Đề toán quốc tế IMC 2010 và lời giải chi tiết

Đây là tài liệu được chỉnh sửa, dịch sang song ngữ AnhViệt và thêm phần giải chi tiết cho bộ đề toán Quốc tế IMC từ năm 2000 đến nay.Nếu các bạn đọc chưa hiểu hay có vân đề thắc mắc thì liên hệ với mình qua mail Quangnhienxstkk26gmail.com. Thank you.Đây là một phần của tài liệuELEMENTARY MATHEMATICS INTERNATIONAL CONTESTTime limit: 90 minutes 27th July 2010 Incheon, KoreaQUESTION1. A computer billboard is displaying the three “words” : IMC 2010 INCHEON. Amalfunction causes the initial “letter” of each of the three words to be shifted tothe end of that word every minute. Thus after 1 minute, the billboard reads MCI0102 NCHEONI, and after 2 minutes, it reads CIM 1020 CHEONIN. After howmany minutes will the original three words reappear for the first time?Một bảng quảng cáo trên máy tính hiển thị ba cụm từ: IMC 2010 INCHEON. Mộttrục trặc xảy ra, cứ một phút thì chữ cái đầu tiên của mỗi cụm từ sẽ chuyển tới vịtrí cuối của cụm đó. Như vậy, sau 1 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị : MCI 0102NCHEONI và sau 2 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị: CIM 1020 CHEONIN. Vậysau bao nhiêu phút thì ba cụm từ ban đầu xuất hiện lại lần đầu tiên?2. What is the sum of the digits of the number ?Tổng các chữ số của là bao nhiêu?3. By the notation dn , we mean an ndigit number consisting of n times of thedigit d. Thus 53=555 and 43 95 81 36 =444999998333333. If 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x =53 72 8z 51 7 3 for some integers w, x, y and z, what is the value of w + x + y + z?Chúng ta định nghĩa một số có n chữ số d bởi dn . Như vậy 53=555 và 43 95 81 36=444999998333333. Nếu 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 53 72 8z 5173 với x,y,w và z là cácsố nguyên. Giá trị của w + x + y + z là bao nhiêu?4. A man weighs 60 kg plus onequarter of his weight. His wife weighs 64 kg plusonefifth of her weight. What is the absolute difference between the weights ofthe man and his wife in kg?Một người đàn ông nặng 60 kg cộng với một phần tư trọng lượng của mình. Vợông nặng 64 kg cộng một phần năm trọng lượng của cô ấy. Tìm hiệu khối lượngcủa 2 người?

ELEMENTARY MATHEMATICS INTERNATIONAL CONTEST

Time limit: 90 minutes 27th July 2010 Incheon, Korea

QUESTION

1 A computer billboard is displaying the three “words” : IMC 2010 INCHEON A

malfunction causes the initial “letter” of each of the three words to be shifted to the end of that word every minute Thus after 1 minute, the billboard reads MCI

0102 NCHEONI, and after 2 minutes, it reads CIM 1020 CHEONIN After how

many minutes will the original three words reappear for the first time?

Một bảng quảng cáo trên máy tính hiển thị ba cụm từ: IMC 2010 INCHEON Một trục trặc xảy ra, cứ một phút thì chữ cái đầu tiên của mỗi cụm từ sẽ chuyển tới vị trí cuối của cụm đó Như vậy, sau 1 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị : MCI 0102 NCHEONI và sau 2 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị: CIM 1020 CHEONIN Vậy sau bao nhiêu phút thì ba cụm từ ban đầu xuất hiện lại lần đầu tiên?

2 What is the sum of the digits of the number ?

Tổng các chữ số của là bao nhiêu?

3 By the notation d n , we mean an n-digit number consisting of n times of the digit d Thus 53=555 and 43 95 81 36 =444999998333333 If 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x =

53 72 8z 51 7 3 for some integers w, x, y and z, what is the value of w + x + y + z? Chúng ta định nghĩa một số có n chữ số d bởi dn Như vậy 5 3 =555 và 4 3 9 5 8 1 3 6

=444999998333333 Nếu 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 5 3 7 2 8 z 5 1 7 3 với x,y,w và z là các

số nguyên Giá trị của w + x + y + z là bao nhiêu?

