ĐIỀU KIỆN về BIÊN độ để có DAO ĐỘNG điều HOÀ

Lí do chọn đề tài Trong quá trình nghiên cứu lí thuyết về dao động điều hoà ta đã biết, điều kiện để có dao động điều hoà là: + Đối với con lắc đơn: - Bỏ qua ma sát - Biên độ góc đủ nhỏ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài

Trong quá trình nghiên cứu lí thuyết về dao động điều hoà ta đã biết, điều kiện để có dao động điều hoà là:

+ Đối với con lắc đơn: - Bỏ qua ma sát

- Biên độ góc đủ nhỏ để sinα ≈α (rad)rad) + Đối với con lắc lò xo: - Bỏ qua ma sát

- Biên độ đủ nhỏ để lò xo nằm trong giới hạn đàn hồi

Ngoài ra, trong các cơ hệ cụ thể, điều kiện về biên độ để có dao động điều hoà đều diễn ra rất phong phú và đa dạng Ở mức độ dễ, thì ta thường gặp những bài toán là phải tìm biên độ dao động và những đại lượng liên quan đến biên độ Mức độ khó hơn là phải tìm điều kiện của biên độ thỏa mãn một điều kiện nào

đó Có thể nói đây là những bài toán hay và khó nếu khai thác kĩ thì sẽ gây được hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao tư duy

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu đề khảo sát chất lượng của các trường trong cả nước, tôi thấy tần suất xuất hiện những câu hỏi về điều kiện biên

độ là khá nhiều và học sinh thường lúng túng với những câu hỏi dạng này

Với những vấn đề đó, tôi xin đưa ra một hướng giải quyết cho vấn đề của bài toán mà tôi đã áp dụng cho hai lớp 12A3 và 12A2 kết quả rất khả quan

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Cơ sở lí thuyết.

Để tìm điều kiện về biên độ dao động ta cần xét xem có một lực F nào đó phải lớn hơn hay nhỏ hơn một giá trị xác định F0 ở mọi thời điểm t, rồi dựa vào phương trình định luật II Newton để suy ra biểu thức của lực ấy phụ thuộc vào thời gian

Bất phương trình : F ≥ F0 hoặc F ≤ F0 đúng với mọi thời điểm t sẽ cho ta điều kiện của biên độ cần tìm

Dưới đây là một số bài tập minh họa Trong các bài tập này ta đều coi ma sát là nhỏ có thể bỏ qua, chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương chỉ trên hình vẽ Lấy g = 10 m/s2

II Bài tập minh hoạ

Bài 1

Cho cơ hệ như hình vẽ, biết k = 100N/m, m1 = 400g,

m2 = 100g

a Giả sử M đứng yên Hỏi hệ m1, m2 dao động

với biên độ nào để m2 luôn dính với m1

b Với biên độ A = 4cm Hỏi M có giá trị bằng

bao nhiêu để nó đứng yên khi m1, m2 dao động

c Giả sử M = 3kg thì biên độ của hệ bằng bao

nhiêu để bảo đảm m1, m2 dao động

Giải

a Giả sử m 1 , m 2 dao động đã dao động điều hoà với tần số góc

) / (rad) 2 10 2 1

s rad m

m

k









Xét lực tác dụng lên m2 : - Trọng lực P2

- Phản lực từ m1 lên m2 là N12

Chọn chiều dương như hình vẽ

x m a m N

2 2

12

2     

Để m2 luôn dính với m1 trong quá trình dao động thì:

0

12 

N với mọi thời điểm t Nên:

0 ) cos(rad)

2 2

2 m  A t  

Bất đẳng thức trên đúng với mọi thời điểm t, chỉ cần đúng với giá trị nhỏ nhất ở vế trái là đủ, điều này xẩy ra khi :

