Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1 Một số kiến thức bổ trợ về hệ phương trình 3

1.1 Hệ phương trình tuyến tính (xem [3]) 3

1.2 Hệ phương trình phi tuyến 8

2 Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình phi tuyến 17 2.1 Phương pháp thế 17

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 25

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số(xem [2]) 30

2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 36

2.5 Phối hợp nhiều phương pháp giải hệ phương trình 45

3 Một số ứng dụng của hệ phương trình phi tuyến 54 3.1 Ứng dụng của hệ phương trình đa thức trong giải các bài toán cực trị và chứng minh bất đẳng thức 54

3.2 Một vài ứng dụng thực tế trong khoa học và đời sống 56

Mở đầu

Giải hệ phương trình là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT và trongcác chuyên ngành Đại số, Giải tích Khi đề cập đến việc giải hệ phương trình, học sinhtrung học cơ sở dễ dàng tìm được các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nhưgiải hệ bằng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế của học sinh lớp 9, hay sử dụngđịnh thức của lớp 10 Tuy nhiên, đối với hệ phương trình phi tuyến, gần như có rất íttài liệu nghiên cứu sâu về lĩnh vực này Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, các kì thiOlympic trong nước và quốc tế, các hệ phương trình phi tuyến thường là loại khó và ít

có định dạng cũng như phương pháp giải cụ thể Vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăntrong việc giải các bài toán về hệ phương trình phi tuyến trong chương trình toán phổthông và trong các kì thi học sinh giỏi các cấp

Đề tài luận văn nghiên cứu một số hệ phương trình phi tuyến thường gặp trong chươngtrình toán phổ thông và các phương pháp giải hệ phương trình này cũng như ứng dụngcủa chúng dùng trong ôn luyện học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 đặcbiệt là dành cho học sinh ôn thi chuyên toán

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày gồm ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ về hệ phương trình.

Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ, các khái niệm, định nghĩa cơ bản về hệphương trình, tập nghiệm của hệ phương trình nói chung và hệ phương trình phi tuyếnnói riêng

Chương 2 Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình phi tuyến.

Chương 2, trình bày các dạng toán thường gặp của hệ phương trình phi tuyến vàcách giải chúng được tìm hiểu qua các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]

Chương 3 Một số ứng dụng của hệ phương trình phi tuyến.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với

sự hướng dẫn của PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của thầy, tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòngđào tạo và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin đượccảm ơn các anh chị cùng khóa đã chỉ bảo, hướng dẫn cho tác giả học tập và hoàn thành

kế hoạch học tập

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 4 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Anh

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ về hệ

phương trình

Chương này tôi xin trình bày các kiến thức bổ trợ, các khái niệm, định nghĩa cơ bản

về hệ phương trình, tập nghiệm của hệ phương trình nói chung và hệ phương trình phituyến nói riêng

1.1 Hệ phương trình tuyến tính (xem [3])

1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Định nghĩa 1.1 ChoKlà một trường Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn x1, x2, , xn

Hệ phương trình (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

Đăc biệt nếu b1 = = bm = 0 thì hệ (1.1) có dạng

n

X

k=1

(aikxk) = 0, i = 1, , m

được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1.1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

∆j =

a11 · · · b1 · · · a1n

· · ·

an1 · · · bn · · · ann

Công thức (6) được gọi là công thức Cramer

Chú ý: Định thức ∆j là định thức của ma trận nhận được từ ma trận A của hệ (1.2)bằng cách thay các phần tử ở cột thứ j (Hệ số của ẩn xj) bởi các phần tử b1, · · · , bn (Các

chỉ có nghiệm tầm thường Θ = (0, · · · , 0) khi và chỉ khi định thức |A| 6= 0.

Ví dụ 1.1 (Xem [4]) Giải hệ phương trình:

Cộng tất cả các phương trình của hệ, suy ra

xn = −n − 2

n =

2 − nnVậy hệ phương trình có nghiệm

(Đề thi OLYMPIC toán Sinh viên 2002)Bài giải.

