Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C với A và B là các tiếp điểm.. Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.. Tìm điểm M trên Oy sao cho qua M kẻ hai tiếp tuy
Trang 1Ví dụ 1: [ĐVH] (Khối A – 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0 và đường tròn 2 2
( ) :C x +y −4x−2y=0 Gọi I
là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A
và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10
Đ/s: M( 3;1)−
Ví dụ 2: [ĐVH] (Khối B – 2006)
Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−2x−6y+ =6 0, M( 3;1).− Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B
là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB
Đ/s: AB: 2x+ − =y 3 0
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−4)2+y2=4, N(4;1). Tìm điểm M trên Oy sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N
Đ/s: M(0; 4)
Ví dụ 4: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0, d x: +2y− =12 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Lời giải:
Ta có ( ) ( ) (2 )2 ( )
C = −x + y− = ⇒ C có tâm I( )2;1 và bán kính R= 5
Gọi M∈d x: +2y− =12 0⇒M(2t+12;−t)⇒IM=(2t+10;− −t 1)
Gọi A, B là hai tiếp điểm Bài ra có
0 0
60 120
AMB AMB
• TH1 AMB=600⇒AMI =30 0 Do đó sin 5 sin 300 1 2 20
2
IA
IM IM
( ) 2
;
• TH1 AMB=1200⇒AMI =60 0 Do đó sin 5 sin 600 3 2 20
IA
IM IM
5 42 101 15 126 283 0
3
Phương trình vô nghiệm vì ∆ =' 632−15.283= −276<0
16 BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Đ/s: M( )6;3 hoặc 6 27;
5 5
Ví dụ 5: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2+2x−4y=0, d x: − + =y 1 0 Tìm điểm M thuộc d
sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C), với các tiếp điểm là A, B đồng thời
=60 0
AMB
Lời giải:
Từ giả thiết ( ) ( ) (2 )2 ( )
C x+ + y− = ⇒ C có tâm I(−1; 2) và bán kính R= 5
Ta có ( ) 1 2 1
2
= = < ⇒ cắt ( )C
Góc 600 300 sin 5 sin 300 1 2 5
2
IA
IM IM
M∈d x− + =y ⇒M t t+ ⇒IM= +t t− ⇒IM = +t + −t = t +
= ⇒
= − ⇒ − −
Đ/s: M( )3; 4 hoặc M(− −3; 2 )
Ví dụ 6: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ −(y 2)2=4, N(2;1). Tìm điểm M trên
: + + =2 0
d x y sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N
Lời giải:
( )C có tâm I( )1; 2 và bán kính R=2 Do M∈d x: + + =y 2 0⇒M t( ;− −t 2)⇒IM= − − −(t 1; t 4)
Ta có MA=MB Gọi ( )T là đường tròn tâm M bán kính R'=MA=MB
Tọa độ của A, B là nghiệm của hệ ( ) ( )
2 2
− + − =
2 2
Tọa độ của A, B thỏa mãn (1) ⇒AB: 2 2( − t x) (+ 2t+8)y− − =2t 9 0
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Trang 3Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 và đường tròn
( ) : (C x−2) + −(y 3) =4 Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện
tích bằng 2 6
Đ/s: M(3; 0)
Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0 và đường tròn ( ) :C x2+y2−2x+4y− =4 0 Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 6 2
Đ/s: M( ) (0; 2 ,M − −3; 1)
Bài 3: [ĐVH] Cho đường tròn và đường thẳng
+ + =
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông
Đ/s: MI =R 2⇒m= −5;m=7
Bài 4: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−6x+ =5 0 Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Đ/s: M( ) (0; 7 ,M 0;− 7)
Bài 5: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : 2 2 4, 1; 8 , (3; 0)
3
C x y A B Tìm điểm M trên đường tròn sao tam
giác MAB có diện tíc bằng 20
3
Đ/s: ( 2; 0), 14 48;
25 75
Bài 6: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−2)2+ −(y 3)2=10
Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đã cho Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết rằng cạnh AB đi qua
( 3; 2)− −
M và điểm A có hoành độ dương
Đ/s: A(6;1),C(−2;5)
Bài 7: [ĐVH] (Khối D – 2007)
Cho đường tròn và đường thẳng
d x y m Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ
đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều
Đ/s: MI =2R⇒m=1;m= −41
Bài 8: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−2)2+ −(y 4)2=8, d x: − − =y 2 0 Tìm điểm M trên d để qua M có
Trang 4thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác IAB có diện tích
max
Đ/s: M( ) ( )2; 0 ,M 6; 4
Bài 9: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ +(y 1)2=1, M(2; 0). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB
Đ/s: AB x: + − =y 1 0