bài giảng xác suất thống kê Bài tập chương 2

Lập bảng phân phối xác suất và tìm hàm phân phối tương ứng.. a Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.. a Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.. Lập bản

Bài tập chương 2

1 Một thiết bị có 2 bộ phận A và B hoạt động độc lập Xác suất bộ phận thứ nhất và thứ 2 bị hỏng trong thời gian làm việc là 0,1 và 0,2 Số tiền chi trả cho việc sửa mỗi bộ phận là 100.000 đồng

a) Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong lúc làm việc Lập bảng phân phối xác suất và tìm hàm phân phối tương ứng

b) Tìm số tiền trung bình phải chi trả cho một lần sửa

2 Có 2 hộp chứa bi H1: 6T, 4Đ H2 : 3T, 6Đ Lấy ngẫu nhiên 1 viên từ hộp 1 chuyển sang hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên 1 viên Gọi X là số bi trắng lấy được ở cả 2 lần

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối

( ), ( ), ( ), (2 )

E X D X med X E X −X c) Tìm a, b biết E Y( ) =D Y( ) = 1 với Y =aX +b

3 Có 2 hộp chứa bi có hình thức giống nhau H1: 6T, 4Đ H2 : 3T, 6Đ Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp này lấy ngẫu nhiên 2 viên bi Gọi X là số bi trắng đã lấy

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối

b) Tìm D X mod X med X( ), ( ), ( )

4 Có 3 quả tên lửa bắn độc lập vào 1 mục tiêu với xác suất trúng của quả thứ nhất, 2 và 3 lần lượt là: 0,3; 0,4 và 0,6 Gọi X là số quả bắn trúng Lập bảng phân phối xác suất của X và tính xác suất có ít nhất 2 quả tên lửa trúng

5 Trong hộp có 2T và 3Đ Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên cho đến khi lấy được bi trắng thì dừng Gọi X là số bi đã lấy

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối

b) Gọi Y là số bi còn lại trong hộp Tính E(X), D(X), mod(X) và med(X)

6 Một xạ thủ có 4 viên đạn Người này thực hiện bắn liên tiếp độc lập vào mục tiêu cho đến khi có 2 viên trúng đích hoặc hết đạn thì dừng Biết xác suất bắn

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Gọi Y là số đạn còn lại Tìm E Y( ), D Y( )

7 Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 7 quả mới và 3 quả đã sử dụng Ngày đầu tiên lấy ngẫu nhiên 1 quả để sử dụng và cuối ngày hoàn trả lại Ngày thứ

2 thực hiện tương tự Gọi X là tổng số quả bóng mới lấy được ở cả 2 lần

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối

b) Gọi Y là số quả bóng đã sử dụng có trong hộp sau 2 ngày Tính E(Y) và D(Y)

8 Có 2 cầu thủ A và B, mỗi người có 2 quả bóng và thực hiện ném luân phiên độc lập vào rổ cho đến khi có quả ném trúng hoặc hết bóng thì dừng Biết A ném trước và xác suất ném trúng của A , B là 0,3 và 0,4 Gọi X, Y là số bóng đã ném của A và B

a) Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối của Y

b) Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối của Z= +X Y

9 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối :

X -1 1 2

P 0,3 a b a) Tìm a và b biết E X( ) = 0, 6

Y = X −

10 Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối dạng

( ) * arctan

F x = +a b x

a) Tìm a,b

b) Tìm hàm mật độ và tính xác suất P( 0 <X < 1 )

c) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = 2X − 1

11 Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng:

( ) (1 ), 0 1

f x =Cx −x ≤ ≤x

a) Tìm C

b) Tìm hàm phân phối, tính EX và DX

c) Tìm a và b biết E Y( ) =D Y( ) 1 = với Y=aX +b

d) Tìm phân phối của Z= 2X + 1

e) Thực hiên phép thử 10 lần độc lập để quan sát các giá trị của X Tính xác suất có ít nhất lần giá trị của X thuộc khoảng (1/ 3;1/ 2)

12 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất

x

F x ax b x

x

<





=  + ≤ ≤



a) Xác định các hệ số a,b

b) Tính E X( ),D X( )

3

P X− > =t d) Thực hiện 10 phép thử độc lập để quan sát giá trị của X, tìm xác suất để trong 10 phép thử đó có 3 lần xảy ra biến cố (3 <X < 5)

2

Y = X

13 Biến ngẫu nhiên liên tục X có đồ thị hàm mật độ như hình vẽ

a) Tìm hệ số k

− < <

c) Xác định hàm phân phối F x( )

d) Tính E X( ),DX

14 Cho X ~ N(5;16)

a) Tính các giá trị sau: P(2X − > 1 3); D(3 2 ) − X

b) Tìm x sao cho: P X( >x) = 1/ 2

c) Tìm phân phối của Y = 2X +a biết E Y( ) = 11

15 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

a)

