Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề

đặc biệt trong ví dụ 1 : “Đề xuất một số biện pháp đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành phương pháp giải tổng quát dựa trên vấn đề ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề giải

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời mở đầu

Nghị quyết số 40/2000/QH 10 ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc Hội khóa X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông nêu rõ “Đổi mới chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy và học phải được thực hiện một cách đồng bộ với việc đánh giá thi cử và chuẩn hoá trường Sở, đào tạo, bồi dưỡng giáo viên và công tác quản lý giáo dục

Ngày 28 tháng 12 năm 2001,Thủ tướng Chính phủ đã ra Quyết định số 20/ 1/2001/QĐ về việc phê duyệt "Chiến lược phát triển giáo dục 2001-2010" Theo

đó một trong các giải pháp phát triển giáo dục là đổi mới phương pháp giáo dục

Cùng với việc tổ chức thực hiện phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động nhận thức của học sinh Trường THPT Sầm Sơn trên tinh thần đổi mới, đã tổ chức các hình thức dạy học tích cực, đặc biệt mô hình dạy học nhóm, dạy học dựa trên tình huống có vấn đề, lấy học sinh làm trung tâm

Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy tại trường tôi luôn ủng hộ và tích cực tham gia tìm hiểu, nghiên cứu các mô hình dạy học hay, mới mẻ, và tiến hành dạy thử nghiệm ở môn Toán Thực tế cho thấy các em học sinh rất phấn khởi đón nhận và tỏ ra thích thú, giờ học trở nên không căng thẳng, hiệu quả tiếp thu cao

Được sự động viên của Ban Giám Hiệu, các đồng nghiệp tôi xin ghi lại những hiểu biết và suy nghĩ của mình về phương pháp cũng như soạn chi tiết một số bài giảng mà tôi đã kiểm chứng thực tế để cùng trao đổi, bàn bạc sâu rộng hơn với các đồng nghiệp đặc biệt trong ví dụ 1 : “Đề xuất một số biện pháp

đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành phương pháp giải tổng quát dựa trên vấn đề ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề giải toán sơ cấp ” Không những làm sáng tỏ phương pháp mà còn mang lại cho ta cảm xúc thật tuyệt vời trước cái hay, cái đẹp của tư duy sáng tạo

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng:

Trong xu thế đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng lấy người học làm trung tâm, phương pháp dạy học nêu giải quyết vấn đề (DHGQVĐ-Problem-Based Learning) đang được các nền giáo dục ở nhiều nước quan tâm nghiên cứu

và ứng dụng Mặc dù đó ra đời từ những năm 70 của thế kỷ trước, cho đến nay phương pháp này vẫn thu hút được sự quan tâm của những nhà nghiên cứu giáo dục Chẳng hạn một hội thảo quốc tế riêng về phương pháp DHGQVĐ được tổ chức từ ngày 16-20/6/2002 tại Baltimore, Bang Maryland của Hoa Kỳ Phương pháp này có thể được xem như một cách xây dựng tổng thể một đề cương giảng dạy hoặc là một trong những cách được người dạy áp dụng để xây dựng đề cương giảng dạy cho một môn học Phương pháp này xuất hiện vào năm 1970 tại trường Hamilton-Canada, sau đó được phát triển nhanh chóng tại Trường Maastricht-Hà Lan

Phương pháp này ra đời và được áp dụng rộng rãi dựa trên những lập luận sau:

Sự phát triển như vũ bão của KHCN trong những thập niên gần đây, trái ngược với nó là khả năng không thể dạy hết cho người học mọi điều

Kiến thức của người học thì ngày càng hao mòn từ năm này qua năm khác, cộng thêm là sự chêch lệch giữa kiến thức thực tế và kiến thức thu được từ nhà trường

-Việc giảng dạy còn quá nặng về lý thuyết, còn quá coi trọng vai trò của người dạy, chưa sát thực và chưa đáp ứng được yêu cầu của thực tế

-Tính chất thụ động trong học tập của người học so với vai trò truyền tải của người dạy còn cao khi mà số lượng người học trong một lớp ngày càng tăng -Hoạt động nhận thức còn ở mức độ thấp so với yêu cầu của thực tế (ví dụ như khả năng đọc và khai thác một cuốn sách hoặc một công trình nghiên cứu)

