Chủ đề 04 phương trình, bất phương trình mũ và logarit

TĨM TẮT LÍ THUYẾT I... KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1... Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

TÀI LIỆU CỦA KYS – ƠN THI THPT 2018

CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VÀ LOGARIT

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

n thừa số

a  a.a a

 a 0 1  a 0

 a n 1 n

a

  (n Z , n 1, a R / 0 )     



m

n m n



m n

n

a

a a



2 Các tính chất:

 a a m na m n

 a m n a m n a





 (a ) m n (a ) n m a m.n

 (a.b) n a b n n

 ( ) a n a n n

(n Z ,n 1,a R)   

1

3 Hàm số mũ: Dạng: y a x ( a > 0 , a1 )

 Tập xác định: D R

 Tập giá trị: T R  ( a x 0  x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1: y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1: y a x nghịch biến trên R

 Đồ thị hàm số mũ:

 Đạo hàm của hàm số mũ:

 e x 'e x  a x 'a x.lna

 e u 'e u u ' (với u là một hàm số)  a u 'a u ln 'a u (với u là một hàm số)

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

a

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

















0 1 0

N a a

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

y=ax y

x

1

2 Các tính chất:

 log 1 0 a 

 log a 1 a 

 a log N a N

 log (N N ) log N a 1 2  a 1log N a 2

2

N

 log N a   .log N a Đặc biệt:

2

3 Công thức đổi cơ số:

 log N log b.log N a  a b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

b

1 log b

log a

 và a k 1 a

k

4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định: D R  

 Tập giá trị T R 

 Tính đơn điệu:

* a > 1: y log x a đồng biến trên R 

* 0 < a < 1: y log x a nghịch biến trên R 

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x

O

 Đạo hàm của hàm số lôgarit:

  1

lnx '

x

 và   1

ln x '

x



  '

lnu ' u

u

 và   '

lnu ' u

u

 (với u là một hàm số)

log '

ln

a x

x a

log '

ln

a x

x a



log '

.ln

a

u u

u a

log '

.ln

a

u u

u a

 (với u là một hàm số)

III PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT

1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì: aM = aN  M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì: aM < aN  M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì: aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì: loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì: loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì: loga M < loga N  M < N (đồng biến)

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

Dạng cơ bản: ax m (1)

 m 0 : phương trình (1) vô nghiệm

 m 0 : ax m x log ma

Dạng cơ bản: log x ma 

  m : log x ma   x am

Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng: a M = a N ; log M log N a  a

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví dụ 1: Giải phương trình

x 2x 3 2 0,125.4

8



  

  

(1)

Bài giải

♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:

5

x x

5

4 9

2

2x x 6

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 6

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 x 1 2 log 34 x 2 2 0 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1 0

1 2

3

x x

x

♥ Khi đó: 1 log2 x 1 log 32 x 2 2

2

1

3 2

x

x

1 1

3 2 4

x

x

4x 4 3x 2 x 2 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Ví dụ 3: Giải phương trình log2xlog3xlog6xlog36x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Áp du ̣ng công thức loga cloga blogb c , 0 a b c a, , ; 1;b1, ta có

1  log2xlog 2 log3  2xlog 2 log6  2xlog 2 log36  2x

log x log 2 log 2 1 log 2 0

Do log 2 log 2 1 log 23  6   36 0 nên

 *  log2x  0 x 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 1

Ví dụ 4:Giải phương trình:  2   

log (x 1) log (2x 1) 2 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1 0

1

2 1 0

2

x x

♥ Khi đĩ: 1 2 log3 x 1 2 log 23 x 1 2

log x 1 log 2x 1 1

(2)

Với 1 1

2 x thì

2

2 1 x 2x 1 3 2x 3x 4 0: phương trình vơ nghiệm

1

2

x

x

loại [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải phương trình 9x 4.3x 45 0

(1)

Bài giải

♥ Đặt 3x

t với t 0, phương trình (1) trở thành 2

4 45 0

5 2

9

t t

loại

Với t 9 thì 3x 9 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Ví dụ 6: Giải phương trình 1

3x 18.3 x 29

(1)

Bài giải

♥ Biến đổi phương trình (1) ta được

3

log x 1 2x 1 1

1 2 1 3

1 3.3 29

3

x

x (2)

♥ Đặt 3x

t với t 0, phương trình (1) trở thành 2

3t 29t 18 0 (3) 2

9

t t

Với t 9 thì 3x 9 2

Với 2

3

t thì 3 2 log32

x

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là 2; log32

3

x x

Ví dụ 7: Giải phương trình x x x

6.9 13.6 + 6.4 = 0 (1)

Bài giải

♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4x

ta được

2

(2)

2

x

t với t 0, phương trình (1) trở thành 2

6t 13t 6 0 (3)