Kí hiệu D là định thức của hệ phương trình Ta có

2002×2002

(Nhân hàng đầu với −1 rồi cộng vào các hàng còn lại)

= (a + 2001b).(a − b)2001

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ a 6= b và a 6= −2001b

1.1.2.2 Thuật toán Gaoxơ (Gauss)

Trong đại số tuyến tính, thuật toán Gauss là một thuật toán có thể được sử dụng đểtìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận,

để tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch thuật toán Gauss đượcđặt theo tên của nhà toán học Đức là Carl Friedrich Gauss

• Nội dung của thuật toán Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính là : Thực hiện liêntiếp các phép biến đổi tương đương để từ hệ phương trình (1.1) ban đầu chúng ta nhânđược một hệ mới tương đương có số phương trình ít hơn, và có dạng bâc thang sau:

• Các trường hợp sau có thể xảy ra:

Trường hợp 1 : Nếu trong quá trình biến đổi gặp phương trình vô nghiệm dạng 0x1+ · · · +0xn = b, b 6= 0, thì ta dừng lại và kết luận hệ vô nghiệm

Trường hợp 2 : Nếu r = r, khi đó phương trình cuối cùng của hệ có dạng a0mnxin = b0n

Hệ (1.6) là một hệ Cramer, do đó hệ có duy nhất một nghiệm Có thể tìm nghiệm đóbằng cách giải từng phương trình của hệ (1.6) từ dưới lên và thay thế dần giá trị của các

ẩn tìm được từ phương trình dưới vào các phương trình trên

Trường hợp 3 : Nếu r < n thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm Để giải hệ 1.6

ta có thể xem các ẩn xir+1, · · · , xin là các tham số (lấy giá trị tùy ý) và chuyển các sốhàng chứa các ẩn đó sang vế phải; rồi dùng phương pháp ở trường hợp 2 đối với các

ẩn xi1, · · · , xir xem xir+1, · · · , xin là tham số Trong thực tế để biến đổi hệ phương trìnhtuyến tính 1.1 ban đầu về dạng bậc thang, người ta thường thực hiện các phép biến đổitương đương trên ma trận bổ sung A0 Các phép biến đổi đó được gọi là các phép biếnđổi sơ cấp

Ví dụ 1.3 (xem [3]) Giải hệ phương trình

Cộng thêm biểu thức x1+ x2+ · · · + xi−1 vào cả hai vế của phương trình thứ i của hệ đãcho, với i = 2, 3, · · · , n, ta có

= a

2005i

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta được x1= a

2005Vậy xi= a

2005i(i = 1, 2, · · · , n − 1); xn = a

2004.2005n−1

1.2 Hệ phương trình phi tuyến

1.2.1 Khái niệm

Định nghĩa 1.3 (xem [6]) Một phương trình đại số không phải là tuyến tính được gọi

là phương trình phi tuyến

Định nghĩa 1.4 (xem [6]) Hệ phương trình phi tuyến là một hệ gồm nhiều phươngtrình, nhiều ẩn, trong đó có ít nhất một phương trình phi tuyến

1.2.2 Một vài dạng hệ phương trình phi tuyến

1.2.2.1 Hệ phương trình đại số

1.2.2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I (xem [2])

Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng

Khi tráo đổi vị trí của x và y trong hệ phương trình thì hệ không thay đổi

Nhận xét 1.1 Nếu hệ có nghiệm (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ

Giả sử phương trình có hai nghiệm X1; X2

+ Nếu ∆ > 0 thì X1 6= X2 nên hệ (1.5) có hai nghiệm phân biệt (X1; X2), (X2; X1).+ Nếu ∆ = 0 thì X1 = X2 = x0 nên hệ có nghiệm duy nhất (x0; x0).

