Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS TRỊNH THANH HẢI
Thái Nguyên - 2017
Trang 3Mục lục
1.1 Nguyên lý cộng 6
1.1.1 Định nghĩa 6
1.1.2 Ví dụ 7
1.2 Nguyên lý nhân 7
1.2.1 Định nghĩa 7
1.2.2 Ví dụ 8
1.3 Nguyên lý bù trừ, thêm bớt 9
1.3.1 Định nghĩa 9
1.3.2 Ví dụ 10
1.4 Hàm sinh 13
1.4.1 Định nghĩa 13
1.4.2 Các định lý và mệnh đề 13
2 Vận dụng phương pháp đếm vào giải toán 16 2.1 Vận dụng phương pháp truy hồi 16
2.1.1 Ý tưởng 16
2.1.2 Một số ví dụ 16
2.2 Vận dụng phương pháp song ánh 23
2.2.1 Ý tưởng 23
2.2.2 Một số ví dụ 24
2.3 Vận dụng phương pháp đa thức và số phức 30
2.3.1 Ý tưởng 30
2.3.2 Ví dụ 30
2.4 Vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh 36
2.4.1 Ý tưởng 36
Trang 42.4.2 Ví dụ 37
Trang 5Mở đầu
Trong chương trình toán ở trường THPT nói chung, nội dung dànhcho học sinh giỏi nói riêng, các “bài toán đếm” luôn thu hút được sựquan tâm của học sinh bởi tính thực tiễn đa dạng, phong phú của nó
và dạng bài tập này cũng thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏihàng năm các cấp
Tuy nhiên việc giải các bài toán dạng này thường là khó đối vớinhiều học sinh, lý do chính là học sinh chưa nắm được và biết cáchvận dụng các phép đếm vào từng bài toán cụ thể
Cũng đã có một số tác giả đã đưa ra một vài dạng bài tập liên quanđến hướng nghiên cứu của luận văn như: Văn Phú Quốc [7], NguyễnVăn Nho [8] Tuy nhiên các tài liệu này chưa phân nhóm, đưa ra mộtcách tường minh, rõ ràng các ý tưởng, phương pháp vận dụng phépđếm vào giải các bài toán
Với mục đích tìm hiểu, sưu tầm một hệ thống các bài toán mà lờigiải của nó có vận dụng các phép đếm để sử dụng các bài tập này vàoviệc ôn tập, bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi ở trường THPT, chúngtôi chọn đề tài: “Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toánthi học sinh giỏi” Nhiệm vụ cụ thể của luận văn là:
(1) Hệ thống một số tính chất cơ bản trong chương trình toán phổthông để khởi đầu cho việc tìm hiểu các phép đếm nâng cao
(2) Giới thiệu một số phép đếm nâng cao và minh họa việc vậndụng chúng vào giải một số bài tập, đề thi học sinh giỏi
Trong quá trình thực hiện đề tài, luận văn đã tham khảo trích dẫnmột số bài tập trong các tài liệu tham khảo đồng thời cũng cố gắngđưa ra lời giải chi tiết hơn cho một số ví dụ mà trong các tài liệu thamkhảo mới chỉ đưa ra hướng giải hoặc lời giải vắn tắt
Vì trong SGK, chương trình toán THPT không dạy những phépđếm này một cách tường minh; nên để phân biệt chúng tôi gọi tạm là
Trang 6“Phép đếm nâng cao”.
Để hoàn chỉnh luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảotận tình của PGS TS Trịnh Thanh Hải (Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên), các thầy cô khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học –Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giảng dạy lớp cao học toán K9A.Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô và xingửi lời tri ân nhất của tôi đến thầy cô
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, PGS.TS NguyễnThị Thu Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã hướng dẫn
và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn
Trang 7Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyênnghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp Thông thường cácphần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãn nhữngđiều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiêncứu Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp Chủ đềnày đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi những vấn đề về tổ hợpđược nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi.Liệt kê, đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một phầnquan trọng của lí thuyết tổ hợp Đếm các đối tượng để giải nhiều bàitoán khác nhau
Đây là nguyên lý cơ bản của tổ hợp, được vận dụng rộng rãi vào giảiquyết các bài toán đếm Nếu A và B là hai tập hợp không giao nhauthì |A ∪ B| = |A| + |B|
Cho Ai, i = 1, n là các tập rời nhau Khi đó
Trang 8
Ví dụ 1.1.2 Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân có đúng 3 ký
Trang 9Nếu một quá trình có thể được thực hiện qua hai công đọan: côngđọan 1 có n1 cách thực hiện, công đọan 2 (sau khi thực hiện công đoạn1) có n2 cách thực hiện Khi đó có n1.n2 cách thực hiện quá trình đó.Tổng quát: cho n tập hợp Ai, i = 1, n, n ≥ 2 Khi đó:
... data-page="12">
sinh dự thi có 25 thí sinh làm câu số học, 30 thí sinh làm đượccâu đại số 15 thí sinh làm câu hình học Ngồi số thí sinhlàm hai câu số học đại số 20, số thí sinh làm haicâu số học hình học. .. 5, số thí sinh làm hai câu đại số vàhình học 10 Biết khơng có thí sinh khơng làm câu nào.Hỏi có thí sinh làm ba câu?
Lời giải Gọi A, B, C tập hợp thí sinh làm câu số học, đại số hình học. .. 2
Vận dụng phương pháp đếm vào giải toán< /h2>
Đối với nhiều toán đếm xuất kỳ thi Quốc gia,Quốc tế việc đếm trực tiếp đối tượng vơ khó khăn.Nếu ta xây dựng mối quan hệ truy hồi số lượng