Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)

Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ QUẾ

BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

BẤT ĐẲNG THỨC, HỆ BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ

bất đẳng thức 3

1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản 4

2 Một số hướng giải bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức 17 2.1 Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản 17

2.2 Sử dụng giảm số biến của biểu thức 33

2.3 Vận dụng tính chất của tam thức bậc hai 44

2.4 Vận dụng tính chất của hàm số 47

2.5 Vận dụng tính chất của hình học 55

Mở đầu

Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, các kì thiOlympic trong nước và quốc tế thường có các bài toán yêu cầu tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hay của một hàm số nào đó.Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới vàkhó đối với học sinh Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết biếnđổi tương đương các biểu thức đại số, sử dụng khá nhiều các hằng đẳngthức, bất đẳng thức từ đơn giản tới phức tạp, phải tổng hợp các kiến thức

và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo và đặc biệt phải nắm được các bấtđẳng thức cơ bản trong chương trình phổ thông

Luận văn nhằm mục đích tổng hợp các bất đẳng thức cơ bản, đặc biệt

đi sâu tìm lời giải các bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc là bất đẳngthức, hệ bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi trong nước và quốctế

Nhiệm vụ của luận văn: Đọc các tài liệu, các đề thi IMO, VMO, đề thihọc sinh giỏi vùng Đông Âu, đề thi học sinh giỏi vùng Châu Á, Thái BìnhDương, để chọn lọc ra các bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bấtđẳng thức, hệ bất đẳng thức tiêu biểu Tổng hợp, phân loại phương phápgiải bài toán theo cách tiếp cận để người đọc có thể nhận dạng và vận dụngcác phương pháp này vào giải quyết các bài toán cực trị tương tự

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm cơ bản về bài toán cựctrị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức, một số bấtđẳng thức cơ bản vận dụng trong việc giải các bài toán cực trị

Chương 2 Một số hướng giải bài toán cực trị với điều kiện ràng

buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức

Chương này trình bày một số phương pháp giải bài toán cực trị với điềukiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức như phương pháp vậndụng các bất đẳng thức cơ bản, phương pháp sử dụng giảm số biến củabiểu thức, phương pháp vận dụng tính chất của tam thức bậc hai, phươngpháp vận dụng tính chất của hàm số, phương pháp vận dụng tính chất củahình học

Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng không tránhkhỏi những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý thầy cô và nhữngbạn đọc quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên với sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Thanh Hải Tôi xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, hướng dẫn của thầy, tớicác thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin củatrường Đại học Khoa học, các bạn học viên lớp Cao học Toán K9C đãgiúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong quá trình học tập

và nghiên cứu tại trường

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Quế

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm cơ bản về bài toán cựctrị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức, một số bấtđẳng thức cơ bản vận dụng trong việc giải các bài toán cực trị Nội dungchương chủ yếu lấy từ các tài liệu [3], [6], [8]

1.1 Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng

thức, hệ bất đẳng thức

Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức

là dạng bài toán: Cho biểu thức F (x1, x2, , xn) với các biến x1, x2, , xnthỏa mãn điều kiện D (D có thể là một bất đẳng thức, một hệ bất đẳngthức, ) Ta nói M (M phải là hằng số) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏnhất) của biểu thức F khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

+) Bất đẳng thức F (x1, x2, , xn) ≤ M (F (x1, x2, , xn) ≥ M ) đúng vớimọi x1, x2, , xn thỏa mãn D

+) Tồn tại x1, x2, , xn thỏa mãn D sao cho F (x1, x2, , xn) = M

Ví dụ 1.1 (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 1994) Xét các

bộ số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện

1

2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hệ quả 1.1 Với mọi bộ số dương a1, a2, , an ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Hệ quả 1.2 Với mọi bộ số dương a1, a2, , an ta có

Hệ quả 1.3 Với mọi bộ số không âm a1, a2, , an và m = 1, 2, ta có

Ví dụ 1.4 (xem [3]) Cho các số dương a, b, c ≥ 1 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

Bài toán đang cần tìm giá trị lớn nhất vì thế ta nghĩ tới chiều đánh giá

P ≤, khi đó ta cần sử dụng a2 + b2 ≥, b2 + c2 ≥, c2 + a2 ≥ Điều này làm

ta suy nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM Khi đó tađánh giá được:

c2ca ≤ 1

2 +

√t

Ta tìm điều kiện của biến t:

Vậy P ≤ 3

2 +

√3

r

cb



1 − ca



+

r

ca



1 − cb



.Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số ta có:



1 − cb



≤ 12

c

b +



1 − ca



+ 12

c

a +



1 − cb



= 1Suy ra pc(a − c) +pc(b − c) ≤ √

abĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a = 1 −

cb

8, ∀t ∈ (0; +∞) suy ra

P ≤ f (ab) ≤ 3

8Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi







ab = 141

a +

1

b =

1c

⇔ a + b

ab =

1c

+

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

8 tại a = t, b =

14t, c =

14t2 + 1, trong đó

Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức quan trọng nhất,quen thuộc nhất và có tầm ứng dụng rộng rãi trong các bộ môn của toánhọc sơ cấp Nó đóng vai trò quan trọng trong những bài toán chứng minhbất đẳng thức cũng như những bài toán tìm cực trị Sự thành công cuảviệc áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán cực trị với điềukiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào

sự linh hoạt của người sử dụng và kỹ thuật chọn các số a1, a2, , an

Chính vì vậy mối quan tâm của chúng ta là làm thế nào để tận dụngđược điều kiện của bài toán ban đầu 1

Do đó ta sẽ tư duy theo chiều b + c + 1 ≥ f (a + b + c)

Nhờ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

(1 + b + c)(x + y + z) ≥ (√

x +pby +√

cz)2nhưng ta nhận thấy để

√

x +pby +√

cz −→ a + b + c

ta cần chọn x = a2, y = b, z = c Tương tự cho các nhóm biểu thức còn lại

Và từ đó ta đánh giá được: (1 + b + c)(a2 + b + c) ≥ (a + b + c)2 từ đó ta

có lời giải bài toán như sau:

1

c + a + 1 ≤ b

2 + c + a(a + b + c)2

1

a + b + 1 ≤ c

2 + a + b(a + b + c)2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 tại a = b = c = 1

Ví dụ 1.8 (xem [3]) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

A = 2x + 3ybiết

3.√3y)2

√

2 =

y√3

√32x2 + 3y2 = 5

⇔ x = y = 1

x = y = −1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -5 đạt được khi x = y = 1

Giá trị lớn nhất của A là 5 đạt được khi x = y = −1

Nhận xét 1.2 Cũng giống như bất đẳng thức AM-GM thì bất đẳng thứcBunhiacopski cũng là một bất đẳng thức thường xuyên được sử dụng Bấtđẳng thức này không cần điều kiện các bộ số là dương hay không âm, tuynhiên để có thể áp dụng thành công bất đẳng thức Bunhiacopski thì ứngvới mỗi bài toán cực trị cần phải lựa chọn ra các bộ số a1, a2, a3, , an và

Hệ quả 1.4 Với n số thực tùy ý a1, a2, , an, ta có

a21 + a22 + + a2n ≥ (a1 + a2 + + an)

2

Kết quả này thu được bằng cách cho b1 = b2 = = bn = 1

Hệ quả 1.5 Với n số thực tùy ý x1, x2, , xn, ta có

Ví dụ 1.9 (xem [3]) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

Bài toán đối xứng theo x, y nên ta có điểm rơi khi x = y

Do đó ta đánh giá hai phân thức đầu bằng bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz kết hợp với bất đẳng thức AM-GM, khi đó ta được:

z ≥ 1 ⇒ z3 ≥ 1 ⇒ z3 + 2 ≥ 3

⇒ z

3 + 23(x + y + 1 ≥ 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 tại a = b = c = 1

Nhận xét 1.3 Cùng với bất đẳng thức AM-GM, thì bất đẳng thứcCauchy-Schwarz dạng phân thức là một kết quả kinh điển có nhiều ứngdụng Câu hỏi quan trọng nhất là làm thế nào ta nhận biết được một bàitoán cực trị có thể giải bằng phương pháp này? Rất khó để có thể nói mộtcách rõ ràng nhưng có lẽ ta nên nghĩ tới bất đẳng thức này khi thấy tổngcủa các căn thức, tổng của các bình phương hay đặc biệt là khi có các biểuthức chứa căn

1.2.4 Bất đẳng thức Karamata

Định lý 1.4 Cho hai dãy số xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n thỏa mãn điềukiện

x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn

a2 + b2 + c2 ≤ 64 + 25 + 4 = 93.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 8, b = 5, c = 2

Vậy giá trị lớn nhất của M là 93, đạt được khi a = 8, b = 5, c = 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 75, đạt được khi a = b = c = 5