2 3 3

3 2

t t

Với 3

2

x

Với 2

3

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 1;x 1

Ví dụ 8: Giải phương trình 2

log x 3log 2x 1 0 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Khi đó: 2

1 log x 3log x 2 0

Đặt t log2 x , phương trình (1) trở thành 2

1 3

2

t

Với t 1 thì log2 1 1

2

x x [thỏa (*)]

Với t 2 thì log2 2 1

4

x x [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là 1; 1

x x

Ví dụ 9: Giải phương trình 1 2 1

5 logx 1 logx (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

0 log 5

x x x

(*)

♥ Đặt t logx t 5,t 1 , phương trình (1) trở thành 1 2 1

5 t 1 t (3)

3

t

Với t 2 thì logx 2 x 100 [thỏa (*)]

Với t 3 thì logx 3 x 1000 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 100;x 1000

Ví dụ 10: Giải phương trình log 3 1 log 3 2

2 x 2 x x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Đặt log3 3t

t x x thì phương trình (1) trở thành

t

Với t 2 thì x 9 (thỏa điều kiện)

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 9

Ví dụ 11: Giải phương trình log2 5.2 8 3

x

Bài giải

♥ Điều kiện 5.2x 8 0

(*)

x

x

2 5.2 8 8 2 2

2

5.2x 16.2x 16 0

(2)

♥ Đặt 2x

t với t 0, phương trình (2) trở thành 2

5t 16t 16 0 (3)

4

5

t

Với t 4 thì 2x 4 2

x [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A B=0,

Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x 25.2x 100 10x

(1)

Bài giải

♥ Ta có: 1 4.5x 2 5x x 25.2x 100 0

5 4x 2x 25 2x 4 0

4 2x 5x 25 0

5 25

2

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó

(Phương pháp lôgarít hóa)

Ví dụ 13: Giải phương trình 2

3 2x x 1

(1)

Bài giải

♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có

2

1 log 3 2x x log 1

2

log 3x log 2x 0

2 3

log 0

x x x

3

1 log 2 0

2 3

0 1

log 3 log 2

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 0,x log 32

Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b)

thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

(do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = g(x))

Ví dụ 14: Giải phương trình 3x 4x 5x

(1)

Bài giải

♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5x

5x 0,

x , ta có

(2) ( Dạng f x C )

♥ Xét hàm số 3 4

f x trên , ta có

♥ Mặt khác f 2 1 (2) có nghiệm x 2 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2

Ví dụ 15: Giải phương trình 1 2 1

3

x

x (1) (Dạng f x g x )

Bài giải

♥ Xét các hàm số 1

3

x

f x và g x 2x 1 trên , ta có

f x nghịch biến trên và g x đồng biến trên (*)

♥ Mặt khác f 0 g 0 (1) có nghiệm x 0 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 0

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 0

Ví dụ 16: Giải phương trình log 5 3

Bài giải

♥ Điều kiện: x 3

Khi đó: 1 log5 x 3 log2x (2)

♥ Đặt log2 2t

t x x thì phương trình (2) trở thành

5

♥ Xét hàm số 2 3 1

f t trên , ta có

♥ Mặt khác f 1 1 (3) có nghiệm t 1 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC

Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh

Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys

Group học tập chất lượng cho học sinh:Gia Đình Kyser

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản: a M < a N (  , , )



log M log N (  , , )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2

3x x 9

(1)

Bài giải

♥ Ta có: 2

2

1 3x x 3

2

2

2

2 0

1 x 2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 2

Tự luyện: Giải các bất phương trình

1)

6 3

3 2 1

x

x x





2

4 15 13

3 4

1

2 2

x x

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 3   1   

3

2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

 

 



3 x

x

x 2

(*)

♥ Khi đó:

   

2

2

2 2

1 log 4x 3 2 log 2x 3 log 4x 3 log 9 2x 3 4x 3 9 2x 3

16x 42x 18 0

3

8 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 3  x 3

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2   

1 2

x 3x 2

Bài giải

♥ Điều kiện:     

   



x 3x 2

0

x 2

♥ Khi đó:





 



2

2

2

x 3x 2

x

x 3x 2

x

x 4x 2

x

x 0

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là    



   



2 2 x 1

2 x 2 2

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:   



2 0,7 6

x 4 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

   

6

x 2

(*)

♥ Khi đó:

   



2

x 5x 24

x 8

x 4

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là    

 



Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9x136.3x3 3 0 (1)

Bài giải

♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được

2

1 3x 4.3x 3 0

(2)

♥ Đặt 1

3x

t t 0 , bất phương trình (2) trở thành 2

3 1 t 3

Suy ra: 1

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 2

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log x log x 2 022  2   (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Đặt t log2x , bất phương trình (1) trở thành 2

2 0

3 2 t 1

Suy ra: 2 log2 1 1 2

4

x x

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; 2

4

S

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC

Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh

Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys

Group học tập chất lượng cho học sinh:Gia Đình Kyser