1 ) cos(rad)t    

Vậy :

m A

g A

A m g m

05 , 0

0

2

2 2 2

















b Giá trị M

- Lực tác dụng lên M : + Trọng lực: P

+ Lực đàn hồi: F dh

- Để M luôn đứng yên khi m1, m2 dao động thì:

l k Mg F

P dh   

- Ta chỉ cần xét trường hợp lò xo bị căng vì trường hợp lò xo bị nén thì M luôn luôn ép xuống sàn

Nghĩa là

k

m 2

m 1

M

+

2

P

12

N

+

P

dh F

) (rad)A l0 k

Mg

l k

Mg Max













-Tại VTCB lò xo bị nén một đoạn:

k

P P

l 1 2 0







- Tại vị trí cao nhất lò xo dãn một đoạn

k

P P A l A

0















Ta có:

kg M

g

l k

1 , 0











Kết luận: M có khối lượng bất kì ứng với biên độ trên.

c Điều kiện biên độ A để m 1 , m 2 dao động điều hoà

Từ kết quả câu b ta có:

m A

g k

m m M A

g m m M kA

l A k Mg

35 , 0

.

) (rad)

) (rad)

2 1

2 1 0



























Kết hợp với kết quả câu a thì A < 0,05m

Bài 2 Trích đề thi đại học Trường Kinh Tế Quốc Dân năm học 2001-2002

Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lò xo có độ cứng k = 200N/m lồng vào một trục thẳng đứng như hình vẽ

Khi M đang ở VTCB, thả vật m = 200g từ độ cao

h = 3,75cm so với M

Coi ma sát không đáng kể, va chạm là hoàn toàn mềm

a Tính vận tốc của m ngay trước khi va chạm

và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm

b Sau va chạm hai vật cùng dao động điều hoà

Lấy t = 0 lúc va chạm Viết phương trình của hai vật

h

x

O m

M

trong toạ độ như hình vẽ, gốc O là VTCB của M trước

va chạm

c.Tính biên độ dao động cực đại của hai vật để

quá trình dao động m không rời khỏi M

Giải

a Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trước và sau va chạm, ta có:

s m gh

v

mv mgh 2 2 10 0 , 375 0 , 869 /

2 1

2

Vì va chạm là hoàn toàn mềm nên sau va chạm hai vật (rad)m+M) có cùng vận tốc

v2 Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:

s m v

M m

m v

v M m









b Khi thêm vật m, lúc cân bằng lò xo bị nén thêm một đoạn:

cm m k

mg

200

10 2 , 0









Như vậy, VTCB O1 mà quanh nó hệ hai vật dao động điều hoà nằm dưới O và cách O một đoạn 1cm Phương trình dao động của hệ hai vật quanh O1 có dạng: Acos(rad)zt + {), do đó nếu chọn gốc toạ độ tại O như hình vẽ thì phương trình dao động của hai vật có dạng:

x = Acos(rad)zt + {) – 1 (rad)cm) (rad)4) Theo đề bài: Lúc t = 0 :

x0 = 0 = Acos(rad){) – 1 (rad)5)

v0 = - v2 = - 0 , 75  sin 

5

2 5

2

s rad M

m

5 , 0

200









Từ đó suy ra:

2 2 2 2

2 2

2A (rad)sin   cos  )   v



cm

v

20

16

2 2 2













Từ (rad)5), (rad)6) và (rad)8) tìm được : { = Л/3

Vậy phương trình dao động của hai vật là:

) (rad) 1 ) 3 20 cos(rad)

x    

c Điều kiện của biên độ A.

- Các lực tác dụng lên m:

- Phản lực N

- Trọng lực P

- Áp dụng định luật II Newton cho m và chiếu lên trục toạ độ, ta có

)]

cos(rad) [

) cos(rad)

2 2































t A g

m N

t A m ma P N

- Để trong quá trình dao động m không rời khỏi M phải có: N ≥ 0

0 ) cos(rad)