4 A man weighs 60 kg plus one-quarter of his weight His wife weighs 64 kg plus

one-fifth of her weight What is the absolute difference between the weights of the man and his wife in kg?

5 In quadrilateral ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm and CD=15 cm If the

length of AC is an integer number of cm, what is this number?

Trong tứ giác ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm và CD=15 cm Nếu chiều dài của AC là một số nguyên đo bằng cm Tìm độ dài của cạnh AC

6 The speed of the current in the river is 1 km per hour A man rows a boat at constant speed He rows upstreams for 3 hours, and rows downstreams for 2 hours to return to his starting point What is the distance, in km, between the starting point of the boat and the point at which the boat turns around?

Tốc độ dòng chảy trong dòng sông là 1 km/giờ Một người đàn ông đi thuyền với tốc độ không đổi Anh ta đi ngược dòng sông lên thượng lưu trong 3 giờ, và đi xuôi dòng sông trong 2 giờ để về lại điểm xuất phát Tính khoảng cách giữa điểm bắt đầu và điểm mà thuyền quay đầu lại?

7 In the quadrilateral ABCD, AB is parallel to DC and AD = BC If eight copies of

this quadrilateral can be used to form a hollow regular octagon as shown in the

diagram below, what is the measure of ∠BAD, in degree ?

Trong tứ giác ABCD, AB song song với DC và AD = BC Nếu 8 bản sao của tứ giác này có thể được sử dụng để tạo nên một hình tám góc rỗng ở trong được thể hiện trong hình vẽ dưới thì góc BAD bằng bao nhiêu?

C

D

8 Let , be two different 3-digit numbers If the difference

is divisible by 2010, what is the largest possible sum of these

two 3-digit numbers?

Lấy và là hai số có 3 chữ số khác nhau Nếu hiệu chia hết cho 2010 thì giá trị lớn nhất có thể của tổng 2 số có 3 chữ số ban đầu là bao nhiêu?

9 What is the average of all different 9-digits numbers where each consists of the

digit 5 five times and the digit 4 four times?

Tìm trung bình cộng của tất cả các số có chín chữ số khác nhau mà mỗi số bao gồm năm chứ số 5 và bốn chứ số 4

10 ABCD is a rectangle with AB=4 cm and BC=6 cm E, F, G and H are points on

the sides AB, BC, CD and DA respectively, such that AE=CG=3 cm and BF=DH=4 cm If P is a point inside ABCD such that the area of the quadrilateral AEPH is 5 , what is the area the quadrilateral PFCG, in ?

ABCD là một hình chữ nhật với AB = 4 cm và BC = 6 cm E, F, G và H lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC, CD và DA Biết rằng AE = CG = 3 cm và BF = DH =

4 cm Nếu P là một điểm nằm bên trong ABCD sao cho diện tích của tứ giác AEPH bằng 5 Tìm diện tích của tứ giác PFCG

11 Narrow vegetable spring-rolls of length 8 cm are supposed to be made by

rolling 8-cm bean sprouts inside 6 cm × 8 cm rice papers into cylinders Instead, the workers are provided with 6 cm bean sprouts So they roll the rice paper the other way and get wide cylinders of length 6 cm For either kind of spring rolls, there is an overlap of 1 cm in order for the rice paper to stick What is the ratio

of the volume of the 8 cm spring roll to the volume of the 6 cm spring roll?

Một cuộn chả giò dài 8 cm được làm bằng cách cuộn một tấm bánh tráng có kích thước 6 cm × 8 cm với những cọng giá đỗ dài 8 cm bên trong Thay vào đó, những người làm chả giò được cung cấp những cọng giá dài 6 cm Vì thế họ phải cuộn bánh tráng bằng cách khác và tạo ra một đoạn chả giò dài 6 cm ( kích thước bánh tráng không đổi) Đối với bất kỳ kiểu làm nào thì cũng có một đoạn bánh tráng dài

1 cm trùng nhau để cuộn chả dính lại Tính tỉ số thể tích của đoạn chả giò dài 8 cm với đoạn chả giò dài 6 cm

12 The largest of 23 consecutive odd numbers is 5 times the smallest What is the

average of these 23 numbers?

