Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)

Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2N + 3 siêu phẳng (LV thạc sĩ)

BOUNPONE PHETBOUNHEUANG

TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

TRÊN ANNULI GỒM 2N + 3 SIÊU PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

BOUNPONE PHETBOUNHEUANG

TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

TRÊN ANNULI GỐM 2N + 3 SIÊU PHẲNG

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - 2016

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng cáckết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảmbảo tính trung thực chính xác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016Người viết luận văn

BOUNPONE PHETBOUNHEUANG

i

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáoKhoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường và các Quý Thầy Côgiảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại họcThái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bịkiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

-và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn mộtcách hoàn chỉnh

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet CHDCND Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọimặt trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

-Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đãđộng viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016Người viết luận văn

BOUNPONE PHETBOUNHEUANG

ii

Mở đầu 1 Chương 1 Phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình trên Annuli 3

1.1 Hàm đặc trưng và định lý cơ bản thứ nhất 3

1.1.1 Kiến thức cơ sở về phân bố giá trị cho hàm phân hình trên Annuli 3

1.1.2 Hàm đặc trưng và tính chất 9

1.1.3 Định lý cơ bản thứ nhất 12

1.2 Định lý cơ bản thứ hai 13

1.2.1 Một số mệnh đề chuẩn bị 13

1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai 22

Chương 2 Định lý duy nhất cho đường cong chỉnh hình gồm 2n+3 siêu phẳng 24 2.1 Mở đầu về vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli 24

2.1.1 Khái niệm và bổ đề 24

2.1.2 Một số định lý duy nhất 27

2.2 Định lý duy nhất gồm 2n + 3 siêu phẳng 31

2.2.1 Một số mệnh đề 31

2.2.2 Định lý duy nhất 36

Mở đầu

Một ứng dụng quan trọng của lý thuyết phân bố giá trị là nghiên cứu sựxác định của hàm phân hình (cũng như ánh xạ phân hình) thông qua ảnhngược của một hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề này cũng thu hút sựquan tâm của nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L Smiley,

H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, M Ru và nhiều nhà toánhọc khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: Hai hàm phân hình phứckhác hằng f, g thỏa mãn f−1(ai) = g−1(ai), i = 1, , 5,thì f ≡ g Năm

1982, F.Gross và C.C Yang đã chỉ ra tập hợp T = {z ∈ C|ez + z = 0}

là tập xác định duy nhất (kí hiệu là URS) cho các hàm nguyên Chú ý,tập T xác định như trên chứa vô số phần tử Năm 1994, H.Yi đã xét tậphợp SY = {z ∈ C|zn+ azm+ b = 0}, trong đó n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b

là các hằng số khác không sao cho zn + azm + b = 0 không có nghiệmbội và Ông đã chứng minh SY là URS cho A(C) Năm 1998, G Frank

và M.Reinders chỉ ra một ví dụ về URS cho M(C) Đối với đường congchỉnh hình, năm 1975, H Fujimoto mở rộng kết quả này của Nevanlinnacho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tại cáctập xác định duy nhất kể cả bội gồm 3n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quátcho họ các ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Về sau cónhiều nhà toán học trong và ngoài nước phát triển các kết quả nghiên cứutheo hướng này

Trong thời gian gần đây, có một số công trình của các nhà toán học trong

và ngoài nước về phân bố giá trị cho các hàm phân hình trên Annuli trong

C được công bố Năm 2005, A Y Khrystiyanyn và A A Kondratyuk([4, 5]) chứng minh một số kết quả về các định lý cơ bản và quan hệ sốkhuyết, sau đó những công trình này được mở rộng bởi T B Cao, Z S