2







 g  A t  với mọi thời điểm t Điều kiện đủ để bất đẳng thức trên đúng thì chỉ cần đúng với giá trị nhỏ nhất của

vế trái, điều này xảy ra khi: cos(rad)zt+{) = 1 Vậy

cm m

g

A 0 , 025 2 , 5

20

10 2

2   





Bài 3

Cho cơ hệ như hình vẽ Biết k = 100N/m, m1 = 250g,

dây mêm đều, độ giãn không đáng kể Bỏ qua khối lượng

ròng rọc, ma sát ròng rọc Bỏ qua khối lượng các sợi dây

a Giả sử m2 đứng yên, lò xo ở trong giới

hạn đàn hồi khi m1 dao động Hỏi biên độ A ở

trong giới hạn nào thì m1 dao động điều hoà

b Khối lượng m2 phải bằng bao nhiêu

để nó có thể đứng yên khi m1 dao động với biên

độ A = 1,5cm

Giải

a Như vậy là ta đã có 2 điều kiện rồi nhưng để m 1 dao động điều hoà thì phải tồn tại lực căng T 1 Nghĩa là T 1 ≥ 0

Vậy, với lí luận tương tự như những câu trên ta có:

) cos(rad)

2 1 1 1

1 1 1















t A m P T

a m T P

+

1

T

1

P

m 2

m 1

k

0 ) cos(rad)

2 1

 P m A t  với mọi thời điểm t

- Bất đẳng thức đúng với mọi thời điểm t thì chỉ cần đúng với giá trị nhỏ nhất của

vế trái, khi đó:

1 ) cos(rad)t   

m A

A

g m

P A

025 , 0 25

, 0 100 10

2 2 1 1



















b Tìm khối lượng m 2.

- Các lực tác dụng lên m2: Gồm 3 lực

+ Lực căng dây: T2

+ Lực đàn hồi của lò xo: F

+ Trọng lực P2

- Để m2 đứng yên thì:

0 2

2 P F 

- Giả sử ∆l0 là độ giãn của lò xo lức m1 ở VTCB

k∆l0 = P1

 ∆l0 =

k

P1

(rad)2)

- Tại li độ x, lò xo giãn (rad)∆l0 + x ), lực đàn hồi là:

F = k(rad)∆l0 + x ) (rad)3)

- Từ (rad)1) và (rad)3) ta có:

k(rad)∆l0 + x ) = P2 + T2

- Để m2 đứng yên thì phải tồn tại lực căng T2, T2 ≥ 0

Ta có:

P2 ≤ k(rad)∆l0 + x )

 P2 ≤ P1 + kx

 P2 ≤ Min(rad)P1 + kx)

 P2 ≤ P1 – kA

 P2 ≤ 2,5 – 100 1

100

5 , 1

Bài 4

Một con lắc lò xo treo thănng đứng gồm vật khối lượng m = 400g treo vào một

lò xo nhẹ có độ cứng k Tại thời điểm t = 0 vật có li độ x0 = +1cm và vận tốc v0 = -25cm/s Biết vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với năng lượng W

= 25mJ

a Tìm độ cứng lò xo và viết phương trình dao động của vật

2

T

2

P

F

+

m 2

m 1

k

b Điểm treo lò xo (rad)Điểm Q) chỉ chịu được lực kéo tối đa 9N Tìm điều kiện về biên độ dao động để lò xo không bị tuột khỏi Q

Giải

a Ở mọi thời điểm kể cả t = 0, cơ năng gồm tổng động năng và thế năng.

m N x

mv W k

mv

/ 250

2 2

2

kx

0

2 0

2 0

2

0     



* Phương trình dao động của vật

- Tần số góc: rad s

m

k

/ 25







- Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta có:



























4 2 /

25 sin 25 1 cos





s cm A

v A x

Vậy phương trình dao động của vật là:

cm t

x 2cos(rad)25 4)

b Lực kéo của lò xo lên điểm Q có độ lớn bằng lực đàn hồi Nhu vậy:

F = k(rad)∆l + x ) = mg + kAcos(rad)zt + {) ≤ F0 với mọi t

Lập luận tương tự, ta có :