+ Hệ có ít nhất một nghiêm thỏa mãn x>0 ⇔ hệ (∗) có ít nhất một nghiệm (S; P ) thỏamãn

Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất, tức

∆(2)= 0 ⇔ S2 = 4P ⇔ x = y(Hoặc có thể dùng nhận xét, do vai trò của x, y trong mỗi phương trình như nhau nên hệ

có nghiệm (m; n) thì nó cũng có nghiệm (n; m) Như vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì a = −2

• Trong một vài trường hợp, hệ phương trình đối xứng loại I còn có thể gặp ở hệ phươngtrình phi tuyến 3 ẩn, 4 ẩn, thỏa mãn điều kiện: vai trò của các ẩn trong mỗi phươngtrình của hệ như nhau

x +

1

7121

z +

1

518(Thi HSG TP HCM 07/01/1993)

1.2.2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại II (xem [1])

Định nghĩa 1.6 Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ gồm hai phương trình mà khi

ta thay đổi vị trí của hai biến thì phương trình trên thành phương trình dưới và phươngtrình dưới thành phương trình trên Khi đó hệ phương trình có dạng

∗ Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế của hai phương trình, ta được:

(y − x)h(x;y) = 0 ⇔ x = y hoặc h(x;y)= 0

Kết hợp với (1), giải phương trình, tìm (x; y)

Ví dụ 1.8 (xem [5]) Giải hệ phương trình:

Điều kiện (x; y) 6= (0; 0) Hệ đã cho tương đương với

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (−2; −2)

Ví dụ 1.9 (xem [5]) Giải hệ phương trình:

(Thi HSG Toàn Quốc 1994 - 1995)

1.2.2.1.3 Hệ phương trình phi tuyến với vế trái đẳng cấp (xem [2])

Dạng tổng quát của hệ phương trình phi tuyến có vế trái đẳng cấp là

x, từ đó rút y theo x, lại thay vào phương trình thứ hai,tìm được y, từ đó thu được x

- Nếu cả d và d0 đều khác 0 thì ta có thể tạo ra một phương trình thuần nhất (hệ số tự

do bằng 0), sau đó thực hiện cách giải như trên

Ví dụ 1.10 (xem [2]) Giải hệ phương trình:

Hệ đã cho tương đương với hệ :







x2+ 4xy − 2y2= −625x2+ 46xy − 8y2 = 0 (1)

1.2.2.1.4 Hệ phương trình đối xứng dạng phân thức

Ví dụ 1.12 (xem [2]) Giải hệ phương trình:

y + z =

185xz

x + z =

3613Bài giải

Ví dụ 1.13 (xem [2]) Giải hệ phương trình:

1.2.2.2 Hệ phương trình mũ và Lôgarit (xem [2])

Ví dụ 1.14 (xem [2]) Giải hệ phương trình:







xlog8 y+ ylog8 x= 4 (1)log4x − log4y = 1 (2)Bài giải

Điều kiện x, y > 0 ta có:

(2) ⇔ log4x

y = 1 ⇔ x = 4y nên (1):

(4y)log8 y+ ylog8 4y = 4

⇔ 4log8y.ylog8 y+ ylog8 4.ylog8 y = 4

2 log3

y

3 = 1 (2)Bài giải

Điều kiện x, y > 0

⇔ logx2 + logx3 = 1 ⇔ logx6 = 1 ⇔ x = 6

3;2

3).

Chương 2

Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình phi tuyến

2.1 Phương pháp thế

2.1.1 Nội dung phương pháp

Thông thường ta biểu diễn 1 ẩn hoặc 1 biểu thức thích hợp từ một phương trình của

hệ theo các ẩn khác rồi thay vào các phương trình còn lại để được một hệ mới tươngđương với hệ đã cho và có số ẩn ít hơn so với hệ ban đầu

Ví dụ đối với hệ hai phương trình hai ẩn ta có thể thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thaythế vào phương trình còn lại để được phương trình mới chỉ có một ẩn

+ Bước 2: Dùng phương trình mới vừa có được, thay thế cho một trong hai phương trìnhcủa hệ, tạo thành hệ mới tương đương với hệ phương trình ban đầu

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

∗ Chú ý:

- Phương trình một ẩn này phải giải được

- Trong quá trình giải hệ bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương trình có các

hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ đã cho có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm - Đốivới hệ gồm nhiều phương trình, nhiều ẩn, việc sử dụng phương pháp thế làm giảm số ẩntrong phương trình để được hệ mới tương đương với hệ đã cho, ta giải hệ mới, tìm đượcnghiệm và thay ngươc trở lại tìm ẩn đã thế

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y; z) = (1; 1; 0).