Deng trong [1] và bởi Y Tan, Q Zhang trong [9] Năm 2015, H T Phương

và N V Thìn ([7]) đã nghiên cứu một số kết quả về phân bố giá trị cho

đường cong chỉnh hình trên Annuli kết hợp với một họ hữu hạn các siêuphẳng Dựa trên những nghiên cứu này, H T Phương và T H Minh ([6])

và Nguyễn Việt Phương ([8]) đã chứng minh một định lý duy nhất cho

đường cong chỉnh hình trên Annuli

Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết phân bố giá trị và ứng dụng của

lý thuyết trong nghiên cứu các định lý duy nhất, chúng tôi chọn đề tài

"Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên Annuli gồm 2n+3 siêuphẳng" Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số kết quả nghiêncứu về phân bố giá trị cho hàm phân hình trên Annuli và chứng minh lạimột số kết quả về xác định duy nhất cho hàm phân hình trên Annuli đượccông bố bởi các tác giả trong thời gian gần đây

Luận văn gồm hai chương, trong Chương 1 chúng tôi trình bày một sốkiến thức về phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình trên Annuli, cáckiến thức chương này là cơ sở nền tảng để chứng minh định lý chính trongChương 2 Trong Chương 2 chúng tôi trình bày một số kết quả vấn đề duynhất cho đường cong chỉnh hình trên được công bố bởi H T Phương, T

H Minh trong [6] và Nguyễn Việt Phương trong [8]

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Tác giả

®­îc viÕt dùa trªn c¸c bµi b¸o [7].

∆r = z ∈ C : 1

r < |z| < r Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆, tøc lµ f chØnh h×nh trªn ∆ trõ ra

một số các điểm bất thường cực điểm, ta nhắc lại

r,

1

f − a

,

Trong luận văn này, kí hiệu “k” trong một bất đẳng thức nghĩa là với

R0 = +∞, bất đẳng thức đúng với mọi r ∈ (1, +∞) nằm ngoài một tập ∆0

Mệnh đề sau đây là một dạng của định lý Jensen cho hàm phân hìnhtrên Annuli

Mệnh đề 1.3 ([4]) Cho f là một hàm phân hình trên ∆ Khi đó với mỗi

| log+|f − a| − log+|f || 6 log+|a| + log 2

Ngoài ra ta dễ dàng thấy rằng Sử dụng công thức Jensen ta sẽ có kết luậncủa mệnh đề

Mệnh đề 1.5 ([4]) Cho f là một hàm phân hình trên ∆ Khi đó với mỗi

r ∈ (1, R0)

T0(r, f1 + f2) 6 T0(r, f1) + T0(r, f2) + O(1),

T0(r,f1

f2) 6 T0(r, f1) + T0(r, f2) + O(1)

dr)(R0 − r)λ−1 < +∞.

Mệnh đề 1.8 ([5], Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là một hàm phân hìnhtrên ∆, a1, a2, , ap là các số phức phân biệt và λ > 0 Khi đó:

trong đó

N0(1)(r, f ) = N0(r, 1/f0) + 2N0(r, f ) − N0(r, f0),và

i) trường hợp R0 = ∞,

s(r, f ) = O(log(rT0(r, f )))với mỗi r ∈ (1, R0), ngoại trừ một tập ∆r thỏa mãn:

dr)(R0 − r)λ−1 < +∞

Với hàm phân hình f trên đĩa thủng ∆, ta kí hiệu các số khuyết

δ0(a) = lim inf

r−→∞

m0(r, 1/f − a)

T0(r, f )và

δ0(∞) = lim inf

r−→∞

m0(r, f )

T0(r, f ).Mệnh đề 1.9 ([5], Quan hệ số khuyết) Cho f là một hàm phân hình trên

1.1.2 Hàm đặc trưng và tính chất

Trong phần này ta trình bầy khái niệm các hàm đặc trưng cho đường congchỉnh hình được đưa ra bởi Phương - Thìn ([7]) Kí hiệu Pn