A ≤ (F 0 - mg)/k = 2,6cm

Bài 5

Cho cơ hệ như hình vẽ Biết k = 100N/m,

α = 300 Bỏ qua ma sát giữa M

và mặt phẳng nghiêng Ma sát giữa

m và M có hệ số μ = √3/2, M = 200g,

m = 50g

Hỏi hệ dao động với

biên độ A bằng bao nhiêu để m

không trượt khỏi M khi dao động

Giải

- Các lực tác dụng lên m gồm:

+ Lực ma sát nghỉ fms

+ Thành phần tiếp tuyến của trọng lực

- Để m không trượt khỏi M thì m dao động cùng gia tốc với M Do đó theo định luật II Newton, ta có:

A

m

M

α

P f a

m  ms 

- Chiếu phương trình lên chiều đã chọn:



sin

mg f

ma ms 







 2Acos(rad) t ) f mgsin



- Mặt khác:

) sin cos

(rad) ) cos(rad)

sin

2



























mg t

A m

mg

f ms

với mọi thời điểm t

- Điều kiện cần và đủ là :

Cos(rad)zt + {) = 1 khi đó:

) sin cos

(rad) ) (rad)

; ) sin cos

(rad)

2

































k

g m M A

m M

k g

A

- Thay số, ta được:

A ≤ 0,625cm.

Bài 6.

Hai lò xo có chiều dài tự nhiên 20cm và 30cm được cắt ra từ một lò xo dài 50cm,

có độ cứng k = 30N/m Bỏ qua kích thước của m; AB = 60cm

a Tìm độ giãn của mỗi lò xo ở vị trí cân bằng

b Giới hạn đàn hồi của chứng là ∆l/l0 ≤ 25% Hỏi m dao động điều hoà với biên độ lớn nhất là bao nhiêu?

Giải

a Độ biến dạng của mỗi lò xo tại VTCB.

- Tại VTCB, hai lò xo giãn một đoạn là ∆l01 và ∆l02

Ta có:



















02 2 01 1

02

l k l k

cm l

l

(rad)1)

- Hai lò xo được cắt từ một lò xo nên:

+

2

L 1

B A

k1l1 = k2l2 = k0l0

→ 20k1 = 30k2 = 50.30 = 1500

→ k1 = 75N/m

k2 = 50N/m

- Thay k1 và k2 vào hệ (rad)1) và giải hệ, ta được:

∆l01 = 4cm

∆l02 = 6cm

b Biên độ dao động lớn nhất của m.

- Độ biến dạng tức thời của mỗi lò xo tại li độ x là:

∆l1 = ∆l01 + x

∆l2 = ∆l02 - x

- Để m dao động điều hoà, các lò xo này phải hoạt động trong giới hạn đàn hồi

* ∆l01 + x ≤ 0,25l1

→ x ≤ 0,25l1 - ∆l01

→ Acos(rad)zt + {) ≤ 0,05 – 0,04 = 0,01 với mọi thời điểm t

→ Bất đẳng thức được nghiệm đúng thì chỉ cần giá trị lớn nhất của vế trái nhỏ hơn là đủ, điều đó có nghĩa là: cos(rad)zt + {) = 1 Vậy:

* ∆l02 - x ≤ 0,25l2

→ -x ≤ 0,25l2 - ∆l02

→ -Acos(rad)zt + {) ≤ 0,075 – 0,06 = 0,015 với mọi thời điểm t

→ Acos(rad)zt + {) ≥ - 0,015

→ Bất đẳng thức được nghiệm đúng thì chỉ cần giá trị nhỏ nhất của vế trái lớn hơn là đủ, điều đó có nghĩa là: cos(rad)zt + {) = -1 Vậy

A ≤ 0,015(rad)m) (rad)3)

- Biên độ A phải thỏa mãn đồng thời (rad)2) và (rad)3) Vậy hệ này chỉ có thể dao động điều hoà với biên độ A = 0,01(rad)m)

