ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀMI... Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Nếu hàm số y = fx có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.. Dùng định nghĩa tí
Trang 1ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): Nếu tồn tại giới hạn
(hữu hạn)
0
0
f(x) f(x ) lim
x x
, thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
điểm x0 , kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0), tức là:
0
0
0
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))
2 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc 1: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta
thực hiện các bước:
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0)
Bước 2:Lập tỉ số y
x
Bước 3: Tính
x 0
y lim x
Kết luậnf ' x 0 limx 0 y
x
Quy tắc 2: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta
thực hiện các bước:
Bước 1:Tính f x Tính 0 f x f x0
Bước 2:Tìm
0
0
f(x) f(x ) lim
x x
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
Ví dụ 1:Tính bằng định nghĩa đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
f(x) = x2 + 3 tại x0 = –1 f(x) = 1
2x 1 tại x0 = 1
f(x) = x 2 tại x0 = 2 f(x) = 3x21 tại x0 = -1 f(x) = 1
3x 1 tại x0 = 1
f(x) = x 3 tại x0 = 7
Trang 23 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó
4 Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;y 0 0 là:
y – y0 = f (x0).(x – x0)
Ý nghĩa vật lí:
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại
thời điểm t0 là v(t0) = s(t0)
Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0)
Ví dụ 2:Cho hàm số f(x) = x3 Dùng định nghĩa tính f’(1) Lập phương trình
đường thẳng đi qua điểm M0(1; 1) và có hệ số góc bằng f’(1)
Ví dụ 3:Cho hàm số y = f(x) = x3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 1)
II ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm x trên khoảng đó Khi đó đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu
là y’ hay f’(x)
Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x trên khoảng (– ; + )