3

( )

x

ae x

f x

x

−

= 

<

2

, 0 ( )

x

axe x

f x

x

−



= 

<



Tìm a F, X( ),x E X( )

16 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối:

3

( )

a x

x





= 



a) Tìm a và hàm mật độ

b) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = 2X

c) Tính D(2X+ 3)

17 Cho 3 biến ngẫu nhiên độc lập X, Y và Z, trong đó X ~ N(0,1), Y~ N(2,1)

và Z~ B n( = 5;p= 0,3)

a) Tìm phân phối của T = 2X +Y và tính xác suất P(2X > − 2 Y)

b) Tìm a và b biết E U( ) =D U( ) 1 = với U =aX +bY

E X +Y +XY , 2

E Z +XY , D(2X+ −Y 3 )Z

18 Tuổi thọ (tính theo giờ) của một loại van điện lắp trong một thiết bị là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ

( ) 0 2 100

100 / 100

x

f x

x x

≤



= 

>



a) Tính xác suất một van bị thay thế trong 150h hoạt động đầu tiên

b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong số 5 van điện này bị thay thế trong 150h hoạt động đầu tiên biết rằng việc hỏng của các van điện là độc lập với nhau

19 Trong số bóng đèn do nhà máy sản xuất có 5% bị hỏng dây tóc Trong số bóng hỏng dây tóc có 3% hỏng cả phần đuôi Trong số bóng không hỏng dây tóc có 2% hỏng phần đuôi Bóng là phế phẩm nếu hỏng dây tóc hoặc phần đuôi

a) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy

b) Chi phí sản xuất 1 bóng là 5000đ, giá bán 1 bóng chính phẩm là 7000đ Tìm

số tiền lãi trung bình khi nhà máy sản xuất 10000 bóng

20 Một người tham gia 1 trò chơi với lệ phí là 200.000 đồng Người này phải trả lời 10 câu hỏi độc lập Mỗi câu trả lời đúng được thưởng 80.000 đồng và sai thì

bị phạt 20.000 đồng Biết xác suất trả lời đúng mỗi câu của người này là 0,7

a) Tìm số câu trả lời đúng với khả năng lớn nhất

b) Tìm số tiền lời trung bình người này đạt được

c) Tính xác suất sau trò chơi, người này lãi ít nhất 500.000 đồng

d) Một người sau khi nghiên cứu trò chơi đã quyết định tham dự Giả sử khả năng trả lời đúng mỗi câu là như nhau Hỏi người này phán đoán khả năng trả lời đúng tối thiểu mỗi câu của bản thân là bao nhiêu ?

21 Một người tham gia 1 trò chơi may rủi như sau Mỗi lần chơi đặt cược 10.000 đồng Người này lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp có 8 bi trắng và 2 bi đen, sau đó hoàn trả lại 2 viên bi Nếu lấy được 1, 2 bi đen thì người này nhận được 20.000 đồng và 30.000 đồng tương ứng, ngược lại thì mất tiền đặt cược Hỏi người này có nên tham gia trò chơi này thường xuyên hay không?

22 Để tìm số người mang trùng sốt rét trong 10.000 người ở vùng A, có 3 phương pháp để thực hiện:

- Phương pháp 1: Khám cho từng người riêng biệt

- Phương pháp 2: Lấy máu 5 người hòa chung, nếu xét nghiệm thấy trùng sốt rét thì tiến hành khám riêng cho từng người, ngược lại thì tiếp tục xét nghiệm cho nhóm 5 người khác và tiến hành như thế cho đến hết

- Phương pháp 3: Thực hiện như phương pháp 2 cho nhóm 10 người

Biết xác suất để 1 người ở vùng A mắc bệnh sốt rét là 0,01 Hỏi trong 3 phương pháp trên, phương pháp nàp là có lợi hơn và vì sao?

23 Số bệnh nhân đến khám ở một cơ sở y tế trong một ngày tuân theo phân phối poisson với trung bình 15 người/ngày

a) Tính xác suất trong 1 ngày có ít nhất 2 bệnh nhân đến khám

b) Tính xác suất trong 3 ngày có 40 bệnh nhân đến khám

c) Tìm số ngày trung bình trong 1 tháng 30 ngày có ít nhất 2 bệnh nhận đến khám

24 Mỗi sản phẩm của một công ty được chia làm 2 loại A và B Biết tỉ lệ sản phẩm loại A là 60% Giá sản phẩm loại A là 200.000 đồng và loại B là 150.000 đồng Một người chọn mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm

a) Tính xác suất người này mua ít nhất 1 sản phẩm loại B

b) Tìm số tiền trung bình người này phải trả

25 Một chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn nếu sai số giữa chiều dài của

nó so với chiều dài quy định không vượt quá 10mm Biến ngẫu nhiên X chỉ độ lệch

của chiều dài chi tiết so với chiều dài quy định có phân phối chuẩn 2

( , )