(C) là khônggian xạ ảnh n chiều trên trường số phức C

là các đa thức thì f được gọi là đường cong đại số Trong trường hợp này

ta gọi (f0, f1, , fn) là một biểu diễn tối giản của f

Định nghĩa 1.11 Đường cong chỉnh hình f : ∆ −→ Pn

(C) được gọi làsuy biến tuyến tính nếu ảnh của f chứa trong một đa tạp tuyến tính thực

sự nào đó của không gian xạ ảnh Pn

(C)

Cho f = (f0 : ã ã ã : fn) : ∆ −→ Pn(C) là một đường cong chỉnh hình,trong đó f0, , fn là các hàm chỉnh hình không có không điểm chungtrong ∆ Với 1 < r < R0, hàm đặc trưng Tf(r) của f được định nghĩa bởi

là một dạng tuyến tính xác định H, trong đó aj ∈ C, j = 0, , n, là cáchằng số Vectơ khác không a = (a0, , an) được gọi là vectơ liên kết với

log kf (reiθ)k

|(a, f )(reiθ)|dθ +

12π

Cho 1 < r < R0, ta tiếp tục giả thiết (a, f) 6≡ 0, kí hiệu n1,f(r, H) là

số các không điểm của (a, f) trong ∆1,r, kể cả bội và n2,f(r, H) là số cáckhông điểm (a, f) trong ∆2,r kể cả bội Đặt

số các không điểm của (a, f) trong ∆1,r và trong ∆2,r tương ứng, trong

đó mỗi không điểm có bội lớn hơn δ được đếm δ lần Đặt

đường cong chỉnh hình, trong đó f0, , fn là các hàm chỉnh hình không

có không điểm chung trong ∆ và H là một siêu phẳng trong Pn

(C) Khi

đó với mỗi số thực dương r > 0, với các số nguyên dương k, δ ta có

1) Nf(r, H) = Nf,6k(r, H) + Nf,>k(r, H);

2) Nfδ(r, H) = Nf,6kδ (r, H) + Nf,>kδ (r, H);

log kf (reiθ)k

|(a, f )(reiθ)|dθ +

12π

log kf (reiθ)k

|(a, f )(reiθ)|dθ +

12π

log kf (r−1eiθ)kdθ + O(1)

Điều này kéo theo

Nf(r, H) + mf(r, H) = Tf(r) + O(1)

Định lý được chứng minh

1.2 Định lý cơ bản thứ hai

1.2.1 Một số mệnh đề chuẩn bị

Cho f = (f0 : ã ã ã : fn) : ∆ −→ Pn(C) là một đường cong chỉnh hình,

định thức Wronskian của f được định nghĩa bởi

W = W (f ) = W (f0, , fn) =

Bổ đề sau là một tính chất quan trọng của Wronskian thường sử dụng trong

lý thuyết phân bố giá trị

Bổ đề 1.14 Cho n+1 dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L0, , Lntrong

Pn(C) Với mỗi j = 0, , n, đặt Fj = Lj(f0, , fn) Khi đó

W (F0, , Fn) = C.W (f0, , fn),trong đó C 6= 0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hệ số của

Lj, j = 0, , n, không phụ thuộc vào f0, , fn

Kí hiệu

L = L(f ) = L(f0, , fn) :=

... 2 .3 cho điều kiện đủ gồm 3n + siêu phẳng vị trí tổngquát xác định ánh xạ chỉnh hình Gần đây, nhiều nhà tốn học

đã nghiên cứu hai vấn đề sau: tìm tính chất tập cho

ánh xạ phân chỉnh. .. {H1, , Hq} họ gồm q > 2n< small>2+ n + siêuphẳng vị trí tổng quát f, g : ∆ −→ Pn

(C) đường cong chỉnhhình khơng suy biến tuyến tính thỏa...

Định lý 2.5 Cho H = {H1, , Hq} họ gồm 3n + siêu phẳng

ở vị trí tổng quát f, g : ∆ −→ Pn

(C) đường cong chỉnh hìnhkhơng suy biến