Tóm tắt bài học - Ôn tập Môn Toán Lớp 11

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP HAII.. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP HAI 1... Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = ft, trong đó s = ft là một hàm số có đạo

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP HAI

I ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b) Giả sử x

là số gia của x Ta gọi tích f’(x).x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x,

kí hiệu df(x) hoặc dy, tức là: dy = df(x) = f’(x) x

Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số sau

1) y x 35x 1 2) y sin x 3 3) y x.cot x 2

II ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP HAI

1 Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y’ = f’(x)

xác định hàm số mới trên khoảng (a; b) Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì

ta gọi đạo hàm của hàm số y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là:

y’’ hoặc f’’(x)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1) y sin3x 2) y x 35x24x

x 4

-= +

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

2

a) y x 1 x = + b) y= tanx

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3

x 4

-= + Chứng minh 2y '2 = (y – 1)y’’

Cho hàm số y = cosx Chứng minh: 2(cosx – y’) + x(y’’ + y’)

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  1x3 2x2 3x (C)

3

tại điểm có hoành độ x biết 0 f '' x 0 0 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   1 4 2

4

tại điểm có hoành độ x biết 0 f '' x 0  1 ( Tốt nghiệp 2012)

2 Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là

y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1,kí hiệu là f (n – 1)(x),(n ,n 4)

Nếu f (n – 1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp n của f(x),

kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x) Khi đó: f (x) (f(n) = (n 1) - (x))'

III Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số

có đạo hàm đến cấp hai

Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t)

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t là (t) = f’’(t)

Ví dụ 6: Xét chuyển động có phương trình s(t) 3sin(10t )

3



Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động