-Sự nghèo nàn về phương thức đánh giá người học, việc đánh giá còn quá nặng

về kiểm tra khả năng học thuộc

2 Kết quả và hiệu quả của thực trạng

Chính vì những lý do trên mà phương pháp dạy học dựa trên việc giải quyết vấn đề xuất phát từ tình huống thực tế của cuộc sống, thực tế nghề nghiệp được xây dựng dựa trên những yêu cầu sau:

- Phải có một tình huống cụ thể cho phép ta đặt ra được một vấn đề

- Các nguồn lực (trợ giảng, người hướng dẫn, tài liệu, cơ sở dữ liệu….) đều được giới thiệu tới người học và sẵn sàng phục vụ người học

- Các hoạt động phải được người học triển khai như đặt vấn đề, quan sát, phân tích, nghiên cứu, đánh giá, tư duy,…

- Kiến thức cần được người học tổng hợp trong một thể thống nhất (chứ không mang tính liệt kê), điều đó cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề dựa trên cách nhìn nhận đa dạng và chứng tỏ được mối quan hệ giữa các kiến thức cần huy động

- Phải có khoảng cách thời gian giữa giai đoạn làm việc trong nhóm và giai đoạn làm việc độc lập mang tính cá nhân

- Các hình thức đánh giá phải đa dạng cho phép chúng ta có thể điều chỉnh và kiểm tra quá trình sao cho không chệch mục tiêu đó đề ra

B ĐẶC ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP DHGQVĐ

1- Vấn đề là bối cảnh trung tâm của hoạt động dạy và học

- Có thể nói rằng phương pháp DHDGQVĐ đảo lộn thứ tự của hoạt động dạy

(GV) trình bày từ thấp đến cao theo một trình tự nhất định, và học sinh (HS) sẽ chỉ được tiếp cận với một vấn đề cần được lý giải (nếu có) một khi họ đó được trang bị đầy đủ những kiến thức cần thiết Trong phương pháp DHGQVĐ, HS

được tiếp cận với vấn đề ngay ở giai đoạn đầu của một đơn vị bài giảng Vấn đề

có thể là một hiện tượng của tự nhiên hoặc là một sự kiện, tình huống đó, đang hoặc có thể sẽ diễn ra trong thực tế và chứa đựng những điều cần được lý giải

1.1 Các đặc trưng của một vấn đề hay

Thực tế đó chỉ ra là có rất nhiều kiểu vấn đề, chủ đề có thể lựa chọn Điều này phụ thuộc vào từng hoàn cảnh cụ thể, từng cách xây dựng vấn đề và các hoạt động đề ra cho người học

Phân loại vấn đề

Vấn đề dùng trong dạy học có thể được phân thành năm dạng, từ đơn giản đến phức tạp như sau [5]:

Dạng

vấn đề

Giáo viên Người học Giáo viên Người học Giáo viên Người học

nhiều

Chưa biết Biết ít

nhiều

Chưa biết

IV Biết Biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết

V Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết

Dạng I: Vấn đề được giáo viên và người học (NH) biết cả về nội dung, phương pháp và giải pháp Dạng này được dùng để kiểm tra những điều người học đó được học hoặc đó được làm quen

V í dụ: Hãy tìm nghiệm của phương trình: 3.2 – 8x + 5 = 0

Dạng II: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung Về phương pháp

và giải pháp, giáo viên nắm rõ còn người học thì chưa biết và họ cần phải đưa ra quan điểm riêng

Ví dụ: Hãy đưa ra các giải pháp nhằm hạn chế hao phí điện năng trong phạm vi của một cơ quan, xí nghiệp

Dạng III: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung Về phương pháp

và giải pháp, giáo viên có thể biết đầy đủ hoặc một phần, còn người học thì chưa biết và họ cần phải đưa ra quan điểm riêng

Ví dụ: Hãy xây dựng các phương trình toán bao hàm ba con số: 2, 3, 5.

Dạng IV: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung Về phương pháp

và giải pháp, cả giáo viên lẫn người học đều chưa biết

Ví dụ: Làm thế nào để một trái bóng đá có thể chìm trong nước?