N aσ , với 0

a= mm, σ =5 mm

a) Hỏi có bao nhiêu phần trăm chi tiết đạt tiêu chuẩn

b) Hỏi có ít nhất bao nhiêu chi tiết được sản xuất để trong đó có ít nhất một chi tiết không đạt tiêu chuẩn với xác suất không nhỏ hơn 95%

c) Tìm số trung bình các chi tiết đạt tiêu chuẩn khi lấy ra 100 chi tiết

26 Thời gian hoàn thành 1 sản phẩm của công nhân ở một nhà máy là biến

( , )

N µ σ với µ = 5ph, σ = 0, 5ph Tính xác suất một công nhân hoàn thành 20 sản phẩm mất không ít hơn 90 phút Biết việc hoàn thành các sản phẩm là độc lập nhau

27 Ở một cơ sở sản xuất hàng thủ công, số sản phẩm bán ra trong một tháng

có phân phối chuẩn với số sản phẩm bán ra trung bình trong một tháng là 500 sản

phẩm, độ lệch chuẩn 50 sản phẩm Chi phí làm ra một sản phẩm là 80.000 đồng, giá bán một sản phẩm là 100.000 đồng, chi phí cố định hàng tháng là 1 triệu đồng a) Tìm tiền lãi trung bình mỗi tháng

b) Tính xác suất trong 1 tháng lãi ít nhất 11 triệu

c) Tính xác suất trong 2 tháng tổng số tiền lãi ít nhất là 22 triệu đồng

28 Trọng lượng X(g) của một loại trái cây có phân phối chuẩn 2

( , )

N µ σ với

100g

µ = Biết P X(| − 100 | 5) < = 0, 682

a) Tính phương sai của X

b) Chọn ngẫu nhiên 4 trái, tính xác suất tổng trọng lượng của chúng không nhỏ hơn 400 gam

c) Chọn ngẫu nhiên 3 trái, tính xác suất có ít nhất 1 trái được chọn có trọng lượng nhỏ hơn 95g

29 Thời gian làm việc của một linh kiện điện tử của máy tính là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với thời gian làm việc trung bình 500 giờ và

độ lệch chuẩn 100 giờ

a) Giả sử ta dự trữ 36 linh kiện Tìm xác suất để 36 linh kiện này đủ dùng ít nhất 19200 giờ

b) Hỏi phải dự trữ ít nhất bao nhiêu linh kiện để với xác suất 0,99 ta có thể đảm bảo cho máy tính hoạt động ít nhất 20000 giờ

30 Một sản phẩm được xem là tốt nếu kích thước của nó lệch so với kích thước quy định không quá 3,45mm về giá trị tuyệt đối Cho biết độ lệch này là biến

( , )

N µ σ với σ =3mm Tính số trung bình các sản phẩm tốt khi sản xuất 100 sản phẩm loại này

31 Lãi suất đầu tư vào 1 công ty là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

2

( , )

N µ σ Biết xác suất để đạt được trên 20% trong một năm là 02, và dưới 10% trong một năm là 0,1 Tính xác suất khi đầu tư vào công ty này thu được lãi suất ít nhất là 14% trong một năm

32 Số khách trên 1 chuyến xe buýt từ A đến B tuân theo luật phân phối poisson với trung bình 25 khách trên 1 chuyến

a) Tính xác suất trên 1 chuyến xe có đúng 10 khách

b) Giả sử chi phí cho một chuyến đi từ A đến B là 150.000 đồng và không phụ thuộc vào số lượng người trên xe Lúc đó, để tiền lãi trung bình cho mỗi chuyến đi

là 100.000 đồng thì giá vé cần quy định là bao nhiêu ?

33 Số tín hiệu nhận được ở một máy thu tín hiệu tuân theo luật phân phối poisson với trung bình 3 tín hiệu trong 5 phút Tính xác suất :

a) Trong 5 phút, máy nhận được không ít hơn 2 tín hiệu

b) Trong 1 phút, máy không nhận được tín hiệu nào

c) Trong 15 phút, máy nhận được đúng 10 tín hiệu

34 Thực hiện gieo 1 con xúc xắc ngẫu nhiên 1000 lần Tính xác suất số lần xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 4 không nhỏ hơn 200 lần

35 Xác suất 1 hạt thóc giống bị hỏng là 0,005 Tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên 1000 hạt thóc giống:

a) có đúng 15 hạt hỏng

b) số hạt hỏng không vượt quá 10

36 Cho biến ngẫu nhiên X có E X( ) 1; = D X( ) = 0, 04 Ước lượng các xác suất sau:

P X 

< <

b) P(0 <X < 2)

( ) 5; ( ) 26

E X = E X = Hãy ước lượng xác suất

P < <X