Bài toán 2.2 (xem [4]) Giải hệ phương trình:

Từ (1) ⇒ x = 4 − 2y, thế vào phương trình (2):

(4 − 2y)2+ 3y2− (4 − 2y)y + 2(4 − 2y) − 5y = 0

Với y = 2 ⇒ x = 4 − 2.20

9 =

−49Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 1), (−4

9 ;20

9 ).

2.1.2.1 Phép thế đại số

Định nghĩa 2.1 Phép thế đại số là phép thế sử dụng các biểu thức đại số hoặc các ẩn

có trong phương trình để biểu diễn một ẩn qua các ẩn còn lại rồi thay thế vào các phươngtrình của hệ để được một hệ mới tương đương với hệ ban đầu, với số ẩn ít hơn

Bài toán 2.3 (xem [1]) Giải hệ phương trình:

x − 1 = 2x − 2y

(∀x, y ∈R)(Đề thi TS Đại học - Cao đẳng - Khối D - 2008)Bài giải

Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0

xy + x + y = x2− 2y2 ⇔ (x + y)(x − 2y − 1) = 0

⇔ x = −y hoặc x = 2y + 1

? Trường hợp 1: x = −y Vì y ≥ 0 nên x ≤ 0 (Vô lý)

? Trường hợp 2: x = 2y + 1, thế vào phương trình thứ hai, ta có:

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (5; 2)

Bài toán 2.4 (xem [6]) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0), (2; −1; −1).

Bài toán 2.5 (xem [6]) Giải hệ phương trình ẩn x, y, u, v :

Từ (4) ⇒ v = 1 − u Thế vào (1)

ux3+ y3(1 − u) = 14 ⇒ u(x3− y3) = 14 − y3

⇒ u(x − y)(x2+ xy + y2) = 14 − y3.(5)

Tương tự

Thế v = 1 − u vào (2), ta có u(x − y)(x + y) = 5 − y2.(6)

Thế v = 1 − u vào (3), ta có u(x − y) = 2 − y.(7)

Thế x; y vào, ta tìm được các nghiệm của hệ :

3 (2)Bài giải

Từ phương trình (1) cho ta gợi ý đặt ẩn phụ đưa về lượng giác

Khi đó phương trình (2) được viết dưới dạng:

(sin α − cos α)(1 + 2 sin 2α) =

√62

⇔ sin α − cos α + 2 sin 2α sin α − 2 sin 2α cos α =

√62

⇔ sin α − cos α + cos α − cos 3α − sin 3α − sin α =

√62

⇔ sin 3α + cos 3α = −

√62

z + zy4+ 4y3= 4y + 6y2z (3)

−Π

2 ;

Π2

3 cot22ϕ + 3y cot 2ϕ = 1 + y cot32ϕ

⇔ y = 3 cot

22ϕ − 1cot32ϕ − 3 cot 2ϕ =

1cot 6ϕ = tan 6ϕSuy ra: x = cot 2ϕ cot 6ϕ, thay vào (3) ta được:



−Π

2 ;

Π2

(x; y; z) = (cot 2ϕ cot 6ϕ; tan 6ϕ; tan ϕ) Với ϕ ∈ ±Π

23; ±

2Π

23; ; ±

11Π23Bài toán 2.8 (xem [5]) Giải hệ phương trình

2(x + y) (do x = −y không thỏa mãn phương trình (1) ⇒ tan 3ϕ 6= 0)