Số lớn nhất của 23 số lẻ liên tiếp bằng 5 lần số nhỏ nhất Tính trung bình của 23

số đó

13 The digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9 are to be written in the squares so that

every row and every column with three numbers has a total of 13 Two numbers have already been entered What is the number in the square marked ＊?

Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 được viết vào các ô vuông sao cho mội hàng

và cột gồm 3 chữ số có tổng bằng 13 Có hai chứ số đã được điền Tìm chữ số trong ô vuông được đánh dấu bởi ＊

14 In a test given in four subjects, each of five students obtained a score of w, x, y

or z in each individual subject, as shown in the table below The total score of

each student had been computed, as well as the class total for each subject except for one What was the class total for Biology?

Trong một đợt kiểm tra cho bốn môn học, mỗi bạn trong năm học sinh đạt được số điểm w, x, y và z trong mỗi môn học đã được chỉ ra trong bảng dưới đây Tổng số điểm của mỗi học sinh đã được tính cũng như tổng số điểm của từng môn học Tính tổng số điểm mà năm học sinh đạt được ở môn sinh học

15 What is the largest positive integer n which does not contain the digit 0, such

that the sum of its digits is 15 and the sum of the digits of 2n is less than 20?

Số dương lớn nhất n không chứa chữ số 0 mà tổng các chữ số của nó là 15 và tổng các chữ số của 2n nhỏ hơn 20?

SOLUTION

1 Ta thấy

Trong cụm từ đầu tiên IMC, cứ 3 phút thì sẽ quay lại vị trí ban đầu

Trong cụm từ thứ hai 2010, cứ 4 phút thì sẽ quay lại vị trí ban đầu

Trong cụm từ thứ ba INCHEON, cứ 7 phút thì sẽ quay về vị trí ban đầu

Ta có BCNN(3,4,7) = 84

Vậy sau 84 phút thì ba cụm từ ban đầu sẽ xuất hiện lại lần đầu tiên

2 Ta có:

Vậy tổng các chữ số của là

3 Ta có: A = 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 53 72 8z 51 7 3. → min (x, y) = 3 Nếu x = 3 thì tổng A sẽ có dạng 0m73 (loại) Do đó y = 3 Ta viết lại: 2 w 3 x + 3 y 5 w 2 x-3 = 53 72 8z 51 → x – 3 = 1 → x = 4 Viết lại: 2 w 3 3 + 3 y 5 w = 53 72 8z → w > 3 suy ra z = 3 Viết lại: 2 w + 3 y 5 w-3 = 53 72

→ w – 3 = 2 suy ra w = 5

Vậy w + x + y + z = 15

4 60kg = ¾ khối lượng của người chồng

Suy ra người chồng nặng 80 kg

64kg= 4/5 khối lượng người vợ

Suy ra người vợ nặng 80 kg

Hiệu khối lượng của 2 người bằng 0

2010 chữ số 0 2006 chữ số 9

2006 chữ số 9

5

Xét tam giác ABC, theo định lý về 3 cạnh của tam giác, ta có:

AC < AB + BC = 6 + 7 = 13 (1)

Xét tam giác ADC, ta có:

AC > DC – AD = 15 – 4 = 11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = 12 cm

6 Gọi khoảng cách cần tìm là A

Vận tốc chèo thuyền là v

Ta có và

Do đó

Suy ra:

Vậy khoảng cách cần tìm là 12 km

7 Ta đã biết:

Tổng các góc trong một tam giác bằng Tổng các góc trong một tứ giác bằng

Dễ dàng cmđ tổng các góc trong một bát giác bằng : Bát giác đề cho là một bát giác đều nên 8 góc trong bằng nhau Suy ra góc trong bằng