Dạng V: Giáo viên và người học đều chưa biết nội dung của vấn đề cũng như phương pháp và giải pháp tiến hành

Ví dụ: Hãy đưa ra ba vấn đề quan trọng nhất đối với sự phát triển của Quốc gia

và cách thức giải quyết các vấn đề đó

Tuy nhiên, đặc trưng bề nổi của một vấn đề thì không bao giờ rời xa nhu cầu của người học (nhu cầu về nhận thức, lĩnh hội kiến thức, ) cũng như không bao

giờ xa rời mục tiêu học tập Sau đây là một vài cách xây dựng vấn đề mà ta có

thể tham khảo

- Xây dựng vấn đề dựa vào kiến thức có liên quan đến bài học Toàn bộ bài giảng được xây dựng dưới dạng vấn đề sẽ kích thích tính tỉ mỉ và sự hứng thú của người học Tính phức tạp hay đơn giản của vấn đề luôn luôn là yếu tố cần được xem xét

- Xây dựng vấn đề dựa trên các tiêu chí thường xuyên biến đổi trong công việc, nghề nghiệp (Vấn đề đó có thường xuyên gặp phải ? Và nó có phải là nguồn gốc của những thiếu sót trong sản xuất? Nó có tác động lớn tới khách hàng hay không? Tuỳ theo từng hoàn cảnh thì các giải pháp đặt ra cho vấn đề này có đa dạng và khác biệt không?)

- Vấn đề phải được xây dựng xung quanh một tình huống (một sự việc, hiện tượng,…) có thực trong cuộc sống Vấn đề cần phải được xây dựng một cách cụ thể và có tính chất vấn Hơn nữa, vấn đề đặt ra phải dễ cho người học diễn đạt và triển khai các hoạt động liên quan Một vấn đề hay là một vấn đề không quá phức tạp cũng không quá đơn giản Cuối cùng là cách thể hiện vấn đề và cách tiến hành giải quyết vấn đề phải đa dạng

- Vấn đề đặt ra cần phải có nhiều tài liệu tham khảo nhưng trọng tâm nhằm giúp người học có thể tự tìm tài liệu, tự khai thác thông tin và tự trau dồi kiến thức; các phương tiện thông tin đại chúng như sách vở, băng cát sét, phần mềm mô phỏng, internet,… cũng cần phải đa dạng nhằm phục vụ mục đích trên

1.2 Vấn đề và cách tiếp cận vấn đề

1- Vấn đề đặt ra cần phải có tác dụng kích thích các hoạt động nhận thức cũng như các hoạt động xã hội của người học Theo chúng tôi, các hoạt động này thường gắn kết với một hoạt động nghiên cứu thực thụ mà ở đó người học cần phải:

- Đặt vấn đề (Vấn đề đặt ra là gì ?)

- Hiểu được vấn đề

- Đưa ra các giả thuyết (Các câu trả lời trước và đối chứng với các câu hỏi đó được đặt ra trong tình huống)

- Tiến hành các hoạt động thích hợp nhằm kiểm tra các giả thuyết của mình (nghiên cứu, phân tích, đánh giá tài liệu liên quan, sau cùng là tổng hợp việc nghiên cứu)

- Thảo luận và đánh giá các giải pháp khác nhau dựa theo từng tiêu chí mà hoàn cảnh đưa ra

- Thiết lập một bản tổng quan và đưa ra kết luận

Các bước đặt ra trên đây sẽ giúp cho người học nâng cao khả năng tổng hợp kiến thức Ví dụ như một vấn đề liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sẽ có nhiều khái niệm liên quan: các khái niệm hàm số, đồ thị , các khái niệm về đạo hàm, cực trị, tiệm cận,

2- Học sinh tự tìm tòi để xác định những nguồn thông tin giúp giải quyết vấn đề Trên cơ sở vấn đề được nêu ra, chính học sinh phải chủ động tìm kiếm thông tin thích hợp để giải quyết vấn đề Thông tin có thể ở nhiều dạng và từ nhiều nguồn khác nhau (sách, báo, phim, ảnh, từ internet…) Nói cách khác, chính người học phải tự trang bị cho mình phần “lý thuyết” nhằm có đủ kiến thức để tiếp cận và giải quyết vấn đề