Chương 2

Một số hướng giải bài toán cực trị

với điều kiện ràng buộc bất đẳng

thức, hệ bất đẳng thức

Có rất nhiều cách giải bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳngthức, hệ bất đẳng thức nhưng trong chương này ta sử dụng chủ yếu làphương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản, sử dụng giảm số biếncủa biểu thức, vận dụng tính chất của tam thức bậc hai, vận dụng tínhchất của hàm số, vận dụng tính chất của hình học

ii) Ví dụ minh họa

Bài toán 2.1 (USA) Cho các số a, b, c thỏa mãn







a, b, c > 0,abc = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

c.

⇒ S2 ≥ 24 4

(a + b)2 +

8(a + c)2 +

12(b + c)2

!

= 96 1

(a + b)2 +

2(a + c)2 +

3(b + c)2

!

⇒ S2 ≥ 96

"

1(a + b)2 +

1(b + c)2

!

+ 2 1

(a + c)2 +

1(b + c)2

!#

Áp dụng bất đẳng thức AM–GM ta có:

1(a + b)2 +

1(b + c)2 ≥ 2

(a + b)(b + c)

1(a + c)2 +

1(b + c)2 ≥ 2

(a + c)(b + c)

⇒ S2 ≥ 96



2(a + b)(b + c) +

4(a + c)(b + c)



= 192



1(a + b)(b + c) +

2(a + c)(b + c)



Ta có:

1(a + b)(b + c) +

2(a + c)(b + c) =

1(b + c)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

3a + 2b + c(a + b)(a + c)(b + c)

Không mất tính tổng quát, giả sử b là một số nằm giữa a và c, khi đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 22 khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài toán 2.4 (Đề thi Olympic 30/4 - Sở Giáo dục đào tạo Bình Định).Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

√

x ≤

√z

√31

√

y ≤

√z



1 − zx



≤ √2

x.

√z

√

x.

√z

2

√

x.

√z



1 − zy



≤ √2

y.

√z

√

2 + 1 −

zy

+ 1976z

P = ab2 + bc2 + ca2.Bài giải

a4 + b4 ≥ a3b + ab3 (2.6)(Vì a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ⇔ a3(a − b) − b3(a − b) ≥ 0

⇔ (a − b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0 luôn đúng)

Tương tự, ta có

b4 + c4 ≥ b3c + bc3 (2.7)

a4 + b4 + c4 ≤ 3.

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM ta được

a4+ b4+ b4+ 1 ≥ 4ab2 và b4+ c4+ c4 + 1 ≥ 4bc2 và c4+ a4 + a4+ 1 ≥ 4ca2suy ra

3 a4 + b4 + c4
+ 3 ≥ 4(ab2 + bc2 + ca2)

Như vậy

P = ab2 + bc2 + ca2 ≤ 12

4 = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài toán 2.6 (Olympic 30/4 - Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang) Cho

Không mất tính tổng quát, giả sử x = max {x, y, z}

Vậy sẽ có hai khả năng

"

x ≥ y ≥ z

x ≥ z ≥ y+) Khi x ≥ y ≥ z thì P ≤ 0

+) Khi x ≥ z ≥ y thì hiển nhiên x − z ≥ 0, z − y ≥ 0 và 0 ≤ x − z ≤ 1

⇒ P = (x − y)(y − z)(z − x)(x + y + z) ≤ (z − y)(x − z)(x + y + z)

2√3x −3 −√

9 .

Do vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 2

√3

9 khi x = 1, y = 0, z =

1

√

3.Bài toán 2.7 (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 1994) Xétcác bộ số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện

Do vai trò của a và d, b và c là đối xứng trong biểu thức trên, ta dự đoánrằng điểm cực trị sẽ đạt được tại các bộ số thỏa mãn điều kiện a2 = d2 và

b2 = c2 Với p là số thực dương, theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

√5

2 vào (2.9), ta thu được Q ≤

53 +√

5

2 .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

bp

=

cp

... kết hợp với bất? ?ẳng thức quen thuộc: ab + bc + ca ≤ (a + b + c)

=

s

x2 + y2 + z2

3 ≥

Dấu đẳng thức xảy... số dương sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được:

2b...

4

8 .Bài toán 2.15 (xem [8]) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điềukiện:

a ≥ b ≥ cTìm giá trị nhỏ biểu thức

(1 − x) (1 − y) ≤ ⇔ xy − x − y