Bài 7

Cho cơ hệ như hình vẽ, các dây mềm có độ giãn

không đáng kể, cơ hệ đang ở trạng thái cân bằng

k1 = 50N/m, k2 = 75N/m, l01 = l02 = 50cm

Hai lò xo có giới hạn đàn hồi là ∆l ⁄ l0 ≤ 10%, m = 300g

Hỏi với biên độ dao động trong khoảng nào thì m

có thể dao động điều hoà theo phương thẳng đứng?

k 2

k 1

m

- Ta có độ cứng của cơ hệ(rad) Học sinh tự chứng minh):

m N k

k

k k

k 4 120 /

2 1

2

1 





- Từ đó, ta lại có:

s rad m

k

/ 20







- Để m dao động điều hoà, phải tồn tại lực căng dây, nghĩa là:

) (rad) ) cos(rad)

) cos(rad)

2

2

t g t

A

t mA

ma P

ma T P

































- Lập luận tương tự:

A ≤ g / z2 → A ≤ 2,5 (rad)cm) (rad)1)

- Tại VTCB hai lực đàn hồi bằng nhau và bằng ½ trọng lực, nên độ giãn của hai

lò xo là:

cm k

mg l

cm k

mg l

2 2

3 2

2 02

1 01













- Tại li độ x, lò xo 1 giãn thêm 1 đoạn:

x

x 1 , 2 5

3

lò xo 2 giãn thêm 1 đoạn:

x

x 0 , 8 5

2

- Độ giãn của các lò xo khi m ở li độ x:

x l

x l

8 , 0 02 , 0

2 , 1 03 , 0

2

1













- Để hai lò xo ở trong giới hạn đàn hồi ta có:

2 , 1

02 , 0 ) cos(rad)

05 , 0 2 , 1 03 , 0

1 ,

0 01 1





















t A x

x

l l

với mọi thời điểm t

80

3 ) cos(rad)

05 , 0 8 , 0 02 , 0

1 ,

0 02

2





















t A x

x

l l

với mọi thời điểm t

+ Khi đó: A ≤ 3/80(rad)m) (rad)3) Kết hợp (rad)1), (rad)2) và (rad)3): Để m dao động điều hoà thì điều kiện của biên độ là:

A ≤ 1/60(rad)m)

Bài 8.

Vật M nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang

và một vật nặng m được nối với nhau bằng

một lò xo và một sợi dây nhẹ không giãn

vắt qua một ròng rọc cố định như hình vẽ

Hệ số ma sát giữa M và mặt phẳng ngang

là μ = 0,3 Tỉ số khối lượng giữa các

vật M = 5m Vật m thực hiện dao động

với chu kì T = 0,5s Vật m có thể thực

hiện dao động với biên độ cực đại là bao

nhiêu để đảm bảo nó dao động điều hòa?

Giải

- Gọi ∆l là độ giãn của lò xo khi m ở VTCB và k là độ cứng của lò xo thì:

k

mg

l 



- Khi m còn dao động điều hoà thì chu kì của nó bằng:

2

2

4

2





T k m k

m T







- Dao động của m còn là dao động điều hoà đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

+ Trong quá trình m dao động thì M đứng yên, nghĩa là Fdh ≤ Fms

+ Sợi dây phải luôn luôn căng, tức là T ≥ 0

- Từ điều kiện 1 Ta có:

Fdh = k(rad)x + ∆l) ≤ Fma

→ k(rad)∆l + Acos(rad)zt + {)) ≤ μMg

- Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có:

) (rad) 2 , 3 ) (rad) 032 , 0 4

m

M



















- Từ điều kiện 2 Ta có:

P – T = ma → P ≥ ma = mAz2cos(rad)zt + {)

→ A ≤ gT2/4Л2 ≈ 0,063(rad)m) = 6,3(rad)cm)

- Kết hợp hai kết quả trên:

A = 3,2cm

m M

III Bài tập vận dụng.