Suy ra góc DCB bằng Suy ra góc BAD bằng

C

D

8 Giả sử

Theo đề ta có:

Suy ra:

Vì 333 và 670 nguyên tố cùng nhau nên

Mà ( )

Suy ra: hoặc (loại vì )

Vậy

Tổng lớn nhất khi lớn nhất Suy ra

Vậy tổng lớn nhất bằng

9 là số có 9 chữ số bao gồm 5 chữ số 5 và 4 chữ số 4 Như vậy tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí là 5 : 4 Tương tự vậy: Tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí là 5 : 4 fg

Tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí là 5 : 4

Trung bình cộng cần tìm:

10

Ta dễ dàng tính được độ dài của các cạnh như ở hình trên

Gọi diện tích của AEP, AHP, CFP và CGP lần lượt là a, b, c và d

Ta có

Tương tự:

Suy ra

Ta có

Suy ra

Hay diện tích tứ giác FCGP bằng 8

11 Cuộn chả giò kiểu thứ nhất có chiều dài 8 cm và chu vi đáy 5 cm Cuộn chả giò kiểu thứ hai có chiều dài 6 cm và chu vi đáy 7 cm Tỷ lệ thể tích =

a

b

c

d

1 cm

3 cm

2 cm

4 cm

1 cm

Cột 1

Cột 2

a 1

a 2

a 5 a 6

a 4

a 3

12 Gọi n là số lẻ nhỏ nhất trong chuỗi 23 số lẻ liên tiếp

Thì dãy đó là: n, n+2, n+4, , n+44

Ta có n + 44 = 5n

Suy ra: n = 11

Dãy đó là: 11, 13, 15, , 55

11+ 13 + 15 + + 55 = ( ) ( )

Trung bình cộng:

13

Xét cột 1: 2 chữ số còn thiếu phải có tổng bằng 4

Nên 2 số đó sẽ là 1 và 3

Xét hàng 2: 2 chữ số còn thiếu có tổng là 8 và phải khác 9,5,3,1

Nên 2 số đó sẽ là 6 và 2

Ta có 1 + 2 + + 9 = 45

Tổng cột 1 + tổng hàng 1 + tổng cột 2 + tổng hàng 2 =

a2 + + a5 =52 – 45 = 7

Do đó bộ số a2, và a5 chỉ có thể là những số 1, 4 và 2

Vậy

14 Ta nhận thấy:

Tổng số điểm của 5 bạn = tổng số điểm của 4 môn học Có nghĩa là:

349 + 330 + 349 + 326 + 315 = 416 + ? + 428 + 401

Suy ra: ? = tổng số điểm môn sinh = 424

Hàng 1

Hàng 2

15 Nhận thấy nếu n bao gồm các chữ số bé hơn 5 thì tổng chữ số của 2n sẽ gấp

đôi tổng các chữ số của n và bằng 30

Do đó trong n phải có ít nhất một chữ số lớn hơn hoặc bằng 5

Vì ta cần tìm số lớn nhất nên ta sẽ xét trường hợp n có nhiều chữ số nhất:

Xét trường hợp n chứa 1 chữ số và các chữ số còn lại đều bằng 1:

n có dạng:

Ta có thể thử từng trường hợp a = 5,6,7,8 hoặc 9 thì tổng các chữ số của 2n đều bằng 21 ( loại)

Xét trường hợp n chứa 2 chữ số lớn hơn hoặc bằng 5 và các chữ số còn lại đều bằng 1:

Ta chọn n là số lớn nhất trong trường hợp này

n= 5511111

Khi đó 2n = 11022222 có tổng các chữ số bằng 12, thõa đề bài

Vậy n = 5511111

Chú ý: Có vấn đề gì chưa hiểu hay cần hỏi, các em có thể liên hệ qua mail:

Quangnhienxstkk26@gmail.com Thầy sẽ giải đáp mọi thắc mắc

Best regards (15-a) chữ số

1