3- Thảo luận nhóm là hoạt động cốt lõi

4- Mặc dù phương pháp có thể được áp dụng cho riêng từng học sinh, trong đa

số các ứng dụng người ta thường kết hợp với hoạt động nhóm Thông qua thảo luận ở nhóm nhỏ, học sinh chia sẻ nguồn thụng tin và cùng nhau hình thành các giả thuyết giúp giải quyết vấn đề, kiểm tra giả thuyết và đi đến kết luận Nhờ hoạt động nhóm, học sinh được rèn luyện thêm các kỹ năng cần thiết khác ngoài mục đích lĩnh hội kiến thức

5- Vai trò của GV mang tính hỗ trợ

GV đóng vai trò định hướng (chỉ ra những điều cần được lý giải của vấn đề), trợ giúp (chỉ ra nguồn thông tin, giải đáp thắc mắc,…), đánh giá (kiểm tra các giả thuyết và kết luận của hs), hệ thống hóa kiến thức, khái quát hoá các kết luận

C TIẾN TRÌNH DẠY HỌC THEO PHƯƠNG PHÁP DHGQVĐ

Trình tự tổ chức giảng dạy theo phương pháp DHDTVĐ có thể được khỏi quát qua các bước sau:

1- GV xây dựng vấn đề, các câu hỏi chính cần nghiên cứu, các nguồn tài liệu tham khảo

2- Tổ chức lớp học để nghiên cứu vấn đề: chia nhóm, giao vấn đề, thống nhất các qui định về thời gian, phân công, trình bày, đánh giá,

3- Các nhóm tổ chức nghiên cứu, thảo luận nhằm trả lời các câu hỏi của vấn đề 4- Tổ chức báo cáo và đánh giá: các nhóm trình bày kết quả nghiên cứu, GV tổ chức đánh giá

Việc cụ thể hoá các bước nói trên phụ thuộc rất lớn vào năng lực, tính tích cực của hs (và đôi khi của cả GV) và các điều kiện học tập, giảng dạy hiện hữu (tài liệu, trang thiết bị, nơi thảo luận, trợ giảng, )

* Chu trình và cách thức tổ chức dạy học giải quyết vấn đề.

Trong chu trình học tập theo phương pháp này, thời gian làm việc độc lập (cá nhân) luôn luân phiên với thời gian làm việc trong nhóm (có sự giúp đỡ của giảng viên, trợ giảng, hoặc người hướng dẫn)

Công việc cần thảo luận theo nhóm thường xuất hiện vào hai thời điểm đặc biệt được miêu tả trong chu trình dưới đây:

Như vậy chu trình dạy học dựa theo vấn đề gồm 4 giai đoạn:

Sau khi kết thúc giai đoạn 1 (Giới thiệu chủ đề, chuẩn bị các hoạt động và

nguồn lực cần thiết), học viên bắt đầu nhóm họp theo các nhóm nhỏ - giai đoạn 2

(có hoặc không sự trợ giúp của trợ giảng) nhằm phân tích chủ đề, đưa ra các câu hỏi và giả thiết đầu tiên, phân chia nhiệm vụ cho các thành viên nhóm Tiếp theo

đó các thành viên làm việc độc lập theo nhiệm vụ đó được phân chia (giai đoạn 3) Kết thúc giai đoạn 3, từng cá nhân sẽ giới thiệu thành quả làm việc trong nhóm Cuối cùng mỗi cá nhân tự viết một bản báo cáo (giai đoạn 4) Kèm theo các giai đoạn này thường có các buổi hội thảo trong một nhóm lớn, hoặc các hoạt động thực tế hay tiến hành thí nghiệm Có thể kết thúc quá trình tại giai đoạn này hoặc tiếp tục quá trình nếu một vấn đề mới được nêu ra

Thảo luận trong nhúm

Thảo luận trong nhúm

Làm việc độc lập

Làm việc độc lập

2 1

3 4

2

Việc thảo luận trong nhóm là bắt buộc đối với tất cả các cá nhân, nó không những giúp học viên phát triển được khả năng giao tiếp và các kỹ năng xã hội

mà còn phát triển được quá trình nhận thức (đọc hiểu, phân tích, đánh giá,…)

D/ XÂY DỰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ MINH HỌA:

Một vài ví dụ điển hình.