Bài 1 Trích đề thi đại học Xây Dựng năm học 1999 – 2000

Cho cơ hệ như hình vẽ

Lò xo 1: k1 = 60N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 20cm

Lò xo 2: k2 = 40N/m, chiều dài tự nhiên l02 = 25cm

Vật nặng có khối lượng M = 250g, kích thước không đáng kể, AB = 50cm Bỏ qua mọi ma sát

1 Xác định vị trí cân bằng của vật Lấy g = 10m/s2

2 Đặt thêm một vật có khối lượng m = 150g lên vật

M, lồng qua lò xo l1 và không gắn với lò xo l2 Sau đó, kích thích cho hệ dao động điều hoà theo phương thẳng đứng Hỏi biên độ dao động của hệ lớn nhất bằng bao nhiêu để m không rời khỏi M

Bài 2 Trích đề thi Học Viện Công Nghệ BCVT năm học 2001 – 2002

Một vật nhỏ khối lượng m = 200g treo vào sợi dây AB

không giãn và treo vào một lò xo có độ cứng k = 20N/m

như hình vẽ Kéo vật m xuống dưới VTCB một đoạn

bằng 2cm rồi thả không vận tốc đầu Chọn gốc toạ độ

tại VTCB, chiều dương hướng thẳng đứng xuống dưới,

gốc thời gian lúc thả vật Lấy g = 10m/s2

1 Viết phương trình dao động của m Bỏ qua lực cản

của không khí và ma sát ở điểm treo, bỏ qua khối lượng

dây treo AB và lò xo

2 Tìm biểu thức sự phụ thuộc của lực căng dây

vào thời gian

3 Biên độ dao động của m phải thỏa mãn điều kiện

nào để dây AB luôn luôn căng mà không đứt, biết rằng dây

chỉ chịu được lực kéo tối đa là TMax = 3N

12

m

A

l 1

B

l 2

M

A

l 1

B

l 2

M

B A

x

O

m

k

x

O

L

M 2

Bài 3 Trích đề thi CĐ Hóa Chất - 2004.

Hai vật M1 và M2 có khối lượng tương ứng

m1 = 500g và m2 = 100g được gắn vào lò xo L có

độ cứng k = 40N/m, trục của lò xo luôn được giữ

thẳng đứng Bỏ qua khối lượng của lò xo, lấy g = 10m/s2

1 Tính độ biến dạng của lò xo tại VTCB

2 Từ VTCB nhấn M2 xuống 2cm theo phương thẳng đứng rồi buông ra không vận tốc đầu thì thấy M2 dao động điều hoà trong khi M1vẫn đứng yên so với mặt đất Chọn trục toạ độ Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc toạ độ tại VTCB của M2, gốc thời gian lúc buông M2 Viết phương trình dao động của M2

3 Tìm điều kiện biên độ của M2 để M1 luôn luôn nằm yên khi M2 dao động

Bài 4

Cho cơ hệ dao động điều hoà như hình vẽ

Vật M trượt không ma sát trên mặt phẳng với chu kì T = 0,8s Vật m đặt trên vật M theo một tiếp xúc phẳng Hệ số ma sát giữa hai vật là μ = 0,25

Lấy g = 10m/s2 và Л2 = 10

Tìm biên độ dao động lớn nhất của M để m không trượt

Dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

Câu 1 Trích đề thi thử đại học lần 3 Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ - Hà

Nội năm học 2010 – 2011

Cho cơ hệ như hình vẽ Vật M1 có khối lượng

m1 = 1kg, vật M2 có khối lượng m2 = 4kg, lò xo có độ

cứng k = 625N/m Hệ đặt trên bàn, kéo vật M1 ra khỏi

VTCB A cm hướng thẳng đứng lên trên rồi thả nhẹ,

vật dao động điều hoà, cho g = 10m/s2 Xác định biên độ

A để trong suốt quá trình dao động vật M2 không nhấc khỏi sàn?

A A ≥ 1,6(rad)cm) B A ≤ 1,6(rad)cm)

C A ≤ 8 (rad)cm) D A ≥ 8 (rad)cm)

M

M 1

M 2