⇔ z = (2 tan ϕ − tan 3ϕ) tan 3ϕ − 1

cos 3ϕsin 3ϕ)

z = tan ϕ − 1

sin 6ϕ

(2) ⇔ x2+ y2+ z2− 2xy − 2xz + 2yz = 1 + x2

⇔ (y + z − x)2= 1 + x2

⇔ (tan 3ϕ − tan ϕ + tan ϕ − 1

sin 6ϕ − tan ϕ)2 = 1 + tan2ϕ

⇔ ( cos 5ϕ

sin 6ϕ cos ϕ)

2 = 1cos2ϕ



−Π

2;

Π2

(x; y; z) = (tan ϕ; tan 3ϕ − tan ϕ; tan ϕ − 1

sin 6ϕ)





xy + yz + xz = 1 (1)20(x + 1

Điều kiện : xyz 6= 0

Nếu (x; y; z) là một nghiệm của hệ phương trình thì (−x; −y; −z) cũng là một nghiệmcủa hệ, và từ (1) suy ra x, y, z cùng dấu Ta chỉ cần xét (x; y; z) dương

1tan γ) (4)

Ta có:

(3) ⇔ tan α(tan β + tan γ) = 1 − tan α tan γ

⇔ tan α = 1 − tan β tan γ

tan β + tan γ = cot(β + γ)

tan2γ + 1tan γ

⇔ 20

sin 2α =

11sin 2β =

2007sin 2γ

Áp dụng định lý sin ta tính được ba cạnh của tam giác có ba góc 2α, 2β, 2γ là

c = 2007 (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Do đó tam giác không tồn tại

Vậy hệ vô nghiệm

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với một số bài toán phức tạp, bằng cách đặt ẩn phụ, sẽ làm bài toán trở lên dễdàng hơn (Thường áp dụng đối với những hệ phương trình xuất hiện cụm ẩn nào đóđược lặp lại nhiều lần.)

2.2.1 Nội dung phương pháp

Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ẩn phụ u = f(x,y)và v = g(x,y)ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau các phép biến đổi

Thông thường các phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng, trừ hai phương trình của

hệ hoặc chia cả hai vế của từng phương trình cho các số hạng khác không có sẵn trongcác phương trình của hệ để tìm ra phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ để đưa hệ phươngtrình ban đầu về một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho Tìm ẩn phụ vàthay thế ngược trở lại để tìm được nghiệm của phương trình ban đầu

Biến đổi hệ đã cho ⇔







(x2− y2) + (x − y) = 5(x2− y2)(x − y) = 6Đặt u = x2− y2 và t = x − y; ta có hệ phương trình

y = −1

4

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (11

Hệ đã cho tương đương với







(−x2+ xy)2+ x3y2 = 1(−x2+ xy) − x3y = 1Đặt u = −x2+ xy, v = x3y Hệ trở thành:

Bài toán 2.12 (xem [1]) Giải hệ phương trình







x2+ y2+ x + y = 4x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2

(Đề thi dự bị - Khối A - Năm 2005)Bài giải.

Hệ đã cho tương đương với

2;√2)

2;√2), (1; −2), (−2; 1)

Bài toán 2.13 (xem [1]) Giải hệ phương trình

Bài toán 2.14 (xem [6]) Giải hệ phương trình

Hệ đã cho tương đương với

(Thi HSG Đại Học IOWA Mĩ 04/1991)

Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình A2− 16A + 55 = 0

⇔ A1= 11, A2= 5 (∃(x; y) thỏa mãn điều kiện x, y nguyên dương)

Đặt x2+ y = u và xy = v thì hệ đã cho tương đương với

1.2.2 Một vài dạng hệ phương trình phi tuyến< /h3>

1.2.2.1 Hệ phương trình đại...

1.2.2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I (xem [2])

Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình có dạng

Khi tráo đổi vị trí x y hệ phương trình hệ khơng thay... mãn.

Vậy để hệ cho có nghiệm a = −2

• Trong vài trường hợp, hệ phương trình đối xứng loại I cịn gặp hệ phươngtrình phi tuyến ẩn, ẩn, thỏa mãn điều kiện: vai trò ẩn phươngtrình hệ

x