1 Ví dụ 1 : “Đề xuất một số biện pháp đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành phương pháp giải tổng quát” dựa trên vấn đề ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề giải toán sơ cấp

Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bất đẳng thức Côsi chiếm một

vị trí đặc biệt quan trọng Nó không chỉ có mặt trong chủ đề bất đẳng thức mà còn có mặt trong hầu hết các chủ đề khác của toán sơ cấp Đây là chủ đề hấp dẫn nhất đối với những học sinh say mê Toán vì đòi hỏi học sinh phải tư duy, tìm tòi, sáng tạo Bài tập về bất đẳng thức chứa nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh Vấn đề đặt ra ở đây

là : Từ những ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề sau:

1 Trong bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

2 Trong bài toán giải phương trình lượng giác

3 Trong giải phương trình, bất phương trình mũ, logarít

4 Trong hệ phương trình, hệ bất phương trình

5 Trong tam giác

6 Trong bài toán tìm max, min

7 Trong bài toán hàm số

8 Trong bài toán hình học

Đề xuất một số biện pháp đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành phương pháp giải tổng quát cho học sinh từ những bài tập cụ thể.

I MỤC TIÊU:

- Giúp cho học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi vào các chủ đề khác của toán sơ cấp

- Rèn luyện năng lực giải toán Từ đó giúp cho học sinh có cách nhìn tổng thể

về bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi

II MỘT SỐ BIỆN PHÁP:

1 Yêu cầu học sinh giải một số bài toán tương tự bài toán ban đầu hoặc yêu cầu

học sinh tự đề xuất một số bài toán tương tự bài toán đã cho , dựa trên vấn đề đó

để tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán và từ đó đi đến bài toán tổng quát

Ví dụ 1: Cho a, b, c0 Chứng minh rằng:

a a3 + b3 + c3  a2b + b2c + c2a

b a3 b3 c3 a2 bc b2 ca c2 ab









Sau khi giải xong bài toán này, để đi đến bài toán tổng quát ta có thể yêu cầu học sinh giải tiếp một số bài toán tương tự hoặc đề xuất một số bài toán tương tự với vế trái là a4 + b4 + c4, chẳng hạn:

Cho a, b, c0 Chứng minh rằng:

1 a4 + b4 + c4  a3b + b3c +c3a

2 a4 + b4 + c4  a3 bc b3 ca c3 ab



3 a4 + b4 + c4  a2bc + b2ca + c2ab

Sau đó, yêu cầu học sinh nhận xét tổng số mũ của mỗi số hạng trong ví dụ này để tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán, đó là:

Tổng số mũ của mỗi số hạng trong mỗi bài toán đều bằng nhau Từ đó, yêu cầu học sinh phát hiện bài toán tổng quát với vế trái là: an + bn + cn, 2  n  N, chẳng hạn:

Cho a, b, c  0 và 2  n  N Chứng minh rằng:

1 an bn cn an  1b bn  1c cn  1a









2 an bn cn an  1 bc bn  1 ca cn  1 ab









3 an bn cn an  2b2 bn  2c2 cn  2a2









4 an bn cn an  2bc bn  2ca cn  2ab









Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

a

d d

c c

b b

a

2

3

2

3

2

3

2

3













b

d

1 c

1 b

1 a

1 a

d d

c c

b b

a

3

2

3

2

3

2

3

2













Sau khi giải xong bài toán này, để đi đến bài toán tổng quát ta có thể yêu cầu học sinh giải tiếp một số bài toán tương tự hoặc đề xuất một số bài toán tương

tự, chẳng hạn:

Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

a

d d

c c

b b

a

3

4

3

4

3

4

3

4













b

d

1 c

1 b

1 a

1 a

d d

c c

b b

a

4

3

4

3

4

3

4

3













Sau đó, yêu cầu học sinh nhận xét số mũ của mỗi số hạng trong ví dụ này để tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán, đó là:

+) Số mũ của a, b, c, d trong vế phải là 1

+) Số mũ giữa tử số và mẫu số của mỗi số hạng trong vế trái hơn kém nhau 1 đơn vị, đúng bằng số mũ của a, b, c, d ở vế phải

Từ đặc điểm bản chất này của bài toán, ta có thể yêu cầu học sinh phát hiện các bài toán tổng quát như:

Cho a, b, c, d>0 Khi đó, ta có:

a

d d

c c

b b

a

n

1 n

n

1 n

n

1 n

n

1 n























2

d

1 c

1 b

1 a

1 a

d d

c c

b b

a

1 n

n

1 n

n

1 n

n

1 n

n





















2 Tìm nhiều lời giải của một bài toán, khai thác đặc điểm của từng cách giải để lựa chọn lời giải mà có thể dẫn đến bài toán tổng quát:

Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2004 2006 x 2 (1)

Ta xét 2 cách giải sau:

Cách 1: (Biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số):

Điều kiện 2004  x  2006

Khi đó: (1) 22 (x 2004)(2006 x) 4

 (x 2004)(2006 x) 1

 (x – 2004)(2006 – x) = 1

 x2 – 4010x + 2004.2006 + 1 = 0

 x2 – 4010x + (2005-1)(2005+1) + 1 = 0

 x2 – 2.2005x + 20052 = 0

 (x - 2005)2 = 0  x = 2005 (tm)

Vậy nghiệm của (1) là: x=2005

Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi):

Điều kiện 2004  x  2006

Khi đó: x – 2004  0, 2006 - x  0

Có

2

2003 x

2

1 2004 x

1 )

2004 x

( 2004

2

x 2007 2

1 x 2006 1

)

x 2006 ( x

2

x 2007 2003

x x 2006 2004

 VT(1)  VP(1) Do đó (1)  Dấu “ = ” xảy ra:

 x - 2004 = 1 = 2006 – x  x = 2005

Vậy nghiệm của (1) là: x = 2005

Nhận xét hai cách giải này, ta thấy đối với các bài toán tương tự:

2 x 2006 2004

* Nếu sử dụng cách giải 1, biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số thì rất khó khăn Do đó khi sử dụng cách giải 1 thì ít ai nghĩ đến việc nâng lên thành bài toán tổng quát

* Nếu sử dụng cách giải thứ 2, dùng bất đẳng thức Côsi thì việc giải quyết các ví dụ tương tự này không mấy khó khăn Do đó muốn nâng bài toán ban đầu lên thành bài toán tổng quát thì trước hết ta hướng dẫn học sinh giải theo cách 2, sau đó có thể yêu cầu họ giải các bài toán tương tự trên Từ đó mà học sinh có thể phát hiện ra bài toán tổng quát: Giải các phương trình:

2 x 2006 2004

Ví dụ 2: Giải phương trình:

4

1 x cos x



 (1)

Ta xét 2 cách giải sau:

Cách 1: (Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản):

Có (1) 4(sin2x cos2x)(sin4 x cos4x sin2 xcos2 x) 1











 4[(sin2x + cos2x)2 - 3sin2xcos2x]=1  4 – 3sin22x = 1

 sin22x = 1  cos22x = 0   k

2 x

Vậy nghiệm của (1) là: , k Z

2

k 4

x  

Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi):

4

3 8

1 8

1 x sin 3 8

1 8

1 x









4

3 8

1 8

1 x cos 3 8

1 8

1 x

Cosi 6









4

1 8

4 ) x cos x (sin 4

3 x cos x













Do đó VT(1)  VP(1) nên (1)  Dấu “ = ” xảy ra:













































1 x cos 2

1 x sin 2 2

1 x cos

2

1 x sin

8

1 x cos

8

1 x sin

2 2

2

2

6 6

    k

2 x 2 0 x 2 cos

Vậy nghiệm của (1) là: , k Z

2

k 4

x   Nhận xét hai cách giải này, ta thấy đối với các bài toán tương tự:

8

1 x cos x



 ,

16

1 x cos x sin10 10





* Nếu sử dụng cách 1, biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản để giải các bài tương tự thì rất phức tạp Do đó khi sử dụng cách 1 thì ít ai nghĩ đến việc nâng lên thành bài toán tổng quát

* Nếu sử dụng cách giải thứ 2, dùng bất đẳng thức Côsi thì việc giải quyết các ví dụ tương tự này không mấy khó khăn Do đó muốn nâng bài toán ban đầu lên thành bài toán tổng quát thì trước hết ta hướng dẫn học sinh giải theo cách 2, sau đó có thể yêu cầu họ giải các bài toán tương tự trên Từ đó mà học sinh có thể phát hiện ra bài toán tổng quát: Giải các phương trình:

1 n n

n

2

1 x cos x