoạt động họpc tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi, không gâycảm giác áp đặt, khó chịu Việc sử dụng các biện pháp đã kích thích được sựhứng thú của học sinh trong giải toán và học toán Các em cảm thấy tự tin hơn

và mong muốn được tìm tòi khám phá Học sinh bắt đầu có ý thức và hiểu đượcrằng mỗi bài toán trong sách giáo khoa còn ẩn chứa trong nó nhiều vấn đề cầnkhai thác Một số học sinh khá giỏi đã có khả năng tự học, tự nghiên cứu cácvấn đề do giáo viên đề ra và nghiên cứu thêm các sách tham khảo để hệ thốnghoá đào sâu kiến thức

Tuy nhiên, một số dạng toán khó không gây được sự hứng thú cho học sinh vìvượt quá khả năng của các em

3.2.2 Đối với lớp đối chứng

Hoạt động học tập ở lớp đối chứng chủ yếu là học sinh giải các bài tậptrong sách giáo khoa, giáo viên chủ yếu sửa chữa những sai sót Yêu cầu củng

cố kiến thức , kỹ năng được đảm bảo, Tuy nhiên một số học sinh cảm thấy bàitập không có gì để khai thác thêm Các em học sinh yếu hoặc trung bình hầunhư chỉ học đối phó

3.2.3 Kết quả kiểm tra

Quá trình nghiên cứu đã dẫn đến những kết quả chủ yếu sau:

1 Nêu ra 4 định hướng và xây dựng được các kinh nghiệm sư phạm

nhằm tích cực hoá hoạt động của học sinh thông qua việc giải bài tập toán và sáng tạo bài tập từ góc nhìn của bài toán gốc

2 Bước đầu khảo nghiệm tính khả thi và hiệu quả của kinh nghiệm trên